PROYECTO DOCENTE ASIGNATURA: "Teoría Analítica de Números"

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1 PROYECTO DOCENTE ASIGNATURA: "Teoría Analítica de Números" Grupo: Teoría Analítica de Números(957133) Titulacion: Grado en Matemáticas Curso: DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA/GRUPO Titulación: Año del plan de estudio: Centro: Asignatura: Código: Tipo: Curso: Período de impartición: Grado en Matemáticas 2009 Facultad de Matemáticas Teoría Analítica de Números Optativa 4º Primer Cuatrimestre Ciclo: Grupo: Créditos: Horas: Área: Departamento: Dirección postal: Dirección electrónica: Teoría Analítica de Números (1) Análisis Matemático (Área principal) Análisis Matemático (Departamento responsable) FACULTAD DE MATEMÁTICAS, C/ TARFIA, S/N SEVILLA COORDINADOR DE LA ASIGNATURA ARIAS DE REYNA MARTINEZ, JUAN PROFESORADO 1 ARIAS DE REYNA MARTINEZ, JUAN Curso académico: 2017/2018 Última modificación: de 6

2 OBJETIVOS Y COMPETENCIAS Objetivos docentes específicos - Conocer y saber usar las principales funciones aritméticas, así como los principales teoremas sobre su distribución. - Conocer en profundidad las funciones Gamma, Zeta de Riemann, relacionándolas con la distribución de números primos. - Conocer la relación entre las funciones modulares, la hipótesis de Riemann y sus aplicaciones a la teoría de números. Competencias Competencias transversales/genéricas G01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de los distintos módulos que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en la propuesta de título de Grado en Matemáticas que se presenta. G02. Saber aplicar los conocimientos básicos y matemáticos de cada módulo a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las matemáticas y ámbitos en que se aplican directamente. G03. Saber reunir e interpretar datos relevantes (normalmente de carácter matemático) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. G04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado. G06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos. Competencias específicas E01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos. E02. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de las matemáticas. E03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos. E04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos. E05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos. E06. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan. E07. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en matemáticas y resolver problemas. CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA Relación sucinta de los contenidos (bloques temáticos en su caso) 1. Funciones aritméticas. 2. Distribución de numeros primos. 3. Funciones Gamma y Zeta y funciones modulares. 4. Fracciones continuas. Relación detallada y ordenación temporal de los contenidos Funciones aritméticas: 10 horas+ 4 prácticas. 1. Las funciones d(n) y sigma(n). Funcion indicador de Euler. Funcion de Moebius. Series de Dirichlet. Crecimiento de funciones multiplicativas. Sumación parcial. El orden medio de d(n), teorema de Dirichlet. Método de exclusión inclusión. Otras funciones aritméticas. 2. Distribución de los números primos. Métodos elementales: 6 horas+ 2 prácticas. Funciones de Chebyshev. Teoremas de Chebyshev. Teoremas de Mertens. Equivalentes del teorema de los números primos. Método de la Criba. El número de divisores primos de un entero. 3. Funciones Gamma y Zeta: 20 horas + 8 prácticas. Función Gamma. Función zeta de Riemann. El producto infinito de la función zeta. Teoremas sobre los ceros. Relación entre la suma de los coeficientes de una serie de Dirichlet y la función definida por esta serie. Teorema de los números primos con resto. La hipótesis de Riemann. 4. Fracciones Continuas 4 horas+ 2 prácticas. Fracciones continuas y aproximación. Números algebraicos y teorema de Liouville. Irracionalidad y transcendencia de algunos número especiales. Aparte 4 horas de prácticas en el ordenador. Curso académico: 2017/2018 Última modificación: de 6

3 ACTIVIDADES FORMATIVAS Relación de actividades formativas del cuatrimestre Clases teóricas 4 Metodología de enseñanza-aprendizaje: Aunque la metodología podrá variar dependiendo del número y tipología de los estudiantes y del criterio del profesor, en general se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, siguiendo libros de texto de referencia o documentación previamente facilitada al estudiante, que servirán para fijar los conocimientos y contenidos ligados a las competencias previstas. A su vez, las clases prácticas de resolución de problemas o estudio de casos prácticos permitirán la aplicación de las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas, de modo que los estudiantes alcancen las competencias previstas. A partir de esas clases teóricas y prácticas, los profesores podrán proponer a los estudiantes la realización de trabajos personales (individuales o en grupo), para cuya realización tendrán el apoyo del profesor en seminarios o tutorías, de forma que los estudiantes puedan compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a alcanzar por sí mismos las competencias del módulo. Por su parte, los estudiantes tendrán que desarrollar un trabajo individual de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas. Competencias que desarrolla: E01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos. E02. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de las matemáticas. E03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos. E04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos. Prácticas (otras) 16.0 Metodología de enseñanza-aprendizaje: Aunque la metodología podrá variar dependiendo del número y tipología de los estudiantes y del criterio del profesor, en general se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, siguiendo libros de texto de referencia o documentación previamente facilitada al estudiante, que servirán para fijar los conocimientos y contenidos ligados a las competencias previstas. A su vez, las clases prácticas de resolución de problemas o estudio de casos prácticos permitirán la aplicación de las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas, de modo que los estudiantes alcancen las competencias previstas. A partir de esas clases teóricas y prácticas, los profesores podrán proponer a los estudiantes la realización de trabajos personales (individuales o en grupo), para cuya realización tendrán el apoyo del profesor en seminarios o tutorías, de forma que los estudiantes puedan compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a alcanzar por sí mismos las competencias del módulo. Por su parte, los estudiantes tendrán que desarrollar un trabajo individual de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas. Competencias que desarrolla: E05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos. E06. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan. Curso académico: 2017/2018 Última modificación: de 6

4 Prácticas informáticas 4.0 Metodología de enseñanza-aprendizaje: Aunque la metodología podrá variar dependiendo del número y tipología de los estudiantes y del criterio del profesor, en general se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, siguiendo libros de texto de referencia o documentación previamente facilitada al estudiante, que servirán para fijar los conocimientos y contenidos ligados a las competencias previstas. A su vez, las clases prácticas de resolución de problemas o estudio de casos prácticos permitirán la aplicación de las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas, de modo que los estudiantes alcancen las competencias previstas. A partir de esas clases teóricas y prácticas, los profesores podrán proponer a los estudiantes la realización de trabajos personales (individuales o en grupo), para cuya realización tendrán el apoyo del profesor en seminarios o tutorías, de forma que los estudiantes puedan compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a alcanzar por sí mismos las competencias del módulo. Por su parte, los estudiantes tendrán que desarrollar un trabajo individual de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas. Competencias que desarrolla: E07. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en matemáticas y resolver problemas. AAD sin presencia del profesor 8 Exámenes 1 BIBLIOGRAFÍA E INFORMACIÓN ADICIONAL Bibliografía específica Introducción a la teoría analítica de números Apostol, T. M. Editorial Reverté, Barcelona An Introduction to the Theory of Numbers Hardy, G. H.; Wright, E. M. Oxford A Primer of Analytic Number Theory. From Pythagoras to Riemann Stopple, J. Cambridge University Press Riemann's Zeta Function Edwards, H. M. Dover Curso académico: 2017/2018 Última modificación: de 6

5 The distribution of prime numbers Ingham, A. E. Cambridge University Press Multiplicative Number Theory I. Classical Theory Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. Cambridge University Press Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory Kac, M. The Mathematical Association of America Recorridos por la Teoría de Números Juan Luis Varona Electolibris SISTEMAS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN Sistema de evaluación Exámenes parciales y finales Exámenes escritos de carácter teórico y/o práctico Actividades de evaluación continua - Control de asistencia a clases presenciales (teóricas, prácticas y prácticas de informática) - Realización de trabajos o resolución de ejercicios (expuestos oralmente o por escrito) - Pequeñas pruebas de control periódico de conocimientos. Criterios de calificación La evaluación se realizará en función de los ejercicios prácticas y trabajos a lo largo del curso y de un examen al final del mismo. CALENDARIO DE EXÁMENES La información que aparece a continuación es susceptible de cambios por lo que le recomendamos que la confirme con el Centro cuando se aproxime la fecha de los exámenes. CENTRO: Facultad de Matemáticas 1 ª Convocatoria 30/1/2018 Hora: 9:30 Por definir CENTRO: Facultad de Matemáticas 2 ª Convocatoria 4/9/2018 Hora: 9:30 Por definir Curso académico: 2017/2018 Última modificación: de 6

6 CENTRO: Facultad de Matemáticas Diciembre 15/12/2017 Hora: 9:30 Por definir TRIBUNALES ESPECÍFICOS DE EVALUACIÓN Y APELACIÓN Presidente: Vocal: Secretario: Primer suplente: Segundo suplente: Tercer suplente: FRANCISCO JOSE FRENICHE IBAÑEZ RENATO ALVAREZ NODARSE FRANCISCO GANCEDO GARCIA MANUEL ORDOÑEZ CABRERA MIGUEL BENITO LACRUZ MARTIN MARIA DE LOS ANGELES JAPON PINEDA ANEXO 1: HORARIOS DEL GRUPO DEL PROYECTO DOCENTE Los horarios de las actividades no principales se facilitarán durante el curso. GRUPO: Teoría Analítica de Números (957133) Calendario del grupo CLASES DEL PROFESOR: ARIAS DE REYNA MARTINEZ, JUAN Martes Del 22/09/2017 al 16/01/2018 Hora: De 13:30 a 14:30 AULA 2.1. FACULTAD DE MATEMATICAS Viernes Del 22/09/2017 al 16/01/2018 Hora: De 13:30 a 14:30 AULA 2.1. FACULTAD DE MATEMATICAS Curso académico: 2017/2018 Última modificación: de 6