El estudio de la inferencia estadística será el hilo conductor de la unidad, los alumnos aprenderán a trabajar con ella y

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1 0 INFERENCIA ESTADÍSTICA El estudio de la inferencia estadística será el hilo conductor de la unidad, los alumnos aprenderán a trabajar con ella y comprobarán su aplicación en la resolución de problemas. Al inicio de esta unidad se define qué son las muestras y sus distintos tipos y se introduce la distribución de probabilidad de la variable continua, donde se profundiza el estudio de la distribución normal, mediante la explicación del manejo de su tabla, el cálculo de intervalos característicos para una N(0, ), etc. Esta parte de la unidad, se termina con la introducción de la distribución de la variable discreta y el estudio de la distribución binomial. En la segunda parte de la unidad, se presentan las distribuciones de variables aleatorias en el muestreo, donde se estudia la distribución de medias muestrales, el teorema central del límite, los intervalos de confianza para las medias muestrales, la distribución de las medias muestrales y los intervalos de confianza para el parámetro p de la distribución binomial. Por último, se relaciona el tamaño de la muestra y el error máximo cometido. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del conocimiento de la inferencia estadística, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones. La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos. Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad. A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas. La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema. Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en el área de Matemáticas mediante la aceptación de otros puntos de vista en la resolución de algunos problemas. Es importante que el docente trabaje situaciones que se pueden resolver de diferentes formas, aplicando los contenidos de la unidad; para trabajar con los alumnos que distintas soluciones pueden ser igualmente válidas. El reconocimiento y valoración de las aportaciones ajenas enriquece el aprendizaje. Temporalización El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos. Objetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Conocer las distintas formas en las que se pueden elegir los elementos de una muestra. Manejar la distribución normal. Aplicar la tabla de la N(0, ) y calcular intervalos característicos para ella. Manejar la distribución binomial. Manejar la distribución de medias muestrales. Conocer el teorema central del límite. Obtener intervalos de confianza para las medias muestrales. Obtener la distribución de las proporciones muestrales. Obtener el intervalo de confianza para el parámetro p de la distribución binomial. Saber calcular el tamaño de la muestra. Saber calcular el error máximo cometido. 0. Inferencia estadística

2 Atención a la diversidad Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave Muestras. Describir las distintas formas en que se puede elegir una muestra... Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección. CMCT CL CAA CSC Distribuciones de probabilidad Distribución de variable continua. Distribución normal Distribución de variable discreta. Distribución binomial Distribuciones de variables aleatorias en el muestreo Distribución de medias muestrales Teorema central del límite Intervalo de confianza para las medias muestrales. Calcular probabilidades asociadas a la distribución normal.. Calcular probabilidades asociadas a la distribución binomial. 4. Aproximar la binomial a una normal. 5. Calcular probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y aplicarlos a problemas de la vida real.. Calcular, en contextos reales, intervalos de confianza para la media poblacional y para la proporción en el caso de muestras grandes... Calcula probabilidades asociadas a la distribución normal en distintas situaciones... Calcula probabilidades asociadas a la distribución binomial. 4. Calcula probabilidades aproximando la distribución binomial a una normal en los casos que sea posible. 5.. Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situaciones reales... Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales, y lo aplica a problemas reales... Construye un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida, en situaciones de la vida cotidiana. CMCT CD CL CAA CSC CT CMCT CD CL CAA CSC CT Distribución de las proporciones muestrales Intervalo de confianza para el parámetro p de la distribución binomial Tamaño de la muestra 7. Calcular probabilidades asociadas a la distribución de la proporción muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y aplicarlos a problemas de la vida real. 8. Relacionar el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcular cada uno de ellos conocidos los otros dos y aplicando en situaciones reales. 9. Presentar de forma ordenada información estadística utilizando vocabulario y representaciones adecuadas y analizar de forma crítica y argumentada informes estadísticos presentes en los medios de comunicación. publicidad y otros ámbitos, prestando especial atención a su ficha técnica, detectando posibles errores y manipulaciones en su presentación y conclusiones 7.. Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la proporción muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situaciones reales. 8.. Relaciona el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cada uno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situaciones reales. 9.. Utiliza las herramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población y presentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas. 9.. Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo. 9.. Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios de comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana. Estadística y Probabilidad

3 PARA EL PROFESOR MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMNO Presentación de la unidad Repasa lo que sabes. Muestras Actividades de refuerzo Actividades de ampliación. Distribuciones de probabilidad Distribución de variable continua. Distribución normal Distribución de variable discreta. Distribución binomial Vídeo. Distribución normal Vídeo. Intervalo característico Prueba de evaluación. Distribuciones de variables aleatorias en el muestreo Distribución de medias muestrales Teorema central del límite Intervalo de confianza para las medias muestrales Distribución de las proporciones muestrales Intervalo de confianza para el parámetro p de la distribución binomial Tamaño de la muestra Vídeo. Intervalos de confianza Vídeo. Tamaño de la muestra EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS EVALUACIÓN Actividades interactivas. Test de autoevaluación 0. Inferencia estadística

4 Repasa lo que sabes (página 47). La siguiente tabla estadística recoge las notas de Matemáticas de los alumnos de una clase. a) Cópiala en tu cuaderno y complétala con las frecuencias absolutas y relativas. b) Construye el histograma asociado a los datos. c) Calcula la nota media y la dispersión de los resultados. a) x i Notas f i h i F i H i x i f i x i f i [0,) 8 8,5 [,5) [5,7) [7,9) ,5 [9,0) Total 8 b) Comprobar que el alumno representa correctamente el histograma asociado a los datos calculados en la tabla anterior. c) x x i f i ( ) 9 n 8 8 s x i f i x n Lanzamos un dado equilibrado veces. Cuál es la probabilidad de que salgan exactamente dos cincos? Y la probabilidad de que salgan al menos cuatro cincos? 0, P(salgan exactamente dos cincos) 5 4 P(salgan al menos cuatro cincos) ,0087. Un día van al cine 5 amigos, tres chicas y dos chicos. Compra uno de ellos todas las entradas y las reparte al azar. Calcula la probabilidad de que las tres chicas se sienten juntas. P(las tres chicas se sienten juntas) Estadística y Probabilidad

5 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO Sugerencias didácticas. Recursos TIC Distribución normal (página 50) En el vídeo se muestra cómo utilizar la tabla de la distribución normal para hallar el valor de la probabilidad de distintos sucesos: cuando el valor es mayor o menor que la variable, si el valor es negativo o si la variable está comprendida entre dos valores. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital el procedimiento a seguir para determinar las probabilidades de los distintos sucesos con la tabla de la distribución o para que los alumnos puedan repasarlo más tarde. Intervalo característico (página 5) En el vídeo se muestra la resolución, paso a paso, del segundo ejercicio resuelto de esta página, indicando cómo hallar los valores a partir de la tabla de la distribución normal. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital el procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o para que los alumnos puedan repasarlos más tarde. Intervalos de confianza (página 57) En el vídeo puede verse cómo resolver el ejercicio resuelto de esta página, hallando los intervalos de confianza para la media muestral con el nivel correspondiente. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital el procedimiento completo para calcular estos intervalos o para que los alumnos puedan repasarlos más tarde. Tamaño de la muestra (página ) En el vídeo se muestra la resolución del segundo ejercicio resuelto de esta página. Se determina el tamaño mínimo de una muestra para estimar una proporción. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital el procedimiento a seguir para calcular el tamaño de una muestra con un cierto nivel de confianza o para que los alumnos puedan repasar el procedimiento más tarde. Actividades (páginas 5/) Dada una distribución N(0, ), comprueba que el intervalo característico correspondiente a la probabilidad 0,99 es (,575;,575). Si el intervalo abarca un área de 0,99, fuera deberá haber un área de 0,0; el área de cada una de las colas es 0,005. Se trata de buscar el valor de k: P(Z k) 0,005 P(Z k) 0,995 En las tablas encontramos: P(Z,57) 0,9949 P(Z,58) 0,995 El valor promedio entre,57 y,58 es,575. Luego, el intervalo característico es: (,575;,575) Calcula las siguientes probabilidades, siendo la distribución una N(0, ). a) P(Z,8) d) P(Z 0,9) b) P(Z,4) e) P(, Z,97) c) P(Z,7) Usamos la tabla de la N(0, ) para hallar las probabilidades: a) P(Z,8) 0,880 b) P(Z,4) P(Z,4) 0,999 0,0004 c) P(Z,7) P(Z,7) P(Z,7) 0,8980 0,00 d) P(Z 0,9) P(Z 0,9) 0,88 e) P(, Z,97) P(Z,97) P(Z,) 0,975 0,88 0,070 Dada la distribución normal N(0, 4), calcula P(X 5), P(X ) y P(X 7). Tipificamos y utilizamos la tabla de la N(0, ): P(X 5) P Z P(Z,5) 0,05 P(X ) P Z 0 4 P(Z 0,75) 0,774 P(X 7) P Z P(Z 0,75) 0,774 4 Para una distribución N(0, ), calcula el intervalo característico correspondiente a una probabilidad de 0,5. Si el intervalo abarca un área de 0,5, fuera deberá haber un área de 0,5; el área de cada una de las colas es 0,5. Se trata de buscar el valor de k: P(Z k) 0,5 P(Z k) 0,755 En las tablas encontramos: P(Z 0,7) 0,748 P(Z 0,8) 0,75 El valor promedio entre 0,7 y 0,8 es 0,75. Luego, el intervalo característico es: (0,75; 0,75) 5 Para una distribución binominal N(0; ), calcula el intervalo característico correspondiente a una probabilidad de 0,5. 0,5 0,5 P(Z z / ) 0,5 P(Z z / ) 0,75 z / 0,75 Luego, el intervalo característico es: (0 0,75,0 0,75 ) (7,975;,05) Para una distribución B(00; 0,), calcula el intervalo característico correspondiente a una probabilidad de 0,5. Como 00 0, 0,7 0, podemos aproximar la B(00; 0,) a una normal: N00 0,; 00, 0 0,7 N(0; 4,58) 0,5 0,5 P(Z z / ) 0,5 P(Z z / ) 0,75 z / 0,75 Luego, el intervalo característico es: (,9085;,095) 7 En una piscifactoría, la longitud media de las truchas es de 5 cm, con una desviación típica de cm. En la piscifactoría hay truchas. Cuántas tendrán un tamaño inferior a cm? La variable aleatoria X: longitud media de las truchas de una piscifactoría, se distribuye como una N(5, ). Tipificamos, utilizamos la tabla de la N(0, ) y obtenemos: P(X ) P Z 5 P(Z 0,5) 0,95 0. Inferencia estadística 5

6 8 9 0 La variable aleatoria Y: número de truchas que miden menos de cm, se distribuye como una B(4 700; 0,95) ,95 50,05 50 Luego, aproximadamente 50 truchas tendrán un tamaño inferior a cm. La probabilidad de que un tenista haga un punto de saque, es de 0,0. Si durante un campeonato realiza 000 servicios. Cuál es la probabilidad de que obtenga más de 80 puntos de saque? La variable aleatoria X: número de puntos obtenidos por saque directo, sigue una distribución B( 000; 0,0). Como 000 0,0 0,98 58,8 0, aproximamos por una distribución N(, ) siendo: 000 0, ,98 0,0 7,8 P(X 80) P(X 80,5) P Z 80, 5 0 7, 8 P(Z,74) 0,99 0,008 La probabilidad de que obtenga más de 80 puntos es de aproximadamente 0,008. Una distribución binomial B(50; 0,) se aproxima por la normal. Cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que? Como 50 0,0 0,7 0,5 0, aproximamos por una distribución N(, ) siendo: 50 0, ,0 0,7,404 P(X ) P(X,5) P Z, 5 5, 404 P(Z 0,775) P(Z 0,775) P(Z 0,775) 0,7794 0,0 Una variable aleatoria, X, hace corresponder los valores, y a los individuos de una población de modo que los valores se den con la misma probabilidad. a) Construye una tabla con todas las muestras de tamaño y halla la media y la desviación típica de X. b) Halla la media y la desviación típica de la distribución de las medidas muestrales. a) La tabla con todas las muestras de tamaño es: La media de la variable aleatoria X es: x x La desviación típica de la variable aleatoria X es: ( ) ( ) ( ) b) La distribución de las medias muestrales es: ,85 La media de las medias muestrales es x y su distribución típica 0,474. Comprueba el teorema central del límite para los datos del ejercicio resuelto anterior y también para los datos de la actividad anterior. Como se observa en el ejercicio anterior, la media de la variable aleatoria X y la media de las medias muestrales coinciden. Además, se verifica que: 0, 85 0,474 n Lo mismo se observa en el ejercicio que viene resuelto en el libro del alumno. Se sabe que el contenido en fructosa de cierto alimento sigue una distribución normal, cuya varianza es 0,5. Se desea estimar el valor de la media poblacional mediante el valor de la media de una muestra, admitiéndose un error máximo de 0, con una confianza del 95 %. Cuál debe ser el tamaño de la muestra? 0,5 0,5 0,5 La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 Sustituimos los datos conocidos en la siguiente expresión y despejamos: 0,5 E z / 0,,9 n 0,49 n 4,0 n n La muestra tiene que tener un tamaño de 5 unidades como mínimo. En un determinado barrio se seleccionó al azar una muestra de 00 personas cuya media de ingresos mensuales era de 00, con una desviación típica de 0. a) Si se toma un nivel de confianza del 95 %, cuál es el intervalo de confianza para la media de los ingresos mensuales de toda la población? b) Si se toma un nivel de confianza del 99 %, cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor a 8? a) 0, 00 y n 00. La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 El intervalo de confianza pedido es: 0 00,9, (57,48;,5) 00 b) E 8 La confianza es del 99 %, entonces: 0,99 0,0 0,005 z /,575 Sustituimos los datos conocidos y despejamos: E z / 8,575 0 n 94,9 n n Luego, el tamaño muestral necesario es de 95 personas. Ejercicios y problemas (páginas /4) Una variable aleatoria, X, tiene una distribución normal N(40, 5). Calcula las siguientes probabilidades: a) P(X 50) b) P(00 X 0) c) P(X 55) Estadística y Probabilidad

7 4 5 Tipificamos y utilizamos la tabla de la N(0, ): a) P(X 50) P Z P(Z 0,4) 0,554 b) P(00 X 0) P(, Z 0,4) 0,945 0,554 0,898 c) P(X 55) P Z P(Z 0,) 0,757 Una máquina que expende bebidas está regulada de modo que descarga una media de 00 ml por vaso. Si la cantidad de líquido está distribuida normalmente con desviación típica de 5 ml: a) Qué porcentaje de vasos llenará con más de 4 ml? b) Si vamos a utilizar seis vasos de 4 ml, cuál es la probabilidad de que se derrame líquido solo en uno de los seis? Se trata de una distribución normal N(00, 5). a) P(X 4) P Z P(Z,) P(Z,) 0,945 0,0548 El porcentaje de vasos con más de 4 ml es de 5,48 %. b) Si los vasos que se utilizan son de 4 ml, el éxito de derramar líquido es de p 0,0548, lo que nos induce a considerar una binomial con n y p 0,0548: P(X ) 0,0548 0, ,48 La duración de las pilas de una linterna se distribuye según una normal de media 70 h y desviación típica 4 h. A un establecimiento le quedan, del pedido anterior, 40 pilas. a) Aproximadamente, cuántas tendrán una duración superior a 70 h? b) Calcula la probabilidad de que, elegida una pila al azar, tenga una duración de entre 75 h y 8 h. a) La variable aleatoria X: duración de las pilas de una linterna, sigue una distribución N(70, 40). P(X 70) P(X 70) P Z P(Z 0) 0,5 0,5 Le quedan 40 pilas del pedido anterior, luego: 40 0,5 0 pilas tendrán una duración mayor a 70 h b) P(75 X 8) P Z P(,5 Z ) P(Z ) P(Z,5) 0,9987 0,8944 0,04 En una cierta población, se sabe que el 0 % habla correctamente el castellano. Se elige una muestra al azar de 0 personas. Halla la probabilidad de que: a) Todos hablen correctamente el castellano. b) Solo una persona lo hable bien. La variable aleatoria X: número de personas que hablan bien el castellano, sigue una distribución B(0, 0,). P(X 0) 0 0, 0 0,8 0, P(X ) 0 0, 0,8 9 0,84 En un examen se formulan 4 preguntas del tipo «verdadero-falso». El examen se aprueba si se contestan correctamente, al menos, 0 preguntas. Si se lanza una mo- 7 8 neda para decidir la respuesta de cada pregunta, cuál es la probabilidad de aprobar el examen? La variable aleatoria X: número de respuestas contestadas correctamente en el examen, sigue una distribución B(4; 0,5). Como 4 0,5 0,5 0,5 0, podemos aproximar la B(4; 0,5) a una N4 0,5; 4 0,5 N(;,404). Luego: P(X 0) P(X 9,5) P Z 9, 5, 404 P(X 0,49) P(X 0,49) 0,77 En una urna hay 0 bolas, 0 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar, se anota si es roja y se devuelve la bola a la urna. El proceso se repite 0 veces. Calcula la media y la desviación típica del número de bolas rojas en las 0 extracciones. La variable aleatoria X: número de bolas rojas extraídas, sigue una distribución B 0,.Luego: 0, 0,,4907 Las estaturas, en centímetros, de los soldados de un remplazo, siguen una distribución normal N(7, 5). Las guardias están formadas por grupos de 8 soldados. Calcula en qué intervalo están comprendidas el 90 % de las estaturas de los soldados de una guardia. 0,90 0, 0,05 z /, Así, el intervalo es: 7,45, 7, (9,090; 74,9080) La altura media de los habitantes de una gran ciudad española se distribuye según una desviación típica de 8 cm. a) Si la media de las alturas de dichos habitantes fuera de 75 cm, cuál sería la probabilidad de que la altura media de una muestra de 00 individuos, tomada al azar, fuera superior a 7 cm? b) Si se considera una muestra aleatoria de 00 individuos de esta ciudad se obtiene una altura media de 78 cm. Determina un intervalo de confianza del 95 % correspondiente a la altura media de los habitantes de esta ciudad. a) La altura media de los habitantes de una gran ciudad española, sigue una distribución N(75, 8). Si n 00, la altura media de la muestra sigue una distribución N 8 75, N(75; 0,8). Luego: 00 P(X 7) P Z ,8 P(Z,5) P(Z,5) 0,8944 0,05 b) La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 El intervalo de confianza buscado es: 8 78,9, 78, (7,4; 79,58) 0. Inferencia estadística 7

8 9 Se ha tomado una muestra aleatoria de 00 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en la san- y despejando, obtenemos el tamaño de la muestra: Además, como E 0,, sustituyendo los datos conocidos gre, obteniéndose una media muestral de 0 mg/cc. 0, E z / 0,,8,9 n 7,049 Si se conoce que la población tiene una desviación 0 n n mg/cc. Luego, la muestra debe tener un tamaño de 7 alumnos. a) Obtén un intervalo de confianza del 90 % para el nivel de glucosa en sangre de la población. Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una distribución b) Qué error máximo se comete con la estimación del normal de media 00 y varianza 79. apartado anterior? a) Calcula la probabilidad de que, al tomar una muestra de a) La confianza es del 90 %, entonces: 8 alumnos, esta tenga un cociente intelectual medio 0,9 0, 0,05 z inferior a 09. /,45 b) Halla la probabilidad de que una muestra de alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a ,45, 0, La variable aleatoria X: coeficiente intelectual de los alumnos de (0,7;,9) una universidad, sigue una distribución N(00, 7). 0 a) Al tomar una muestra de 8 alumnos, la variable aleatoria b) E z /,45,9 mg/cc X : coeficiente intelectual medio, sigue una distribución n 00 7 N 0 En un instituto de enseñanza secundaria hay matriculados 800 alumnos. 00; 8 N(00; ). P(X A una muestra seleccionada aleatoriamente de un 5 % 09) P Z P(Z ) 0,9987 de ellos, se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. b) Al tomar una muestra de alumnos, la variable aleatoria X : coeficiente intelectual medio, sigue una distribución Contestaron negativamente un total de 4 alumnos. 7 N a) Estima el porcentaje de alumnos que utilizan la cafetería 00; N(00; 4,5). del instituto. b) Determina, con una confianza del 99 %, el error máximo P(X 09) P(X 09) P cometido en dicha estimación. Z ,5 P(Z ) 0,977 0,08 a) N.º de alumnos que contestaron 5 % de El salario medio correspondiente a una muestra de N.º de alumnos que usan la cafetería personas de cierta población es de 5. Se sabe El porcentaje de alumnos que usa la cafetería es: que la desviación típica de los salarios de la población es 9 de 0. Halla el intervalo de confianza para la media de % 0 la población con un nivel de confianza del 99 %. b) La confianza es del 99 %, entonces: La variable aleatoria X: salario medio de una muestra de 00 0,99 0,0 personas de una población, sigue una distribución N(5, 0). 0,005 z /,575 La confianza es del 99 %, entonces: E z / p n q,575 0,8 0, 0 0,0940 La media de edad de los alumnos que se presentan a las pruebas de acceso a la universidad es de 8, años y la desviación típica de 0, años. a) De los alumnos anteriores se elige al azar una muestra de 00. Cuál es la probabilidad de que la media de la edad de los alumnos esté comprendida entre 7,9 y 8, años? b) Qué tamaño debe tener la muestra de dicha población para que su media esté comprendida entre 7,9 y 8, años con una confianza del 99,5 %? La variable aleatoria X: edad de los alumnos que se presentan a las pruebas de acceso a la universidad, sigue una distribución N(8,; 0,). a) Al tomar una muestra de 00 alumnos, la variable aleatoria X : media de la edad de los alumnos, sigue una distribución N 0, 8,; N(8,; 0,0). 00 P(7,9 X 8,) P(X 8,) P(X 7,9) P(Z 0,) P(Z,) 0,999 b) La confianza es del 99,5 %, entonces: 0,995 0,005 0,005 z /,8 0,99 0,0 0,005 z /, ,575, 5, (555,75; 570,75) 4 Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n. a) Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 0 %, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al, %. b) Si el tamaño de la muestra es de 4 individuos y el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es del 5 %, determina, usando un nivel de significación del %, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población. a) La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 E z / p q n,9 0, 0,7 n 0,0 Despejamos y llegamos a que: 89,4755 n Luego, la muestra debe tener como mínimo 840 personas. 8 Estadística y Probabilidad

9 5 7 8 b) El nivel de significación es del %, entonces: 0,99 0,0 0,005 z /,575 Además, 0,5 0,5 0,059 4 Luego, el intervalo de confianza buscado es: (0,5,575 0,059; 0,5,575 0,059) (0,95; 0,5047) De 0 alumnos, la proporción de los que tienen dos o más hermanos es de 48/0. Indica los parámetros de la distribución a la que se ajustarían las muestras de tamaño 0. Como la muestra tiene tamaño 0, la proporción sigue una distribución N(, ), donde: ,4 0 p q n 0,4 0, 0, Supongamos que, a partir de una muestra aleatoria de tamaño 5, se ha calculado el intervalo de confianza para la media de una población normal, obteniéndose una amplitud de 4. Si el tamaño de la muestra hubiera sido 00, permaneciendo invariables todos los demás valores que intervienen en el cálculo, cuál habría sido la amplitud del intervalo? Sustituimos en la expresión del error cometido y despejamos: E z / 4 z / n 5 z / 0 Si el tamaño de la muestra fuese 00, tendríamos: z / z / Luego, el intervalo sería: (, ) La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 00 bolas de rodamiento, fabricadas por cierta máquina, fue 0,84 cm y la desviación típica, de 0,04 cm. Halla los límites de confianza del 95 % para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquina. La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 El intervalo de confianza pedido es: 0,04 0,84,9 ; 0,84,9 0, (0,88; 0,898) Tras realizar un test de cultura general entre los habitantes de cierta población, se observa que las puntuaciones siguen una distribución normal, de media 8 y desviación típica 8. Se desea clasificar a los habitantes en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de cultura general excelente), de manera que: El primer grupo abarque un 0 % de la población. El segundo grupo abarque el 5 %. El tercer grupo abarque el 5 % restante. Cuáles son las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro? 9 0 Las puntuaciones obtenidas en el test de cultura general, sigue una distribución N(8, 8). P(Z z ) 0, Por simetría: P(Z z ) 0,8 Luego: z 0,845 z 0,845 Por lo que: x 8 0,845 x 5,79 8 P(Z z ) 0, 0,5 0,85 z,05 Por lo que: x 8,05 x 8, 8 Las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro son las siguientes: Los habitantes que tengan menos de 5 puntos, tendrán baja cultura general; los habitantes que tengan entre 5 puntos y 8 puntos, tendrán una cultura general aceptable y los que tengan más de 87 puntos, tendrán una cultural general excelente. A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de 00 familias de cierta ciudad, se ha determinado el intervalo de confianza al 99 %, (4, 58), para el gasto medio mensual por familia en electricidad. Determina: a) La estimación puntual que daríamos para el gasto medio mensual por familia en electricidad en esa ciudad. b) Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar, como mínimo, para garantizarnos, con una confianza del 99 %, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a? a) La estimación puntual del gasto medio mensual por familia es: b) La confianza es del 99 %, entonces: 0,99 0,0 0,005 z /,575 Luego: 8,575 80,079 00, 575,575, 079 n 7, n Tendríamos que seleccionar 7 familias. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes tienen una media de 74,5 cm; la desviación típica de la variable estatura es,9 cm. Calcula el intervalo de confianza al 95 % para la estatura media de los estudiantes. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 alumnos, siguen una distribución N(74,5;,9). La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 El intervalo de confianza pedido es:, 9, 9 74,5,9 ; 74,5, (7,5874; 7,4) Sea una población formada por tres elementos con valores, 4 y. Consideremos todas las muestras, con remplazamiento, de tamaño. Calcula la media y la desviación típica de la población y de las medias muestrales. Qué relación hay entre ambas medias? 0. Inferencia estadística 9

10 La tabla con las muestras de tamaño es: La media de la población es: x 4 4 x 4 La desviación típica de la población es: ( 4) (4 4) ( 4),99 La distribución de las medias muestrales es: La media de las medias muestrales es: x 4 9 La desviación típica es:,547 a) Cuál es la distribución de la media muestral? b) Determina el intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional a) x La distribución de la media muestral es: 5 N 04, N(04;,5) b) La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 Luego, el intervalo de confianza buscado es: (04,9,5; 04,9,5) (0,55; 0,45) La relación entre ambas medias es que son iguales. El peso de las naranjas producidas en una determinada región sigue una distribución normal con una desviación típica de 5 g. Un almacenista compra de estas naranjas y observa que su peso medio es de 90 g. Razona si se puede afirmar con un nivel de significación del 0,05, que el peso medio de las naranjas producidas en esta región es de 00 g. El nivel de significación es del 0,05 0,05 0,05 z /,9 Calculamos el intervalo de confianza asociado: ,9 ; 90, (89,95; 90,0848) Se observa que 00 (89,95; 90,0848), por lo que no se puede afirmar que el peso medio de las naranjas producidas en esta región sea de 00 g. Los estudiantes de Bachillerato de una cierta comunidad autónoma duermen un número de horas diarias que se distribuye según una distribución normal de media desconocida y desviación típica. A partir de una muestra de tamaño 0 se ha obtenido una media muestral igual a 7 h. Halla un intervalo de confianza al 9 % para la media de horas de sueño,. X: número de horas que duermen los estudiantes de Bachillerato, sigue una distribución N(, ). La media muestral al tomar una muestra de tamaño 0 es x 7 h. La confianza es del 9 %, entonces: 5 La variable aleatoria altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media, m y desviación típica 0, m. Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 00 alumnas sea mayor que,0 m? La variable aleatoria altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas, sigue una distribución N(,; 0,). Luego, al tomar una muestra aleatoria de 00 alumnas, la variable aleatoria, sigue una distribución: 0, N,; N(,; 0,0) 00 Así: P(X,0) P Z, 0, 0, 0 P(Z,7) P(Z,7) 0,955 Tomada al azar una muestra de 500 personas de una determinada comunidad, se encontró que 00 leían la prensa regularmente. a) Halla, con un nivel de confianza del 90 %, un intervalo para estimar la proporción de lectores entre las personas de esa comunidad. b) A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota de error de 0,05 con un nivel de confianza del 90 %. Cuántos individuos ha de tener la muestra? a) n 500 P(leer la prensa regularmente) 00 0, 500 La confianza es del 90 %, entonces: 0,90 0, 0,05 z /,45 4 0,9 0,04 0,0 z /,055 Luego, el intervalo de confianza pedido es: 7,055 0 ;7,055 0 (5,8744; 8,5) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto en comercios, elegidos al azar, en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios, en euros: 95, 08, 97,, 99, 0, 05, 00, 99, 98, 04, 0, 07,, 0, 0 Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una distribución normal de varianza 5 y media desconocida: Luego, el intervalo buscado es: 0,,45 0, 0,4 500 (0,540; 0,0) b) La confianza es del 90 %, entonces: ;0,,45 0, 0 50,4 0 0,90 0, 0,05 z /,45 E z / p q n 0,05,45 0, 0,4 n n 59,7784 Luego, la muestra debe tener 0 individuos. 70 Estadística y Probabilidad

11 Evaluación (página 5). En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer el tipo de actividades de ocio que gustan a sus habitantes. Para ello, van a ser encuestados 00 individuos elegidos al azar. Explica cuál sería el procedimiento de selección más adecuado. El procedimiento de selección más adecuado es el muestreo estratificado. La muestra debe recoger los diferentes estratos presentes en la población, según la edad y el tamaño de la muestra de dichos estratos debe ser proporcional a la presencia del mismo en la población original.. El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por los clientes de una compañía de telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media,5 Mb y desviación típica,4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 49. Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a,7 Mb? La variable aleatoria X: número de megabytes descargados mensualmente por los clientes de una compañía de telefonía móvil, sigue una distribución N(,5;,4). Al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño 49, la variable aleatoria de dicha muestra, X, sigue una distribución, 4 N,5; 49 N(,5; 0,). P(X,7) P Z,7,5 0,5 P(Z 0,5) P(Z 0,5) P(Z 0,5) 0,74 0,578 Luego, la probabilidad de que la media muestral sea inferior a,7 Mb es de 0,578.. Un profesor quiere saber cuánto tiempo dedican sus alumnos al ocio. Para ello selecciona al azar una muestra de 0 alumnos obteniendo los siguientes resultados en minutos: Suponiendo que el tiempo de ocio se distribuye normalmente con desviación típica min: a) Encuentra un estimador puntual para la media de la población. b) Halla un intervalo para la media de la población con un nivel de confianza del 95 %. c) Cuál es el tamaño mínimo de la muestra que debe seleccionar para que el error cometido, con un nivel de confianza del 95 %, sea inferior a 0 min? a) 98 0 b) La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 Luego, el intervalo de confianza buscado es: 98,9 ; 98,9 0 0 (58,95; 7,0478) c) El error cometido viene determinado por la siguiente expresión: E z / n Sustituyendo los datos conocidos y despejando, obtenemos: E z / 0,9 n,9 n,945 n n 0 El tamaño mínimo de la muestra que el profesor debe seleccionar es de 7 alumnos. 4. Tomada al azar una muestra de 500 personas de una comunidad autónoma, se encontró que 0 leían algún periódico habitualmente. Calcula con un nivel de confianza del 95 % el intervalo en qué se encontrará la verdadera proporción de lectores de periódicos. Sabemos que n 500. La proporción de personas que lee el periódico habitualmente es: 0 0, La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 Luego, el intervalo de confianza pedido es: 0,44,9 0, ,5 0 ;0,44,9 0,44 0,5 500 (0,95; 0,485) 0. Inferencia estadística 7

12 5. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del mismo es de 0,5 s. Cuál será el número de medidas que deberá realizar para que sea del 99 % la confianza de que el error de su estimación no excederá en 0, s? La confianza es del 99 %, entonces: 0,99 0,0 0,005 z /,575 Despejamos en la siguiente expresión y obtenemos el tamaño de la muestra:,57 5 0,5 0,0, 875 0, n 5,75 n n Deberá realizar medidas.. Durante la celebración de unas elecciones, y a la salida de un colegio electoral, se realizó una encuesta que indicó que, de las 00 personas encuestadas, 75 habían votado a un determinado partido. a) Estima puntualmente, a partir de estos datos la proporción de votantes favorables a dicho partido. b) Halla un intervalo para la proporción con un nivel de confianza del 95 %. 75 a) La proporción de personas que han votado a un determinado partido es: 0,5 00 b) La confianza es del 95 %, entonces: 0,95 0,05 0,05 z /,9 Luego, el intervalo de confianza pedido es: 0,5,9 0,5 0 0,75 0 ;0,5,9 0,5 0,75 (0,0; 0,99) Estadística y Probabilidad