Planificación Anual Asignatura Análisis Matemático II Año 2015

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1 DOCENTE RESPONSABLE Nombre y Apellido María de las Mercedes Suarez Planificación Anual Asignatura Análisis Matemático II Año 2015 Categoría Docente Profesor Titular MARCO DE REFERENCIA Asignatura Análisis Matemático II Código: B3.0 Plan de estudios Ingeniería Electromecánica Ord.C.S.Nº 2395/04 (1) Ingeniería Industrial Ord.C.S.Nº3207/06 (1) Ingeniería Química Ord.C.S.Nº 2396/04 (1) Ingeniería en Agrimensura CAFI 112/11y Ord. CSNº 3956/12 (1) Ingeniería Civil Ord.C.S.Nº 2394/04 (1) Profesorado en Química Ord.C.S.Nº 2900/02 (3) Ubicación en el Plan 1º año - 2º cuatrimestre (1) 1º año - 2º cuatrimestre (3) Duración (1) Cuatrimestral Carácter Obligatoria Carga horaria 120 h Experimental 0 h Problemas ingeniería 0h Proyecto - diseño 0 h Práctica sup. 0h Asignaturas Cursadas Análisis Matemático I (B2.0) - Álgebra y geometría analìtica (B1.0) correlativas (1) Aprobadas Otras cond. para cursar Duración (3) Cuatrimestral Carácter Olbligatoria Carga horaria 120 h Experimental 0 h Problemas ingeniería 0h Proyecto - diseño 0 h Práctica sup. 0h Asignaturas Cursadas Análisis Matemático I (B2.0) - Álgebra y Geometría Analítica (B1.0) correlativas (3) Aprobadas Otras cond. para cursar Contenidos mínimos (1) Espacio Rn. Diferenciación. Análisis Vectorial. Extremos de funciones de varias variables. Funciones implícitas. Integrales múltiples. Cambio de coordenadas. Geometría diferencial de curvas y superficies. Operadores vectoriales. Integral curvilínea. Integrales de superficie. Teoremas integrales del análisis vectorial. Aplicaciones. (2) Espacio Rn. Diferenciación. Análisis Vectorial. Cambio de coordenadas. Funciones implícitas. Extremos libres. Multiplicadores de Lagrange. Integrales dobles. Integrales triples. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Geometría diferencial de curvas y superficies. Integral curvilínea. Integrales de superficie. Teoremas integrales del análisis vectorial. (3) Espacio Rn. Dominios. Curvas de nivel. Conceptos de límite y continuidad. Derivada parcial. Derivada direccional. Diferenciación. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor. Análisis Vectorial. Teorema de la función compuesta. Cambio de coordenadas. Funciones implícitas. Teorema de la existencia. Jacobianos. Extremos libres. Hessiano. Extremos ligados. Multiplicadores de Lagrange. Integrales dobles. Teorema de Fubbini. Integrales triples. Volúmenes. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Operadores diferenciales Geometría diferencial de curvas y superficies. Integral curvilínea. Función potencial. Teorema de Green. Integrales de superficie. Flujos. Teorema de Stokes Teoremas de Gauss. Depto. responsable Ciencias Básicas Área Matemática Nº estimado de alumno 90 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: Favorecer en los alumnos el desarrollo de las competencias adecuadas para la resolución de problemas y para la selección de las estrategias adecuadas a ese fin, como así también para validar las soluciones obtenidas. OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que el alumno plantee y resuelva problemas de cálculo en varias variables que requieran el uso y la aplicación de conceptos adquiridos en Análisis Matemático I y en Algebra y Geometría Analítica. Es necesario contribuir a profundizar la "alfabetización matemática" que poseen los estudiantes para conseguir que sean capaces de analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios propios del plano y el espacio y situaciones intra y extramatemátcas. Determinar dominios de funciones. Visualizar curvas y superficies de Página 1 de 5

2 nivel. Analizar la existencia del límite doble de una función en un punto dado; calcularlo. Decidir si una función es continua en un punto o en todo su dominio.calcular derivadas parciales. Interpretar geométricamente el concepto de derivada parcial. Relacionar la existencia de derivadas con continuidad y diferenciabilidad. Interpretar la noción de derivada direccional. Trabajar con matrices de derivadas, y aplicar esos conceptos en cálculos con funciones compuestas e implícitas. Plantear y resolver problemas de extremos libres y ligados. Utilizar multiplicadores de Lagrange. Calcular áreas y volúmenes mediante integrales. Utilizar cambios de coordenadas comprendiendo sus alcances y limitaciones. Parametrizar curvas. Calcular integrales de línea y/o trayectoria. Relacionarlas.Dibujar campos vectoriales sencillos. Parametrizar superficies y calcular sus áreas. Aplicar los teoremas de Green, Gauss y Stokes interpretando sus alcances y limitaciones. APORTE A LA FORMACIÓN BÁSICA Y/O PROFESIONAL Esta asignatura constituye una materia inicial de las carreras de ingeniería por lo cual se procurará desde la misma contribuir a la formación básica. Se utilizarán las herramientas de Álgebra y Geometría Analítica ya que es quien provee los desarrollos necesarios para la modelización de situaciones reales sin enfatizar en la axiomática. Para el trabajo con cuádricas, entre otros temas, se hará el abordaje desde el punto de vista de que el álgebra lineal constituye la formulación algebraica de las ideas geométricas. Se enfatizará en la importancia de la utilización de matrices y determinantes.considerando que el Cálculo Diferencial se ocupa de la teoría y de las aplicaciones prácticas de los cambios de una magnitud con respecto a otra, con la cual guarda una relación y que todo el Cálculo Diferencial se puede inferir a partir de su concepto fundamental, la razón de cambio. Considerando que en la asignatura Análisis Matemático I han trabajado en determinar razones de cambio de procesos contínuos como la rapidez de una partícula o la tasa de crecimiento poblacional de bacterias, la predicción de una reacción química, la medición de los cambios instantáneos de una corriente eléctrica, etc. se estudiarán, teniendo eso como base, procesos que involucren más variables. El Cálculo Integral se utiliza, por ejemplo, para localizar el centro de masa de un sólido, para determinar el trabajos, etc. con los métodos del Cálculo Integral se pueden predecir los resultados de los procesos que se realizan con velocidades variables estos conceptos se recuperarán (pues son de cálculo en una variable) y se usarán en otros contextos. Asimismo considerando la importante relación que une a una curva con el área que limita, se deduce analíticamente por la integración de esa función, que es la inversa de la derivación, luego la tangente a una curva y su área, no son más que modificaciones inversas, con la pertinente revisión y relación con estos temas se trabajará en integración múltiple e integrales de superficie. Es decir tomando como fundamento lo realizado en las asignaturas precedentes se trabajará fuertemente con funciones escalares y vectoriales. A tal fin se propone la siguiente organización: Unidad Temática 1:Diferenciación: Geometría de las funciones a valores reales. Límites y continuidad. Diferenciación. Derivadas parciales. Regla de la cadena. Derivación de Funciones implícitas. Gradientes y derivadas direccionales. Aproximaciones. Fórmula de Taylor. Extremos de funciones con valores reales. Multiplicadores de Lagrange. Unidad Temática 2: Integración: Integrales dobles sobre rectángulos y sobre regiones generales. Cambio en el orden de integración. Integral triple. Teorema del cambio de variable. Aplicaciones. Longitud de arco. Integrales de linea y trayectoria. Campos vectoriales. Divergencia y rotor.campos conservativos. Superficies parametrizadas. Área de superficie. Integrales de superficie de funciones escalares y vectoriales.teoremas de Green, Gauss y Stokes. DESARROLLO Actividades y estrategias didácticas Se proponen clases teórico - practicas pues se considera que favorecen los niveles de asistencia y participación. Se inicia la tarea con un problema motivador tomado de la práctica o de la historia de la matemática. En aquellos temas que por sus características no se presten a esto se incentiva al alumno a consultar, para ampliar, la bibliografía propuesta. Considerando que el material didáctico de que disponen fue diagramado a tal fin se agiliza el trabajo posterior es decir cuando deben solucionar, individual o grupalmente, los problemas planteados.se tratará continuamente de introducir las nuevas ideas relacionándolas de modo sustancial con lo que ellos saben de cálculo en una variable. Se propone la modelación en la enseñanza de las matemáticas en estas carreras de ingeniería; tomando como base lo hecho en las asignaturas precedentes que iniciaron al alumno en los procesos de explorar alternativas y aplicar diferentes estrategias en la resolución de problemas. Recursos didácticos Si bien las clases son expositivas la propuesta contempla el vincular con ejemplos tratando de trasmitir el gusto por la matemática y la necesidad de conocer los alcances de esta herramienta. Se utilizará power point para algunas visualizaciones siempre relacionando con lo conceptual y deslindando lo ostensivo. Evaluación de los alumnos Estrategia de evaluación Se intentará evaluar esencialmente procesos medibles y cuantificables. Las evaluaciones deben servir de ayuda para aprender. A tal fin, en lo inherente a las pruebas escritas, se realizará la revisión en forma individual. Se usará el método tal como está expresado en el anexo de la resolución CAFI Nº 227/04: Se evaluará a los alumnos por medio de 2 (dos) exámenes parciales. Cada examen parcial tendrá 3 fechas para que el alumno pueda aprobarlo. Las distintas fechas de un parcial estarán separadas por un término de 7 (siete) días contados a partir del día en que fueron comunicados los resultados de la fecha anterior. La tercera fecha del primer parcial será antes del segundo examen parcial. El alumno regularizará la asignatura una vez aprobados los exámenes parciales. Para aprobar deberá reunir al menos 50 puntos sobre 100 (o escala equivalente). Se utilizarán trabajos prácticos que aborden y relacionen adecuadamente las unidades temáticas 1 y 2. En esta asignatura los parciales abordarán sólo práctica y el examen final que comprende todos los contenidos de la asignatura tendrá componentes teóricas y prácticas éstas últimas interpretadas a la luz de las anteriores. Examen libre S Justificación Página 2 de 5

3 Evaluación del desarrollo de la asignatura Considerando que la cátedra cuenta con personal que trabaja o lo han hechoen otras asignaturas afines (Algebra y Geometría Analítica y Análisis Matemático I ) para evaluar su desarrollo se analizan los temas que presentan mayor dificultad de aprendizaje y se implementan las estrategias didácticas más convenientes conforme a la experiencia que brindan estos recursos humanos formados. Cronograma Semana Tema / Actividades 1 Topología. Distancias. Curvas de nivel. Trabajo Práctico Nº 1. Límite y continuidad. T.P.Nº 2. 2 Derivada parcial. Gradiente. Trabajo Práctico Nº 3. Regla de la cadena. Diferenciación de funciones 3 Derivada direccional. Plano tangente. T. P.Nº 5. Desarrollo en Serie de Taylor. Plano tangente. 4 Extremos libres. Multiplicadores de Lagrange. T. P. Nº7. Funciones implícitas. TP Nº 8. 5 Trabajo Práctico Nº 9.Integrales dobles y triples. T P Nº Evaluación Práctica Primer Parcial 7 Evaluación Práctica Primer Parcial (Recuperatorio) 8 ntegrales múltiples Aplicaciones Cambios de coordenadas (2º Recuperatorio) 9 Frenet y curvas.integral de línea y de trayectoria. Función potencial. Trabajo Práctico Nº Trabajo Práctico Nº 12. Teorema de Green. Consecuencias y aplicaciones. 11 Trabajo Práctico Nº13. Integrales de superficie. Áreas de superficie. Flujos.Trabajo Práctico Nº Teoremas de Stokes.Teoremas de Gauss. Trabajo Práctico Nº Revisión. 14 Evaluación Práctica Segundo Parcial 15 Evaluación 1º Recuperatorio 16 Evaluación 2º Recuperatorio 17 Recursos Docentes de la asignatura Nombre y apellido Pautas para Examen Final María de las Mercedes Suárez Maria Beatriz Bouciguez Mariela Striebeck Magalí Bayer Recursos materiales Software, sitios interesantes de Internet Se incorporan clases teóricas con uso de power point Principales equipos o instrumentos Función docente Desarrollo teoría y práctica Desarrollo teoría ypráctica Desarrollo práctica Desarrollo práctica Espacio en el que se desarrollan las actividades Aula X Laboratorio Gabinete de computación Campo Otros OTROS DATOS Cursada intensiva Cursada cuatrimestre contrapuesto N S Página 3 de 5

4 Departamento responsable Plan de estudios Ciencias Básicas Programa Analítico Asignatura Análisis Matemático II (B3.0) Ingeniería Electromecánica 2004 Ingeniería Industrial 2007 Ingeniería Química 2004 Ingeniería en Agrimensura 2012 Ingeniería Civil 2004 Profesorado en Química 2003 Área Matemática Programa Analítico de la Asignatura - Año 2015 CAPITULO 1: Álgebra vectorial en el espacio n-dimensional. Distancias y topología en dicho espacio. Funciones Escalares. Funciones vectoriales. Conjuntos y curvas de nivel. Dominios de definición. CAPITULO 2: Concepto de límite. Límite doble. Límites iterados y direccionales. Continuidad. Propiedades. CAPITULO 3: Derivada parcial: definición; propiedades. Derivada direccional: definición; propiedades. Gradiente. Diferenciación. Relación entre los conceptos de continuidad, derivabilidad y diferencibilidad. Relación entre la clase de una función y su diferenciabilidad. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor. Cálculo aproximado. diferentes formas de calcular planos tangentes. CAPITULO 4:Extensión de los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad para funciones vectoriales. Composición de funciones vectoriales. Teorema de la función compuesta. Aplicación al estudio de cambios de coordenadas. CAPITULO 5:Funciones implícitas. Teorema de existencia. Derivabilidad y diferenciabilidad de funciones implícitas. Jacobiano. CAPITULO 6:Extremos. Extremos libres: definición. Condición necesaria para la existencia de extremo. Condición suficiente. Hessiano. Extremos ligados. Diferencial segundo. Multiplicadores de Lagrange. CAPITULO 7: Integración múltiple. Definición de integral doble. Cálculo. Cambio del orden de integración. Cálculo de volumen. Integral triple. CAPITULO 8: Integración múltiple.aplicaciones.cambio de coordenadas.operadores diferenciales. Gradiente. Divergencia. Rotor. Interpretaciones. Geometría diferencial de curvas y superficies. Parámetro intrínseco. Triedro de Frenet. CAPITULO 9: Integral curvilínea de funciones escalares y vectoriales. Trabajo. Formas diferenciales exactas. Función potencial. Teorema de Green. CAPITULO 10: Triedro de Darboux. Integrales de superficie. Áreas de superficies. Flujo de un vector. Teoremas de Gauss y Stokes. Aplicaciones. Bibliografía Básica Apóstol, T.; Calculus, Volumen 2. Editorial Reverté; Barcelona; Bradley, G.; Smith, K.; Cálculo de varias variables, Volumen 2. Editorial Prentice; Courant, R.; Differential and Integral Calculus, Volume II. Editorial Interscience Publishers; Glasgow; Edwards, C.; Penney, D.; Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice - Hall; México; Ferrante, J.; Goñi, N.; Temas de Análisis Matemático II. Editorial El Coloquio; Buenos Aires; Larson, R.; Hostetler, R.; Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw - Hill; México; Leithold, L.; El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla; México; Marsden, J.; Tromba, A.; Cálculo Vectorial. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana; Estados Unidos; Piskunov, N.; Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Montaner y Simón S.A.; Barcelona; Pita Ruiz, C.; Cálculo Vectorial. Prentice - Hall Hispanoamericana S.A.; México; 1995 Purcell, E.; Varberg, D.; Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice - Hall; México; Rabuffetti, H.; Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 2). Editorial El Ateneo; Buenos Aires; Rey Pastor, J.; Pi Calleja, P.; Trejo, C.; Análisis Matemático, Volumen 2. Editorial Kapeluz, Buenos Aires; Salas, Hille, Etgen; Calculus. Volumen II. Editorial Reverté S.A. España Spiegel, M.; Análisis Vectorial. Editorial Mc Graw - Hill; Colombia; Smith, R.; Minton, R.; Cálculo. Volumen 2. 2º edición. Editorial Mc Graw - Hill; México; Stein, S.; Barcellos, A.; Cálculo y geometría analítica Volumen 2. Editorial Mc Graw - Hill; Colombia, Stewart, J.; Cálculo. Conceptos y contextos. 3º edición. International Thomson Editores; México; Swokowski, E.; Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica S.A.; Colombia; 1989 Thomas, G.; Weir, M.; Hass, J.; Giordano, F.; Cálculo. Varias variables. 11a edición. Pearson - Addison Wesley; México; Bibliografía de Consulta Se recomienda además de la más recientemente recibida. - Leithold, L.; El Cálculo con Geometría Analítica.Editorial Harla; México; Página 4 de 5

5 - Purcell, E.; Varberg, D.; Cálculo con Geometría Analítica.Editorial Prentice - Hall; México; El personal de la Biblioteca del Complejo puede asesorar al respecto. Docente Responsable Nombre y Apellido María de las Mercedes Suarez Dirección de Departamento Secretaría Académica Página 5 de 5