ELECTRONICA DE POTENCIA

Transcripción

1 ELECTRONICA DE POTENCIA CONVERSION CC/CA Angel Vernavá A ELECTIVA III - Electrónica de Potencia

2 Electrónica de Potencia CONVERSION CC/CA INVERSORES TRIFASICOS AUTONOMOS INDICE 1 Configuración con tres inversores monofásicos....1 Clasificación de los inversores trifásicos... Inversores con fuente de tensión Funcionamiento a conducción de Análisis para carga conectada en triángulo a Carga resistiva b Carga inductiva 10 --c Carga RL Análisis para carga conectada en estrella... --a Carga resistiva b Carga inductiva c Carga RL.6-4 Funcionamiento a conducción de 10 ( F P ) Análisis para carga conectada en triángulo ( F P )..8-5-a Cara resistiva (FP) 0-5-b Carga inductiva (FP) 1-5-c Carga RL (FP). 4 Inversores con fuente de corriente Funcionamiento a conducción de a Carga resistiva b Carga real 9 Nota: Los items -4 y -5 con sus contenidos en a,b y c, indicados con F P ( Fuera de Programa ) no se incluyen en el programa de la Asignatura, tanto en teoría como en práctica. Se han incluido solo para conocimiento de los Alumnos y especialmente como guía para los Trabajos de Promoción y Proyectos Finales que requieran de estos conceptos. Ultima actualización y compaginación: año 00

3 Electrónica de Potencia 1 CONVERSION CC / CA INVERSORES TRIFASICOS 1 - CONFIGURACION CON TRES INVERSORES MONOFASICOS Un inversor trifásico puede implementarse con tres inversores puente monofásicos, como muestra la fig. 1. La configuración circuital es similar al inversor cuasi senoidal monofásico, pero aquí los transformadores cumplen una función diferente, puesto que deben proporcionar las tres tensiones trifásicas de salida, perfectamente simétricas y decaladas 10 entre sí. Este circuito, al igual que el formado con tres inversores de dos transistores ó tiristores cada uno, require indefectiblemente de los tres transformadores para funcionar. Los bobinados primarios no pueden conectarse entre sí, ni tener un punto en común, pués se produciría un camino de cortocircuito para la fuente (E) de alimentación. Los bobinados secundarios, si bien pueden conectarse en triángulo ó en estrella, generalmente se conectan en estrella, ya que elimina la armónica y sus múltiplos en el voltaje compuesto de salida, vab; vbc; vca. Estas armónicas, no obstante están presentes en el voltaje simple de salida de cada fase, con respecto al punto neutro, van; vbn; vcn los cuales tienen una forma de onda cuadrada. Dicha forma de onda, puede ser modificada, si cada puente funciona con un decalaje (β) de tiempo muerto, el cual deberá ser del mismo valor en los tres puentes. La prestación de este circuito, al igual que los inversores puente trifásicos, es excelente, pero su principal inconveniente es el costo debido a la cantidad de elementos que requiere. De hecho, puede implementarse con tiristores y condensador de apagado, en cuyo caso deberá ser alimentado desde una fuente de corriente constante. E T1 T T va vb vc Fig. 1: Configuración con tres puentes monofásicos

4 Electrónica de Potencia CLASIFICACION DE LOS INVERSORES TRIFASICOS Los inversores trifásicos se implementan con un circuito puente trifásico como el de fig.. Se compone de 6 elementos de potencia que ofician como interruptores operando en corte y saturación con una secuencia apropiada, cuyas señales provienen del circuito de control. Los 6 diodos en conexión inversa a cada elemento, son para conducir la corriente reactiva de retorno a la fuente de tensión E. Si el inversor opera con fuente de corriente I, los diodos no son necesarios. Estos inversores, además de dividirse en dos grupos, de acuerdo a la fuente de alimentación, E ó I pueden subdividirse por su forma de operar: conducción a 180 de cada elemento, con lo cual habrá elementos en conducción al mismo tiempo y conducción a 10, con elementos por vez Además pueden alimentar los dos tipos característicos de cargas trifásicas simétricas: conección triángulo y estrella. Por tanto, para identificar cada uno estos circuitos resulta adecuada la siguiente clasificación: E - Alimentados con fuente de tensión. I - Alimentados con fuente de corriente. Cada uno de los dos grupos se subdivide de acuerdo al tipo de funcionamiento implementado Conducción a Conducción a 10. A su vez, el estudio se realiza de acuerdo al tipo de conexión de la carga: - Carga en triángulo. Υ - Carga en estrella. Con lo cual se obtienen 8 modos distintos de operación del inversor. E E Υ E E Υ I I Υ I I Υ Los puentes alimentados con fuentes de tensión E, normalmente son implementados con elementos de conmutación que no requieren de apagado especial, es decir, con BT; MOSFET; IGBT; GTO; etc. En cambio los puentes a tiristores requiren ser alimentados con fuentes de corriente I, debido a los capacitores de apagado. Los inversores alimentados con fuentes I, tienen aplicación en bajas frecuencias (inferiores a Khz y en general a las frecuencias industriales de 50 Hz), mientras que los alimentados con fuentes E, pueden alcanzar frecuencias de 50 Khz y en circuitos monofásicos los 500Khz.; por este motivo los inversores trifásicos controlados por PWM, como se verá más adelante, emplean esta disposición. Nota: El inversor PWM en sus distintas variantes se lo analiza por separado.

5 Electrónica de Potencia INVERSORES CON FUENTE DE TENSION la fig. muestra un inversor trifásico a transistores alimentado con fuente de tensión y la carga conectada en triángulo, pudiendo el mismo circuito alimentar una carga en estrella. Es necesario una secuencia correcta de encendido a efectos de obtener las tres tensiones de salida decaladas 10 entre sí. Este circuito puede funcionar de dos maneras distintas: 1) Con tres elementos en conducción a la vez, en cuyo caso cada uno conduce durante 180. ) Con dos elementos conduciendo por vez, durante 10 cada uno de ellos. Dado que las ondas de salida son diferentes para los dos modos de funcionamiento, el estudio debe hacerse separado para cada uno de ellos y en todos los casos se supondrá que la carga es equilibrada. Nota: simulaciones realizadas con la Demo de MICROCAP-6. Dirección en Internet:

6 Electrónica de Potencia FUNCIONAMIENTO A CONDUCCION DE 180 ( E 180 ) Fig. : Secuencia de las señales de excitación de los transistores. Fig. 4: Las tres tensiones compuestas de salida del inversor E -180.

7 Electrónica de Potencia 5 La secuencia de las seis señales de base para los transistores del circuito de fig. se muestran en la fig., donde se puede ver que cada 60 un transistor deja de conducir y el otro ubicado sobre la misma rama del puente, entra en conducción. La secuencia sigue un orden determinado para que las tres tensiones de salida resulten desfasadas 10 entre sí como muestra la fig.4. En todo instante hay tres transistores en conducción debido a los 180 que cada uno permanece activo, siendo éste el tiempo máximo posible de conducción. Los signos positivos de las tensiones de salida se toman: va vb = vab vb vc = vbc vc va = vca y las corrientes positivas son las que salen del inversor ( bornes a, b, c) y entran a la carga. Para un instante cualquiera, sea entre 60 y 10 los tres transistores en conducción son Q1, Q y Q6, por tanto el borne (a) queda conectado a +E mientras que los bornes (b) y (c) se encuentran unidos entre sí y conectados al borne negativo de la fuente. Por tanto resulta: vab = +E vbc = 0 vca = -E Las tres tensiones de salida, al ser tomadas entre dos bornes del puente, dependen de la conducción de solamente dos transistores, aunque haya siempre tres conduciendo. Por este motivo, los semiciclos de estas tensiones, duran solo 10 y no 180, existiendo un tiempo muerto de 60 en cada semiciclo. Estas tensiones son las que llegan a los bornes de la carga, sea ésta en disposición triángulo ó estrella. El análisis de las tensiones para los dos tipos de conexión es necesario hacerlo por separado, para luego realizar el de las corrientes tomando en cuenta la naturaleza de la carga ( R, L, RL). ANALISIS PARA CARGA CONECTADA EN TRIANGULO ( E ) Al estar la carga en triángulo, las tensiones de salida del puente son coincidentes con las tensiones de fase de dicha carga, pero las corrientes de fase, difieren de las desalida del puente. - a - CARGA RESISTIVA Las corrientes en cada fase de la carga iab, ibc, ica tienen la misma forma de onda y fase que sus respectivas tensiones vab, vbc, vca mostradas en fig.4. En cambio cada corriente de línea (salidas del puente) ia, ib, ic resultan de la composición de las corrientes de las dos fases que llegan a cada borne, luego se tiene:

8 Electrónica de Potencia 6 vab iab = R vbc ibc = R vca ica = (1) R ia = iab ica ib = -iab + ibc ic = -ibc + ica () La forma de onda de las corrientes de línea son como se muestra para ia en la fig.5 Fig. 5: Corriente de linea (ia) y corriente (IE) de la fuente. Puede observarse que ia atrasa 0 respecto de iab y adelanta 0 de ica (ó bien atrasa 150 de ica). Las tres corrientes de línea, a su vez están desfasadas 10 entre sí y la suma instantánea de éstas ( al igual que las tensiones de línea) de hecho es cero, mientras que la corriente icc que entrega la fuente es constante, de valor E/R, ya que la carga vista desde la fuente queda formada por dos resistencias (R) en paralelo. Debido a que las corrientes están en fase con sus respectivas tensiones, los diodos no conducen en ningún instante. La potencia total que entrega la fuente es: E P = E Icc = () R y la potencia activa en la carga deberá ser coincidente con dicho valor.

9 Electrónica de Potencia 7 El valor eficaz de la tensión en una rama (o fase) de la carga es: Vab = 0 E dwt = E = E (4) E Igualmente siendo carga resistiva: Iab = R La potencia activa total en la carga resulta: en fase con vab. P = Vab Iab = E (5) R La corriente eficáz de línea puede obtenerse de fig.5 con el valor eficáz de Iab e Ica ó bien integrando la onda de Ia resultando: Ia = Iab (6) En la mayoría de las aplicaciones de los inversores la carga es RL y en consecuencia interesa conocer el valor de la fundamental y los armónicos. La onda de tensión en bornes de este inversor (E-180 ) vistas en fig.4 expresada en serie de Fourier, presenta simetría de media onda si se toma el origen de tiempos en wt = - /6 para vab como se indica en la fig.6. Fig. 6: Onda (E) que presenta simetría de media onda. En este caso: el valor medio es nulo; los términos An son nulos y la serie es de senos impares: f(wt) = - f(wt + ) vab = B1 Sen wt + B Sen wt (7) Los coeficientes se calculan con los extremos de integración respecto al nuevo origen de tiempos.

10 Electrónica de Potencia Bn = 6. E. Sen( nwt). d( wt) (8) 6 Resultan: B1 = E = 1,10 E B = 0 B4 = 0 etc. B = 0 B9 = 0 etc. B5 = E 5 B7 = E 7 B11 = E 11 ;etc Luego la serie queda expresada: vab = E. Sen( wt) + E. Sen(5wt) + E. Sen(7wt) (9) La ventaja principal de este circuito, es que la tensión trifásica en sus bornes de salida, tiene nulas las armónicas, y sus respectivos múltiplos. No obstante, la corriente con cargas RL resultará formada por segmentos de ondas exponenciales como se verá más adelante. El valor eficáz de la fundamental es: Vab1 = E (10) La fig.7 muestra precisamente el contenido armónico de la tensión vab en concordancia con el estudio realizado. En dicha gráfica aparecen la fundamental y los armónicos existentes representados por vectores proporcionales a sus respectivos valores máximos y ubicados en la frecuencia correspondiente. NOTA: Si el desarrollo en serie, se hiciera sin corrimiento del origen, igualmente se obtiene: vab = 4E. Cos( n ). Sen. n( wt + ) n= 1,,5, n 6 6 La fundamental es: 4E vab1 =. Sen( wt + ) 6 coincidente en valor y fase con el desarrollo anterior.

11 Electrónica de Potencia 9 Fig. 7: Análisis armónico de la tensión de salida Debido a que en la mayoría de las aplicaciones de los inversores, la carga de alterna no es resistiva pura y su potencia útil (P1) es función sólo de la fundamental de la onda que recibe, resulta importante definir el rendimiento (η ) del puente, con elementos ideales: 6 ( ) 1 / E P V R ab1 η = = = = ( ) = 0,91189 (11) P V / R ab ( E ) Es un valor constante que depende sólo de la forma de onda de salida del puente y por tanto lo identifica

12 Electrónica de Potencia 10 b - CARGA INDUCTIVA (*) Fig. 8: Formas de ondas de las corrientes en el inversor E con carga inductiva

13 Electrónica de Potencia 11 Para el caso teórico de una carga L inductiva pura en cada rama del triángulo, las corrientes resultantes se muestran en la fig.8. Estas son lineales por tramos en correspondencia con cada tramo de la tensión aplicada. En dicha figura se han indicado seis gráficos de simulaciones correspondientes al circuito en estudio, donde el 1 es la tensión Vab de referencia, el son las corrientes de rama de la carga, el es la corriente de salida (Ia) del borne (a) del puente, compuesta por las dos corrientes de rama (Iab Ica), el 4 muestra las tres corrientes de salida del puente y que llegan a los bornes del triángulo, el 5 es la corriente que circula por la fuente y el 6 muestra las corrientes en el transistor Q1 y diodo D1. Tomando como referencia la rama (a-b) de la carga, puede verse que: iab está atrasada en 90 respecto a vab y se mantiene constante cuando dicha tensión es nula. Las tres corrientes de rama de la carga mantienen el desfasaje de 10 entre sí. La corriente ia resulta de ia = iab ica. Las tres corrientes ia, ib, ic, que entrega el puente están desfasadas 10 entre sí y mantienen el desfasaje de 0 en atraso sobre las respectivas corrientes de rama iab, ibc, ica. La corriente de fuente tiene valor medio nulo y por tanto no hay consumo de energía activa. En un ciclo completo de se producen 1 conmutaciones simétricas, una cada 0 de un elemento por vez. La corriente por el transistor Q1 es igual y de signo opuesto a la del diodo D1. El tiempo de conducción de Q1 que era de 180 se ha reducido a 90, conduciendo entre y cediendo los primeros 90 al diodo D1. En cualquier instante sigue habiendo tres elementos en conducción. La corriente de la fuente es solo una parte de la que circula por el puente y la carga. Para deducir cuales son los elementos que están en conducción en cada periodo de 0 es necesario hacer el balance total de las corrientes. A título de ejemplo se indica que en los primeros 0, de 0 a conducen Q5 D6 y D1. De a conducen Q5 Q6 yd1,etc. 6 6 Cuando la energía reactiva va de la fuente a la carga, hay dos transistores y un diodo en conducción y cuando retorna a la fuente, hay dos diodos y un transistor en conducción. El análisis del balance energético, justifica los conceptos mencionados. El valor eficaz de la tensión que entrega el puente es el calculado anteriormente: Vab = E

14 Electrónica de Potencia 1 Para la corriente iab de una fase de la carga, su valor eficaz Iab se calcula tomando los tramos simétricos de esta onda en un periodo (fig.9). Con L d(iab) / d(t) = E válida entre 0 y / se obtiene iab = E t + I donde Io es el valor de iab en t = 0 (1) 0 L E Para t = es iab = 0 luego I 0 = L E Entre / y es iab = I * = I 0 = = cte. (1) L Luego Iab puede calcularse como: Iab = 1 I I + 4 / E Donde I1 = ( t + I / L 0 ) dt (14) El cálculo de I1 puede simplificarse si se toma como referencia el triángulo en líneas de punto de la fig.9, con lo cual la ecuac.(14) se reduce a: I1 = 4 0 E ( t) L dt = E L 1 ( ) = E L = I* (14 ) I = 1 ( I *) dt = I * [ t] / = / I * = E L (15) Luego Iab = 1 I * + = 9 5 E I * = 5 9L (16) iab 1 I* i1 1 i / / 1 Io Fig. 9: Corriente de una fase en la carga en triángulo.

15 Electrónica de Potencia 1 Procediendo de igual manera para la corriente de linea ia (fig.10) se tiene: Ia = I + I 4 di Para i sigue valiendo la ecuación diferencial L dt = E, luego: 4 E I = ( t + I / L 0 ) dt 4 = E ( t + I*) dt 0 L I = I* 14 E. 14 = L. (17) Para i4 la ecuación diferencial es i4 = E t + Io4 L L di4 dt = E,cuya solución es: donde Io4 es el valor inicial de i4 en t= 0,y se puede calcular con i4 = 0 para t = Io4 = E = L E ( se desprende que Io4 = Io) L. 4 / E I4 = ( t + I / L 04 ) dt 4 = E 6 ( t) dt 0 L I4 = E 9L (18) Luego: Ia = E 14 ( ) 9L E 9L E 9L + ( ) = 15 (19) E 15 Ia Verificándose que: = 9L = Iab E 5 9L (0)

16 Electrónica de Potencia 14 I* ia i I* i4 0 Io 4 / / / t Io4 Fig. 10: Corriente de linea Para la corriente ie de la fuente, debe tenerse en cuenta que la carga vista desde dicha fuente es en todo momento L/. Luego para cada tramo de esta corriente (fig.11) es: L d( ie) dt = E válida entre 0 y / ie = para t = 6 E t + I 0E (1) L E es ie = 0 resultando I 0 E = = I 0 () L I* ie /6 / t Io Fig. 11: Corriente en la fuente El valor eficaz se calcula considerando que existen 1 pulsaciones idénticas en un periodo. I = E I = E 1 / E ( t + I 6 L E L ) 0 E 1 dt = 6 ( t) dt 0 L () La energía reactiva total de la fuente es: E 1 Q E = E I E = L (4)

17 Electrónica de Potencia 15 En la fig.8, se ve que las corrientes de lineas ia, ib, ic de salida del inversor tienen el segmento que cruza el cero, coincidente con ie. Es decir que es la misma corriente durante ese lapso de tiempo, que fue calculado como I4 en el cálculo de Ia. E I4 = L 9 La energía reactiva correspondiente solo a esta corriente es: Vab Q4 = I4 (5) Vab Donde es el valor eficaz de la fracción de onda de tensión Vab que se corresponde con I4. E E 1 Luego: Q4 = ( )( E ) = Coincidente con la de fuente. L 9 L Se deduce que con carga L pura, una vez transcurrido el transitorio, la mayor parte de la corriente queda circulando entre la carga y el puente sin llegar a la fuente. Esto puede verificarse calculando la potencia reactiva total en la carga: E Qc = Vab Iab = E 5 9L Comparando esta expresión con la de se obtiene: Q Q C E = 10 Q E Esto nos dice que la energía reactiva en la carga L, es más de veces mayor que la registrada en la fuente

18 Electrónica de Potencia 16 c CARGA RL (*) Fig. 1: Ondas de las corrientes en el inversor E con carga RL

19 Electrónica de Potencia 17 Los casos reales de cargas en corrientes alternas están formadas por componentes R y L. En general esta carga es un motor asincrónico en el cual, en forma sintética R representa la suma de la potencia útil que el motor entrega en su eje más las pérdidas del mismo y L representa la inductancia total vista desde sus bornes de entrada. Cuando el motor trabaja a potencia nominal, la componente resistiva R predomina sobre la inductiva y resulta R > XL. Este es el caso de la fig.1 donde se han reproducido las mismas ondas que en el caso anterior, a efectos de apreciar las diferencias entre ellas. Nuevamente tomando como referencia la tensión vab puede observarse que: iab está formada por segmentos exponenciales, al igual que todas las corrientes del circuito y está atrasada de un ángulo ϕ respecto a vab. El desfasaje de 10 entre las corrientes de rama de la carga sigue manteniéndose. Sigue siendo ia = iab ica. Las tres corrientes de salida del puente ia, ib, ic, mantienen su desfasaje de 10 entre sí y 0 en atraso sobre las respectivas corrientes de rama iab, ibc, ica. La corriente de la fuente ie tiene un apreciable valor medio que multiplicado por el valor de E dá la potencia activa total que dicha fuente entrega al inversor. En un ciclo completo de se producen 1 conmutaciones que no son simétricas ya que los transistores conducen durante un tiempo mayor que los diodos. Estas conmutaciones continúan siendo de un elemento por vez. La corriente por el transistor Q1 es mucho mayor que la del diodo D1 y son de signo opuesto. El tiempo de conducción de Q1 se ha reducido a solo 180 -ϕ, siendo ϕ el tiempo que conduce cada diodo. En cualquier instante sigue habiendo tres elementos en conducción. La fuente, en este caso, no recibe retorno de energía ya que su corriente en ningún momento es negativa. En consecuencia la corriente reactiva circula desde la carga al puente y vuelva a la carga sin pasar por la fuente y se consume totalmente en la resistencia R en cada ciclo. Por lo tanto, para cargas con componentes inductivas, en el caso de existir retorno a la fuente, la corriente reactiva que circula por el puente y la carga es mayor que la de la fuente. Los elementos que conducen en cada momento, son los mismos que en el caso anterior, con la diferencia que el tiempo de conducción es más corto cuando conducen dos diodos y un transistor, respecto al correspondiente cuando conducen dos transistores y un diodo.

20 Electrónica de Potencia 18 Para que haya retorno de corriente a la fuente, es necesario que la parte activa R de la carga sea pequeña de manera que la energía reactiva que recircula entre el puente y la carga no se consuma totalmente en dicha R. Este es el caso del motor mencionado anteriormente trabajando en vacío. Las ondas obtenidas se muestran en la fig.1 donde la corriente de retorno a la fuente es la que se encuentra debajo del eje de absisas en la gráfica de ie y es efectivamente de signo negativo. Fig. 1: Inversor E-180 -, carga RL, con retorno de energía reactiva a la fuente. La fig.14 muestra el análisis armónico de la corriente de linea ia, el cual es coincidente con el análisis de la tensión de alimentación. Fig. 14: Análisis armónico de la corriente ia.

21 Electrónica de Potencia 19 El análisis de las corrientes de fase de la carga debe hacerse para cada tramo exponencial de la misma, siendo suficiente analizar un semiciclo de una de ellas (fig.15)} Así, para iab tenemos un tramo de 0 a / y el otro de / a. 1 ) Entre 0 y / la ecuación diferencial para la rama (ab) es: (a la corriente iab la denominamos i) di i R + L dt = E (6) cuya solución es: E E τ i = + ( + I e t 0 ). (7) R R L donde τ =, e I 0 es el valor inicial de i en t = 0. R E E τ para t = resulta i = I * = + ( I 0 ). e (8) R R donde I* es el valor final de este tramo y será el valor inicial para el tramo siguiente. ) Entre / y es E = 0 luego tenemos: di i R + L = 0 (9) dt cuya solución es: i = ( t ) τ *. e reemplazando I * queda: i = para t = es i = 0 I (0) t. ( E E ) τ τ [ ( I ). e e + R 0 ]. R I 0, luego reemplazando en la ecuación anterior se puede despejar I 0. τ 1+ e. τ. τ E ( e e ) I = R (1) Conocidos los valores del circuito E R y L, se calcula I y luego I *, conociéndose de esta manera las expresiones de i para cada tramo. Su valor eficaz puede calcularse mediante una PC, integrando cada parte por separado y luego combinándolas como se hizo en el caso de carga inductiva. Sin embargo, puede obviarse este cálculo y deducir dicho valor de una manera mucho más sencilla y con suficiente aproximación si se conoce la composición armónica de esta corriente, la cual es idéntica a la de la tensión de su respectiva rama. 0

22 Electrónica de Potencia 0 Fig.15: Análisis de la corriente en una fase del triángulo Se vió que la onda de tensión expresada en serie de Fourier, con origen de tiempos en tiene una fundamental que vale: 6 vab1 = E. Sen( wt) siendo su valor eficaz Vab1 = E () La fundamental de la corrienta en esta rama será: 6 E iab1 =. Sen( wt ϕ1) Z 1 y su valor eficaz es Iab1 = 6 E Z 1 () donde Z 1 = R + (wl) es la impedancia de la carga a la frecuencia de la fundamental y 1 el ángulo de desfasaje de iab1 en atraso de vab1. ϕ es La potencia activa desarrollada por la fundamental en la carga es la que aprovecha un motor asincrónico y vale: 6 E P 1 = Vab1 Iab1 Cosϕ 1 =. Cosϕ 1 (4) Z1 Esta potencia es entregada por la fuente como potencia activa debido solo a la fundamental de la carga, llamando con I E1 al valor medio de la corriente en la fuente para satisfacer a esta potencia tenemos: 18 E P 1 = E I E1 luego: I E1 =. Cosϕ 1 (5) Z La potencia reactiva Q 1 y la aparente S 1 debido solo a la fundamental de la carga son: Q 1 = Vab1 Iab1 Senϕ 1 (6) S 1 = Vab1 Iab1 (7) 1

23 Electrónica de Potencia 1 El balance energético completo, necesariamente debe incluir los armónicos existentes, pudiéndose calcular el valor eficaz total Iab en una fase de la carga, a partir de los correspondientes a cada armónico obtenidos del derarrollo en serie de la tensión ya visto. Iab = I + I + + (8) 1 5 I 7 Cada armónico de corriente se calcula con el correspondiente armónico de tensión, con su impedancia y desfasaje respectivo. Así para I5 será: E 6. E i5 =. Sen( wt ϕ 5 ) y su valor eficaz es I5 = 5 Z 5. Z donde Z = 5 R 5 (.5. f. L) + y tg 5 ϕ =.5. f. L Siendo Vab el valor eficaz de la onda de tensión ya calculado y ϕ el desfasaje con Iab, la potencia activa total entregada a la carga será: P = Vab Iab Cosϕ (9) Conocido este valor, se deduce el valor medio de la corriente I ECC en la fuente para satisfacer dicha potencia: P I ECC = E (40) Debido a que la corriente real que circula por la fuente no es una continua pura como se puede apreciar en las gráficas, presenta un valor eficaz mayor que el valor medio, dado por: S I Et = E (41) siendo S = Vab Iab la potencia aparente total (4) Si se considera que los elementos del puente son ideales, el rendimiento del inversor es el 100%. Pero aún así para la carga de un motor asincrónico ( y sin considerar las pérdidas propias del mismo) el rendimiento basado en la onda fundamental que es la que aprovecha el motor seguirá siendo: P η n = 1 = 0,91189 (4) P Para un motor real, la potencia mecánica que entrega en el eje será menor que P1. / R 5 (*) Cátedra Electrónica de Potencia - año 001- AV.

24 Electrónica de Potencia ANALISIS PARA CARGA CONECTADA EN ESTRELLA (E Y) E/ b a E/ n c E Fig. 17 Circuito de la carga durante a El inversor es el mismo que el de fig., solo que la carga trifásica se ha conectado en estrella como se ve en fig.16. La excitación de los transistores mantiene su secuencia y la conducción de 180 y por tanto las ondas de las figs. y 4 continúan intactas para este circuito. La corriente de salida del puente será igual a la corriente de fase de la carga, pero la tensión de fase de la carga, tomada con respecto al centro de estrella es distinta a la que entrega el puente. La fig.17 muestra el circuito que presenta la carga durante la fracción de período comprendida entre 60 y 10, en el cual conducen los transistores Q1, Q y Q6 y los bornes b y c quedan cortocircuitados. Dado que la carga es equilibrada, se obtiene la distribución de tensiones por fase allí indicadas. Este circuito cambia cada 60 en correspondencia con las conmutaciones del puente, dando lugar a las ondas de tensiones de fase van, vbn y vcn de fig.18.

25 Electrónica de Potencia Fig. 18- Las tres tensiones de salida del puente y las tres tensiones de fase de la carga. La relación entre las tensiones de fase y las del puente, es deducible ya que estas formas de ondas, prescindiendo de la magnitud a la cual corresponden, fueron analizadas. Así mismo, dado que la onda de tensión del puente no ha variado, la composición armónica de las tensiones y corrientes, tampoco varían, cualquiera sea la carga.

26 Electrónica de Potencia 4 - a - CARGA RESISTIVA las corrientes de fase presentan la misma forma de onda que sus respectivas tensiones de fase. Por el transistor Q1 circula el semiciclo positivo completo de Ia y por el transistor Q4 el negativo ya que los diodos no conducen. La carga vista por el puente en todo momento es: R + R = R (44) La corriente de la fuente es constante Icc = E / R. La potencia total que entrega la fuente es: P = E Icc = E (45) R El valor eficáz Van de la tensión en una fase de la carga puede obtenerse integrando su onda por partes: entre 0 y / (Va ); entre y (Va ); y entre y (Va ). Va = / E..( ) dwt 0 =. E Va = E ( ) dwt = E E Va = ( ) d( wt) = E Luego Van = E ( ) E ( + ) + ( ) = E E (46) La tensión de salida del puente sigue siendo Vab Vab = E y es = Van La potencia que toma la carga es: P = (Van) / R = ( E ) / R = E R coincidente con la que entrega la fuente.

27 Electrónica de Potencia 5 b - CARGA INDUCTIVA (*) Fig.19: Corrientes con carga L en la conexión estrella. De hecho, se cumplen los desfasajes y distribución de corrientes, en forma similar al caso de conexión en triángulo. Para calcular el valor eficaz de ia, recurrimos al estudio realizado con la fig.10, teniendo en cuenta ahora el valor de tensión en cada tramo de van, obteniéndose: E. Ian = 15 (notar que es 1/ de Ia en ) (47) 7. L Para la corriente de la fuente, la inductancia vista por ella es Le = (/)L, luego resulta: E. I E = (48) 9. L La energía reactiva de la fuente es: E. Q E = E I E = 9.. L Mientras que la energía reactiva total en la carga es: E. Q = Van Ian = 0 ( =,16 Q E ) 7. L Nota: Para cargas altamente inductivas, la conexión estrella presenta un funcionamiento irregular, haciendo que algunos elementos del puente conduzcan más que otros, debido a que la corriente que no retorna a la fuente debe necesariamente cerrarse a través del puente, mientras que en la conexión en triángulo, parte de esta corriente se sierra a través del triángulo sin pasar por el puente.

28 Electrónica de Potencia 6 c CARGA RL (*) Fig. 0: Corrientes con carga RL en la conexión estrella. De la fig.0, se deducen fácilmente las relaciones entre las corrientes del circuito. El contenido armónico no ha variado, pero la corriente de fase ian está formada por tres curvas exponenciales en cada semiciclo. 1 ) Entre 0 y / ) Entre /. y / ) Entre /. y 1 ) La ecuación diferencial en este tramo es: ir + L di/dt = E/ cuya solución es: E E τ i = + ( Io ) e t R R para t = / es i = I1 ( valor final de esta curva e inicial para el tramo siguiente) ) En este tramo es: ir + L di/dt = E/ i =. E E + ( I1 ). e. R R ( t ) τ

29 Electrónica de Potencia 7 para t = / es i = I ( que a su vez es el valor inicial del tramo siguiente) ) Nuevamente es: i R + L di/dt = E/ ( t ) E E τ i = + ( I ). e R R para t = es i = -Io (pudiéndose ahora calcular las tres constantes Io, e I ) I1 La onda de tensión de fase van se puede expresar en serie de Fourier a partir del desarrollo hecho en el item --a, teniéndose en cuenta aquí que es una onda escalonada van = E. Sen( wt) +. Sen(5wt) +. Sen(7wt) +. Sen(11wt) +. Sen(1wt) El valor eficaz de la fundamental es: Van1 = E E La fundamental de la corriente es: ian1 =. Sen( wt ϕ1) Z E Ian1 = Z1 La potencia activa desarrollada por la fundamental es: E P1 = Van1 Ian1 Cosϕ 1 = Cosϕ 1 Z1 La potencia activa total que entrega el puente es: 1 (49) y su valor eficaz es: (50) (51) P = Van Ian Cosϕ (5) Van es conocido mientras que Ian se calcula con Ian = I 1 + I 5 + I 7 + El rendimiento que ofrece el puente para la fundamental, suponiendo elementos ideales es: P1 η n = (5) P (*) Cátedra Electrónica de Potencia año 001-AV.

30 Electrónica de Potencia 8 4- ( F P ) FUNCIONAMIENTO A CONDUCCION DE 10 ( E 10 ) El circuito del inversor es el mismo que el de fig.. que aquí se repite y la carga podrá conectarse en triángulo o en estrella. La señal de excitación de los transistores dura solamente 1/ del periodo, es decir 10, lo cual influye en el funcionamiento del circuito, haciendo que se comporte de distinta manera según el tipo de carga, como se verá más adelante. Las señales de excitación se muestran en la fig., y las tensiones de salida del puente, en la fig. donde se aprecia que solamente conducen dos transistores por vez ( en rigor esto solamente se cumple para una carga resistiva pura). En cada conmutación hay un transistor que cesa su conducción y otro de diferente rama que se activa, mientras que para cada rama hay un tiempo muerto entre sus dos transistores. El contenido armónico de la tensión de salida continúa siendo el mismo que en el inversor de conducción a (FP) ANALISIS PARA CARGA CONECTADA EN TRIANGULO ( E ) Las tensiones de fase de la carga son las mismas que las del puente, pero difieren sus corrientes.

31 Electrónica de Potencia 9 Fig. : Señales de excitación para conducción a 10 Fig. : Tensiones de salida para el inversor E-10 - carga resistiva.

32 Electrónica de Potencia 0 5 a (FP) CARGA RESISTIVA El valor eficaz de la tensión en una fase de la carga se obtiene como se hizo en el punto --a, teniendo en cuenta los niveles de la tensión, obteniéndose: E Vab = = 0,707 E (54) Y la potencia de la carga es: P = Vab Iab = E R (55) Comparando con ecuac.5 vemos que este inversor puede entregar solamente el 75% de la potencia que entrega el de conducción a 180. Fig. 4: Corrientes de fase y de linea con carga resistiva en el inversor E-10- Las corrientes de linea son como muestra la fig.4 para ia. Su valor eficaz es: Ia = E R (56)

33 Electrónica de Potencia 1 5 b (FP) CARGA INDUCTIVA (*) Fig. 5: Tensiones y corrientes para carga inductiva en el inversor E-10 - Con cargas que tienen componentes reactivas, la forma de onda de la tensión en bornes de este puente se modifica. Para explicar esto, en la fig.5 se muestran las corrientes que afectan a la tensión vab.

34 Electrónica de Potencia La conducción de los transistores no cambia, pero ahora hay tres elementos en conducción, así entre 60 y y 10, conducen Q1, Q, y D. De esta manera el borne (a) del puente queda cortocircuitado con el borne (b) y por tanto la tensión vab se reduce a cero. Entre 00 y 60 conduce D1 (además de Q5 y Q6) y por tanto el borne (a) queda conectado a +E. La corriente de fase iab y la de linea ia, en consecuencia responden a la nueva forma de onda de tensión. De hecho esto se cumple para las tres tensiones y el sistema sigue siendo simétrico y con el mismo contenido armónico original. El valor eficaz de la tensión es: Vab = E = 0,816 E (57) El valor eficaz de la tensión ha cambiado (ecuac. 54). Este análisis, ayuda a interpretar las formas de ondas que se presentan con carga RL. 5 c - (FP) CARGA RL (*) Fig. 6: Tensiones y corrientes en el inversor E-10 - con carga RL. Toda vez que conduce un diodo, la tensión toma los niveles máximos ó cero y hay tres elementos en conducción, mientras que cuando conducen dos transistores la tensión vuelve a su forma original. De esta manera, su forma de onda es una combinación de las obtenidas con carga R pura y L pura y varía según los valores de R y L.

35 Electrónica de Potencia El valor eficaz de la tensión, también variará con los valores de R y L, ubicándose entre los valores límites correspondientes a R pura y L pura. El hecho de que la tensión no pueda mantenerse invariable, este inversor no resulta apropiado para alimentar cargas RL. Además solo puede entregar el 75% de la potencia que entrega el inversor de conducción a180. Por tanto, en inversores alimentados con fuente de tensión, es el E 180, el que se encuentra difundido, inclusive para operar como PWM, mientras que los de conducción a 10 solo tienen difusión los alimentados con fuente de corriente ( I 10 ) e implementados con tiristores para aplicaciones de alta potencia. Tomando en cuenta el análisis hecho, no presenta mayor interés realizar el estudio del inversor E 10 - Y, no obstante, se lo tratará específicamente en los estudios o aplicaciones de Proyectos de Promoción y Finales que así lo requieran (*) Cátedra Electrónica de Potencia año 001 AV.

36 Electrónica de Potencia 4 4 INVERSOR CON FUENTE DE CORRIENTE El inversor puente a transistores, puede funcionar correctamente si se cambia la fuente de tensión por una de corriente constante. En este caso, los transistores conmutarán bloques de corriente y la tensión en la carga tomará un valor que es función de dicha carga. Es decir que conforme varíen los parámetros R y L de la carga, variará la tensión. El estudio es similar al realizado con fuente de tensión en cada uno de los casos, tomando en cuenta ahora que la variable dependiente es la tensión. Debido a que la corriente que entrega la fuente es de valor fijo, no habrá retorno de energía reactiva a dicha fuente y en consecuencia no son necesarios los diodos de recuperación. Si la potencia de la carga se reduce a niveles muy bajos, lo cuál significa valores muy elevados de R, la tensión podrá alcanzar valores superiores a los admisibles por los transistores, deteriorándolos. El puente no puede quedar funcionando en vacío. Los inversores a transistores con fuente de corriente, si bien pueden trabajar a 180 y 10 de conducción, no han encontrado mayor aplicación. En cambio, si se lo implementa con tiristores, su funcionamiento resulta particularmente útil, debido a la necesidad de incluir en el circuito los capacitores de apagado. El circuito básico que nos permite realizar el estudio del inversor con mayor facilidad es el que se muestra en la fig.7.

37 Electrónica de Potencia 5 Este inversor no resulta apropiado para operar con 180 de conducción, debido a los capacitores de apagado que si bién no afectan a la fuente de corriente, introducen una brusca caída de tensión sobre la salida del puente, en cada conmutación, esto se produce porque en el mismo instante en que se apaga un tiristor (T1) debe encenderse el otro de la misma rama (T4). No presenta ningún inconveniente trabajando a 10 de conducción, aquí los capacitores actúan apagando al tiristor (T1) de una rama diferente del que ha encendido (T). Es decir que este modo de operación a 10 se ajusta correctamente a la conmutación natural del puente. La carga puede conectarse en triángulo ó estrella, pero los capacitores deberán conectarse en triángulo para una acción de apagado más efectiva. 4 1 FUNCIONAMIENTO A CONDUCCION DE 10 ( I 10 ) Para el análisis se ha tomado el circuito de la fig. 7, operando en modo 10 y carga en triángulo. Aún con carga resistiva pura, la presencia de los capacitores introduce una componente reactiva que afecta a la onda de tensión, la cual resultará en consecuencia exponencial y atrasada con respecto a la corriente de la misma rama de la carga. En la fig.8 se muestran: La corriente que conduce el tiristor T1 y la tensión en la fase (ab). De las tres corrientes de salida del inversor, se han indicado ia e ib. La corriente de fase iab que adelanta 0 respecto de ia y de un ángulo ψ respecto a vab. La corriente de fuente Icc y la del capacitor Cab. Los picos de corrientes que se observan, son producidos por los tres capacitores de apagado, que en cada conmutación (cada 60 ) quedan sometidos a un circuito distinto respecto del anterior, lo cual origina una variación brusca de corriente en los tres. La variación mayor (pico más grande) tiene lugar en la conmutación en la que el capacitor actúa apagando al tiristor que está conectado a sus bornes. Así, en el último gráfico el pico encerrado en la elipse indica la descarga del capacitor Cab cuando apaga a T1 y enciende T. Este pico se ve disminuido en la corriente iab ya que ésta es compuesta por Rab y Cab en paralelo. Dicho pico, circula desde Cab, al tiristor T1, de este al T y regresa al Cab, por lo tanto los picos opuestos que muestran ia e ib corresponden a la misma descarga que actúa sobre T1 apagándolo y sobre T sumándose a la corriente normal. De esta manera todos los picos de corrientes se compensan entre sí, circulando entre los capacitores y el puente, sin modificar la corriente de la fuente. En la carga R estos picos no están presentes, ya que la corriente de carga irab tiene la misma forma de onda de la tensión vab indicada en el primer gráfico de dicha figura.

38 Electrónica de Potencia 6 Fig. 8: Corrientes para carga resistiva en el inversor I-10 - Cada tiristor está sometido a la tensión resultante de las sucesivas conmutaciones, así para el T1 tenemos: durante los primeros 10 conduce; durante los siguientes 10 la tensión es vab y durante los últimos 10, es vca, como se ve en la fig.9.

39 Electrónica de Potencia 7 Fig. 9: Tensión en bornes del tiristor T1. La carga vista por la fuente en cualquier momento es como se indica en fig.0-a y b para los primeros 60, que conducen T1 y T6. R * R C Se desprende que Requiv. = = R y Cequiv. = C C R + = Luego: Icc = dv v C + ó bien dt R dv Icc = C + dt v R (58)

40 Electrónica de Potencia 8 En la ecuac. (58) la tensión v representa a vab para el periodo comprendido entre 0 y /, pero representará también a las otras dos tensiones del puente en sus periodos respectivos, vbc entre / y y vca entre 4 / y5 /, ya que el circuito equivalente es el visto por la fuente en todo momento. 4 1 a CARGA RESISTIVA En los casos en que la acción de los capacitores no es relevante respecto a la corriente de carga, puede hacerse un análisis simplificado del circuito considerando que la carga es solamente resistiva. En este caso, podrá considerarse que las tensiones tienen la misma forma de onda que las respectivas corrientes. La fuente verá una carga constante de valor R y entregará una potencia: P = Icc R (59) A su vez en la carga se tiene: (ecuac 66 y 67) Iab = Icc y Ia = Icc Luego: P = Iab R = Icc ( ) R = Icc R coincidente con ecuac.(59) Y de hecho será Vab = Iab R

41 Electrónica de Potencia b - CARGA REAL Al igual que en los inversores monofásicos a tiristores, para un funcionamiento correcto, la carga vista por el puente debe ser reactiva capacitiva. Aún con cargas RL, tales como transformadores ó motores de alterna, la impedancia resultante de cada rama debe ser RC, conectadas en paralelo como se indicó en fig. 0-a. De esta manera el análisis es similar al realizado en item --c con carga RL conectadas en serie para el inversor E-180- Υ. La tensión de cada rama de la carga evoluciona exponencialmente en cada tramo de 60 de duración, de acuerdo al valor de la corriente en dicho tramo y respectiva rama, luego el estudio de las tensiones es suficiente hacerlo para una sola de las ramas, así para vab tenemos: En la fig.1 se reproducen la corriente iab y la tensión vab de la fig.8 y el circuito equivalente correspondiente a la ecuac.58. En un semiperiodo ( ) existen tres evoluciones distintas de la tensión, debiéndose plantear la ecuación diferencial para cada una de ellas. (llamamos con v a la tensión vab). Fig.1: Evolución de la tensión vab en correspondencia con iab.

42 Electrónica de Potencia 40 1 ) Entre 0 y /. dv v Icc = C + dt R (60) /τ v = IccR + ( V0 IccR) e t (61) para t = 0 es v = V0 y para t = es v = V 1 ) Entre y Icc dv v = C + dt R (6) Icc Icc ( t ) /τ v = R + ( V1 R) e (6) para t = es v = V y para t = 1 es v = V ) Entre y Icc dv v = C + dt R (64) Icc Icc ( t ) /τ v = ( ) R + { V ( ) R} e (65) para t = es v = V y para t = es v = V0 Con las tres soluciones se pueden calcular V ; V yv. 0 1 El valor eficaz de ia es: Ia = 0 Icc dwt = Icc (66) y el valor eficaz de iab (procediendo como en item --a) es: Iab = Icc ( ) Icc Icc + ( ) + ( ) = Icc (67) y la relación sigue siendo Ia = Iab.

43 Electrónica de Potencia 41 La corriente ia expresada en serie de Fourier, tomando el origen de tiempos en -, 6 como se hizo en item --a es: ia = Icc Sen( wt) Icc Sen(5wt) Icc Sen(7wt) y el valor eficaz de la fundamental es: Ia1 = 6 Icc (68) La corriente iab adelanta en 0 a ia y por tanto su desarrollo en serie, tomando el mismo origen de tiempos ( ) resulta: 6 iab = Icc Sen( wt + 0 ) Icc Sen(5wt + 0 ) 5 y el valor eficaz de su fundamental es: Iab1 = Icc (69) Para la tensión vab puede obtenerse su desarrollo en serie, en base a la corriente iab y a las impedancias de fase Zabn para cada armónico; así para la fundamental se obtiene: yab1 = 1 1 R + jxc1 donde Xc1 = 1 w C Yab1 = 1 1 ( ) ( ) R + Xc1 y Zab1 = R Xc1 R = R + Xc1 ( R w C) + 1 Luego la fundamental vab1 es: vab1 = iab1. Zab1 = Icc Zab1 Sen( wt + 0 ϕab1) siendo ϕ ab1 el ángulo de atraso de la tensión vab1 respecto a la corriente iab1, dado por: tgϕ ab1 = w C R (70) El valor eficaz es: Vab1 = Icc Zab1 (71)

44 Electrónica de Potencia 4 Fig.: Defasajes entre las fundamentales de corrientes y la tensión de rama ab. En la fig. se muestra como iab1 adelanta en ϕ ab1 de vab1, mientras que ia1 atrasa en ϕa1 = 0 ϕab1 respecto a dicha tensión. Estos defasajes pueden a su vez, apreciarse en el diagrama vectorial de fig. Ia1 Iab1 Vab1 Oab1 Oa1 Ibc1 Ica1 Fig.:Diagrama vectorial de las fundamentales ( para el I-10 - )

45 Electrónica de Potencia 4 Para estas tensiones y corrientes senoidales, se obtienen los siguientes resultados: La potencia activa en la carga es: ( Vab1) P1 = = 1 1 R I Vab (7) R Vab1 Donde I R1 = es la corriente fundamental en la resistencia de cada rama. R Vab1 A su vez Iab 1 = siendo Zab1 la impedancia por rama a la frecuencia fundamental. Zab1 La potencia aparente en la carga resulta: S = Iab1 Vab1= Iab1 Zab1 (7) 1 El defasaje puede calcularse: P1 Zab1 Cos ϕ = = (74) 1 S R 1 Si en cambio se pretende realizar los cálculos considerando todos los armónicos resulta: La potencia activa que entrega la fuente es: Vab P = (75) R Y la potencia aparente: S = Icc Z t =. IabVab. (76) Si bien la carga normal de estos inversores son máquinas de alterna y por tanto son cargas RL, la acción de los capacitores es preponderante sobre los efectos de la inductancia; caso contrario se presentarán dos graves inconvenientes: 1 ) que la tensión disponible en los capacitores no sea suficiente para apagar a los tiristores, produciéndose un cortocircuito en el puente. ) En cada conmutación se origina una corriente oscilante entre L y C de cada rama alterando el funcionamiento del circuito. Precisamente, durante la operación normal, no debe producirse ningún tipo de oscilación. Por este motivo, el estudio de este inversor, es suficiente limitarlo al aquí realizado. Su aplicación se encuentra difundida para cargas que van de 50Kw a unos 500Kw, mientras que para potencias mayores se utilizan los Cicloconvertidores (Convertidor CA/CA). Para cargas conectadas en estrella, el análisis de este inversor sigue un procedimiento similar al visto precedentemente, teniendo en cuenta que la corriente de salida del puente es la que circula por cada fase de la carga y la tensión en ella es la de fase neutro y no la compuesta. Para una fuente de corriente de igual valor, la tensión de fase ahora resulta veces menor que en conexión triángulo y por lo tanto la potencia será veces menor

46 Electrónica de Potencia 44 Como resumen de las aplicaciones de los inversores vistos hasta aquí, se puede decir que su prestación es buena, especialmente el E-180 y el I-10, ya sea para cargas en triángulo ó estrella. Pero en la mayoría de las aplicaciones para controlar máquinas asincrónicas, se requieren tres condiciones: 1 ) Que la fuente de alimentación E ó I sea variable para regular la potencia de la máquina. ) Que la frecuencia de salida del puente sea variable para regular la velocidad del motor. ) Que el Torque del motor se mantenga constante en el rango de velocidad variable, para lo cual es necesario mantener constante la relación V/f de salida del puente. Para cumplir con la primera condición es necesario accionar sobre la fuente, la cual ya no es una batería de acumuladores sino un rectificador implementado a tiristores y que en consecuencia permite variar la tensión E que entra al puente. La segunda condición se logra actuando sobre el circuito de control del puente, haciendo variable el tiempo correspondiente a cada conmutación, y con ello se varía el semiperíodo que conduce cada elemento y por tanto la frecuencia de salida ( esto se encuentra implementado en el Trabajo Práctico del Inversor Trifásico). Para satisfacer la tercer condición, es necesario que la regulación del ángulo de encendido de los tiristores del rectificador, se encuentre coordinado con la variación de frecuencia del puente desde un único punto de control, lo cual requiere además que los circuitos de control y especialmente el del rectificador cuente con una realimentación para ajustar el valor de E respecto a f. De hecho, la tercer condición prevalece sobre las otras dos y se logra con excelente prestación en los inversores por control PWM, que se desarrollan más adelante. En cargas de elevada potencia, los motores asincrónicos son de construcción especial y de tensión nominal superior a la de red de distribución, las tensiones más usuales son 1500V y 000V ya sea en triángulo ó estrella y por tanto el puente y la fuente son diseñados específicamente para dicha máquina. Los ejercicios de aplicación se han preparado como complemento de los análisis realizados en este capítulo, habiéndose agregado una tabla que resume las formas de ondas de salida y sus respectivos valores eficaces de los inversores trifásicos más usuales Ing. Angel Vernavá Prof. Titular del Area electrónica De Potencia Asignatura: A Electrónica de Potencia Plan de estudio 1996/0 Edición: año 00. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y agrimensura Universidad Nacional de Rosario.