Tema 6: Modelos degeneraciones Solapadas: Inversión y Ciclos Noviembre Reales / 1

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1 Tema 6: Modelos degeneraciones Solapadas: Inversión y Ciclos Reales Macroeconíomica III Universidad Autónoma de Madrid Noviembre 2010 Macroeconíomica III (UAM) Tema 6: Modelos degeneraciones Solapadas: Inversión y Ciclos Noviembre Reales / 1

2 Ciclos Económicos Reales Comenzamos este curso observando datos sobre ciclos económicos, o sea uctuaciones recurrentes en la actividad económica (PIB, consumo, desempleo, etc.). La Figura 3 muestra el logaritmo del PIB per cápita para la economía de EE.UU.. Entre 1900 y 2000, el PIB estadounidense creció a una tasa de aproximadamente el 2% anual (que puede ser calculada como ( ) /100 = 0.02). Este crecimiento, sin embargo, no fue un proceso suave, sino que ha habido uctuaciones al alza y a la baja. Algunas de esas uctuaciones fueron importantes, como la Gran Depresión de 1929 y la expansión posterior a la II Guerra Mundial, y otras fueron de menor magnitud. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

3 Log natural del PIB real y Tendencia en USA Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

4 Log natural del PIB real y Tendencia (USA y España) Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

5 Ciclos Económicos Reales Si miramos a las desviaciones de la tendencia en la Figuras 6 y 7, observaremos la magnitud de esas uctuaciones. En un año típico, la actividad económica puede ser al menos un 2% superior o un 2% inferior a dicha tendencia. Los períodos donde la actividad económica se encuentra por arriba de la tendencia son llamados expansiones y los períodos donde la economóa está por debajo de la tendencia se llaman recesiones. Expansiones y recesiones se caracterizan por movimientos correlacionados de varias variables económicas: PIB, inversión, consumo, empleo suelen moverse conjuntamente durante los ciclos económicos. Las variables que se mueven en la misma dirección que el PIB son llamadas procíclicas y las variables que se mueven en dirección contraria son llamadas contracíclicas. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

6 Desviaciones Porcentuales sobre la Tendencia en el PIB Real (USA). Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

7 Desviaciones Porcentuales sobre la Tendencia en el PIB Real (USA y España) Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

8 Ciclos Económicos Reales Los hechos claves en los ciclos económicos pueden observarse en la Tabla Inversión, consumo y empleo están muy correlacionados con el producto. Las correlaciones son son 0.78 para la inversión, 0.71 para bienes de consumo no durable y 0.57 para horas de trabajo no agrícolas. la inversión uctúa más que el producto en tanto que el consumo uctúa menos que el producto. El PIB uctúa alrededor de 1,7% sobre la tendencia en tanto que la inversión uctúa 5.7% y el consumo 1,2%. El trabajo uctúa tanto como el producto. Los ciclos económicos son persistentes. Cuando el producto es alto lo hace por varios períodos. Este hecho se muestra observando la correlación entre el producto y el valor rezagado de varias variables. Por ejemplo la correlación entre el PIB del último período y el del presente período es de Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

9 Desviaciones de la tendencia y Correlación con el PIB Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Reales Mayo / 59

10 Ciclos Económicos Reales Para poder generar uctuaciones, necesitamos dos cosas: 1 Shocks: Necesitamos una fuerza que provoque disturbancia en la economía. Nosotros vimos un ejemplo de esos shocks en nuestro modelos de 2 períodos con los cambios en la productividad. Ese es un ejemplo de shocks de oferta. 2 Mecanismos de Propagación: Para que esos ciclos se generen necesitamos que la gente reaccione ante ese shock. La gente camiará su consumo y su oferta de trabajo. la magnitud de esa reacción dependerá de la elasticidad intertemporal. En la próxima sección modelaremos una economía que dura más que dos períodos. Para mantener simple el análisis supondremos que la gente todavía vive por dos períodos- Esta estructura es llamada Modelo de Generaciones Solapadas. Usaremos este modelo para analizar ciclos económicos reales generados pro shocks a la productividad. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

11 Modelo de Generaciones Solapadas Suponga una economía donde la gente vive por dos períodos: un período como jóvenes y el otro como viejos. Existe un único bien que puede ser consumido o ahorrado como capital para el futuro I I I Hasta ahora supusimos que el bien era perecedero. Ahora permitiremos que la gente mantenga parte de sus bienes como ahorros. Esta diferencia es crucial ya que nos permite hablar de inversión, un elemento crítico en los ciclos económicos. Dado que la gente sólo vive por 2 períodos, solamente los jóvenes tienen incentivos para ahorrar. Los viejos no vivirán el próximo período, por lo que simplemente consumirán todos sus recursos disponibles. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

12 Modelo de Generaciones Solapadas Cuando los inidividuos son jóvenes trabajan y reciben un ingreso laboral. I I I Por ahora abstraeremos de la decisión de trabajar y asumiremos que usan todo su tiempo para trabajar. Solamente eligen que fracción de su renta laboral consumirán de jovenes y cuánto ahorrarán para el futuro. El monto ahorrado constituirá el stock de capital del próximo período. Asumiremos que los viejos no trabajan (pensemos que se han retirado). I Los viejos alquilan sus ahorros (capital) y consumen la suma de su stock de capital y la renta por intereses obtenida. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

13 Modelo de Generaciones Solapadas La mejor forma de pensar en esta economía es suponer que cada período existe una empresa que está dispuesta a tomar trabajadores y pagarles un salario. La empresa tambien toma ahorros (capital) provisto por los viejos y paga un precio de alquiler del capital (tasa de interés). Luego la rma combina el trabajo y el capital para producir el bien de consumo. Lo obtenido de la producción se usa para pagar salarios a los jóvenes e intereses a los viejos. Imagine, por ejemplo, que la rma es una explotación agrícola que produce trigo. Cada período los jóvenes trabajan. La rma usa semillas (capital) para producir trigo. Esas semillas son provistas por los viejos (que no consumieron de jóvenes todo su ingreso). La rma combina las semillas de los viejos y el trabajo de los jóvenes para producir trigo. Los viejos reciben sus semillas nuevamente y un pago por haberlas alquilado, y consumen todo lo que reciben. Los jóvenes reciben sus salarios. Consumen parte de su ingreso y guardan parte como semillas (capital) para el futuro. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

14 Período t 1 [jóvenes] generación t 1 Reciben salario (w t 1 ), Consumen (c t 1 ), Ahorran (s t ) Período t [jóvenes] generación t Reciben salario (w t ), Trabajo Consumen (c t ), Ahorran (s t+1 ) Período t+1 FIRMA capital (1+r t d) s t [viejos] Proveen capital a la firma (s t ) Consumen el ingreso total((1+r t d) s t ) Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

15 Decisiones de Consumo y Ahorro La restricción presupuestaria intertemporal Nos referiremos a los jóvenes nacidos en el período t como generación t. Note que en el período t, la economía está habitada por dos generaciones, la generación t (jóvenes) y la generación t 1 (viejos). Consideremos el problema de un joven de la generación t. Este posee una unidad de tiempo que dedica a trabajar y recibe un salario w t. Por lo tanto el ingreso de este joven es simplemente w t. Este joven decide cuanto consumir ahora, c yt, y cuanto ahorrar para futuro, s t+1. Note que los ahorros s t+1, tienen un subíndice temporal t + 1 que indica que s t+1 se guarda para el próximo período. Por lo tanto, en el primer período de su vida, el agente enfrenta la siguiente restricción: w t = c yt + s t+1 o s t+1 = w t c yt Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

16 La restricción presupuestaria intertemporal Cuando viejos, los agentes consumen todos sus recursos c ot+1 = (1 δ) s t+1 + s t+1 r t+1 = s t+1 (1 + r t+1 δ) donde r t+1 es el precio de alquiler del capital. Los viejos reciben su capital devuelto porla empresa (s t+1 ) más los intereses (s t+1 r t+1 ). El capital se deprecia a la tasa δ 2 (0, 1) por período, por lo que (1 δ) s t+1 es el valor del capital neto de la depreciación. Los viejos consumen el valor neto de sus ahorros (1 intereses sobre sus ahorros (s t+1 r t+1 ). δ) s t+1 y los Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

17 La restricción presupuestaria intertemporal Combinando las restricciones presupuestarias anteriores tenemos c ot+1 = s t+1 (1 + r t+1 δ) = (w t c yt ) (1 + r t+1 δ) Por lo tanto, la restricción presupuestaria intertemporal para un individuo nacido en t c ot+1 (1 + r t+1 δ) = (w t c yt ) c ot+1 c yt + (1 + r t+1 δ) = w t Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

18 La restricción presupuestaria intertemporal c yt + c ot+1 (1 + r t+1 δ) = w t Como ya sabemos, esta ecuación representa la restricción presupuestaria durante la vida del agente. Note que el único ingreso que recibe el agente es su ingreso laboral (w t ). El agente decide consumir ese ingreso cuando joven (c yt ) o en el futuro (c ot+1 ). El consumo cuando viejo, sin embargo, es más barato ya que los agentes que esperan reciben el ingreso por intereses cuando viejos. Por lo tanto, una unidad de consumo en el proximo período es más barata que una unidad de consumo en el presente. Por ejemplo, si el agente quiere consumir X unidades en el futuro no tiene que X renunciar a X unidades ahora, sino a (1+r t+1, que es menor a X. δ) La restricción presupestaria es ilustrada en la Figura 2a Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

19 La restricción presupuestaria intertemporal c ot+1 w t (1+r t+1 d) (w t c yt )(1+r t+1 d) Figure 2a w t c yt Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

20 Preferencias Las decisiones de cuánto consumir hoy y cuánto consumir mañana dependerán de las preferencias intertemporales del agente. Dichas preferencias son representadas por curvas de indiferencia que representan diferentes combinaciones de consumo presente y futuro que brindan el mismo nivel de utilidad. Como de costumbre, representamos las preferencias del agente usando funciones de utilidad. Asumiremos que la utilidad a lo largo de la vida del agente está dada por: u(c yt ) + βu(c ot+1 ), β < 1, u 0 > 0, u 00 < 0, donde β 2 (0, 1) es el factor de descuento. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

21 Preferencias c ot+1 c yt Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

22 Firmas Existe un gran número de empresas que combinan trabajo y capital para producir el bien de consumo usando una tecnología representada por Y t = F (K t, L t ), La función F es llamada una función de producción neoclásica si tiene una primera derivada positiva y una segunda derivada negativa con respecto a cada argumento F t K t > 0, F t L t > 0, 2 F t K 2 t < 0, tiene retornos constantes de escala (CRS), i.e. 2 F t L 2 t < 0, F (λk t, λl t ) = λf (K t, L t ), for all λ > 0, y satisfacen las condiciones de Inada lim F K = lim F L =, and lim F K = lim F L = 0. K!0 L!0 K! L! Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

23 Firmas Como la función de producción es CRS, podemos asumir que hay una sola rma representativa, cuyo objetivo es maximizar bene cios. Por lo tanto el problema de la empresa es max Y (K t, L t ) w t L t r t K t. L t,k t Por lo tanto; las CPO de este problema son y w t = Y t L t, r t = Y t K t, lo cual determina precios competitivos de los factores. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

24 Firmas Además, dado que la función de producción es CRS, los bene cios son cero. Este resultado viene del teorema de Euler que establece que si F (K t, L t ) es homogénea de grado 1, entonces F (K t, L t ) = F K t K t + F L t L t = r t K t + w t L t La empresa contrata trabajo (a los jóvenes) y alquila capital (a los viejos) I I r t : precio de alquiler del capital w t : salario por hora trabajada K t, el capital se deprecia cada periodo a la tasa δ 2 [0, 1]. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

25 El Problema del Individuo El problema que resuelve el agente nacido en t, con t 1 es max u (c y t ) + β u (c o t+1 ) s. a. c y t + s t+1 w t, c o t+1 (1 + r t+1 δ) s t+1. Que se puede reescribir como max u (c y t ) + β u (c o t+1 ) c y t,c o t+1 s. a. c y t + c o t+1 1+r t+1 δ w t. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

26 El Problema del Individuo El Lagrangiano es max c y t,c o t+1 u (c y t ) + β u (c o t+1 ) + λ h i c w t c o t+1 y t 1+r t+1 δ. La CPO de c y t es La CPO de c 0t+1 es u 0 (c yt ) = λ, βu 0 (c 0t+1 ) = λ (1 + r t+1 δ), Por lo tanto., u 0 (c yt ) {z } CM = β(1 + r t+1 δ)u 0 (c 0t+1 ) {z } BM Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

27 Un Ejemplo Supongamos que la economía está poblada por N individuos de cada generación. Por lo tanto en cada período la población estará compuesta por 2N agentes (N jóvenes y N viejos). Los agentes tienen la siguiente función de utilidad u(c yt, c ot+1 ) = log(c yt ) + β log(c ot+1 ). Cuando jóvenes, los agentes trabajan y ahorran en la forma de capital físico, pero cuando viejos no pueden trabajar y reciben intereses por alquilar su capital. Existe una única rma que produce cada período combinando el trabajo de los jóvenes con el capital de los viejos de acuerd a la siguiente tecnología: Y t = A t Kt α L 1 α t. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

28 El Problema de la Firma Consideremos primero el problema de la rma max A t Kt α L 1 t α w t L t r t k t, K t,l t donde w t ies el salario y r t es el costo por usar el capital. Las CPO del problema son y w t = (1 α α)a t Kt α Lt α Kt = (1 α)a t, (1) L t α 1 r t = αa t Kt α 1 L 1 t α Kt = αa t. (2) L t Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

29 El Problema del Individuo El problema del agente para las generaciones 1, 2,3,... max log(c yt ) + β log(c ot+1 ) c yt,c ot+1 sujeto a c ot+1 c yt r t+1 δ = w t. Ya vimos las CPO de este problema, dadas por Con u(c) = log(c), tenemos Por lo tanto, u 0 (c yt ) = β(1 + r t+1 δ)u 0 (c 0t+1 ). (3) {z } {z } MC MB 1 1 = β(1 + r t+1 δ). (4) c yt c ot+1 c 0t+1 = βc yt (1 + r t+1 δ). Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

30 El Problema del Individuo Por lo tanto, c 0t+1 = βc yt (1 + r t+1 Entonces, usando la restricción presupuestaria intertemporal tenemos c yt + δ). c ot r t+1 δ = c yt + βc yt = w t. Entonces c y t = β w t, Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

31 El Problema del Individuo La solución del problema de maximización c yt = β w t, (5) c ot+1 = βc yt (1 + r t+1 δ) = β(1 + r t+1 δ) w t, (6) 1 + β s t+1 = w t c yt = w t β w t = β 1 + β w t. (7) Vemos que el ahorro individual es s t+1. Ahora vamos a ver la tasa de ahorro de la economía y la evolución del stock de capital Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

32 El equilibrio de la economía Caracterización del equilibrio Vamos a caracterizar el equilibrio de la economía Note que los recursos totales de la economía en el período t son A t Kt α L 1 t α + (1 δ)k t Estos recursos deben ser iguales al consumo de los viejos en el período t, c ot, el consumo de los jóvenes en el período t, c yt, y el ahorro de los jóvenes, s t+1. Entonces la condición de equilibrio en el mercado de bienes es: Nc yt + Nc ot + Ns t+1 = A t Kt α L 1 t α + (1 δ)k t, para t 1, (8) Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

33 El equilibrio de la economía La condición de equilibrio en el mercado de bienes es: Nc yt + Nc ot + Ns t+1 = A t Kt α L 1 t α + (1 δ)k t, para t 1, También sabemos que el ahorro de hoy constituye el stock de capital de mañana Ns t+1 = K t+1 for t 1. (9) Entonces la condición de equilibrio puede ser escrita como Nc yt + Nc ot + K t+1 = A t K α t L 1 α t + (1 δ)k t, for t 1. (10) Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

34 De nición de Equilibrio Ahora podemos de nir un equilibrio para esta economía de la siguiente manera: Dados fa t gt=1, un equilibrio consiste en una secuencia de precios fw t, r t gt=1, y asignaciones de las familias fc yt, c ot+1, s t+1 gt=1, y asignaciones de la rma fk t, L t gt=1 dado que: I Dados fw t, r t gt=1, las familias toman sus decisiones óptimas, para cada generación t 1, fc yt, c ot+1, s t+1 g que satizfagan las ecuaciones (5), (6), y (7). I Dados fw t, r t gt=1, las rmas toman sus decisiones óptimas, i.e. K t and L t que satizfagan las ecuaciones (1) and (2). I Todos los mercados se vacían. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

35 De nición de Equilibrio Todos los mercados se vacían. I La demanda de trabajo es igual a la oferta de trabajo, i.e. L t = N. I Los mercados de bienes se vacían. i.e. Nc yt + Nc ot + Ns t+1 = A t Kt α L 1 t α + (1 δ)k t, I Los mercados de capitales se vacían Ns t 1 = K t. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

36 Asignaciones de Equilibrio Note que el equilibrio en el mercado de trabajo es trivial en esta economía. Los agentes no valoran el ocio, por lo que están dispuestos a trabajar a cualquier salario. Por lo tanto, todos los agentes jóvenes trabajan, i.e. L t = N. El salario está simplemente determinado por la procutividad marginal del trabajo w t = (1 α)a t Kt α L 1 t α Kt = (1 α)a t L t α Kt = (1 α)a t. L t En el período t, la economía está habitada por jóvenes (nacidos en el período t) y viejos (nacidos en el período t 1). Los jóvenes consumen c yt = 1 1+β w t, y los viejos consumen c ot = (1 + r t δ)s t. Note que los viejos consumen el ingreso por lo que ahorraron el período anterior (s t ). Esto puede ser escrito como c ot = (1 + r t δ) β 1+β w t 1. α Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

37 Asignaciones de Equilibrio En el período t, el equilibrio en el mercado de bienes es Nc yt + Nc ot + Ns t+1 = A t Kt α L 1 t α + (1 δ)k t. La cantidad A t Kt α Lt 1 α + (1 δ)k t nos indica el producto total más el capital no depreciado. Esto es todo lo que los agentes pueden consumir o ahorrar. Aquí C t = Nc yt + Nc ot es ek consumo agregado. dado que Ns t+1 = K t+1, entonces I t = K t+1 (1 δ)k t es el aumento en el stock de capital, la inversión. Por lo tanto tenemos Nc yt + Nc ot {z } α = A t K =I t + K t+1 (1 δ)k t {z } =C t t L 1 t α. =Y t {z } Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

38 Asignaciones de Equilibrio Podemos escribir C t como C t = A t Kt α L 1 t α K t+1 + (1 δ)k t = A t Kt α N 1 α N β 1 + β w t + (1 δ)k t = A t Kt α N 1 α N β α 1 + β (1 α)a Kt t + (1 N β = 1 (1 α) A t Kt α N 1 α + (1 δ)k t 1 + β β = 1 (1 α) Y t + (1 δ)k t 1 + β δ)k t Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

39 Asignaciones de Equilibrio Similarmente, I t está dada por I t = Y t C t = A t Kt α N 1 1 α β (1 α) A t Kt α N 1 α (1 δ)k t 1 + β = β 1 + β (1 α)a tkt α N 1 α (1 δ)k t. = β 1 + β (1 α)y t (1 δ)k t. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

40 Asignaciones de Equilibrio Dadas estas expresiones, podemos tener una idea de como el consumo y la inversión agregada reacciónan ante un cambio en A t. primero note que la elasticidad del producto con respecto a A t es Y t Y t A t A t = Y t A t = Kt α L 1 t A t Y t α A t Y t = 1, Cuánto cambia C t con A t? Ahora queremos conocer por Ct Ct. Está dada At At C t C t A t A t = C t A t A t = 1 C t h 1 i β 1+β (1 α) Kt α N 1 α A t β 1+β (1 α) < 1 A t Kt α N 1 α + (1 δ)k t Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

41 Asignaciones de Equilibrio Similarmente, para la inversión tenemos I t I t A t A t = I t A t A t I t h i β 1+β = (1 α)k t α N 1 α A t β 1+β (1 α)a > 1 tkt α N 1 α (1 δ)k t Cuando cambia la productividad A t, el modelo implica mayores uctuaciones en I t que en C t. Eso es exactamente lo que se observa en los datos. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

42 Fluctuaciones Comencemos con una economía donde A t = 1 todos los períodos. Qué sabemos de esta economía? Observemos nuevamente la ecuación (9), donde, (luego de suponer A t = 1) y tenemos K t+1 = N β 1 + β s t = β 1 + β w t, α Kt w t = (1 α), N α Kt (1 α) = N β 1 + β (1 α)n1 α K α t, (11) que nos dice como el stock de capital, fk t g t=1 se mueve con el tiempo.note que el lado derecho de esta ecuación es una función cóncava en K t. Por lo tanto, la relación entre K t+1 y K t puede describirse en la gura siguiente. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

43 Evolución del Stock de Capital Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

44 Evolución del Stock de Capital Comenzando con un nivel inicial K 0, la economía crece a través el tiempo. El crecimiento eventuelmente se detiene ( por qué?). La economía alcanza un estado estacionario con K t+1 = K t = K. El nivel de K está dado por K = β 1 + β (1 α)n1 α K α. Por lo tanto, y entonces tenemos K 1 α = β α (1 α)n1 1 + β K = β 1 + β 1 1 α (1 α) N Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

45 Ejemplo Númerico Suponga β = 1, α = 0.3, δ = 0.1, and N = 100. Entonces, para esta economía, el nivel del capital en el estado estacionario es: 1 β 1 α K = (1 α) N 1 + β = (1 0.3) 100 = El producto está dado por: Y = K α L 1 α = (22.319) 0.3 (100) = El consumo agregado está dado por β C = 1 (1 α) K α N 1 α + (1 δ)k 1 + β 1 = 1 (1 0.3) (22.319) 0.3 (100) (1 0.1) = Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

46 Ejemplo Númerico La inversión está dada por: I = β 1 + β (1 α)a tk α t N 1 α (1 δ)k t = 1 2 (1 0.3) (22.319)0.3 (100) (1 0.1) = Note que en el estado estacionario I = δk = (0.1) = , por lo que la única inversión es la destinada a reemplazar el capital que se deprecia. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

47 Efectos de un Shock Temporario Ahora suponga que en un período cualquierat, A t = 1.05 para luego volver nuevamente a 1. Suponga tambíen que este shock no fue anticipado previamente. Cómo afecta a esta economía este shock a la productividad? Dado que este shock no fue anticipado, K t = K = Sin embargo, A t es mayor en el período t. El producto es Y t = A t K α t L 1 α = (1.05) (22.319) 0.3 (100) = Dado el mayor producto, aumentará el consumo β C t = 1 (1 α) A t Kt α N 1 α + (1 δ)k t 1 + β 1 = 1 (1 0.3) (1.05) (22.319) 0.3 (100) (1 0.1) = Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

48 Efectos de un Shock Temporario También aumentará la inversión I t = β 1 + β (1 α)a tkt α N 1 α (1 δ)k t = 1 2 (1 0.3)(1.05) (22.319)0.3 (100) (1 0.1) = Aunque A t+1 = 1 nuevamente, la mayor inversión hoy resulta en un mayor stock de capital mañana y entonces tendremos un mayor producto.el capital de mañana está dado por Entonces, K t+1 = (1 δ)k t + I t = (1 0.1) = Y t+1 = A t+1 K α t+1l 1 α = (23.435) 0.3 (100) = Note que incluso si el shock dura un sólo período, Y t+1 es todavía Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

49 Efectos de un Shock Temporario Pero dado que Y t+1 es mayor C t+1 será también mayor dado que β C t+1 = 1 (1 α) Y t+1 + (1 δ)k t β Aumentará también la I t+1 con respecto a I? I t+1 = β 1 + β (1 α)y t+1 (1 δ)k t+1. No es claro. Por un lado Y t+1 es alto, por lo que podemos invertir más. Por otro lado K t+1 es alto también (invertimos el período pasado), po lo que ahora no necesitamos invertir tanto. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

50 Efectos de un Shock Temporario La siguiente gura muestra las desviaciones % de las variables sobre sus valores de estado estacionario, por ejemplo como resultado de un shock a la productividad en un período La economía está en estado estacionario en el período 0 y en el período 1 se produce un shock, i.e. A 1 = Por ejemplo en el primer período Y1 Y Y 100 = = 4.9% por lo que el producto crece un 5%. El resto de las variables se calcula de manera similar. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

51 Shock a la Productividad en un Período Desviaciones % sobre el Estado Estacionario capital consumo inversión producto períodos Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

52 Efectos de un Shock Temporario Note que el aumento en C t es menor y el aumento en I t es mucho mayor. Esto es consistente con lo que indican los datos acerca de que C t es menos volátil que I t. Los efectos de un shock de un período duran varios períodos. Esto es el resultado de la sustitución intertemporal. La gente no quiere consumir todo el aumento del producto en el período 1, por lo que ahorra y por lo tanto la inversión aumenta. El aumento en la inversión genera un mayor stock de capital y por lo tanto un mayor producto por varios períodos. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

53 Ejemplo Final Septiembre 2007 Considere el modelo de generaciones solapadas que estudiamos para analizar los ciclos económicos reales. Existen en todo momento N agentes jóvenes y N agentes viejos en esta economía. Solo los agentes jóvenes pueden trabajar. Los agentes viven dos períodos y cada agente nacido en el período t resuelve el siguiente problema sujeto a y max ln(c yt ) + β ln(c ot+1 ), c yt + s t+1 = w t c 0t+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1. La rma representativa determina el salario y el precio de alquiler del capital para maximizar bene cios max A t Kt α L 1 t α w t L t r t K t, K t,l t donde K t y L t = N son el stock de capital y trabajo agregados. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

54 Ejemplo Final Septiembre 2007 La dinámica del capital agregado en esta economía está determinada por K t+1 = Ns t+1, donde N es la población de jóvenes (constante). Esta expresión determina cómo el stock de capital, fk t g t=1, se mueve en equilibrio. En el estado estacionario se cumplen todas las condiciones de equilibrio. Además, A t = A y el stock de capital es constante, K t+1 = K t = K. Considere que la economía se encuentra inicialmente en estado estacionario. Suponga que en algún momento t ocurre un shock negativo que destruye parte del stock de capital (imagine una guerra, por ejemplo), por lo que K t disminuye. La población N t y L t no están afectadas por la guerra. La guerra solamente dura un período, i.e. no hay destrucción luego del período t. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

55 Ejemplo 1 (0.5 puntos) Cómo se ven afectados por la guerra los precios en el período t, w t y r t? 2 (0.5 puntos) Escriba las fórmulas para el consumo de los agentes viejos y jóvenes en el período t. Cómo se ven afectados esos consumos por la guerra? 3 (0.5 puntos) Cómo se ve afectada por la guerra la decisión de ahorro de los jóvenes? 4 (0.5 puntos) Cómo cambian el stock de capital agregado (K t ) y el producto agregado (Y t ) en el periodo t, comparados con sus niveles de estado estacionario? Cómo cambian el stock de capital agregado (K t+1 ) y el producto agregado (Y t+1 ) en el periodo t + 1, comparados con sus niveles del período t y con los de estado estacionario? 5 (0.5 puntos) Luego de la guerra. Cuál será el nivel del stock de capital del estado estacionario en el largo plazo? Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

56 Ejemplo, solución : 1 Cómo se ven afectados por la guerra los precios en el período t, w t y r t? Los precios se determinan por el problema de la rma max A t Kt α L 1 t α w t L t r t K t, K t,l t donde w t es el salario y r t el costo de uso del capital. Por lo tanto, las CPOs son: # w t = (1 α)a t Kt α Lt α = (1 α)a t # K α t, (12) L t y " r t = αa t Kt α 1 L 1 t α = αa t # K α 1 t. (13) L t Por lo tanto, cuando K t cae w t disminuye y r t aumenta. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

57 Ejemplo, solución : Cómo se ven afectados esos consumos por la guerra? El problema de los agentes es sujeto a y max log(c yt ) + β log(c ot+1 ) c yt,c ot+1 c yt + s t+1 = w t, c ot+1 = (1 + r t+1 δ)s t+1. La restricción presupuestaria intertemporal para un agente está dada por c ot+1 c yt r t+1 δ = w t. Nosotros vimos que las CPO de este problema determinan que 1 1 = β(1 + r t+1 δ). (14) c yt c ot+1 Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

58 Ejemplo, solución : Por lo que obtenemos una relación entre c ot+1 y c yt : c ot+1 = βc yt (1 + r t+1 δ). Usando la restricción presupuestaria intertemporal tenemos que Dado que w t cae, c yt también cae. Tambien c yt = β w t, (15) s t+1 = w t c yt = w t β w t = β 1 + β w t. (16) Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59

59 Ejemplo, solución : Para c ot, tenemos c ot = β(1 + r t δ) w t 1, (17) 1 + β y dado que r t es mayor, c ot también aumenta. Los ahorros de los jóvenes disminuyen dado que s t+1 = y los salarios disminuyen. En el período t, K t es menor que K, por lo tanto es también menor que Y. Y t = A t K α t L 1 β 1 + β w t, (18) t α, En el período t + 1, K t+1 será mayor que K t pero menor que K. Lo mismo ocurrirá con Y t+1. Tema 8: Modelos de Generaciones Solapadas. Inversion y Ciclos Mayo Reales / 59