Fundamentos de la especificación formal

Transcripción

1 Fundamentos de la especificación formal Métodos Formales en Ingeniería del Software María Alpuente

2 El lenguaje Maude Sintaxis: se utilizan reglas de reescritura (como Haskell, ML, Scheme o Lisp) Semántica: Lógica de Reescritura (modela concurrencia y objetos)

3 mod SIMPLE-VENDING-MACHINE is sorts Coin Item State. subsorts Coin Item < State. op null : -> State. op : State State -> State [assoc id: null]. op $ : -> Coin. op q : -> Coin. op c : -> Item. op b : -> Item. var St : State. Ejemplo rl $ => c. --- da 1 café por 1 $ rl $ => b q. --- o da 1 bollo y el cambio (1/4 de $) rl q q q q => $. --- cambia 4 monedas de 1/4 en 1 $

4 mod SIMPLE-VENDING-MACHINE is sorts Coin Item State. Signatura op null : -> State. op : State State -> State. [assoc id: null]. op $ : -> Coin. op q : -> Coin. op c : -> Item. op b : -> Item. var St : State. rl $ => c. rl $ => b q. rl q q q q => $. Presentación

5 Maude> rew q q q q null. rl $ => c. rl $ => a q. rl q q q q => $.

6 Maude> rew q q q q null. rl $ => c. rl $ => b q. rl q q q q => $. q q q q null $ c b q

7 Maude> rew q q q q null. rewrite in SIMPLE-VENDING-MACHINE : q q q q. rewrites: 2 in 0ms cpu (0ms real) (~ rewrites/second) result Item: c rl $ => c. rl $ => b q. rl q q q q => $. q q q q $ c b q

8 Maude> search q q q q =>! X:State. search in VENDING-MACHINE : q q q q =>! X:State. Solution 1 (state 2) X:State --> c Solution 2 (state 3) X:State --> b q No more solutions. rl $ => c. rl $ => b q. rl q q q q => $. q q q q $ c b q

9 Maude> search $ q q q =>! X:State. search in VENDING-MACHINE : $ q q q =>! X:State. Solution 1 (state 1) X:State --> c q q q Solution 2 (state 4) X:State --> b c Solution 3 (state 5) X:State --> b b q No more solutions.

10 Maude> show search graph. state 0, State: $ q q q arc 0 ===> state 1 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 2 (rl $ => b q.) 0 $ q q q 1 c q q q 2 b q q q q state 1, State: c q q q state 2, State: b q q q q arc 0 ===> state 3 (rl q q q q => $.) state 3, State: b $ arc 0 ===> state 4 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 5 (rl $ => b q.) 3 b $ 4 b c 5 b q b state 4, State: b c state 5, State: b b q

11 Evaluación de expresiones (i) Reducción e e l => r lhs rhs

12 Evaluación de expresiones (ii) Reducción e b $ e b b q $ => b q

13 Evaluación de expresiones (iii) Reducción e sqr(inc(2)) e sqr(2+1) inc(x) => X + 1

14 sqr(inc(2)) inc(x) => X + 1 sqr(x) => X * X sqr(2+1) inc(2)*inc(2)

15 Evaluación de expresiones (iv) Reducción e sqr(inc(2)) e inc(2)*inc(2) sqr(x) => X * X

16 Definiciones Un redex es una instancia lσ de una parte izquierda l de una regla l => r Una expresión e se reduce (se reescribe) a e si: contiene un redex lσ de una ecuación l = r e se obtiene reemplazando en e el redex lσ por rσ El reemplazamiento, dentro de una expresión, de una instancia de la lhs de una regla por la correspondiente instancia de la rhs se denomina paso de reescritura o reducción

17 Evaluación de expresiones (v) Reducción l r lσ rσ e e l = r

18 La evaluación de una expresión e consiste en aplicar sucesivos pasos de reducción hasta obtener una forma normal o irreducible n (es decir, una expresión que no contiene redexes). En símbolos: e! n sii e n y n / Según la estrategia de reducción escogida, el resultado puede cambiar

19 Estrategias de evaluación sqr(inc(2)) inc(x) => X + 1 sqr(x) => X * X sqr(2+1) inc(2)*inc(2) Impaciente

20 Estrategias de evaluación sqr(inc(2)) inc(x) => X + 1 sqr(x) => X * X sqr(2+1) inc(2)*inc(2) Perezosa

21 Estrategias de evaluación Maude es un lenguaje impaciente (a diferencia de otro lenguajes funcionales como Haskell, que son perezosos) Para garantizar la terminación de los cómputos, es necesario imponer condiciones a las reglas

22 Terminación Un programa (i.e., un conjunto de reglas) es terminante si no existen cadenas infinitas de pasos de reducción: t1 t2 t3 Cuando un programa es terminante, la forma normal de cualquier término siempre existe La terminación es una propiedad indecidible de los programas (pero hay condiciones suficientes)

23 Terminación Ejemplos de reglas no terminantes: inf X => X:(inf X+1). loop => loop. X => a. St => St $. and(x,y) => and(y,x)

24 Confluencia Un programa (i.e., un conjunto de reglas) es confluente si siempre que un término se puede reescribir a dos términos distintos, éstos, a su vez, convergen a un mismo término. En símbolos: t, s 1, s 2 tal que t R s 1 y t R s 2 t u tal que s 1 R u y s 2 R us 1 s 2 u

25 Confluencia Cuando un programa es confluente, la forma normal de cualquier término, si existe, es única La confluencia es una propiedad indecidible de los programas (pero hay condiciones suficientes, por ejemplo ortogonalidad = linealidad por la izquierda + no solapamiento de lhs s ) Ejemplo TRS no lineal donde f(c,c) tiene dos formas nomales, a y b f(x,x)=> a f(x,g(x))=>b c=>g(c)

26 Confluencia Ejemplos de programa no confluentes: $ => c. $ => b q.

27 Ecuaciones Las reglas que son terminantes y confluentes (no dan resultados divergentes) se pueden escribir como ecuaciones dentro de módulos funcionales y se usan como reglas de simplificación ecuacional. op nil : -> List. op _._ : Nat List -> List. op length: List -> Nat. eq length(nil) = 0. eq length(i.l) = s length(l).

28 Reescritura ecuacional Si tenemos un programa P = R E t R E s sii t! E t y t R s y s! E s

29 Ejemplo de reescritura ecuacional Dado el conjunto E de ecuaciones para las funciones length y + y R={ inf X => X.(inf X+1) } inf (length(0.1.nil)) R E 2.inf(3)

30 Atributos Cuando aparecen operadores asociativos, conmutativos, etc, la reescritura no es capaz de computar de forma efectiva con ellos (espacio de búsqueda infinito) Por ello, dichas propiedades se tratan aparte, predefinidas como ATRIBUTOS

31 Ejemplo de Reescritura con atributos and(x,y) = and(y,x) and(x,true) => X and(x,false) => false > rew and(true,x) [regla1] and(x,true) [regla1] and(true,x) [regla1]

32 Ejemplo de Reescritura con atributos and(x,y) = and(y,x) op and : Bool Bool -> Bool [comm]. and(x,true) => X and(x,false) => false > rew and(true,x) [comm] X

33 Reescritura condicional Las reglas condicionales tienen la forma general: crl l => r if C donde C es una conjunción (/\) de expresiones de la forma t=t (equation) t:=t (matching equation) t=>t (rule) t: S (sort expression) (una expresion booleana b se considera b=true) Ej. b(x)=>c(x*2) if a(x)=>b(y)

34 Reescritura condicional Relación de reducción condicional: (para expresiones t:=t ) Un redex lσ se reescribe a la expresión rσβ si existe una sustitución β que hace emparejar con el patrón tσ la forma normal de t σ, es decir, si tσβ=t σ

35 Ejemplo de Reescritura condicional crl f(x)=>x+n if X>0/\s(N):=s(0) Ejemplo de reducción condicional: σ={x/2} β={n /0} f(2) 2+0

36 Maude> search $ q q q q =>! X:State. search in VENDING-MACHINE : $ q q q q =>! X:State. Solution 1 (state 6) X:State --> c c Solution 2 (state 7) X:State --> q b c Solution 3 (state 8) X:State --> q q b b No more solutions.

37 Maude> show search graph. state 0, State: $ q q q q arc 0 ===> state 1 (rl q q q q => $.) arc 1 ===> state 2 (rl $ => c.) arc 2 ===> state 3 (rl $ => q b.) state 1, State: $ $ arc 0 ===> state 4 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 5 (rl $ => q b.) state 2, State: q q q q c arc 0 ===> state 4 (rl q q q q => $.) state 3, State: q q q q q b arc 0 ===> state 5 (rl q q q q => $.) state 4, State: $ c arc 0 ===> state 6 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 7 (rl $ => q b.) state 5, State: $ q b arc 0 ===> state 7 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 8 (rl $ => q b.) state 6, State: c c state 7, State: q b c state 8, State: q q b b

38 Maude> show search graph. state 0, State: $ q q q q arc 0 ===> state 1 (rl q q q q => $.) arc 1 ===> state 2 (rl $ => c.) arc 2 ===> state 3 (rl $ => q b.) state 1, State: $ $ arc 0 ===> state 4 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 5 (rl $ => q b.) state 2, State: q q q q c arc 0 ===> state 4 (rl q q q q => $.) state 3, State: q q q q q b arc 0 ===> state 5 (rl q q q q => $.) state 4, State: $ c arc 0 ===> state 6 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 7 (rl $ => q b.) state 5, State: $ q b arc 0 ===> state 7 (rl $ => c.) arc 1 ===> state 8 (rl $ => q b.) state 6, State: c c state 7, State: q b c state 8, State: q q b b 0 $ q q q q 1 $ $ 2 c q q q q 3 q b q q q q 4 $ c 5 $ q b 6 c c 7 q b c 8 q q b c