Resolución de problemas

Transcripción

1 Inteligencia en Redes de Comunicaciones Resolución de problemas Julio Villena Román El problema de resolver problemas La resolución de problemas es uno de los procesos básicos de razonamiento que la inteligencia artificial trata de abordar El objetivo consiste en lograr que la máquina ayude a un experto humano a encontrar la solución a un determinado problema (de forma más rápida, más exacta, más fiable...) Pero... cómo expresar el problema de forma computacional? cómo puede resolverlo la máquina de forma eficiente? IRC JVR - 2 1

2 Índice Formalización Estrategias de búsqueda de soluciones Búsquedas sin información del dominio Búsquedas heurísticas Problemas de satisfacción de restricciones Juegos IRC JVR - 3 El problema de resolver problemas La resolución de problemas es una búsqueda en un espacio de estados, siendo: Estado = <Q, R, C> Q : estructura de datos que describen al estado R : reglas u operaciones que describen las transiciones en el espacio de estados C : estrategia de control de tal forma que encontrar la solución consiste en encontrar una secuencia de reglas r 1 r n que conduzcan desde el estado inicial q o al estado final q f IRC JVR - 4 2

3 Definición formal de un problema Pasos: Definir un espacio (conjunto) de estados Especificar uno o más estados iniciales Especificar uno o más estados finales (meta/objetivo) Definir reglas sobre las acciones disponibles (abstracción del mundo real a un modelo simbólico) El problema se resuelve usando las reglas en combinación con una estrategia de control La estrategia de control establece el orden de aplicación de las reglas y resuelve los conflictos IRC JVR - 5 El problema del viajante de comercio La Coruña Bilbao León Burgos Zaragoza Barcelona Cáceres Badajoz Madrid Sevilla Toledo Murcia Valencia Cádiz IRC JVR - 6 3

4 Tipos de problemas Problemas de un estado inicial (single-state) q 0 = {Madrid} Problemas de múltiples estados iniciales (multiple-state) q 0 = {Madrid, Barcelona, Sevilla} Problemas de contingencia (contingency) q 0 = {Madrid} pueden fallar los vuelos Problemas de exploración (online) viajar sin mapa IRC JVR - 7 Soporte computacional: Definiciones Un grafo es una estructura de información compuesta de nodos (piezas de información) + arcos (uniones entre ellos) Hojas: nodos sin descendientes (los últimos) Camino: sucesión de nodos siguiendo los arcos Ciclo: camino cerrado (bucle) Grafo dirigido: los arcos indican el sentido de la relación Grafo acíclico: no tiene ciclos Grafo conexo: entre dos nodos siempre hay un camino Un árbol es un grafo dirigido acíclico conexo en el que: Hay un único nodo raíz Cada nodo tiene un único padre Para cada nodo existe un único camino que lo conecta con el nodo raíz Coste de un nodo: coste de llegar al nodo desde la raíz a lo largo del mejor camino IRC JVR - 8 4

5 Soporte computacional: Árboles Para modelar los problemas de búsqueda se usan árboles, en los que: nodos: estados intermedios arco: aplicación de un operador (movimientos válidos) a un estado IRC JVR - 9 El problema de euros y dólares Situación inicial: $ $ Objetivo: $ $ Estado: serie de monedas Reglas: r 1 : desplazar $ al hueco de la derecha r 2 : desplazar al hueco de la izquierda r 3 : saltar $ a la derecha r 4 : saltar a la izquierda Card(Q) = 27 ( sirve una búsqueda exhaustiva) IRC JVR

6 El problema del puzzle Estado: matriz Reglas: r 1 : hueco a la derecha r 2 : hueco a la izquierda r 3 : hueco arriba r 4 : hueco abajo Card(Q) = 9! = ( sirve una búsqueda exhaustiva) IRC JVR - 11 El problema del puzzle Card(Q) = 16! ~ ya no sirve una búsqueda exhaustiva!!! IRC JVR

7 Complejidad La resolución de problemas en IA es un problema NP-completo (No-Determinista Polinómico, con crecimiento asintótico) IRC JVR - 13 Estrategias de búsqueda En definitiva, no sólo basta plantear los problemas de una manera formal, sino que hace falta encontrar la forma apropiada de decidir las reglas a aplicar desde el estado inicial para llegar al estado final y el orden en que éstas se aplican: las estrategias de búsqueda IRC JVR

8 Algoritmo general de búsqueda A partir del nodo inicial, se expande el nodo i-ésimo, ejecutando todas sus transiciones: Si el nodo destino no existe en el árbol, se añade Si el nodo destino ya existe: expandir el nodo i-ésimo apuntando al nodo existente si se está registrando el mejor camino, comprobar si el nuevo camino es mejor Si el nodo destino es un nodo final, devolver como solución el camino seguido desde el nodo inicial hasta llegar a él IRC JVR - 15 Algoritmo general de búsqueda (2) Q, V: lista de nodos S: nodo inicial 1) Inicializar Q = {S}, V = {S}, coste S =0 2) Si Q está vacía, devolver SIN_SOLUCIÓN 3) Sacar un nodo N de Q 4) Si N es nodo final, devolver N como solución 5) Para todos los descendientes N i de N: - Enlazar N i con N - Si N i no está en V: coste Ni =coste N +coste N Ni añadir N i a Q añadir N i a V - En otro caso: Si coste Ni_anterior >coste N +coste N Ni coste Ni =coste N +coste N Ni añadir N i a Q En otro caso, no hay que hacer nada 6) Volver a 2 IRC JVR

9 Estrategias de búsqueda Las estrategias de búsqueda definen el orden para la expansión de nodos (qué N se extrae, dónde se inserta N i ) Cada estrategia hay que evaluarla según: la completitud de la solución encuentra la solución, si ésta existe? la complejidad temporal cuántos nodos se han generado? la complejidad espacial cuántos nodos como máximo se han guardado en memoria? la optimalidad de la solución encuentra la solución de menor coste? Parámetros de evaluación: Factor de ramificación (b), profundidad de la solución (d), máxima profundidad (m) IRC JVR - 17 Tipos de estrategias de búsqueda Estrategias sin información del dominio o búsqueda a ciegas (uninformed strategies) Sólo emplean la información en la definición del problema Fuerza bruta Estrategias con información del dominio o estrategias heurísticas (informed strategies) Emplean información del espacio de búsqueda para evaluar cómo va el proceso La idea es utilizar una función de evaluación (heurístico) de cada nodo (del coste de llegar a él) IRC JVR

10 Búsquedas sin información del dominio Búsqueda en anchura breadth-first search Búsqueda en profundidad depth-first search Búsqueda de coste uniforme uniform-cost search Búsqueda en profundidad limitada depth-limited search Búsqueda en profundidad progresiva iterative deepening search IRC JVR - 19 El mundo de los bloques SOAR (a general cognitive architecture for developing systems that exhibit intelligent behavior) IRC JVR

11 Búsqueda en anchura (algoritmo) Expandir el nodo más superficial no expandido (FIFO: extraer por el principio de Q e insertar al final) IRC JVR - 21 Búsqueda en anchura (evaluación) Solución completa Complejidad temporal O(b d ): exponencial Complejidad espacial O(b d ): exponencial (guarda todos los nodos en memoria) No es la estrategia óptima (en general) El espacio es el principal problema IRC JVR

12 Búsqueda en profundidad (algoritmo) Expandir el nodo más profundo no expandido (LIFO: extraer e insertar por el principio de Q) IRC JVR - 23 Búsqueda en profundidad (evaluación) Solución no completa En espacios con ciclos puede haber bucles infinitos Es necesaria una comprobación de estados repetidos Complejidad temporal O(b m ): enorme si profundidad máxima >> profundidad de la solución Sin embargo, el algoritmo es rápido si el espacio de soluciones es denso Complejidad espacial O(bm): lineal No es la estrategia óptima (en general) IRC JVR

13 Búsqueda de coste uniforme (algoritmo) Expandir el nodo con menos coste no expandido (Q: cola con prioridad) IRC JVR - 25 Búsqueda de coste uniforme (evaluación) Solución completa Complejidad temporal: nº de nodos con coste <= coste de la solución óptima Complejidad espacial: nº de nodos con coste <= coste de la solución óptima Estrategia óptima Pesos positivos: algoritmo de Dijkstra Pesos negativos: algoritmo de Bellman-Ford IRC JVR

14 Búsqueda en profundidad limitada Expandir el nodo más profundo no expandido, hasta una profundidad L IRC JVR - 27 Búsqueda en profundidad progresiva (algoritmo) FOR L=0 to inf Aplicar búsqueda_en_profundidad_limitada(l) Si el resultado es válido, se devuelve NEXT L IRC JVR

15 Búsqueda en profundidad progresiva (evaluación) Solución completa Complejidad temporal O(b d ): exponencial (similar a otras estrategias) Complejidad espacial O(bd): lineal Estrategia óptima si el coste = 1 Puede modificarse para utilizar búsqueda de coste uniforme IRC JVR - 29 IRC JVR

16 Las Torres de Hanoi IRC JVR - 31 Búsquedas heurísticas Se dice de aquel truco o regla empírica que ayuda a encontrar la solución de un problema (pero que no garantiza que se encuentre) IRC JVR

17 Búsquedas heurísticas Primero el mejor (best-first) Búsqueda avariciosa (greedy search) Búsqueda A* Método del gradiente (hill-climbing) Simulated annealing IRC JVR - 33 Primero el mejor Se utiliza una función de evaluación (heurística) para cada nodo y se expande el nodo mejor evaluado no expandido (misma idea que en la búsqueda de coste uniforme) Tema complejo y muy abierto a la idea feliz Casos especiales: búsqueda avariciosa (greedy search) búsqueda A* IRC JVR

18 Greedy search La función de evaluación estima el coste del nodo-i hasta la meta, con lo que se expande el nodo que parece estar más cerca de la meta (ejemplo: línea recta) Una buena función de evaluación puede mejorar drásticamente la búsqueda PROBLEMA: puede atascarse en bucles infinitos IRC JVR - 35 Búsqueda A* La idea es evitar expandir caminos que ya son muy costosos Función de evaluación: f(n) = g(n) + h(n) g(n): coste sufrido hasta alcanzar n h(n): coste estimado desde n hasta la meta f(n): coste estimado total hasta la meta pasando por n Se demuestra que la búsqueda A* alcanza la solución óptima, siempre que se utilice un heurístico admisible (que no sobreestime el coste real): h(n) <= h*(n) (el coste real) IRC JVR

19 Ejemplos de heurísticos Por ejemplo, se podría usar: número de cuadros fuera de su sitio distancia Manhattan (número de cuadros desde el sitio correcto de cada cuadro) IRC JVR - 37 Hill-climbing Trata de ir decidiendo el camino con menor coste hasta la meta Para ello se queda en cada salto con el nodo destino mejor valorado y sigue expandiendo por él PROBLEMA: puede atascarse en máximos locales, según el estado inicial Máximo global Máximo local IRC JVR

20 Simulated annealing La idea es escapar de los máximos locales permitiendo movimientos incorrectos, pero reduciendo gradualmente su tamaño y frecuencia Se utiliza como parámetro la temperatura T del proceso Si la temperatura se reduce suficientemente despacio, se alcanza la solución óptima Fue desarrollado en 1953 para modelado de procesos físicos IRC JVR - 39 Problemas de satisfacción de restricciones Constraint satisfaction problem (CSP) Objetivo: descubrir un estado del problema que satisfaga un conjunto de restricciones Los CSPs son problemas especiales en los que: los estados están definidos por los valores asignados a un conjunto de variables el objetivo está definido por restricciones en los valores de las variables IRC JVR

21 Ejemplo clásico: 4 reinas Poner cuatro reinas (damas) sin que ninguna pueda atacar a las demás ( sin que haya dos en la misma columna y no estén en diagonal) Variables: Q 1, Q 2, Q 3, Q 4 Dominio: {1,2,3,4} Restricciones: Q i!= Q j Q i - Q j!= i - j Significado: (Q 1, Q 2 ) pueden valer (1,3) (1,4) (2,4) (3,1) (4,1) (4,2) Q Q Q Q IRC JVR - 41 Ejemplo: Sudoku IRC JVR

22 Otros ejemplos menos lúdicos Planificación de horarios de clase Configuración de hardware compatible Planificación de rutas Planificación de producción Problemas de asignación de recursos Evaluación de riesgos en inversiones IRC JVR - 43 Búsqueda en CSP (enfoque inicial) El enfoque inicial es abordar una búsqueda normal Estado inicial: variables sin asignar Operadores: asignar valores a variables no asignadas Objetivo: todas las variables asignadas, todas las restricciones cumplidas Estrategia: (por ejemplo) búsqueda en profundidad DESVENTAJAS: Baja eficiencia porque el orden de asignación es irrelevante y no se comprueban las restricciones no cumplidas IRC JVR

23 Búsqueda con retroceso (backtracking) Igual que el anterior, empleando búsqueda en profundidad pero: fijando el orden de asignación de variables comprobando violación de restricciones permitiendo sólo sucesores válidos Este es el algoritmo básico sin información del dominio para los CSPs Es capaz de resolver hasta 15-reinas IRC JVR - 45 Comprobación hacia delante (forward checking) Idea: recordar los valores válidos que quedan para las variables no asignadas detener la búsqueda cuando no quedan valores válidos para una variable La comprobación hacia delante evita a priori asignaciones erróneas Es capaz de resolver hasta 30-reinas IRC JVR

24 Búsqueda heurística en CSPs Idea: tomar decisiones más inteligentes sobre: qué valor asignar a la siguiente variable qué variable asignar la siguiente El uso de heurísticos inteligentes mejora significativamente el proceso de búsqueda Se puede resolver hasta 1000-reinas... y más de eso? IRC JVR - 47 Juegos Problemas de búsqueda donde interviene al menos un adversario Tus movimientos por sí solos no aseguran la victoria: es necesaria una estrategia de oposición En general, el tiempo disponible para cada movimiento impone soluciones aproximadas (no sirve la fuerza bruta) Dos tipos de juegos: Deterministas: no interviene el azar (4-en-raya, ajedrez, damas) No deterministas: el azar está presente (backgammon, parchís, monopoly ) Por qué gustan tanto en IA? Divertidos Difíciles Fáciles de formalizar y con un número pequeño de acciones (Los juegos son para la IA como la F1 es para la ingeniería del automóvil) IRC JVR

25 Estrategia Minimax Consiste en elegir el mejor movimiento para uno mismo (MAX) suponiendo que el adversario (MIN) escogerá el mejor para sí mismo (que también juega a ganar) Pasos: Generar el árbol de juego, alternando movimientos (ply) de MAX y MIN y asignándoles los valores apropiados (MAX>0, MIN<0) Calcular la función de utilidad de cada nodo final, recorriendo recursivamente los nodos hasta el estado inicial Elegir como jugada a realizar aquel primer movimiento que conduce al nodo final con mayor función de utilidad IRC JVR - 49 Las 3 en raya IRC JVR

26 Posible árbol de búsqueda (2-ply) f(n)= (nº de filas, columnas o diagonales abiertas para MAX) (nº de filas, columnas o diagonales abiertas para MIN) IRC JVR - 51 Problema de minimax El número de estados del juego es exponencial al número de movimientos (esto es, en la mayoría de juegos, generar el árbol completo es inviable en recursos de memoria) Solución: no examinar todos los estados Generar un árbol parcial (anticipar sólo los N movimientos siguientes) Usar heurísticos: Memoria de partidas anteriores Movimientos preferidos Poda alfa-beta (alpha-beta pruning) Alfa = valor de la mejor jugada hasta el momento para MAX Beta = valor de la mejor jugada hasta el momento para MIN No expandir (podar) los caminos que no proporcionen mejoras sobre el mejor camino hasta el momento IRC JVR

27 Las 4 en Raya IRC JVR - 53 Las Damas IRC JVR

28 Juegos con varios jugadores La función de utilidad se convierte en un vector de valores IRC JVR - 55 Juegos con azar Se modelan las probabilidades de la jugada mediante un jugador ficticio (CHANCE) Por tanto, el valor de la función de utilidad es simplemente aproximado IRC JVR

29 Juegos con suma no nula Minimax se puede aplicar a juegos con suma cero y en los que el oponente juega a ganar la ganancia o pérdida de MAX se equilibra exactamente con las pérdidas o ganancias de MIN Sin embargo, muchas de las situaciones del mundo real habitualmente tienen suma no nula los participantes pueden beneficiarse o perder al mismo tiempo Ejemplos: ciclismo, las actividades económicas, la guerra En estas situaciones, la moraleja es que resulta mejor maximizar el beneficio conjunto IRC JVR - 57 Paradigma: El dilema del prisionero La policía arresta a dos sospechosos. No hay pruebas suficientes para condenarles, y tras haberles separado, les visita a cada uno y les ofrece el mismo trato: Estrategia dominante: confesión independientemente de lo que decida el otro, puedes reducir tu condena confesando Sin embargo, el resultado no es óptimo Estrategia óptima: colaboración (equilibrio de Nash) Variaciones: La decisión en realidad depende de la matriz de costes Dilema del prisionero iterado IRC JVR