Certamen 2 Fis130 (PAUTA) Física General III (FIS130) Mecánica de Fluidos y Calor

Transcripción

1 Certamen 2 Fis130 (PAUTA) Física General III (FIS130) Mecánica de Fluidos y Calor Pregunta 1 Un sifón es un dispositivo útil para extraer líquidos de recipientes. Para establecer el flujo, el tubo debe llenarse inicialmente con fluido. Sea la densidad del fluido y la presión atmosférica. Suponga que el área transversal del tubo es la misma en toda su longitud. a) Si el extremo inferior del sifón está a una distancia bajo el nivel del líquido en el recipiente, con qué rapidez fluye el líquido por ese extremo? (Suponga que el recipiente tiene un diámetro muy grande e ignore los efectos de viscosidad.). b) Una característica curiosa del sifón es que el fluido inicialmente fluye hacia arriba. Qué altura máxima puede tener el punto alto del tubo sin que deje de haber flujo? SOLUCIÓN: a) Consideremos los siguientes puntos en el sistema: Nivel de la densidad del fluido dentro del recipiente. 2: Punto más alto dentro del sifón. Punto más bajo, justo a fuera del sifón. y Luego se procede a utilizar la ecuación de Bernoulli entre los puntos y. Puesto a que en el punto el fluido se encuentra en contacto con el aire, se tiene que, en el caso de se tiene que el recipiente presenta un orificio en su tapa abierto al aire, por lo cual la presión del aire que se encuentra dentro del recipiente es igual a, por lo tanto. Ahora en la ecuación no conocemos el valor de la velocidad, esta se puede obtener a partir de la ecuación de continuidad de caudal. Definamos área transversal del recipiente y área transversa del sifón, luego la ecuación de continuidad entre los puntos 1 y 2 nos dice:

2 Como se tendrá que la velocidad la podemos despreciar. Luego la ecuación 1 queda expresada: b) Como se observa el sifón presenta área transversal constante, luego por la ecuación de continuidad entre los puntos y se tiene que la velocidad en el punto 2 es igual a la del punto Luego haciendo Bernoulli entre los puntos y se tiene: Como se observa en la ecuación, mientras exista velocidad en el punto del flujo, se tendrá que existirá flujo en el punto con una misma velocidad. Entonces para que no exista flujo en el punto, se deben crear vacíos de flujo (burbujas) (cavitación), lo cual se logra cuando la presión, en forma absoluta (vacío). Esto se demuestra despejando de la ecuación, el valor Esto demuestra que al obtener el se tendrá que, pues es el único parámetro que se puede variar. Entonces la altura máxima que puede tener el sifón es: PUNTAJE: a) Planteo de Ecuación de Bernoulli entre los puntos y. Ecuación de Continuidad entre los puntos y Velocidad del flujo en el punto. b) Velocidad del flujo en el punto. Planteo de la Ecuación de Bernoulli entre los puntos y. Altura máxima del sifón

3 Pregunta 2 La figura muestra un estanque cilíndrico de diámetro relleno de agua hasta un altura. Flotando a un costado se encuentra un vaso cilíndrico de paredes muy delgadas de masa y diámetro. Inicialmente se encuentra sumergida una altura, sin líquido en su interior y los resortes en su base se encuentran sin deformar. En comienza a salir agua por dos orificios muy pequeños de radio. El líquido ingresa al vaso hasta hundirlo (considere que ambos orificios se hallan a la misma profundidad ). Calcule el tiempo que demora el cilindro en hundirse completamente, sin considerar el tiempo que demora en pasar del estanque al vaso. SOLUCIÓN: Inicialmente se calcula el volumen necesario de agua que necesita el vaso para que este quede completamente sumergido. Antes de llenar el vaso con agua, este se encuentra en reposo con una profundidad resortes estén actuando para su equilibrio, entonces se tiene que: sumergida y sin que los Luego, cuando el vaso se encuentra totalmente sumergido a causa de un peso adicional otorgado por el agua que ingresa a él, se tendrá el nuevo estado de equilibrio es: [ ] Donde es la altura desconocida del volumen del agua que ingresa al vaso, para que este quede completamente sumergido. De la última ecuación se tiene:

4 Por otro lado se hace Bernoulli entre el borde superior del agua contenida en el recipiente (punto ) y en el flujo de salida que se encuentra saliendo de forma vertical (Punto 2). y Donde es la altura variable medida desde el fondo del estanque hasta el nivel superior del agua dentro del estanque. Tanto en el punto como en el punto el fluido se encuentra en contacto con la atmósfera por lo cual: Y por continuidad se tiene que (donde área transversal del estanque y área transversal del orificio de salida) : ( ) ( ) Entonces podemos aproximar la velocidad. Luego la ecuación 1 queda: Haciendo el mismo análisis entre los puntos y se llega al mismo resultado anterior: Para simplificar los cálculos dejaremos expresadas las velocidades de la siguiente manera: Se debe tener en cuenta que a pesar de que se supuso que, va variando con el tiempo. Se tiene que en un tiempo pequeño, la cantidad de volumen de agua que sale por los orificios es: Este mismo diferencial de volumen de agua que sale se puede expresar en términos de la variable. Si del estanque sale un volumen de agua, entonces (como se mantiene constante su área transversal ) se tiene que el agua del estanque disminuyó una altura, entonces:

5 Igualando las expresiones: Luego se aplica integral a la última ecuación, donde los límites de la integral de la variable altura inicial hasta la altura. serán desde la ( ) ( ) Para encontrar la altura final se hace compatibilidad de volúmenes de agua de salida. Lo que sale del estanque es igual a: Entonces igualando con : ( ) ( ) ( ) Entonces reemplazando en la expresión encontrada para el tiempo: ( ( ))

6 Esto solo es válido si la altura del estanque es tal que el volumen que contiene que éste sea mayor o igual que el volumen que necesita el vaso para que esté completamente sumergido, además el vaso debe tener una altura tal que la expresión encontrada para sea menor que esta. Expresado de forma matemática: PUNTAJE: Cálculo empuje situación inicial. Cálculo empuje situación final. 6 Altura del volumen requerido del agua adicional. Velocidad de salida del agua por ambos orificios (con justificación). Relación del diferencial del volumen de salida o igualación de caudales. Definición de los límites de las integrales. Deducción de Expresión del tiempo.

7 Pregunta 3 Una mezcla con [ ] de agua líquida y [ ] de hielo se encuentra inicialmente en equilibrio térmico a la temperatura de [ ], en un recipiente aislado. A continuación se introduce al recipiente [ ] de vapor de agua a [ ] y 100[ ] de agua líquida a [ ]. Suponga que la capacidad calórica del recipiente es despreciable y los datos siguientes: calor de fusión del hielo [ ], calor latente de vaporización del agua [ ] y calor específico del agua [ ]. a) Explique lo que sucede. b) Encuentre la temperatura final del sistema. c) Determine la composición final del sistema en [ ]. SOLUCIÓN: a) Inicialmente, puesto a que existe una mezcla de agua y hielo a la misma temperatura, se tiene que entre estos componentes no hay traspaso de calor. Luego cuando se introduce al recipiente vapor y agua a [ ] estos empieza a entregar calor, inicialmente al hielo, por lo cual este empieza a derretirse. Posiblemente si se derrite todo el hielo, el valor también entregará calor al agua a [ ]. Este traspaso de calor entre el vapor y la mezcla inicial se detiene cuando todos los componentes del nuevo sistema se encuentra en un nuevo estado de equilibrio. b) Para encontrar la temperatura de equilibro del nuevo sistema hielo agua vapor se debe analizar 3 casos. 1: La temperatura de equilibrio es [ ] 2: La temperatura de equilibrio está entre [ ] y los [ ] 3: La temperatura de equilibrio es [ ] CASO 1: La temperatura de equilibrio de [ ], ocurre cuando el vapor a [ ] y por consiguiente el traspaso del agua del vapor y el agua caliente de [ ] a [ ] no entrega la energía suficiente para derretir todo el hielo o solo entrega la energía suficiente para derretir todo el hielo. Luego la energía que necesita el hielo para derretirse por completo es : [ ] [ ] [ ] Y la máxima energía que entrega el vapor al condensarse por completo es : [ ] [ ] [ ] Como > se tiene que el vapor no es suficiente para derretir todo el hielo y el tercer caso se descarta. Por consiguiente se procede a analizar si el agua del vapor y el agua caliente de [ ] a [ ] entrega la energía necesaria para derretir todo el hielo. [ ] [ ] [ ] [ ] Luego [ ] entonces todo el hielo se derrite. Como la energía que entrega toda el agua caliente a bajarla a [ ] es mayor que la que necesita el hielo para derretirse completamente se tiene que la temperatura de equilibrio estará entre [ ] y los [ ] y se tendrá el CASO 2.

8 Luego la temperatura de equilibrio se obtiene de la ecuación de transferencia calórica para el CASO 2: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c) Como todo el hielo se derrite y todo el vapor se condensa, se tiene que todos los elementos del sistema se encuentran en estado líquido. Además la única forma de encontrar el agua a presiones naturales a la temperatura de equilibrio es en estado líquido. Luego la masa de agua líquida en equilibrio es: PUNTAJE: a) b). c). [ ]