Planificación Anual Asignatura Análisis Matemático II Año 2009

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1 DOCENTE RESPONSABLE Nombre y Apellido María de las Mercedes Suarez Planificación Anual Asignatura Análisis Matemático II Año 2009 Categoría Docente Profesor Titular MARCO DE REFERENCIA Asignatura Análisis Matemático II Código: B3.0 Plan de estudios Ingeniería Electromecánica Ord.C.S.Nº 2395/04 (1) Ingeniería Industrial Ord.C.S.Nº3207/06 (1) Ingeniería Química Ord.C.S.Nº 2396/04 (1) Ingeniería Civil Ord.C.S.Nº 2394/04 (1) Técnico Universitario en Electromedicina Ord.C.S.Nº 2416/98 (2) Profesorado en Química Ord.C.S.Nº 2900/02 (3) Ubicación en el Plan 1º año - 2º cuatrimestre (1) 1º año - 2º cuatrimestre (2) 1º año - 2º cuatrimestre (3) Duración (1) Cuatrimestral Carácter Obligatoria Carga horaria 12 Experimental Problemas ingeniería Proyecto - diseño Práctica sup. correlativas (1) Análisis Matemático I (B2.0) - Álgebra y geometría analìtica (B1.0) Duración (2) Cuatrimestral Carácter Obligatoria Carga horaria 12 Experimental Problemas ingeniería Proyecto - diseño Práctica sup. correlativas (2) Análisis Matemático I (B2.0) - Álgebra y geometría analítica (B1.0) Duración (3) Cuatrimestral Carácter Olbligatoria Carga horaria 12 Experimental Problemas ingeniería Proyecto - diseño Práctica sup. correlativas (3) Contenidos mínimos Análisis Matemático I (B2.0) - Álgebra y Geometría Analítica (B1.0) (1) Espacio Rn. Diferenciación. Análisis Vectorial. Extremos de funciones de varias variables. Funciones implícitas. Integrales múltiples. Cambio de coordenadas. Geometría diferencial de curvas y superficies. Operadores vectoriales. Integral curvilínea. Integrales de superficie. Teoremas integrales del análisis vectorial. Aplicaciones. (2) Espacio Rn. Diferenciación. Análisis Vectorial. Cambio de coordenadas. Funciones implícitas. Extremos libres. Multiplicadores de Lagrange. Integrales dobles. Integrales triples. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Geometría diferencial de curvas y superficies. Integral curvilínea. Integrales de superficie. Teoremas integrales del análisis vectorial. (3) Espacio Rn. Dominios. Curvas de nivel. Conceptos de límite y continuidad. Derivada parcial. Derivada direccional. Diferenciación. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor. Análisis Vectorial. Teorema de la función compuesta. Cambio de coordenadas. Funciones implícitas. Teorema de la existencia. Jacobianos. Extremos libres. Hessiano. Extremos ligados. Multiplicadores de Lagrange. Integrales dobles. Teorema de Fubbini. Integrales triples. Volúmenes. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Operadores diferenciales Geometría diferencial de curvas y superficies. Integral curvilínea. Función potencial. Teorema de Green. Integrales de superficie. Flujos. Teorema de Stokes Teoremas de Gauss. Depto. responsable Ciencias Básicas Matemática Nº estimado de alumno 90 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL:Que el alumno plantee y resuelva problemas de cálculo en varias variables que requieran uso y aplicación de Área Página 1 de 5

2 conceptos adquiridos en Análisis Matemático I y Algebra y Geometría Analítica. OBJETIVOS ESPECIFICOS:Determinar dominios de funciones. Visualizar curvas y superficies de nivel. Analizar la existencia del límite doble de una función en un punto dado; calcularlo. Decidir si una función es continua en un punto o en todo su dominio.calcular derivadas parciales. Interpretar geométricamente el concepto de derivada parcial. Relacionar la existencia de derivadas con continuidad y diferenciabilidad. Interpretar la noción de derivada direccional. Trabajar con matrices de derivadas, y aplicar esos conceptos en cálculos con funciones compuestas e implícitas. Plantear y resolver problemas de extremos libres y ligados. Utilizar multiplicadores de Lagrange. Calcular áreas y volúmenes mediante integrales. Utilizar cambios de coordenadas comprendiendo sus alcances y limitaciones. Calcular integrales de línea y/o trayectoria. Relacionarlas.Parametrizar curvas. Dibujar campos vectoriales sencillos. Parametrizar superficies y calcular sus áreas. Aplicar los teoremas de Green, Gauss y Stokes interpretando sus alcances y limitaciones. APORTE A LA FORMACIÓN BÁSICA Y/O PROFESIONAL Esta asignatura constituye una materia básica e inicial de las carreras por lo cual se procurará desde la misma contribuir a la formación básica. Se utilizarán las herramientas de Álgebra y Geometría Analítica ya que es quien provee los desarrollos necesarios para la modelización de situaciones reales sin enfatizar en la axiomática. Para el trabajo con cuádricas, entre otros temas, se hará el abordaje desde el punto de vista de que el álgebra lineal constituye la formulación algebraica de las ideas geométricas. Se enfatizará en la importancia de la utilización de matrices y determinantes.considerando que el Cálculo Diferencial se ocupa de la teoría y de las aplicaciones prácticas de los cambios de una magnitud con respecto a otra, con la cual guarda una relación y que todo el Cálculo Diferencial se puede inferir a partir de su concepto fundamental, la razón de cambio; como en la asignatura Análisis Matemático I han trabajado en determinar razones de cambio de procesos contínuos como la rapidez de una partícula o la tasa de crecimiento poblacional de bacterias, la predicción de una reacción química, la medición de los cambios instantáneos de una corriente eléctrica, etc. se estudiarán, teniendo eso como base, procesos que involucren más variables. El Cálculo Integral se utiliza, por ejemplo, para localizar el centro de masa de un sólido, para determinar el trabajo requerido para enviar una nave espacial a otro planeta, etc. con los métodos del Cálculo Integral se pueden predecir los resultados de los procesos que se realizan con velocidades variables estos conceptos se recuperarán (pues son de cálculo en una variable) y se usarán en otros contextos. Asimismo considerando la importante relación que une a una curva con el área que limita, se deduce analíticamente por la integración de esa función, que es la inversa de la derivación, luego la tangente a una curva y su área, no son más que modificaciones inversas, una respecto de la otra, de la ley que expresa la estructura de la misma curva.con la pertinente revisión y relación con estos temas se trabajará en integración múltiple e integrales de superficie. Es decir tomando como fundamento lo realizado en las asignaturas precedentes se trabajará fuertemente con funciones escalares y vectoriales. A tal fin se propone la siguiente organización: Unidad Temática 1:Diferenciación: Geometría de las funciones a valores reales. Límites y continuidad. Diferenciación. Derivadas parciales. Regla de la cadena. Derivación de Funciones implícitas. Gradientes y derivadas direccionales. Aproximaciones. Fórmula de Taylor. Extremos de funciones con valores reales. Multiplicadores de Lagrange. Longitud de arco. Campos vectoriales. Divergencia y rotor. Unidad Temática 2: Integración: Integrales dobles sobre rectángulos y sobre regiones generales. Cambio en el orden de integración. Integral triple. Teorema del cambio de variable. Aplicaciones. Integrales de linea y trayectoria. Campos conservativos. Superficies parametrizadas. Área de superficie. Integrales de superficie de funciones escalares y vectoriales.teoremas de Green, Gauss y Stokes. DESARROLLO Actividades y estrategias didácticas Se proponen clases teórico - practicas pues se considera que favorecen los niveles de asistencia y participación. Se inicia la tarea con un problema motivador tomado de la práctica o de la historia de la matemática. En aquellos temas que por sus características no se presten a esto se incentiva al alumno a consultar, para ampliar, la bibliografía propuesta. Considerando que el material didáctico de que disponen fue diagramado a tal fin se agiliza el trabajo posterior es decir cuando deben solucionar, individual o grupalmente, los problemas planteados.se tratará continuamente de introducir las nuevas ideas relacionándolas de modo sustancial con lo que ellos saben de cálculo en una variable. Se propone la modelación en la enseñanza de las matemáticas en estas carreras de ingeniería; tomando como base lo hecho en las asignaturas precedentes que iniciaron al alumno en los procesos de explorar alternativas y aplicar diferentes estrategias en la resolución de problemas. Recursos didácticos Si bien las clases son expositivas la propuesta contempla el vincular con ejemplos tratando de trasmitir el gusto por la matemática y la necesidad de conocer los alcances de esta herramienta. No se utilizarán más recursos que los tradicionales. Evaluación de los alumnos Estrategia de evaluación Se intentará evaluar esencialmente procesos medibles y cuantificables. Las evaluaciones deben servir de ayuda para aprender. A tal fin, en lo inherente a las pruebas escritas, se realizará la revisión en forma individual. Se usará el método "Suma de puntos" Se tomarán tres parciales, es decir dos (promediando la mitad de la materia el primero y al finalizar el segundo) más un recuperatorio general, de acuerdo a lo establecido en la RES.CA.FAC.ING. Nº 227/04. Se utilizarán trabajos prácticos que aborden y relacionen adecuadamente las unidades temáticas 1 y 2. En esta asignatura los parciales abordarán sólo práctica y el examen final que comprende todos los contenidos de la asignatura tendrá componentes teóricas y prácticas éstas últimas interpretadas a la luz de las anteriores. Examen libre S Justificación Evaluación del desarrollo de la asignatura Considerando que la cátedra cuenta con personal que trabaja en otras asignaturas afines (Algebra y Geometría Analítica, Análisis Matemático I y Análisis Matemático III) para evaluar su desarrollo se analizan los temas que presentan mayor dificultad de aprendizaje y Página 2 de 5

3 se implementan las estrategias didácticas más convenientes conforme a la experiencia que brindan estos recursos humanos formados. Cronograma Semana Recursos Docentes de la asignatura Nombre y apellido María de las Mercedes Suárez Liliana Irassar Silvia Salomone María Beatríz Boucíguez Recursos materiales Tema / Actividades Topología. Distancias. Curvas de nivel. Trabajo Práctico Nº 1. Límite y continuidad. T.P.Nº 2. Derivada parcial. Gradiente. Trabajo Práctico Nº 3. Regla de la cadena. Diferenciación de funciones Derivada direccional. Plano tangente. T. P.Nº 5. Desarrollo en Serie de Taylor. Plano tangente. Extremos libres. Multiplicadores de Lagrange. T. P. Nº7. Funciones implícitas. TP Nº 8. Funciones vectoriales. Curvas en el espacio. ongitud de arco. Frenet Trabajo Práctico Nº 9.Integrales dobles y triples. T P Nº 10. Evaluación Práctica Primer Parcial ntegrales múltiples Aplicaciones Cambios de coordenadas Integral de línea y de trayectoria. Función potencial. Trabajo Práctico Nº 11. Trabajo Práctico Nº 12. Teorema de Green. Consecuencias y aplicaciones. Trabajo Práctico Nº13. Integrales de superficie. Áreas de superficie. Flujos.Trabajo Práctico Nº14. Teoremas de Stokes.Teoremas de Gauss. Trabajo Práctico Nº 14. Revisión. Evaluación Práctica Segundo Parcial Evaluación Práctica Recuperatorio General Software, sitios interesantes de Internet Función docente Desarrollo teoría y práctica Desarrollo teoría y práctica Desarrollo práctica Desarrollo práctica Principales equipos o instrumentos Espacio en el que se desarrollan las actividades Aula X Laboratorio Gabinete de computación Campo Otros OTROS DATOS Cursada intensiva Cursada cuatrimestre contrapuesto N S Página 3 de 5

4 Departamento responsable Ciencias Básicas Plan de estudios Programa Analítico Asignatura Análisis Matemático II (B3.0) Ingeniería Electromecánica 2004 Ingeniería Industrial 2007 Ingeniería Química 2004 Ingeniería Civil 2004 Técnico Universitario en Electromedicina 1999 Profesorado en Química 2003 Área Matemática Programa Analítico de la Asignatura - Año 2009 CAPITULO 1: Álgebra vectorial en el espacio n-dimensional. Distancias y topología en dicho espacio. Funciones Escalares. Funciones vectoriales. Conjuntos y curvas de nivel. Dominios de definición. CAPITULO 2: Concepto de límite. Límite doble. Límites iterados y direccionales. Continuidad. Propiedades. CAPITULO 3: Derivada parcial: definición; propiedades. Derivada direccional: definición; propiedades. Gradiente. Diferenciación. Relación entre los conceptos de continuidad, derivabilidad y diferencibilidad. Relación entre la clase de una función y su diferenciabilidad. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor. Cálculo aproximado. diferentes formas de calcular planos tangentes. CAPITULO 4:Extensión de los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad para funciones vectoriales. Composición de funciones vectoriales. Teorema de la función compuesta. Aplicación al estudio de cambios de coordenadas. CAPITULO 5:Funciones implícitas. Teorema de existencia. Derivabilidad y diferenciabilidad de funciones implícitas. Jacobiano. CAPITULO 6:Extremos. Extremos libres: definición. Condición necesaria para la existencia de extremo. Condición suficiente. Hessiano. Extremos ligados. Diferencial segundo. Multiplicadores de Lagrange. CAPITULO 7: Integración múltiple. Definición de integral doble. Cálculo. Cambio del orden de integración. Cálculo de volumen. Integral triple. CAPITULO 8: Integración múltiple.aplicaciones.cambio de coordenadas.operadores diferenciales. Gradiente. Divergencia. Rotor. Interpretaciones. Geometría diferencial de curvas y superficies. Parámetro intrínseco. Triedros de Frenet y Darboux. CAPITULO 9:Integral curvilínea de funciones escalares y vectoriales. Trabajo. Formas diferenciales exactas. Función potencial. Teorema de Green. CAPITULO 10:Integrales de superficie. Áreas de superficies. Flujo de un vector. Teoremas de Gauss y Stokes. Aplicaciones. Bibliografía Básica - Apóstol, T.; Calculus, Volumen 2. Editorial Reverté; Barcelona; Courant, R.; Differential and Integral Calculus, Volume II.Editorial Interscience Publishers; Glasgow; Ferrante, J.; Goñi, N.; Temas de Análisis Matemático II. Editorial El Coloquio; Bs. As.; Larson, R.; Hostetler, R.; Cálculo y Geometría Analítica.Editorial Mc Graw - Hill; México; Marsden, J.; Tromba, A.; Cálculo Vectorial. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana; EstadosUnidos; Piskunov, N.; Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Montaner y Simón S.A.; Barcelona; Rabuffetti, H.; Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 2).Editorial El Ateneo; Bs. As.; Rey Pastor, J.; Pi Calleja, P.; Trejo, C.; Análisis Matemático Volumen 2.Editorial Kapeluz, Bs. As.; Thomas, G.; Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica. Editorial Aguilar, Madrid; Spiegel, M.; Análisis Vectorial.Editorial Mc Graw - Hill; Colombia; Bibliografía de Consulta Se recomienda además de la más recientemente recibida. El personal de la Biblioteca del Complejo puede asesorar al respecto. - Leithold, L.; El Cálculo con Geometría Analítica.Editorial Harla; México; Purcell, E.; Varberg, D.; Cálculo con Geometría Analítica.Editorial Prentice - Hall; México; Página 4 de 5

5 Docente Responsable Nombre y Apellido María de las Mercedes Suarez Dirección de Departamento Secretaría Académica Página 5 de 5