LECCIÓN 8: CIRCUITOS Y ALGORITMOS DE MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS

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1 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.1 LECCIÓN 8: CIRCUITOS Y ALGORITMOS DE MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS 1. Circuitos de multiplicación La operación de multiplicar es mas compleja que la suma y por tanto se puede abordar en la ALU de dos formas: mediante circuitos aritméticos (hardware) y mediante algoritmos basados en operaciones mas elementales (software-hardware). En primer lugar veremos las soluciones hardware: Consideremos la multiplicación de dos números de 4 bits A y B. Tendremos: A 3 A 2 A 1 A 0 B 3 B 2 B 1 B 0 A 3 B 0 A 2 B 0 A 1 B 0 A 0 B 0 A 3 B 1 A 2 B 1 A 1 B 1 A 0 B 1 A 3 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 0 B 2 A 3 B 3 A 2 B 3 A 1 B 3 A 0 B 3 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 Existen circuitos multiplicadores que implementan la operación anterior. Reciben el nombre de circuitos N.M.M. (Nonadditive multiply module) y tienen el siguiente aspecto: A 3 A 2 A 1 A 0 B 3 B 2 B 1 B 0 N.M.M. P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 Para diseñar un circuito NMM tomamos como célula elemental al sumador completo en un esquema de la forma:

2 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.2 A n B m C i Sumador completo A p B q C i+1 S Con ayuda de estas células podemos construir un circuito que implemente la operación anterior de multiplicación A 3 B 0 A 2 B 0 A 1 B 0 A 0 B A 3 B 1 A 2 B 1 A 1 B 1 A 0 B A 3 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 0 B A 3 B 3 A 2 B 3 A 1 B 3 A 0 B P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 Cuando se quieren construir circuitos multiplicadores de tamaño mayor, por ejemplo 8x8, no tiene sentido diseñar circuitos de ese tamaño sino que se parte de los circuitos NMM para construirlos. El proceso sería el siguiente: Sean A = A H. A L y B = B H. B L P = A x B = (A H. A L ) x (B H. B L ) = A H x B H + A H x B L + A L x B H + A L x B L

3 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.3 El problema queda reducido pues a calcular los productos parciales mediante circuitos NMM y luego sumar los resultados para lo que usaremos como sumador árboles de Wallace de 3 entradas. (Ver transparencia 2.8) A H x B L A H x B H A L x B L A L x B H De forma similar se pueden diseñar circuitos para multiplicaciones de tamaño mayor. Los módulos anteriores trabajan con números sin signo En muchas ocasiones no se dispone de unidades aritméticas especiales para ejecutar instrucciones como la multiplicación o la división, por lo que se suelen ejecutar mediante software. Para la implementación de la mayor parte de estos algoritmos se precisa de una ALU con la siguiente estructura: Consiste como vemos en un sumador restador de n bits cuyos operandos provienen de dos registros A y B. El registro A se suele llamar acumulador y almacena el resultado. Se dispone también de un registro MQ que permite desplazamientos a ambos lados con el registro A y el bit de Carry. También se dispone de un registro contador I.

4 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.4 C Registro A Registro Multiplicador-Cociente Sumador-Restador paralelo Registro B 2. Algoritmos de multiplicación. Multiplicación por suma y desplazamiento Consideremos un ejemplo práctico de multiplicación de números sin signo por ejemplo 13 x Vemos que en las distintas filas aparecen o el multiplicando o un sumando nulo según el valor del bit correspondiente del multiplicador, y también observamos que los sumandos aparecen desplazados un bit a la izquierda. Para implementar este algoritmo daremos los siguientes pasos: 1. Inicialización: 0 A ; Multiplicando B ; Multiplicador MQ ; N I 2. Analizar bit MQ 0 a. Si MQ 0 = 0 Ir a 3 b. Si MQ 0 = 1 (A) + (B) (A) e ir a 3 3. Desplazar C-A-MQ un bit a la derecha

5 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag Decrementar I 5. Comprobar I a. Si I = 0 Terminar b. Si I 0 Ir a 2 Vamos a ver la evolución de los registros al ejecutar la multiplicación anterior : C Reg. A Reg. MQ MQ 0 Acción I Sumar A y B Desplazar C-A-MQ Decrementar I Sumar Desplazar Decrementar I Desplazar Decrementar Sumar Desplazar Decrementar Terminar 0000 Multiplicaciòn por el algoritmo de Robertson El algoritmo anterior sólo es válido para números positivos. Para multiplicar números con signo tenemos otros métodos, entre ellos tenemos el algoritmo de Robertson que trata el caso de operaciones con el multiplicador negativo. Consiste en multiplicar usando el algoritmo de lápiz y papel todos los dígitos del multiplicador excepto el bit de signo (que es negativo) y sumarle el complemento a dos del multiplicando en último lugar. Por ejemplo para 5 x El algoritmo se justifica por lo siguiente, sea X el multiplicador que, al ser negativo, se representa por 2 n X (su complemento a 2) y sea Y el multiplicando.

6 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.6 la operación efectuada es: Y (2 n X 2 n-1 ) + (2 n Y) 2 n-1 = 2 2n-1 XY donde el primer sumando es la contribución de las primeras filas del multiplicador exceptuando el bit de signo y el segundo la contribución del bit de signo multiplicado por el complemento a dos del multiplicando. Multiplicación por el algoritmo de Booth Este algoritmo está pensado para trabajar con números con signo, siendo mas general en el tratamiento de los bits del multiplicador que el algoritmo anterior. Además de esto, el algoritmo trata de minimizar el tiempo de ejecución mediante la recodificación del multiplicador con el fin de disminuir el número de 1. Se basa en la regla de la cadena que consiste en sustituir las cadenas de 1 por otra combinación binaria con un número menor de 1. (k) (j) Sea la secuencia La propiedad de la cadena dice que es equivalente a (k) (j) Para justificar esta expresión tenemos lo siguiente: (k) (j) k k k = Σ 2 i = Σ 2 i + 2 j - 2 j = Σ 2 i + 2 j+1-2 j =... = 2 k+1 2 j i = j i = j i = j+1 Podemos ver como un ejemplo multiplicar 5 x se transforma en x Si hubiéramos trabajado con un multiplicador negativo el resultado es similar ( p.ej. 5 x 7) Por tanto los pasos que damos son:

7 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.7 Recodificar el multiplicador para evitar las cadenas de 1 Efectuar la multiplicación tradicional donde el sumando correspondiente es 0, Mcando ó-mcando en función de que el bit correspondiente del multiplicador sea 0, 1, -1. Tenemos presente siempre la necesidad de extender el signo en los sumandos. Con estas ideas ya podemos definir el algoritmo de Booth: Paso 1. Inicialización (similar a los casos anteriores) Paso 2. Analizar los bits MQ 0 -MQ -1 o 00 0x Mcando o 01 1x Mcando o 10-1x Mcando o 11 0x Mcando Desplazamiento aritmético a la derecha de A-MQ Decrementar I Si I>0 saltar a 2 El diagrama de flujo del proceso está indicado en la transparencia 3.2 Vamos a hacer un ejemplo detallado de la evolución de los registros: (5x14) Registro A Registro MQ MQ -1 Acción Contador I desplaza resta desplaza desplaza desplaza suma desplaza desplaza El proceso es el mismo cuando trabajamos con números negativos, por ejemplo (5x-7) Registro A Registro MQ MQ -1 Acción Contador I Resta Desplaza y decrementa Suma Desplaza y dec Desplaza y dec Resta Desplaza y dec Desplaza y dec Final 0 El resultado es = -( ) = -35

8 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.8 El algoritmo de Booth aplicado a todos los casos posibles puede conducir a un resultado ineficiente, pero evitarlo se introducen modificaciones en el algoritmo que permiten mejorar el resultado en algunos casos particulares. Caso de 1 aislado Solución: No codificar Caso de 0 aislado Solución : Cambiar el 0 por 1 Para tener en cuenta estas modificaciones basta con introducir una variables auxiliar m que nos indique cuando estamos ante un bloque de 1 y no ante un 1 aislado. En el libro de J. Bastida podemos ver un ejemplo de esto. Una solución mejor nos la da el siguiente algoritmo: Algoritmo de multiplicación por solapamiento de ternas. Basándose en el mismo principio de recodificación del multiplicador se plantea este algoritmo que asocia de dos en dos los dígitos del multiplicador de modo que permite terminar el proceso en n/2 operaciones. Podemos construir la siguiente tabla: q i+1 q i q i-1 dígito recodif. Explicación Cadena de ceros Final de cadena de unos aislado Final de cadena de unos Comienzo de cadena de unos Cero aislado Comienzo de cadena de unos Cadena de unos El algoritmo quedará de la siguiente forma: 1. Inicialización ( Similar a casos anteriores salvo que ahora N/2 I) 2. Analizar el valor numérico de MQ 1 MQ 0 MQ -1 y actuar como en la tabla precedente 3. Desplazamiento aritmético de A-MQ de 2 bits a la derecha. 4. Decrementar I 5. Si I 0 ir a 2, en otro caso Fin.

9 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag. 8.9 El diagrama de flujo del proceso sería: Vamos a ver un ejemplo 6x (-7) en 6 bits Reg. A Reg. MQ q 1 q 0 q -1 Acción I A + B Desplazamiento derecha 2 dig Desplazamiento derecha 1 dig A-B Desplazamiento izq. 1 dig y después dos a la derecha Desplazamiento derecha Fin

10 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag Circuitos multiplicadores en complemento a 2 El siguiente paso será diseñar un multiplicador matricial para números en complemento a dos. Sea un número binario N = a n-1 a decir que : a 1 a 0 codificado en complemento a dos. Esto quiere Si a n-1 = 0 N = Σ a i 2 i Si a n-1 =1 N = - [1 + Σ (1 - a i )2 i ] Podemos escribir la expresión de otra manera teniendo en cuenta que 2 n-1 = Σ 2 i + 1 n 2 n - 2 N = - [ 1 + Σ (1 -a i )2 i ] = Σ 2 i + Σ a i 2 i = - 2 n 1 + Σ a i 2 i por lo tanto N = - a n-1 2 n-1 + Σ a i 2 i [1] Una vez sentado este punto vamos al problema de la multiplicación de dos números A y B en complemento a dos. Sea P = A x B según lo demostrado en [1] podemos escribir: 2 n-1 n-1 P = - p 2n-1 2 2n-1 + Σ p i 2 i = ( - a n-1 2 n-1 + Σ a i 2 i ) x ( - b n-1 2 n-1 + Σ b i 2 i ) = = a n-1 b n Σ Σ a i b j 2 i + j - a n-1 2 n-1 Σ b i 2 i - b n-1 2 n-1 Σ a n-1 2 i j = 0 Vemos que hay sumandos positivos y negativos, eso desde el punto de vista de la implementación de la matriz sumadora es complicado. Para evitar este problema vamos a utilizar el algoritmo de Baugh-Wooley que permite sustituir los términos negativos por otros equivalentes positivos. Gráficamente el problema es el siguiente:

11 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag a 3 a 2 a 1 a 0 b 3 b 2 b 1 b a 3 b 0 a 2 b 0 a 1 b 0 a 0 b 0 a 3 b 1 a 2 b 1 a 1 b 1 a 0 b 1 a 3 b 2 a 2 b 2 a 1 b 2 a 0 b 2 a 3 b 3 a 2 b 3 a 1 b 3 a 0 b Los términos en color rojo se corresponden con los sumandos negativos como se puede comprobar fácilmente. Desde el punto de vista tecnológico es difícil implementar una malla con circuito diferentes (de suma y de resta) por lo que una solución es separar las términos positivos y los negativos de forma que nos queda: a 3 a 2 a 1 a 0 b 3 b 2 b 1 b a 2 b 0 a 1 b 0 a 0 b 0 a 2 b 1 a 1 b 1 a 0 b 1 a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 2 a 0 b a 2 b 3 a 1 b 3 a 0 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 3 b Con esta base se han implementado el circuito multiplicador de Pezaris. Mas conveniente sería que todos los circuitos elementales fueran del mismo tipo, en ese sentido tenemos el algoritmo de Baugh-Wooley que transforma los términos negativos en otros equivalentes positivos. n 2 Consideremos la función F(a n-1 ) = -( 2 n-1 Σ a n-1 b i 2 i ) = -2 n-1 ( n-1 + Σ a n-1 b i 2 i ) = i = o n - 2 = 2 n-1 [ -1 2 n-1 + Σ a n-1 b i 2 i +1 ] Para evaluar esta función usamos una propiedad de las funciones de variable binaria: F(x) = x F(1) + x F(0) Como en nuestro caso F(0) = 0 y F(1) = 2 n-1 [ -1 2 n-1 + Σ b i 2 i +1 ] tendremos F(a n-1 ) = a n-1 2 n-1 [ -1 2 n-1 + Σ b i 2 i +1 ] = 2 n-1 [ -1 a n-1 2 n-1 + Σa n-1 b i 2 i + a n-1 ] =

12 ESTRUCTURA DE COMPUTADORES Pag y como a n-1 = 1 a n-1 podemos escribir: F(a n-1 ) = 2 n-1 [ n-1 + a n-1 2 n-1 + Σa n-1 b i 2 i + a n-1 ] de forma similar se puede demostrar que F(b n-1 ) = 2 n-1 [ n-1 + b n-1 2 n-1 + Σb n-1 a i 2 i + b n-1 ] Con lo que logramos que todos los sumandos sean positivos y por tanto que a la hora de implementarlo se pueda usar un único tipo de célula aritmética. El efecto que se logra es reemplazar los términos negativos por otros nuevos de forma que nos quedaría: a 3 a 2 a 1 a 0 b 3 b 2 b 1 b a 2 b 0 a 1 b 0 a 0 b 0 a 2 b 1 a 1 b 1 a 0 b 1 a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 2 a 0 b a a b b a 2 b 3 a 1 b 3 a 0 b a 3 b 2 a 3 b 1 a 3 b A la hora de diseñar un multiplicador matricial seguiremos la misma pauta que en el caso del circuito multiplicador de números positivos, teniendo en cuenta las entradas del mismo peso. En la figura siguiente tenemos un esquema del circuito multiplicador propuesto formado sólo por circuitos sumadores:

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