UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

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1 SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales Modelos de exámenes Distrito único de Andalucía

2 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 0 a b Sean las matrices A = y B = a) (1.5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A. b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X B A = I. EJERCICIO x si x < x 1 Sea la función definida de la forma f ( x) =. x 10x si x a) (0.5 puntos) Halle el dominio de f. b) (1.5 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x =. c) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. EJERCICIO 3 Parte I a) (1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(A)=0.5, que P(B)=0.4 y que P ( A B) = 0.8, determine P( A / B). b) (1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P( C) = 0.3, que P( D) = 0.8 y que C y D son independientes, determine P( C D). Parte II El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media μ días y desviación típica 3 días. a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza para estimar μ, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 días. b) (1 punto) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar μ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 9%?

3 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO 1 a) ( puntos) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones: x + y 6; 4x + y 10; x + y 3; x 0; y 0 y determine sus vértices. b) (1 punto) Calcule el máximo de la función f ( x, y) = 4x + y 3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza. EJERCICIO x + ax + b si x < 1 Sea la función f definida mediante f ( x) =. L( x) si x 1 a) (1.5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = 1. b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = 1 y en x = 1. EJERCICIO 3 Parte I Se sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60% tiene empleo. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Parte II Sea la población {1,,3,4}. a) (1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamaño, mediante muestreo aleatorio simple. b) (1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales.

4 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 1+ 3x 3 5 =. x 1 y b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de EJERCICIO a) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3 f ( x) = en el punto de abscisa x = 1. x b b) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la función g ( x) = ax + tenga un x extremo relativo en el punto (1, ). EJERCICIO 3 Parte I El examen de Matemáticas de un alumno consta de dos ejercicios. La probabilidad de que resuelva el primero es del 30%, la de que resuelva ambos es del 10%, y la de que no resuelva ninguno es del 35%. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) (1 punto) Que el alumno resuelva el segundo ejercicio. b) (1 punto) Que resuelva el segundo ejercicio, sabiendo que no ha resuelto el primero. Parte II La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica 4.5 cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm: 05, 198, 0, 04, 197, 195, 196, 01, 0. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables. b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.

5 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO 1 (3 puntos) Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 40 mg de hierro ni más de 00 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 0 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, cuál sería el de máximo coste diario? EJERCICIO 3 Dada la función f ( x) = 4 3x + x, determine: a) (1.5 puntos) La monotonía y la curvatura de f. b) (0.5 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. EJERCICIO 3 Parte I Se consideran los sucesos A y B. a) (0.75 puntos) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: 1. Que no ocurra ninguno de los dos.. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero que no ocurra A. b) (1.5 puntos) Sabiendo que P( A) = 0.5, P( B) = 0. 5 y P( A / B) = 0.3, halle P( A B). Parte II ( puntos) Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 00 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la muestra.

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10 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes: x + y 15; x y; 0 y 6; x 0 a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. b) (1 punto) Calcule sus vértices. c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función F( x, y) = 8x + 5y en el recinto anterior y dónde se alcanza. EJERCICIO 1 3 Sea la función f ( x) = x x. Calcule: 3 a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos. c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. EJERCICIO 3 Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús llega tarde el 0% de las veces y cuando va en coche llega a tiempo sólo el 10% de las veces. Elegido un día cualquiera al azar, determine: a) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús. b) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase. c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús? EJERCICIO 4 Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%, a) (1.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera. b) (0.75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.

11 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO Sean las matrices A = y B = t t a) (1 punto) Calcule A B A B. b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + BA = B. EJERCICIO Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3x e a) (0.8 puntos) f ( x) =. 1+ x b) (0.8 puntos) g ( x) = ln{ x(1 + 3x )}. c) (0.9 puntos) 5 x 1 + h( x) =. x EJERCICIO 3 De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 0 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso. a) (0.75 puntos) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra? b) (0.75 puntos) Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra? c) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que sea pediatra? EJERCICIO 4 Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80, 83, 87, 95, 86, 9, 85, 83, 84, 95. Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. a) (1.5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación α = b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?

12 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 3x + y 4; x + y 6; 0 y 5. a) (1 punto) Represéntelo gráficamente. b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto. c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función F ( x, y) = 5x + 3y. En qué puntos se alcanzan dichos valores? EJERCICIO Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N( t) = 4t t a) (1 punto) A qué hora el número medio de pacientes es máximo? Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Represente gráficamente N( t) = 4t t, con N ( t) 0. EJERCICIO 3 En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) No lea ninguno de los dos. b) (0.75 puntos) Lea sólo LA MAÑANA. c) (1 punto) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA. EJERCICIO 4 (.5 puntos) En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0.015, se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis H : p 0.4, donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco? 0

13 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN B EJERCICIO 1 Sean las matrices: c d 6 P =, Q = y R =. a b a) (1 punto) Calcule, si es posible, P Q y Q P, razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P Q = R? EJERCICIO x ax + 3 si x 1 Sea la función f ( x) =. ax 6x + 5 si x > 1 a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) ( puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales. EJERCICIO 3 Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un. Se lanza tres veces ese dado. a) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? b) (1 punto) Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un en cualquier orden? c) (1 punto) Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes? EJERCICIO 4 a) (1.5 puntos) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm, con un nivel de confianza del 98%. b) (1.5 puntos) Dada la población { 10, 1, 17 }, escriba todas las muestras de tamaño mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.

14 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Junio Común BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.. EJERCICIO OPCIÓN A Sean las matrices A =, B = y C = a) (1 punto) Calcule A B.C t b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A.X + B =.C EJERCICIO a) (1 punto) Calcule la función derivada de f (x) = (e -x )/(-x +). b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = at +bt, 0 t 8, a, b R. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. EJERCICIO 3 En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que: a) (1.5 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b) (1.5 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca. EJERCICIO 4 Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud. Se toma una muestra de 1000 piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0 cm. a) (0.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm. b) (1 punto) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación α = c) (1 punto) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?

15 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Junio Común BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.. OPCIÓN B EJERCICIO 1 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: x + y 0, 3x + 5y 70, x 0, y 0. a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4 1,11 7) pertenece al recinto. b) (1.5 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (0.75 puntos) Dónde alcanzará la función F(x, y) = 0 6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos? EJERCICIO Las funciones I(t) = -t + 51t y G(t) = t - 3t + 96 con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0 5 puntos) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) (1 punto) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio. EJERCICIO 3 Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el % del tercera tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores. a) (1 5 puntos) Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? b) (1 5 puntos) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? EJERCICIO 4 a) (1 punto) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 50 y 00. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, cuál es el tamaño de la muestra? b) (1.5 puntos) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg.

16 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Junio Específico BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.. OPCIÓN A EJERCICIO 1 (a) (1 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones 6x - y + 9 0, x + 5y 13 0, x - 3y (b) (0 9 puntos) Determine los vértices del recinto anterior. (c) (0 4 puntos) Halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 3x - y + 3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza. EJERCICIO x + 4 si x < 4 Sea la función: f(x) = si x < 4 x x 4x + 1 si x 4 (a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f (b) (0 5 puntos) Determine los extremos locales de f (c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa x = 3. EJERCICIO 3 Un examen consta de una parte teórica y una parte practica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0 7 y la de que se apruebe la parte practica Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. (a) (0 75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. (b) (0 75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar la parte practica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. (c) (1 punto) Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte practica"? EJERCICIO 4 El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizo una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y esta revelo que 130 de ellas habían visto ese programa. (a) (0 5 puntos) Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director. (b) (1 punto) Halle la región critica de ese contraste para un nivel de significación del 5 5%. (c) (1 punto) Según el dato obtenido en el apartado anterior qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?

17 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Junio Específico BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.. OPCIÓN B EJERCICIO (a) (1 5 puntos) Dadas las matrices M = y N t 3 1 = 1 0, razone cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + N t, M t.n, M.N. (b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final. Efectúe el producto P.Qt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. A B C A B C P: natural Q: natural '0 '75 '50 descafein descafein. 3'0 3'90 3'60 Efectúe el producto P.Q t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. EJERCICIO ( 5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: x f(x) = x + ; g(x) = (x +1) - ln(e 3x + 4) ; h(x) = x 1 3x 5 x EJERCICIO 3 Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se selecciona un día del año al azar, (a) (1 5 puntos) cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? (b) (1 5 puntos) cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas? EJERCICIO 4 El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media μ y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de 574 gramos. (a) (1 5 puntos) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media μ. (b) (1 5 puntos) Con el mismo nivel de confianza, cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?

18 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Septiembre BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones: x + y ; x + 3y 15; 3x y 15; x 0, y 0. (a) (1 5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. (b) (0 5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 3x + y en dicho recinto. (c) (0 5 puntos) Razone si existen puntos (x, y) del recinto, para los que F(x, y) = 30. EJERCICIO (a) (1 5 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la 4x función f(x) = x + 1 (b) (1 5 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x) = x 3 + 3x + 3x. EJERCICIO 3 En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0 1. Si este se produce, la probabilidad de que la alarma suene es La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de (a) (1 5 puntos) Cual es la probabilidad de que suene la alarma? (b) (1 punto) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente. EJERCICIO 4 Suponiendo que la variable "años de vida de los individuos de un país" sigue una distribución Normal con desviación típica 8 9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años. A partir de una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71 8 años. (a) (0.5 puntos) Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado. (b) (1 punto) Determine la región critica a un nivel de significación del 5%. (c) (1 punto) Con los datos muestrales, existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?

19 UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Septiembre BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.. EJERCICIO 1 Sean las matrices A= y B = OPCIÓN B 3 1 (a) (1 5 puntos) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: A.A t ; A t.a; A.B (b) (1'5 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial A.A t.x = B. 1 EJERCICIO x 3x + 4 si x Sea la función f(x) = a 4 si x > x (a) (1 5 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a. (b) (1 punto) Para a = 1, existe alguna asíntota vertical de esa función? y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas. EJERCICIO 3 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: p(a) = 0 4, p(b) = 0 5 y p(a B) = 0. (a) (1 5 puntos) Calcule las siguientes probabilidades: p(a B), p(a/b) y P(B/A C ). (b) (0 5 puntos) Razone si A y B son sucesos incompatibles. (c) (0 5 puntos) Razone si A y B son independientes. EJERCICIO 4 Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16. (a) (1 punto) Cual es la distribución de la media muestral? (b) (1 5 puntos) Cual es la probabilidad de que la media muestral este comprendida entre 47 5 y 5 5?,

20 Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 008 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * 19 de junio de 008 Ejercicio 1 Sean las matrices A = Opción A! y B = a b 6 1!. a) ( 1 5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A. b) ( 1 5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X B A = I. Solución : Calculemos los productos A B y B A:! A B = 0 a b B A = a b 6 1! 0 3 0!! = 1 3a 3b = 3b a 3 1!! ; : Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá únicamente si 3a = 3 y 3b = 1, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sólo si, a = 1 y b = 4. Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es B = * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - : 1

21 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, det B = 1), lo que signi ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:!! B 1 = 1 det B B et = = : Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X: La matriz X = X B A = I, X B = A + I, X = (A + I ) B 1,, X = " 0 3 0! ! # B 1 = 1 3 1! 1 0! 11 = : 3 1! 11 es la única solución de la ecuación matricial dada x >< ; si x < ; x 1 Ejercicio Sea la función de nida de la forma f (x) = >: x 10x; si x ;! = a) ( 0 5 puntos) Halle el dominio de f. b) ( 1 5 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x =. c) ( 1 5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0. Solución : En el intervalo [; +1[, la función f está de nida de una forma polinómica, por lo que podemos asegurar que está bien de nida y además es continua en el subintervalo abierto ]; +1[ (en el extremo inferior x = aún no sabemos si es o no continua porque no hemos estudiado el límite puntual por la izquierda). Por otro lado, si x <, la función pretende estar de nida de manera racional, pero el denominador se anula en el punto x = 1, por lo que debemos excluir este punto del dominio de f. En consecuencia, podemos a rmar que el mayor dominio posible en el que se puede considerar la función f correctamente de nida es: dom f = R f1g : Para estudiar la derivabilidad de f en x =, hemos de estudiar primeramente si es continua en dicho punto. En primer lugar, observamos que el punto está en el dominio, es decir, x = Andalucía Curso 007/08 Antonio Roldán

22 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 dom f y su imagen por f es f () = 8 0 = 1. Veamos ahora si f posee límite en x = estudiando sus límites laterales en dicho punto: f = lm x! f (x) = lm x! x x 1 = 4 1 = 4; f + = lm f (x) = lm x! + x! x 10x = 8 0 = 1: + Como los límites laterales de f en x = existen pero son distintos, podemos a rmar que la función f no es continua en x = y, por consiguiente, tampoco es derivable en x = (si fuese derivable, entonces sería continua en dicho punto, lo cual no ocurre). Finalmente, la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x = 0, si existe, es: y f (0) = f 0 (0) (x 0) : Por un lado, es sencillo calcular f (0) = 0= ( 1) = 0. Por otro lado, debemos calcular f 0 (0), si existe. Dado el carácter local de la derivación, para derivar f en x = 0 basta con derivar la expresión x= (x 1), pues coincide con f en el intervalo abierto ] 1; [, que contiene al punto x = 0. De esta forma: x < ; x x 1 0 = (x 1) x (x 1) = Así, f 0 (0) = = ( 1) =, y la ecuación de la recta buscada es: (x 1) : y f (0) = f 0 (0) (x 0), y 0 = (x 0), y = x: Concluimos entonces que la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta de ecuación y = x. Ejercicio 3 a) ( 1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (A) = 0 0 5, que p (B) = y que p (A [ B) = 0 0 8, determine p (A=B). b) ( 1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (C) = 0 0 3, que p (D) = y que C y D son independientes, determine p (C [ D). Solución : Esencialmente, la fórmula que se utiliza en este ejercicio es la relación: p (A [ B) = p (A) + p (B) p (A \ B) ; válida para cualesquiera sucesos A y B de un mismo espacio de probabilidad. Esta igualdad nos permite despejar: p (A \ B) = p (A) + p (B) p (A [ B) = = 0 0 1; Andalucía Curso 007/08 3 Antonio Roldán

23 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 y de aquí, la probabilidad condicionada p (A=B) es: p (A=B) = p (A \ B) p (B) = = 1 4 : De la misma forma, sabemos que una de las posibles caracterizaciones de la independencia de sucesos es: C y D son independientes, p (C \ D) = p (C) p (D) : Utilizando este hecho, podemos deducir la siguiente probabilidad: p (C [ D) = p (C) + p (D) p (C \ D) = p (C) + p (D) p (C) p (D) = = = = : Esto acaba el ejercicio. Ejercicio 4 El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media días y de desviación típica 3 días. a) ( 1 punto) Determine un intervalo de con anza para estimar, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es de 8 1 días. b) ( 1 punto) Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar con un error máximo de 1 día y un nivel de con anza del 9 %? Solución : Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo (en días) de permanencia en el hospital de un enfermo tomado al azar. Según indica el problema, de esta variable sabemos que X,! N (; = 3), siendo la media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de tamaño n = 100, que arroja una media muestral de x = días. Como la población de partida es Normal, el intervalo de con anza solicitado es: I:C: = x z = pn : Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 97 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = 3 % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico Andalucía Curso 007/08 4 Antonio Roldán

24 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 z = = z = 0 17, como se aprecia en el siguiente grá co. y 0'97 0'015 0'015 _ z 0'015 z 0'015 Z,! N (0; 1) x De esta forma, el intervalo de con anza es: I:C: = x z = pn = p 100 = = ; : Esto signi ca que el tiempo medio de permanencia en el hospital,, al 97 % de con anza, varía entre 7 45 y 8 75 días, aproximadamente. Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con anza para la media con un error máximo de E = 1 día al 9 % de con anza. Entonces debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri que z= n ; E donde z = es el valor crítico correspondiente a un nivel de con anza p = 1 = 9 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = ). Razonando como antes, sabemos que p Z > z = = = = , lo que se traduce en que p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de colas a la izquierda de la distribución Normal estándar, y encontramos el valor crítico z = = Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra es: z= n = = : E 1 Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con anza para sea inferior a un día, al 9 % de con anza, el menor número de personas que debemos tomar en una muestra aleatoria es de 8 individuos. Andalucía Curso 007/08 5 Antonio Roldán

25 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 Opción B Ejercicio 1 a) ( puntos) Represente grá camente la región determinada por las siguientes restricciones: x + y 6 ; 4x + y 10 ; x + y 3 ; x 0 ; y 0: b) ( 1 punto) Calcule el máximo de la función f (x; y) = 4x + y 3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza. Solución : Llamemos R al recinto buscado. Una forma de dibujar sus bordes consiste en hacer igualdades las desigualdades y calcular los puntos en los que estas rectas cortan a los ejes de coordenadas. 8 < (3; 0) x + y 6! : (0; 6) 8 < ( 0 5; 0) 4x + y 10! : (0; 10) Con estos puntos, ya podemos dibujar los bordes del recinto. y x 8 < ( 3; 0) x + y 3! : (0; 3) El primer cuadrante (delimitado por las inecuaciones x 0 e y 0) queda así dividido en siete recintos, cinco de ellos acotados y dos no acotados. Comprobando cuál de ellos veri ca, a la vez, las cinco inecuaciones del sistema, determinamos que el recinto R que buscamos es el único recinto del primer cuadrante que posee al punto A (0; 0) como vértice. Otros dos de sus vértices son B (0; 3) y E ( 0 5; 0). Calculamos sus otros dos vértices encontrando dónde se cortan las rectas distintas de los ejes coordenados: 8 < : x + y = 6 4x + y = 10 8 < : x + y = 6 x + y = 3 x = ; y = x = 1; y = 4 y B C R D A E Andalucía Curso 007/08 6 Antonio Roldán x

26 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 De esta forma, podemos a rmar que los vértices de la región R determinada por las restricciones dadas son: A (0; 0) ; B (0; 3) ; C (1; 4) ; D (; ) ; E 0 5; 0 : El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a rma que la función f (x; y) = 4x + y 3 alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos extremos deben estar situados en sendos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: f (0; 0) = 3; f (0; 3) = 6 3 = 3; f (1; 4) = = 9; f (; ) = = 9; f 0 5; 0 = 10 3 = 7: Observamos entonces que el valor máximo de f en el recinto R es 9 (no se nos pide el valor mínimo). No obstante, este valor extremo no se alcanza en un único vértice, sino que observamos que hay dos vértices consecutivos del recinto en los que se alcanza dicho valor máximo. Entonces sabemos la función f toma el mismo valor en todos los puntos del segmento cerrado que une vértices consecutivos al mismo nivel. Esto nos permite concluir que la función f alcanza su valor máximo (que es 9) en el recinto R en todos los puntos del segmento cerrado de extremos C (1; 4) y D (; ). 8 < x + ax + b; si x < 1; Ejercicio Sea la función f de nida mediante f (x) = : L (x) ; si x 1: a) ( 1 5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = 1. b) ( 1 5 puntos) Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = 1 y en x = 1. Solución : La función f está de nida en el intervalo abierto ] 1; 1[ como una función polinómica, y en el intervalo abierto ]1; +1[ como la función logaritmo neperiano. Por tanto, dado el carácter local de la continuidad y de la derivabilidad, de entrada, podemos a rmar que f es continua y derivable en R f1g. El único punto en el que puede fallar la continuidad es en el punto x = 1. Estudiemos qué relación deben veri car los coe cientes a y b para que f sea continua en x = 1. Para ello, calculamos los límites laterales de f en x = 1 y establecemos que sean iguales. f 1 = lm x!1 f (x) = lm x!1 x + ax + b = 1 + a + b; f 1 + = lm f (x) = lm L (x) = L (1) = 0: x!1 + x!1 + Para que f sea continua en x = 1, es necesario (y su ciente) que 1+a+b = 0, es decir, a+b = 1. Por otro lado, si f alcanza un mínimo en x = 1, entonces debe cumplirse que f 0 ( 1) = 0, ya que se ha comentado que f es derivable en dicho punto. Dado que si x < 1 se tiene que: f 0 (x) = x + ax + b 0 = x + a; Andalucía Curso 007/08 7 Antonio Roldán

27 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 entonces: f 0 ( 1) = 0, + a = 0, a = : Sabiendo ahora que f es continua en x = 1, podemos despejar: a + b = 1 ) b = a 1 = 1 = 3: Por consiguiente, concluimos que los valores que hacen que f sea continua y, a la vez, tenga un mínimo en x = 1, son a = y b = 3. Supongamos ahora que a = 1 y b = 1. Entonces podemos a rmar lo siguiente. La función f es derivable en x = 1, pues ya se ha expuesto antes que, sean cuales sean los valores de a y de b, la función f es derivable en R f1g. La función f no es derivable en x = 1 ya que en dicho punto no es continua. Para ser continua en x = 1, hemos visto que los valores a y b deben veri car la relación a + b = 1, y los valores a = 1 y b = 1 no la cumplen. Así, f no es continua en x = 1 y, en consecuencia, no puede ser derivable en dicho punto. Esto acaba el ejercicio. Ejercicio 3 Se sabe que el 30 % de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95 % tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60 % tiene empleo. a) ( 1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b) ( 1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Solución : Llamemos S al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene estudios superiores, y llamemos E al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene empleo. Como hay un 30 % de personas con estudios superiores, sabemos que p (S) = 0 0 3, y sin estudios superiores habrá un 70 %, es decir, p S C = 1 p (S) = Entre los que tienen estudios superiores, hay un 95 % de personas con empleo, lo que nos indica la probabilidad condicionada p (E=S) = Igualmente, entre las personas que no tienen estudios superiores, hay un 60 % que tienen empleo, y así p E=S C = Con estas verosimilitudes y probabilidades Andalucía Curso 007/08 8 Antonio Roldán

28 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 a priori, podemos completar el siguiente diagrama en árbol E S E 6 S C E C 0 4 E C Aplicando entonces el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que un individuo, seleccionado al azar, tenga empleo es: p (E) = p (S) p ( ) E + p ( S C) ( ) E p S S C = = = Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la definición de probabilidad condicionada), seleccionado un individuo al azar que tiene empleo, la probabilidad de que tenga estudios superiores es: ( ) S p (S E) p = = E p (E) p (S) p ( E S = = = p (S) p ( ) E S ) + p (S C ) p ( ) = E S C Aproximadamente, esta probabilidad es del %. { } Ejercicio 4 Sea la población 1,, 3, = a) ( 1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamaño, mediante muestreo aleatorio simple. b) ( 1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales. Solución : Llamemos X a la variable aleatoria que mide la media muestral de los dos números obtenidos mediante muestreo aleatorio simple en la población indicada. Salvo que se indique lo contrario, el muestreo aleatorio simple se entiende con reemplazamiento. Por consiguiente, todas las muestras posibles de tamaño dos son: (1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, ), (, 3), (, 4) (3, 1), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4) El elemento (1, 1) significa que en la primera extracción sacamos un 1 y en la segunda extracción, después de devolver a la población el número encontrado, volvemos a sacar un 1. Igualmente, el elemento (3, ) indica que primero sacamos un 3 y, después de devolverlo a la población, Andalucía Curso 007/08 9 Antonio Roldán.

29 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 008 sacamos un. Haciendo la media de los dos números obtenidos en cada una de las posibilidades anteriores, tenemos la siguiente tabla de frecuencias, con la que podemos determinar la varianza de las medias muestrales: x i n i x i n i x i n i >< >: X = X = P i x i n i N P i x i n i N = = 5 ; X = = 5 8 : Esto concluye que la varianza de las medias muestrales de tamaño es 5=8. Nota 1 Hay una segunda forma de resolver el ejercicio anterior que es especialmente sencilla. Basta con calcular la media y la varianza de la población f1; ; 3; 4g con las fórmulas usuales: = = 10 4 = 5 = 0 5; = (1 0 5) + ( 0 5) + (3 0 5) + (4 0 5) 4 = Recordemos que el Teorema Central del Límite establece lo siguiente: Dada una población de media y desviación típica (no necesariamente Normal), la distribución de las medias muestrales X n de tamaño n veri ca: Xn = ; Xn = n ; y, a medida que n crece, dicha distribución se aproxima a una distribución Normal (es casi Normal cuando n 30). No obstante, hay ocasiones en que los parámetros muestrales siguen cumpliendo las relaciones anteriores aun cuando la población de partida ni es Normal ni se toma una muestra su cientemente grande. Es el caso de la población que aquí manejamos, que cumple: X = = 5 ; X = n = 5=4 = 5 8 : Este segundo procedimiento también nos lleva a demostrar que la varianza de las medias muestrales de tamaño es 5=8. = 5 4 : Andalucía Curso 007/08 10 Antonio Roldán

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41 Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 009 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * 18 de junio de 009 Opción A Ejercicio 1 Sea la igualdad A X + B = A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. (a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa. (b) ( puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo! A = y B = 1 3 1! : Solución : Apartado (a). Primero se despeja A X (pasando B restando al segundo miembro) y luego se multiplica por la inversa de A por la izquierda: A X + B = A, A X = A B, A 1 A X = A 1 (A B),, I X = A 1 A A 1 B, X = I A 1 B; donde I es la matriz identidad de la misma dimensión que A. También hubiese valido X = A 1 (A B). X = A 1 (A B) = I A 1 B Apartado (b). Teniendo en cuenta que el determinante de A es 1, su matriz inversa es:!! A 1 = 1 det A adj AT = = : 1 1 * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - 1

42 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 De esta forma, podemos calcular la matriz X utilizando el apartado anterior:!!! X = I A 1 B = = !!! = = : Concluimos que la matriz X solicitada es: X = ! : 8 < x + x; si x < 0; Ejercicio Sea la función f (x) = : x ; si x 0: x + 1 (a) ( puntos) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función f en su dominio. (b) (0 5 puntos) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. (c) (0 5 puntos) Determine la asíntota vertical, si la tiene. Solución : Apartado (a). En el intervalo abierto R = ] 1; 0[, la función f está de nida de forma polinómica (un trozo de parábola), por lo que es continua y derivable en este intervalo. De la misma forma, En el intervalo abierto R + = ]0; +1[, la función f está de nida de forma racional (un trozo de hipérbola), de manera que el denominador no se anula en todo este intervalo (sólo lo hace en x = 1). Por tanto, en este otro intervalo, f también es continua y derivable. Hemos deducido, pues, que f es continua y derivable en Rf0g, y queda por estudiar qué ocurre en x = 0. f (0) = = 0; 8 >< >: f (0 ) = lm x!0 f (x) = lm x!0 x + x = 0 f (0 + x ) = lm f (x) = lm x!0 + x!0 + x + 1 = = 0 f (0) = 0 = lm x!0 f (x) : 9 >= >; ) lm x!0 f (x) = 0; De las tres propiedades anteriores deducimos que f es continua en x = 0 y, por tanto, es continua en R. Estudiamos a continuación su derivabilidad en x = 0. En puntos distintos de Andalucía Curso 008/09 Antonio Roldán

43 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 cero su primera derivada se obtiene derivando cada trozo: 8 >< x + 1; si x < 0; x 6= 0; f 0 (x) = 1 >: (x + 1) si x > 0: Estudiamos si existen los límites laterales de la función primera derivada en x = 0: f 0 0 = lm f 0 (x) = lm x!0 x!0 (x + 1) = = 1; f = lm x!0 + f 0 (x) = lm x!0 + 1 (x + 1) = 1 (0 + 1) = 1: Como f es continua en R, derivable alrededor de x = 0 y en este punto existen los límites laterales de la función derivada y son iguales, concluimos que f es derivable en x = 0 y su derivada en este punto coincide con los límites laterales de la derivada en dicho punto. La función f es continua y derivable en R. Apartado (b). A la izquierda (en 1), f no posee ninguna asíntota horizontal, pues coincide con una función parabólica (es todo caso, se dice que posee una rama parabólica). Se comprueba de una manera sencilla que: lm f (x) = lm x! 1 x! 1 x + x = lm ( x) + ( x) = lm x!+1 x!+1 x x = +1: Sin embargo, a la derecha (en +1), f coincide con una función hiperbólica, que posee una asíntota horizontal. Es sencillo calcular: lm f (x) = x!+1 lm x!+1 x x + 1 = 1: Por consiguiente, la recta y = 1 es asíntota horizontal de f (a la derecha). La recta y = 1 es asíntota horizontal de la función f (a la derecha). Apartado (c). La función f no posee ninguna asíntota vertical pues es continua en todo R. Dibujamos la función f para comprobar algunos de los datos del ejercicio anterior. y x Andalucía Curso 008/09 3 Antonio Roldán

44 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Ejercicio 3 Un turista que realiza un crucero tiene un 50 % de probabilidad de visitar Cádiz, un 40 % de visitar Sevilla y un 30 % de visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que: (a) (0 5 puntos) Visite al menos una de las dos ciudades. (b) (0 5 puntos) Visite únicamente una de las dos ciudades. (c) (0 5 puntos) Visite Cádiz pero no visite Sevilla. (d) (0 5 puntos) Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz. Solución : Llamemos C y S a los sucesos elegido/a un/a turista al azar, éste/a visita Cádiz o Sevilla, respectivamente. Según los datos del enunciado, p (C) = 0 0 5, p (S) = y p (C \ S) = Con estos datos, podemos realizar el siguiente diagrama de Venn: C S 0' 0'3 0'1 De esta forma, todos los apartados son inmediatos. No obstante, utilizamos algunas fórmulas para justi carlos: (a) p (C [ S) = p (C) + p (S) p (C \ S) = = 0 0 6: (b) p ( una sóla ciudad ) = p (CS) + p (SC) = (p (C) p (C \ S)) + (p (S) p (C \ S)) = = = = 0 0 3: (c) p (CS) = p (C) p (C \ S) = = 0 0 : S p (C \ S) (d) p = = 00 3 C p (C) = 3 5 = 00 6: (a) p (C [ S) = 0 0 6: (b) p ( una sóla ciudad ) = 0 0 3: (c) p (CS) = 0 0 : (d) S p = 0 0 6: C Ejercicio 4 El tiempo (en horas) que permanecen los coches en un determinado taller de reparación es una variable aleatoria con distribución Normal de desviación típica 4 horas. Andalucía Curso 008/09 4 Antonio Roldán

45 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 (a) (1 punto) Se eligieron, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, entre todos, estuvieron 136 horas en reparación. Determine un intervalo de con anza, al 98.5 %, para la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller. (b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra que permita estimar la media del tiempo que permanecen en reparación los coches en ese taller con un error en la estimación no superior a una hora y media y con el mismo nivel de con anza del apartado anterior. Solución : Llamemos X a la variable aleatoria que mide el tiempo (en horas) que permanece un coche, elegido al azar, en ese taller de reparación. De esta variable sabemos que X,! N (; = 4), donde la media es desconocida. Apartado (a). Si se eligieron 16 coches al azar y, entre todos, estuvieron 136 horas en el taller, podemos decir que la media del tiempo que estuvieron estos coches en el taller es de x = 136=16 = horas. Como X sigue una distribución Normal, el intervalo de con anza para la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller es: I:C: = x z = pn : Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 98 5 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = z = 0 43, como se aprecia en el siguiente grá co. y 0'985 0'0075 0'0075 _ z 0'0075 z 0'0075 Z,! N (0; 1) x Andalucía Curso 008/09 5 Antonio Roldán

46 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 De esta forma, el intervalo de con anza es: i h I:C: = x z = pn = i I:C: = ; p 16 = ] [ = ] ; [ : Esto signi ca que el tiempo medio,, de permanencia de los coches en ese taller está entre 6 07 y horas, al 98 5 % de con anza. Apartado (b). Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con- anza para la media con un error máximo de E = horas al 98 5 % de con anza. Entonces debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri que: z= n ; E donde z = es el mismo valor crítico que en el apartado anterior. Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra veri ca: z= n = E 1 0 = = : 5 Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con anza para sea inferior a una hora y media, al 98 5 % de con anza, el menor número de coches que debemos tomar en una muestra aleatoria es de 4 de ellos. 4 coches. h : Opción B Ejercicio 1 (a) (1 5 puntos) Dibuje el recinto de nido por las siguientes restricciones: x + y ; x y 0; y 4; x 0: (b) (1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función F (x; y) = x+y en el recinto anterior y los puntos donde se alcanzan. (c) (0 5 puntos) Pertenece el punto 1 3 ; 4 3 al recinto anterior? Justi que la respuesta. Solución : Apartado (a). Llamemos R al recinto determinado por las desigualdades anteriores. Para dibujar el recinto R, determinamos un par de puntos de cada recta (por ejemplo, donde Andalucía Curso 008/09 6 Antonio Roldán

47 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 corta a los ejes de coordenadas) que delimita el recinto, la cual se consigue estableciendo la iguadad en cada desigualdad. 8 8 < (; 0) ; < (0; 0) ; x + y =! x y = 0! : (0; ) ; : (1; 1) : Con estos puntos, ya podemos dibujar los bordes del recinto. 8 < (0; 4) ; y = 4! : (1; 4) : 8 < (0; 0) ; x = 0! : (0; 1) : y x Buscamos cuál de estos recintos veri ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en el que está el punto (1; 3) (marcado en el dibujo anterior). De esta forma, el recinto R es el siguiente: y A B C R 1 D Los vértices de la región R determinada por las restricciones dadas son: A (0; ) ; B (0; 4) ; C (4; 4) ; D (1; 1) : x Apartado (b). Consideremos la función F (x; y) = x + y. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a rma que la función F alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos extremos deben estar situados en ciertos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F (0; ) = ; F (0; 4) = 4; F (4; 4) = 8; F (1; 1) = : Andalucía Curso 008/09 7 Antonio Roldán

48 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Esto signi ca lo siguiente. El valor máximo de F en la región R es 8 y se alcanza en el punto (4; 4). Igualmente, el valor mínimo de la función F en el recinto R es y se alcanza en todos los puntos del segmento cerrado de extremos (0; ) y (1; 1). Apartado (c). El punto 1 3 ; 4 3 no cumple la inecuación x+y, ya que = 5 3 = 10 b6 <. Por tanto, no pertenece al recinto R. El punto 1 3 ; 4 3 no pertenece al recinto dado. Ejercicio Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C (t) = 0 0 t + 4t + 5; 0 t 5 (t = años transcurridos desde el año 000). (a) (1 punto) En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? (b) (1 punto) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? (c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. Solución : Como la función C es claramente un trozo de parábola cóncava, no nos cuesta ningún trabajo dibujarla. Su vértice está situado en: t v = b a = = 10: Con tres puntos de una tabla de valores (los extremos del intervalo de de nición y el vértice de la parábola) podemos dibujar la función C: t C (t) y x Andalucía Curso 008/09 8 Antonio Roldán

49 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Apartado (a). El máximo de la función C está en t = 10, pues es su vértice. Por tanto, como partimos del año 000, el año de máxima contaminación será el año 010. Apartado (b). La función anterior únicamente vale cero (corta al eje de abscisas) cuando t = 5, por lo que deducimos que: el año de contaminación cero será el año 05. Apartado (c). La pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C = C(t) en t = 8 es la derivada C 0 (8). Como C 0 (t) = 0 0 4t + 4, resulta que C 0 (8) = = > 0. Por consiguiente, la pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C = C(t) en t = 8 es C 0 (8) = Que esta pendiente sea positiva signi ca que la función C = C(t) es estrictamente creciente en t = 8, es decir, el nivel de contaminación crece en 008. Ejercicio 3 En un centro escolar, los alumnos de o de Bachillerato pueden cursar, como asignaturas optativas, Estadística o Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El 70 % de los alumnos estudia Estadística y el resto DAO. Además, el 60 % de los alumnos que estudia Estadística son mujeres y, de los alumnos que estudian DAO son hombres el 70 %. (a) (1 punto) Elegido un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre? (b) (1 punto) Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, cuál es la probabilidad de que estudie Estadística? Solución : Llamemos E y DAO a los sucesos elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a estudia Estadística o Diseño Asistido por Ordenador, respectivamente. De la misma forma, llamemos H y M a los sucesos elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a resulta ser hombre o mujer, respectivamente. El enunciado nos dice que p (E) = 0 0 7, por lo que p (DAO) = ya que hay que elegir obligatoriamente alguna de las dos asignaturas. También sabemos que p (M=E) = 0 0 6, Andalucía Curso 008/09 9 Antonio Roldán

50 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 de donde p (H/E) = 0 4, y además p (H/DAO) = 0 7, de donde p (M/DAO) = 0 3. Con todas estas probabilidades construimos el siguiente diagrama en árbol: 0 4 H E M H 7 DAO 0 3 M Apartado (a). Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que una persona, seleccionada al azar, sea un hombre es: p(h) = p (E) p ( ) ( ) H H + p (DAO) p = E DAO = = Apartado (b). Como hay un 49 % de hombres, debe haber un 51 % de mujeres, por lo que p (M) = Aplicando la definición de probabilidad condicionada: ( ) E p (E M) p = = p (E) p ( ) M E = M p (M) p (M) 0 = = ( ) E (a) p (H) = (b) p = 4 M Ejercicio 4 En un estudio de mercado del automóvil en una ciudad se ha tomado una muestra aleatoria de 300 turismos, y se ha encontrado que 75 de ellos tienen motor diésel. Para un nivel de confianza del 94 %: (a) (1 5 puntos) Determine un intervalo de confianza de la proporción de turismos que tienen motor diésel en esa ciudad. (b) (0 5 puntos) Cuál es el error máximo de la estimación de la proporción? Solución : Apartado (a). Como hay 75 coches con motor diésel en una muestra de tamaño n = 300, la proporción muestral de coches con motor diésel es ˆp = 75/300 = 0 5. Dado que n 30, n ˆp = = 75 5 y n (1 ˆp) = = 5 5, podemos utilizar la aproximación de De Moivre para obtener la fórmula de intervalo del confianza para la proporción poblacional de coches en esa ciudad con motor diésel, que es: ] [ ˆp (1 ˆp) I.C. = ˆp ± z α/. n Andalucía Curso 008/09 10 Antonio Roldán

51 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 009 Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 94 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = 6 % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = (realmente no es el valor exacto, pero es mejor aproximación que 1 89). y 0'94 0'03 0'03 _ z 0'03 z 0'03 x Z,! N (0; 1) De esta forma, el intervalo de con anza es: # r " # r ^p (1 ^p) 0 I:C: = ^p z = = n 300 " = = ; : Esto signi ca que, al 94 % de con anza, la proporción de coches con motor diésel en esa ciudad está en el intervalo: es decir, entre el 0 3 % y el 9 7 %. i I:C: = ; Apartado (b). Si el intervalo de con anza es el anterior, el error máximo que puede cometer este intervalo (determinado al 94 % de con anza) es: h ; r ^p (1 E = z = n ^p) = r = = %: El error máximo de la estimación de la proporción es del 4 7 %. Andalucía Curso 008/09 11 Antonio Roldán

52 Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Septiembre de 009 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * 17 de septiembre de 009 Opción A Ejercicio 1 (a) ( 5 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: x + 3y 1 ; x 3 + y 1 ; y 1 ; x 0. 5 (b) (0.5 puntos) Calcule los valores extremos de la función F (x, y) = 5x + 15y en dicha región y dónde se alcanzan. Solución : La segunda inecuación es equivalente a: x 3 + y 1 5x + 3y Llamemos R al recinto determinado por las desigualdades anteriores. Para dibujar el recinto R, determinamos un par de puntos de cada recta (por ejemplo, donde corta a los ejes de coordenadas) que delimita el recinto, la cual se consigue estableciendo la igualdad en cada desigualdad. (1, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 0), x+3y = 1 5x+3y = 15 y = 1 x = 0 (0, 4) ; (0, 5) ; (1, 1) ; (0, 1). Con estos puntos, ya podemos dibujar los bordes del recinto. * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - 1

53 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 y x Buscamos cuál de estos recintos veri ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en el que está el punto (4; ) (marcado en el dibujo anterior). De esta forma, el recinto R es el siguiente: y 6 4 B A R C Calculamos los vértices A, B y C resolviendo ciertos sistemas de ecuaciones < y = 1 < 5x + 3y = 15 < y = 1 A : B : C : : 5x + 3y = 15 : x + 3y = 1 : x + 3y = 1 x = 1 5 = 0 4; y = 1 x = 3 4 = 00 75; y = x = 9; y = 1 Por tanto, los vértices del recinto son A ( 0 4; 1), B (0 0 75; ) y C (9; 1). x Los vértices del recinto son A ( 0 4; 1), B (0 0 75; ) y C (9; 1). Apartado (b). El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a rma que la función F (x; y) = 5x + 15y alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos extremos deben estar situados en sendos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F 0 4; 1 = 7; F ; = 60; F (9; 1) = 60: Andalucía Curso 008/09 Antonio Roldán

54 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 Estos valores nos proporcionan la solución. El valor mínimo de F en el recinto R es 7, y se alcanza en el punto ( 4, 1). De igual forma, el valor máximo de F en el recinto R es 60, y se alcanza en todos los puntos del segmento cerrado de extremos (0 75, 3 75) y (9, 1). Ejercicio La función derivada de una función f viene dada por f (x) = 3x 1x + 9. (a) (1.5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función alcanza sus extremos locales. (b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f. (c) (0.75 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, 5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto. Solución : No debemos confundir la función f con su primera derivada f. El ejercicio nos indica f, pero no f. Veremos que no hace falta conocer f. Lo que sí está claro es que, dado que f (x) = 3x 1x + 9 es una función continua en R (por ser una función polinómica), sabemos que f es una función derivable en R y, por tanto, también es continua en R. Apartado (a). Para calcular la monotonía de f, determinamos sus puntos críticos, es decir, los puntos que anulan a la primera derivada. f (x) = 0 3x 1x + 9 = 0 x 4x + 3 = 0 x = 4 ± = 4 ± 4 = 4 ± {x 1 = 1, x = 3}. Por tanto, f posee dos puntos críticos, x 1 = 1 y x = 3, que son los candidatos a extremos relativos. Hacemos la siguiente tabla para estudiar la monotonía de f. f + máx mín + f 1 3 f (0) = 9 > 0; f () = 3 < 0; f (4) = 9 > 0. De la tabla anterior deducimos la siguiente solución. La función f es (estrictamente) creciente en ], 1[ ]3, + [ y es (estrictamente) decreciente en ]1, 3[. Además, posee un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 3. Andalucía Curso 008/09 3 Antonio Roldán

55 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 Apartado (b). Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función f, utilizamos la segunda derivada de f, que es f (x) = 6x 1, para cada x R, y estudiamos dónde se anula: f (x) = 0 6x 1 = 0 x =. El único punto candidato a punto de inflexión es x =. La siguiente tabla nos indica la curvatura de f. f P.I. + f (0) = 1 < 0; f (3) = 6 > 0. f La función f es cóncava en ], [ y es convexa en ], + [. Apartado (c). Decir que la función f pasa por el punto (, 5) es lo mismo que decir que f () = 5. Sabiendo que f () = 3, ya podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x = : y f () = f () (x ) y 5 = 3 (x ) y = 3x y = 3x La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = es y = 3x Ejercicio 3 Una enfermedad afecta al 10 % de la población. Una prueba de diagnóstico tiene las siguientes características: si se aplica a una persona con la enfermedad, da positivo en el 98 % de los casos; si se aplica a una persona que no tiene la enfermedad, da positivo en el 6 % de los casos. Se elige una persona, al azar, y se le aplica la prueba. (a) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que dé positivo? (b) (1 punto) Si no da positivo, cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad? Solución : Apartado (a). Llamemos E al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste tiene la enfermedad, y llamemos P al suceso elegido un individuo al azar en la población, éste da positivo al hacer la prueba de diagnóstico. Como hay un 10 % de personas que tienen la enfermedad, sabemos que p (E) = 0 1, y sin la enfermedad habrá un 90 %, es decir, p ( E C) = 1 p (E) = 0 9. Entre las personas que tienen la enfermedad, la prueba de diagnóstico da positivo en el 98 % de los casos, es decir, p (P/E) = Igualmente, entre las personas que no tienen la enfermedad, la prueba da positivo en el 6 % de los casos, lo que significa que p ( P/E C) = Andalucía Curso 008/09 4 Antonio Roldán

56 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 Con estas verosimilitudes y probabilidades a priori, podemos completar el siguiente diagrama en árbol P E P 06 E C P C 0 94 P C Aplicando entonces el Teorema de la Probabilidad Total, deducimos que la probabilidad de que un individuo, seleccionado al azar, dé positivo en la prueba es: ( ) P p (P ) = p (E) p + p ( E C) ( ) P p E E C = = = La probabilidad de que la prueba dé resultado positivo es Apartado (b). Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la definición de probabilidad condicionada), seleccionado un individuo al azar que no ha dado positivo, la probabilidad de que tenga la enfermedad es: ( ) E p P C = p ( ( ) E P C) p (E) p P C E p (P C = ) p (E) p ( P C E = = 848 = ) + p (E C ) p ( P C E C ) = = La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si no ha dado positivo es 1/44 (aproximadamente, un 0 36 %). Ejercicio 4 Se desea estimar la proporción de fumadores de una población mediante una muestra aleatoria. (a) (1 punto) Si la proporción de fumadores en la muestra es 0. y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95 %, calcule el tamaño mínimo de la muestra. (b) (1 punto) Si en otra muestra de tamaño 80 el porcentaje de fumadores es del 5 %, determine, para un nivel de confianza del 99 %, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de fumadores de esa población. Andalucía Curso 008/09 5 Antonio Roldán

57 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 Solución : Apartado (a). La proporción de fumadores en la muestra es ^p = 0 0 y el error cometido en la estimación veri ca E El tamaño mínimo de la muestra se puede determinar así: r ^p (1 ^p) z = = E , z = ^p (1 ^p) = E , n n, n = z = ^p (1 ^p) E z = ^p (1 ^p) ; donde z = es el valor crítico al nivel de con anza del 95 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = 5 % = ). Para calcular este valor, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = y 0'95 0'05 0'05 _ z 0'05 z 0'05 x Z,! N (0; 1) De esta forma: n z = ^p (1 ^p) = : El tamaño mínimo de la muestra es de 683 personas. Apartado (b). Supongamos ahora que el tamaño de la muestra es n = 80 y que el porcentaje de fumadores ha resultado ser ^p = Calculamos el valor crítico a un nivel de con anza del 99 % (es decir, al = 1 % = de signi cación). En este caso, el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = (hemos Andalucía Curso 008/09 6 Antonio Roldán

58 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 tomado el punto medio entre 0 57 y 0 58). y 0'99 0'005 0'005 _ z 0'005 z 0'005 x Z,! N (0; 1) De esta forma, el intervalo de con anza es: # r ^p (1 ^p) I:C: = ^p z = n " # r 0 = " = = = ; : Esto signi ca que, al 99 % de con anza, se estima que la proporción de fumadores de esa población está en el intervalo: es decir, entre el % y el %. i I:C: = ; h ; Ejercicio 1 Sean las matrices A = Opción B! y B = !. (a) (1 punto) Calcule A y B + I. (b) ( puntos) Resuelva la ecuación matricial A X I = B. Solución : Apartado (a). Las matrices solicitadas son:!!! A = A A = = 1 3 ; !!!! 3 1 B + I = = = ! : Andalucía Curso 008/09 7 Antonio Roldán

59 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 A = ( ) y B + I = ( 7 3 ). Apartado (b). El determinante de la matriz A es: 1 1 det A = 0 = 0 =. Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y ésta es: ( ) ( ) A 1 = 1 det A adj AT = = Despejamos entonces la matriz X de la ecuación matricial: A X I = B A X = B + I A 1 A X = A 1 ( B ) + I I X = A 1 ( B ) + I X = A 1 ( B ) + I. La matriz B + I es: ( ) ( ) ( ) ( B I = + = ( ) ( ) ( ) = = ) + ( ) = De esta forma, la matriz X buscada es: X = A 1 ( ( B ) I = 0 1 ) ( ) = 1 ( ) = ( ). Concluimos que: X = ( ). Ejercicio Sea la función f (x) = ax 3 + bx + x. (a) (1.5 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en x = 1 y que f (1) =. (b) (1.5 puntos) Para a = b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. Andalucía Curso 008/09 8 Antonio Roldán

60 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 Solución : Apartado (a). Como la función f es una función polinómica, sabemos que es derivable en su dominio (R). De hecho, su primera derivada es f (x) = 3ax + bx + 1 para cada x R. Como f posee un máximo en x = 1, su primera derivada en este punto debe anularse. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas: { { { { f (1) =, a + b + 1 =, a + b = 1, a + b = 1, f (1) = 0 3a + b + 1 = 0 3a + b = 1 a = 3. De aquí se deduce inmediatamente que los valores de a y b deben ser: a = 3 y b = 4. Apartado (b). Si a = b = 1, la función f toma el valor f (x) = x 3 + x + x, para cada x R, y su primera derivada es f (x) = 3x + x + 1, para cada x R. De esta forma, f (0) = 0 y f (0) = 1. Así, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x = 0: y f (0) = f (0) (x 0) y 0 = 1 x y = x. y = x. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = 0 es Ejercicio 3 En una editorial hay dos máquinas A y B que encuadernan 100 y 900 libros al día, respectivamente. Además, se sabe que la probabilidad de que un libro encuadernado por A tenga algún fallo de encuadernación es del %, y del 10 % si ha sido encuadernado por la máquina B. Se elige, al azar, un libro encuadernado por esa editorial. (a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso. (b) (1 punto) Si es defectuoso, halle la probabilidad de haber sido encuadernado por la máquina A. Se puede resolver este ejercicio con el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes (como en la opción A). Por variar, vamos a resolverlo con una tabla de contingencia y la regla de Laplace. Solución : Cada día se encuadernan 1000 libros, de los que 100 son encuadernados por la máquina A y 900 son encuadernados por la máquina B. De los 100 libros que cada día encuaderna la Andalucía Curso 008/09 9 Antonio Roldán

61 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 máquina A, el % (o sea, libros) poseen fallos de encuadernación. Igualmente, de los 900 libros que cada día encuaderna la máquina B, el 10 % (o sea, 90 libros) poseen fallos de encuadernación. Completamos la siguiente tabla de contingencia, donde se anota el número de libros de cada clase: Máq. A Máq. B TOTAL Con fallos 90 Sin Fallos TOTAL Máq. A Máq. B TOTAL Con fallos 90 9 Sin Fallos TOTAL Apartado (a). La probabilidad de que, elegido un libro al azar, éste sea defectuoso, es, según la regla de Laplace: p ( defectuoso ) = número de libros defectuosos número total de libros = = 3 50 = La probabilidad de que, elegido un libro al azar, éste sea defectuoso, es 3/50, es decir, del 9 %. Apartado (b). La probabilidad de que un libro haya sido encuadernado por la máquina A si es defectuoso es: ( ) máquina A p = defectuoso número de libros defectuosos encuadernados en la máquina A número total de libros defectuosos = 9 = = La probabilidad de que un libro haya sido encuadernado por la máquina A si es defectuoso es 1/46 (aproximadamente, un %). Ejercicio 4 El tiempo que se tarda en la caja de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley Normal con media desconocida y desviación típica 0.5 minutos. Para una muestra aleatoria de 5 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5. minutos. (a) (1 punto) Calcule un intervalo de confianza, al nivel del 97 %, para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes. (b) (1 punto) Indique el tamaño muestral mínimo necesario para estimar dicho tiempo medio con un error máximo de 0.5 y un nivel de confianza del 96 %. Andalucía Curso 008/09 10 Antonio Roldán

62 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 Solución : Apartado (a). Llamemos X a la variable aleatoria que mide el tiempo (en minutos) de espera de un cliente, elegido al azar, en la cola de un supermercado. De esta variable sabemos que X,! N (; = 0 0 5), cuya media es desconocida. Se toma una muestra de n = 5 clientes, que arroja una media de x = 5 0 minutos. Aunque n no es mayor o igual que 30, sabemos que la distribución de las medias muestrales de tamaño 5 es una distribución Normal, ya que la población de partida es Normal. De esta forma, el intervalo de con anza para la media del tiempo de espera en la cola del supermercado es: I:C: = x z = pn : Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z = al nivel de con anza del 97 % (o lo que es lo mismo, a un nivel de signi cación = 3 % = ). Para ello, recordamos que el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = z = 0 17, como se aprecia en el siguiente grá co. y 0'985 0'015 0'015 _ z 0'015 z 0'015 x Z,! N (0; 1) De esta forma, el intervalo de con anza es: I:C: = x z = pn = p = = ; : 5 i I:C: = ; h : Esto signi ca que el tiempo medio,, de permanencia de los clientes en la cola del supermercado está entre 5 y 5 4 minutos, aproximadamente, al 97 % de con anza. Apartado (b). Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con- anza para la media con un error máximo de E = minutos al 96 % de con anza. Entonces debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri que: z= n ; E Andalucía Curso 008/09 11 Antonio Roldán

63 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Septiembre de 009 donde z = se calcula como en el apartado anterior. A un nivel de signi cación = 4 % = , el número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = 0 0 0, siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = = z = (hemos elegido un valor intermedio entre 0 05 y 0 06), como se aprecia en el siguiente grá co. y 0'98 0'0 0'0 _ z 0'0 z 0'0 x Z,! N (0; 1) Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra veri ca: z= n = E 0 0 = : 5 Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con anza para sea inferior a 0 5 minutos, al 96 % de con anza, el menor número de clientes que debemos tomar en una muestra aleatoria es de 5 de ellos. En el último apartado, si la población de partida no fuese Normal, necesitaríamos al menos 30 clientes para que el intervalo de con anza sea signi cativo. Sin embargo, como la población de partida es Normal, la distribución de la medias muestrales de cualquier tamaño es Normal, y así vale cualquier número de clientes. Andalucía Curso 008/09 1 Antonio Roldán

64 Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 010 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Miércoles, 16 de junio de 010 Opción A Ejercicio 1 Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes: x + y 15 ; x y ; 0 y 6 ; x 0. (a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. (b) (1 punto) Calcule sus vértices. (c) (0 5 puntos) Determine el valor máximo de la función F (x, y) = 8x + 5y en el recinto anterior y dónde se alcanza. Solución : Apartado (a). Primeramente, transformamos las desigualdades en igualdades, observando que hay cinco de ellas, a saber, x + y = 15 ; x = y ; y = 0 ; y = 6 ; x = 0, y representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades, entre las que estarán los bordes del recinto R delimitado por las inecuaciones dadas. * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - 1

65 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 y x + y = 15 x = y y = Buscamos cuál de estos recintos veri ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en el que está el punto (; 4) (marcado en el dibujo anterior), cuyas coordenadas cumplen todas las inecuaciones. De esta forma, el recinto R es el siguiente: x y B R C D A x Apartado (b). Es claro que dos de los vértices de la región R son A(0; 0) y B(0; 6). Calculamos los otros dos vértices resolviendo sendos sistemas de ecuaciones. 8 8 < x + y = 15 < x + y = 15 C D : y = 6 : x = y x = 9; y = 6 x = 10; y = 5 Los vértices de la región R son A(0; 0), B(0; 6), C(9; 6) y D(10; 5). Apartado (c). Consideremos la función F (x; y) = 8x + 5y. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a rma que la función F alcanza máximo (y mínimo) absoluto en la región acotada R, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto R, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F (0; 0) = = 0; F (0; 6) = = 30; F (9; 6) = = 10; F (10; 5) = = 105: Andalucía Curso 009/10 Antonio Roldán

66 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 Esto significa lo siguiente. El máximo absoluto de la función F en la región R es 105 y se alcanza en el punto (10, 5). Ejercicio Sea la función f(x) = x 1 3 x3. Calcule: (a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos. (c) (0 5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. Solución : Apartados (a) y (b). Dado que la función f posee una expresión general polinómica, sabemos que es continua y derivable en R. Calculamos su primera derivada. f (x) = x 1 3 3x = 4x x = x (4 x), para cada x R. Los puntos críticos de f son las soluciones de la siguiente ecuación: f (x) = 0 x (4 x) = 0 x {0, 4}. La siguiente tabla nos indica tanto la monotonía de f como sus extremos relativos. f mín + máx f 0 4 f ( 1) = 5 < 0; f (1) = 3 > 0; f (5) = 5 < 0. Como f(0) = 0 y f(4) = /3 = 3 64/3 = 3/3, deducimos la siguiente solución. La función f es (estrictamente) decreciente en ], 0[ ]4, + [ y es (estrictamente) creciente en ]0, 4[. Además, posee un mínimo relativo en (0, 0) y un máximo relativo en ( 4, 3 ) 3. Apartado (c). La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto (en el que es derivable) es, precisamente, el valor de su derivada. Por ello, lo que se pide en el Andalucía Curso 009/10 3 Antonio Roldán

67 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 problema es encontrar el punto en el que la primera derivada de f vale exactamente 4, o sea, resolver la ecuación: f (x) = 4 4x x = 4 x 4x + 4 = 0 x = 4 ± = 4 ± = 4 ± 0 = 4 ± 0 =. Como f() = 3 /3 = 8 8/3 = 16/3, deducimos que: el punto de la gráfica de la función f en el que la pendiente de la recta tangente vale 4 es el punto (, 16 ) 3. Ejercicio 3 Un alumno va a la Facultad en autobús el 80 % de los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús llega tarde el 0 % de las veces y cuando va en coche llega a tiempo sólo el 10 % de las veces. Elegido un día cualquier al azar, determine: (a) (0 75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús. (b) (0 75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase. (c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús? Solución : Llamemos A, C, P y R a los sucesos elegido un día al azar, éste va en autobús, va en coche, llega puntual a clase y llega con retraso a clase, respectivamente. Como el alumno va en autobús el 80 % de los días, p(a) = 0 8, y entonces p(c) = 0 ya que el resto de los días va en coche. Si va en autobús, llega tarde el 0 % de las veces, lo que significa que p(r/a) = 0, y así llega puntual el 80 % de las ocasiones en que va en autobús, es decir, p(p/a) = 0 8. Finalmente, si va en coche, llega puntual el 10 % de las veces, es decir, p(p/c) = 0 1, lo que implica que llega con retraso en un 90 % de las restantes veces, o sea, p(r/c) = 0 9. Con estas verosimilitudes y probabilidades a priori, podemos completar el siguiente diagrama en árbol. Andalucía Curso 009/10 4 Antonio Roldán

68 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de P A R P C 0 9 R Apartado (a). Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta, la probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús es: ( ) P p (A P ) = p (A) p = = A Apartado (b). Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que llegue tarde a clase es: p (R) = p (A) p ( ) ( ) R R + p (C) p = = A C Apartado (a). Aplicando el teorema de Bayes, si ha llegado a tiempo a clase, la probabilidad de que no haya ido en autobús (o sea, haya ido en coche) es: ( ) ( ) A C C p (C) p ( ) P C p = p = P P p (A) p ( ( P A) + p (C) p P ) = C = = = 66 = ( ) A (a) p (A P ) = 0 64 (b) p (R) = 0 C 34 (c) p P = 1 33 Ejercicio 4 Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello, selecciona una muestra de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93 %, (a) (1 75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera. (b) (0 75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior. Andalucía Curso 009/10 5 Antonio Roldán

69 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 Solución : Apartado (a). Los datos indican que en una muestra de n = 500 trabajadores, hay 118 que residen fuera, lo que supone una proporción muestral ^p = 118=500 = = % de trabajadores que residen fuera de la ciudad. Calculamos el valor crítico a un nivel de con anza del 93 % (es decir, al = = 7 % de signi cación). El número z = es el único número real que cumple que p Z > z = = = = , siendo Z una variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p Z z = = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando que p(z ) = y que p(z 1 0 8) = Por ello, parece razonable tomar como valor crítico z = = y 0'93 0'035 0'035 _ z 0'035 z 0'035 x Z,! N (0; 1) De esta forma, el intervalo de con anza para la proporción de trabajadores que residen fuera de la ciudad es: I:C: = # r ^p (1 ^p z = n ^p) " = # = ; : r Esto signi ca que, al 93 % de con anza, se estima que la proporción de de trabajadores que residen fuera de la ciudad está en el intervalo: i I:C: = ; es decir, entre el 0 16 % y el 7 04 %. Apartado (b). El error máximo cometido al realizar esta estimación, al 93 % de con anza, es una parte, ya calculada, de la fórmula del intervalo de con anza: h ; 500 " r ^p (1 E = z = n ^p) = r = = %: El error máximo cometido por el intervalo anterior es del 3 44 %. Andalucía Curso 009/10 6 Antonio Roldán

70 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 Ejercicio 1 Sean las matrices A = ( Opción B ) ( 1 y B = ). (a) (1 punto) Calcule A t B A B t. (b) (1 5 puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + BA = B. Solución : Apartado (a). Al trasponer las matrices, encontramos que: ( ) ( ) A t 3 = y B t 1 1 = Entonces: ( ) ( ) ( ) ( A t B A B t = ( ) ( ) ( ) = = ( ) A t B A B t 5 6 =. 5 5 ) = Apartado (b). El determinante de la matriz A es: 1 det A = 3 1 = 3 = 1. Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y entonces podemos despejar de la ecuación matricial la incógnita X: AX + BA = B AX = B BA X = A 1 (B BA). Por un lado: ( B BA = ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ). Por otro lado, la matriz inversa de A es: A 1 = 1 det A adj At = 1 1 ( ) = ( ). Andalucía Curso 009/10 7 Antonio Roldán

71 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 Por consiguiente: ( X = A 1 (B BA) = ) ( ) = ( ). ( X = ). Ejercicio Calcule las derivadas de las siguientes funciones (a) (0 8 puntos) f(x) = e3x 1 + x. (b) (0 8 puntos) g(x) = ln { x(1 + 3x ) }. (c) (0 9 puntos) h(x) = 5x + 1 x. Solución : Apartado (a). Aplicamos la fórmula de la derivada de un cociente: f (x) = 3 ( e3x 1 + x ) e 3x ( x (1 + x ) = e3x 3x x + 3 ) (1 + x ). Apartado (b). Ahora aplicamos la fórmula de la derivada de un logaritmo neperiano, teniendo en cuenta que g(x) = ln { x(1 + 3x ) } = ln ( 3x 3 + x ) : g (x) = 9x + 1 3x 3 + x. Apartado (c). Finalmente utilizamos la fórmula de la derivada de una suma: h (x) = [ 5x + x ] = 5x 5 ln + ( ) x 3 = 5 ln 5x x 3. (a) f (x) = e3x ( 3x x + 3 ) (1 + x ) (b) g (x) = 9x + 1 3x 3 + x (c) h (x) = 5 ln 5x x 3 Ejercicio 3 De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras, 0 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso. Andalucía Curso 009/10 8 Antonio Roldán

72 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 (a) (0 75 puntos) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra? (b) (0 75 puntos) Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra? (c) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que sea pediatra? Solución : Con los datos del problema, podemos rellenar la siguiente tabla de contingencia, que completamos fácilmente: Muj. Homb. TOTAL Pediatras 0 60 No pediatras TOTAL Mujeres Hombres TOTAL Pediatras No pediatras TOTAL Apartado (a). La probabilidad de que, elegida una persona al azar, ésta sea mujer y pediatra, es, según la regla de Laplace: p ( mujer y pediatra ) = número de mujeres pediatras número total de asistentes = = Apartado (b). La probabilidad de que, elegida una persona al azar, ésta no sea hombre ni sea pediatra es: p ( no hombre y no pediatra ) = p ( mujer y no pediatra ) = = número de mujeres no pediatras número total de asistentes = = Apartado (c). La probabilidad de que, elegida una persona al azar, ésta sea pediatra es: p ( pediatra ) = número total de pediatras número total de asistentes = = (a) p ( mujer y pediatra ) = 1 9 (b) p ( no hombre y no pediatra ) = 4 9 (c) p ( pediatra ) = 1 3 Ejercicio 4 Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80, 83, 87, 95, 86, 9, 85, 83, 84, 95. Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. Andalucía Curso 009/10 9 Antonio Roldán

73 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 (a) (1 5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de signi cación = (b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su nca, utilizando ese mismo nivel de signi cación? Solución : Apartado (a). Llamemos X a la variable aleatoria que mide la producción (en kg) de un naranjo, elegido al azar, de ese agricultor. Según los datos del problema, X sigue una distribución Normal N (; = 5), donde la producción media es desconocida. Precisamente, el agricultor desea contrastar si esta producción media es mayor o igual de 88 kg, por lo que planteamos el siguiente contraste de hipótesis (que lleva la igualdad en la hipótesis nula): 8 < H 0 : 88; donde : 0 = 88 kg: H 1 : < 88; Tomando n = 10 naranjos, la región de aceptación de este contraste es la siguiente: R:A: = 0 z pn ; + 1 ; donde debemos calcular el valor crítico z , que es el único número real tal que p(z > z ) = , donde Z es una variable aleatoria con distribución Normal estándar N (0; 1). Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p (Z z ) = = Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z = (tomamos un valor intermedio entre y ). y 0'9 0'05 0'05 _ z 0'05 z 0'05 x Z,! N (0; 1) Entonces la región de aceptación es: R:A: = 0 z p ; + 1 = n ; + 1 = ; p 5 ; : Andalucía Curso 009/10 10 Antonio Roldán

74 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Junio de 010 Por consiguiente, la región de rechazo o región crítica del contrate de hipótesis (el intervalo complementario del anterior en R) es: R.C. = ] ], Apartado (b). Si llamamos x a la media muestral, la regla de decisión del contraste, a un nivel de signicicación α = 0 05, es la siguiente: Si x ]83 84, + [, entonces no podemos rechazar H 0. En nuestro caso, la media muestral es: x = Si x / ]83 84, + [, entonces rechazamos H = 87 kg. Esto significa que x = 87 ]83 84, + [, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Esto se traduce en la siguiente conclusión. Al 5 % de significación, no podemos rechazar que la producción media de los olivos de ese agricultor sea igual o superior a 88 kg, es decir, no tenemos evidencias suficientes para afirmar que la producción media sea inferior a 88 kg. Andalucía Curso 009/10 11 Antonio Roldán

75 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 010 Resolución del examen Selectividad de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Septiembre 010. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 3x + y 4; x + y 6; 0 y 5. a) (1 punto) Represéntelo gráficamente. b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto. c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 3y. En qué puntos se alcanzan dichos valores? Resolución: a) La representación gráfica es la de la figura adjunta. b) Los vértices de dicho recinto vienen dados por la intersección de las rectas que lo determinan: x + y = 6 A, es decir A= (6, 0) y = 0 x + y = 6 B, es decir B= (1, 5) y = 5 y = 5 C, es decir C= (-1/3, 5) 3x + y = 4 y = 0 D, es decir D = (4/3, 0) 3x + y = 4 c) Los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 3y y los puntos en que se alcanzan dichos valores los obtenemos sustituyendo las coordenadas de los vértices en F(x, y): F(A) = = 30 F(B) = = 0 F(C) = 5.(-1/3) = 40/3 F(D) = 5.4/ = 0/3 El máximo vale 30 y se alcanza en A= (6, 0) El mínimo vale 0/3 y se alcanza en D = (4/3, 0) Andalucía Curso Antonio López

76 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 010 EJERCICIO Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) = 4t-t a) (1 punto) A qué hora el número medio de pacientes es máximo? Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Represente gráficamente N(t) = 4t- t, con N(t) > 0. Resolución: a) El número medio de pacientes es máximo si: N (t) = t = 0 t = Luego el número medio de pacientes es máximo a las 5+ = 7, es decir a las 7 de la tarde. El valor de ese máximo es N() = 4. - = 4 pacientes. b) Como el consultorio cierra cuando no hay pacientes, cerrará cuando N(t) = 0, es decir: 4t- t = 0 t(4- t) = 0 t = 0 y t= 4 Por lo tanto cerrará en t=0, es decir a las 5+4 = 9, es decir a las 9 de la noche. c) La representación gráfica es la de una parábola cóncava con máximo en (, 4) y cortes con los ejes de coordenadas en (0,0) y (4,0). EJERCICIO 3 En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) No lea ninguno de los dos. b) (0.75 puntos) Lea sólo LA MAÑANA. c) (1 punto) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA. Resolución: Consideremos los sucesos: C = Leer el periódico CIUDAD M = Leer el periódico LA MAÑANA Del enunciado deducimos que P(C) = 0,70, P(C M) = 0,85 y P(C M) = 0,18 a) Que no lea ninguno de los dos corresponde al suceso C M, cuya probabilidad hallamos utilizando las leyes de De Morgan y las propiedades del suceso contrario P( C M) = P( C M) = 1- P(C M) = 1-0,85 = 0,15 Andalucía Curso Antonio López

77 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 010 b) Que lea sólo LA MAÑANA es el suceso C M, cuya probabilidad hallamos utilizando las propiedades de la diferencia de sucesos P( C M) = P(M) - P(C M) Para hallar P(M) utilizamos la propiedad de la suma de sucesos disjuntos: P(C M) = P(C) + P(M) - P(C M) P(M) = P(C M) + P(C M) - P(C) = 0,85 +0,18-0,70 = 0,33 c) El suceso Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA es C/ M, cuya probabilidad hallamos con la definición de la propiedad condicionada, de la diferencia de sucesos y del suceso contrario. P(C/ M) = P(C M) = P(M) P(C) - P(C 1- P(M) M) = 0,70-0,18 = 0,78 1-0,33 EJERCICIO 4 (.5 puntos) En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0.015, se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis H 0 : p 0.4, donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco? Resolución: Es un ejercicio de contraste de hipótesis unilateral para la proporción con p= 0, Hipótesis nula y alternativa H 0 : p 0.4 H 1 : p < 0.4. Zona de aceptación Un nivel de significación α = 0,015 significa que α/ = 0,0075 y 1-α/ = 0,995 Z α/ =,43 pues P(X<,43) = 1-α/ = 0,995. Obtenemos el intervalo: pq p - Z, α/ = 0,4.0,6 0,4 -,43, = (0,4-0,106; ) = (0,94; ) n Verificación: 14 P= = 0, Como 0,8 NO pertenece a la zona de aceptación RECHAZAMOS H 0 : p 0.4 tal como dice el enunciado y por lo tanto aceptamos la eficacia del fármaco. OPCIÓN B EJERCICIO 1 Sean las matrices: 1 P = 1 1 5, Q= a 0 c d 6 y R = 8 4 b a) (1 punto) Calcule, si es posible, P. Q y Q. P, razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P.Q = R? Andalucía Curso Antonio López

78 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 010 Resolución: a) Es posible calcular P. Q ya que el número de columnas de P,, es igual al número de filas de Q. Dicho producto vale: 1 P.Q = a b = 8 4 b a a 5a Q. P no es posible, ya que el número de columnas de Q, 3, no es igual al número de filas de P. b) Para que P.Q = R ha de ocurrir que: 1 P.Q = 10. a b = 16 8 b a a 10a b c d 6 = a a 10a Igualando miembro a miembro: c = 36 d = b = 6 b = -1 a = 10 a = 5 Es decir que las constantes a, b, c y d han de valer a = 5, b = -1, c = 36 y d = 18. EJERCICIO x Sea la función f(x) = ax + ax + 3 6x + 5 si si x 1 x > 1 a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) ( puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales. Resolución: a) Para que f sea continua en x = 1 al ser una función definida a trozos en R cuyas ramas son funciones polinómicas, ha de ocurrir que sean igual los límites laterales e iguales al valor de la función en x= 1: f(1) = f(x) = (-x + ax 3) = - a. lím x - 1 lím + x 1 lím f(x) = lím (ax 6x + 5) = a-1. x + 1 x 1 a = a-1 3a = 3 a = 1 Es decir que si a = 1 la función es continua en x = 1. x b) Para a = 1 la función es f(x) = adjunta: x + x + 3 6x + 5 si si x 1 x > 1 y su gráfica es la de la figura Andalucía Curso Antonio López

79 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 010 a la vista de ella, la función es creciente en (-, 1) (3, ) y decreciente (1, 3) Sus extremos locales son: Máximo en M = (1, 4) Mínimo en m = (3, -4). EJERCICIO 3 Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un. Se lanza tres veces ese dado. a) (0.5 puntos) Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? b) (1 punto) Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un en cualquier orden? c) (1 punto) Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes? Resolución: El espacio muestral del experimento es E = {1, 1, 1, X, X, } Siendo los sucesos: 1 = obtener un 1, X = obtener un X y = obtener un a) La probabilidad de obtener tres veces el 1 es: P( ) = = b) La probabilidad de obtener dos X y un en cualquier orden es: P(X 1 X 3 )+ P(X 1 X 3 )+ P( 1 X X 3 ) = = c) La probabilidad de obtener tres resultados diferentes es: P(1 1 X 3 )+ P(1 1 X 3 )+P(X )+ P(X )+P( 1 1 X 3 )+ P( 1 X 1 3 ) = = 16 EJERCICIO 4 a) (1.5 puntos) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a l cm, con un nivel de confianza del 98%. b) (1.5 puntos) Dada la población {10, 1, 17}, escriba todas las muestras de tamaño mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muéstrales. Resolución: Andalucía Curso Antonio López

80 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 010 a) Un nivel de confianza del 98% (1-α = 0,98) significa que 1-α/ = Z α/ =,33 pues P(X <,33) = 1-α/ = 0,9900 Si el error ha de ser menos que 1: E = σ Z Z α/ n = n α/ E σ Zα/σ,33.11 n = = = 656,90 E 1 Hemos de tomar n = ,98 = 0,9900 b) Las muestras de tamaño obtenidas mediante muestreo aleatorio simple de la población {10, 1, 17} son: (10, 10), (10,1), (10, 17), (1, 10), (1,1), (1, 17), (17, 10), (17,1), (17, 17) Luego la distribución de las medias muestrales es: L(X) = {10; 11; 13,5; 11, 1; 14,5; 13,5; 14,5; 17} La media aritmética de todas las medias muestrales, 10 + x x13,5 + x14, = 13 9 La desviación típica de todas las medias muestrales, µ = x σ = x (10 13) +.(11 13) + (1 13) +.(13,5 13) 9 µ, es: x σ, es x +.(14,5 13) + (17 13) =,08 Andalucía Curso Antonio López

81 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO JUNIO (Específico) MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A EJERCICIO 1 (a) (1 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones 6x - y + 9 0, x + 5y 13 0, x - 3y (b) (0 9 puntos) Determine los vértices del recinto anterior. (c) (0 4 puntos) Halle los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 3x - y + 3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza. Solución (a), (b) y (c) Tenemos las siguientes inecuaciones: 6x - y + 9 0, x + 5y 13 0, x - 3y De las desigualdades pasamos a las igualdades: 6x - y + 9 = 0, x + 5y 13 = 0, x - 3y - 5 = 0. Para dibujar la región factible o recinto, de cada inecuación despejamos la incógnita y, para dibujar la recta correspondiente, y después observando las inecuaciones tendremos la región y los vértices del recinto. y = 6x + 9, y = -x/5+13/5, y = x/3 5/3. Dibujamos las rectas Si nos fijamos en las desigualdades y 6x + 9, y -x/5+13/5, y x/3 5/3, vemos que el recinto factible, y los vértices A, B y C de dicha región son: De y= x/3-5/3 e y=6x+9, tenemos x/3-5/3 = 6x+9, de donde x-5 = 18x+7, es decir 16x = -3, luego x = - e y=-3, y el punto de corte es A(-,-3). De y= -x/5+13/5 e y=6x+9, tenemos -x/5+13/5 = 6x+9, de donde x+13 = 30x+45, es decir 8x = -3, luego 1

82 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna x = -3/8 = -8/7 e y = 6(-8/7)+9 = 15/7, y el punto de corte B(-8/7,15/7) De y= -x/5+13/5 e y=x/3-5/3, tenemos -x/5+13/5 = x/3-5/3, de donde -6x+39 = 10x-5, es decir 16x = 64, luego x = 4 e y = -(4)/5+13/5 = 1, y el punto de corte C(4,1). El recinto tiene por vértices A(-,-3), B(-8/7,15/7) y C(4,1). Consideremos la función F(x,y) = 3x - y + 3. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función F alcanza su máximo y mínimo absoluto en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto ( o en un segmento, si coincide en dos vértices consecutivos), por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F(-,-3) = 3(-) - (-3) + 3 = 3, F(-8/7,15/7) = 3(-8/7) (15/7) + 3 = -33/7-4 7, F(4,1) = 3(4) (1) + 3 = 13. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 13 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en el punto (4,1), y el mínimo absoluto de F es -33/7 (el valor menor en los vértices) y se alcanza en el punto (-8/7,15/7). EJERCICIO -x+4 si x < 4 Sea la función f(x) = si x < 4 x x -4x+1 si x 4 (a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f (b) (0 5 puntos) Determine los extremos locales de f (c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa x = 3. Solución (a) -x+4 si x < 4 Estudie la continuidad y la derivabilidad de f(x) = si x < 4 x x -4x+1 si x 4 La función x+4 es continua y derivable en R, en particular en (-,). La función 4/x es continua y derivable en R {0} (números que anulas el denominador), en particular en (,4). La función x - 4x + 1 es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (4, ). Falta estudiar la continuidad en x = y x = 4. f(x) es continua en x = si f() = lim f(x) = lim f(x). x x + f() = 4/ = ; lim (-x + 4) = = ; continua en x =. lim f(x) = x x lim f(x) = lim ( 4/x) = 4/ =. Como los tres valores son iguales, f es x + x + f(x) es continua en x = 4 si f(4) = lim f(4) = lim f(4). x x + f(4) = (4) - 4(4) + 1 = 1; lim f(x) = lim (4/x) = 4/4 = 1; lim f(x) = lim ( x - 4x + 1) = (4) - 4(4) + 1 = 1. Como los tres x 4 x 4 x 4 + x 4 + valores son iguales, f es continua en x = 4 ; por tanto f es continua en R. Veamos la derivabilidad en x = y x = 4. f(x) es derivable en x = si lim f (x) = lim f (x), estamos viendo la continuidad de la derivada. x x + -x+4 si x < -1 si x < 4-4 f(x) = si x < 4, f (x) = si x < 4. x x x -4x+1 si x 4 x-4 si x > 4 lim f (x) = lim (-1) = -1; x x x=. lim f (x) = x + lim x + (-4/x ) = -4/4 = -1, como lim f (x) = -1 = lim f (x), la función f es derivable en x x +

83 f(x) es derivable en x = 4 si lim f (x) = x 4 x 4 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna lim (-4/x ) = -1/4; lim f (x) = lim f (x), estamos viendo la continuidad de la derivada. x 4 x 4 + lim f (x) = (x-4) = 8 4 = 4, como + x 4 lim x 4 + derivable en x = 4. La función f es derivable en R {4}. (b) Determine los extremos locales de f lim f (x) = -1/4 4 = lim f (x), la función f no es x 4 x 4 + Los extremos locales se encontrarán entre las soluciones de f (x) = 0, y también en x = 4, porque allí la función no es derivable. -1 si x < -4 Si observamos la función derivada f (x) = si x < 4, vemos que la primera y segunda rama no anulan el x x-4 si x > 4 numerador, luego sólo nos queda la tercera es decir x 4 = 0, de donde x =. En principio tendríamos que estudiar los puntos y 4. -x+4 si x < 4 Si nos fijamos en la función f(x) = si x < 4, observamos que la gráfica de la primera rama x+4 es una x x -4x+1 si x 4 recta de pendiente negativa (derivada -1), es decir decreciente en (-,). La gralfica de 4/x en (,4) es el de una hipérbola situada en el primer cuadrante, luego también es decreciente, y en x =, la función es decreciente, luego no tiene ni máximos ni mínimos relativos. La gráfica de x - 4x + 1 es el de una parábola con las ramas hacia arriba y abscisa de su vértice en x = ( solución de f (x) = 0), pero como la parábola está dibujada en (4,+ ), hay la función es estrictamente creciente. Por tanto por definición x = 4 es un mínimo relativo, que vale f(4) = 1. Aunque no lo piden un esbozo de la función es: (c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa x = 3. En x = 3 la función es f(x) = 4/x. La recta tangente es y f(3) = f (3).(x-3) f(x) = 4/x, de donde f(3) = 4/3. f (x) = -4/x, de donde f (3) = -4/9. La recta tangente es y - 4/3 = (-4/9).(x-3). EJERCICIO 3 Un examen consta de una parte teórica y una parte practica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0 7 y la de que se apruebe la parte practica Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. (a) (0 75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. (b) (0 75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar la parte practica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. (c) (1 punto) Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte practica"? Solución Llamemos T y P a los sucesos "apruebe parte teórica y apruebe parte práctica, respectivamente De la probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0 7, tenemos p(t) = 0 7. De la probabilidad de que se apruebe la parte práctica es 0 75, tenemos p(p) = De el 50% de los alumnos ha aprobado ambas, tenemos p(t y P) = p(t P) = 50% = 0 5. (a) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. Me están pidiendo p(t ó P) = p(t P) = p(t) + p(p) - p(t P) = = (b) Calcule la probabilidad de aprobar la parte practica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. 3

84 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna ( C pp T ) Me están pidiendo p(p/not) = p(p/t C ) = C p(t ) ( ) = p P)-p(P T 1-p(T) = ( )/(1-0 7) (c) Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte practica"? T y P son sucesos independientes si p(t P) = p(t).p(p). Como p(t P) = 0 5 y p(t).p(p) = = 0 55, los sucesos T y P no son independientes. EJERCICIO 4 El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizo una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y esta revelo que 130 de ellas habían visto ese programa. (a) (0 5 puntos) Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director. (b) (1 punto) Halle la región critica de ese contraste para un nivel de significación del 5 5%. (c) (1 punto) Según el dato obtenido en el apartado anterior qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión? Solución (a), (b) y (c) Datos del problema: p 0 = 30% = 0 3; n = 500; p = 130/500 = 0 6; α = 5 5% = Etapa 1: Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : p (al menos lo ve un 30%) y H 1 : p 0 < 0 3, la cual nos indica la dirección del contraste, es decir la región crítica esta a la izquierda del punto crítico. Para plantear la hipótesis nula nos basamos en la información previa. El director dice que por lo menos un 30% de personas ve el programa de TV. Luego es un contraste de hipótesis unilateral. En la hipótesis alternativa nos dice que la situación es la contraria. Etapa : El nivel de significación es α = 0 055, luego tenemos 1 - α = 0,945. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 945, mirando en las tablas de la N(0,1), que no apar3ce en las tablas. El valor mas próximo es 0 945, que corresponde a z 1-α = 1 60, con lo cual el valor crítico es z α = -z 1-α = que separa las zonas de aceptación y rechazo. ˆp - p0 Etapa 3 y 4: En este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue una normal tipificada N(0,1), y el valor p 0.(1-p 0) n ˆp - p0 0'6-0'3 observado del estadístico de prueba será el número z 0 = = = p 0.(1-p 0) 0'3.0'7 n 500 Etapa 5: Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = es menor que el valor crítico z α = -1,60, vemos que se encuentra en la zona de rechazo. Por tanto, tomamos la decisión de rechazar la aceptar hipótesis nula H 0 : p 0 0 3, y aceptamos la hipótesis alternativa H 1 : p 0 < 0 3. Con lo cual con una probabilidad de equivocarnos del 5 5% afirmamos que dicho programa de TV lo verá menos de un 30% de personas.. OPCION B EJERCICIO (a) (1 5 puntos) Dadas las matrices M = y N t = 3-1, razone cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + N t, M t.n, M.N. (b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final: A B C A B C P : natural Q : natural '0 '75 '50 descadein descadein. 3'0 3'90 3'60 Efectúe el producto P.Q t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. Solución (a) 4

85 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna Dadas las matrices M = y N t = 3-1, razone cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + N t, M t.n, M.N. Sabemos que para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda, y para poder sumarlas tienen que tener el mismo orden. M + N t = M x3 + N t x3. En este caso se puede sumar y el resultado es una matriz x3. M + N t = = M t.n = M t 3x.N 3x. En este caso se no puede multiplicar. M.N = M x3.n 3x. En este caso se puede multiplicar y el resultado es una matriz x. M.N = = (b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final: A B C A B C P : natural Q : natural '0 '75 '50 descadein descadein. 3'0 3'90 3'60 Efectúe el producto P.Q t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. '0 3'0 P.Q t =. '75 3' = '50 3' El elemento a 11 = 910 es el resultado de multiplicar los kilos de café natural de cada tipo, por el precio del kilo de cada tipo y sumarlos, por tanto 910 son lo euros totales que ha pagado por todo el café natural adquirido. El elemento a = 197 es el resultado de multiplicar los kilos de café descafeinado de cada tipo, por el precio del kilo de cada tipo y sumarlos, por tanto 197 son lo euros totales que ha pagado por todo el café descafeinado adquirido. EJERCICIO ( 5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: x + x f(x) = ; g(x) = (x +1) - ln(e 3x + 4) ; h(x) = 1 x 3x - 5 x - Solución Recordamos algunas derivadas y reglas de derivación. También algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); = ; ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); g(x) (g(x)) ( a x ) = a x.ln(a); ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (ln(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: x + x f(x) = ; g(x) = (x +1) - ln(e 3x + 4) ; h(x) = 1 x 3x - 5 x - f(x) = f (x) = x + x x ; x x.ln().(x ) -.(x) (x) ( ) x ln().(x ) - x. = (x) g(x) = (x + 1).ln(e 3x + 4) g (x) =.(x + 1) 1.(x).ln(e 3x + 4) + (x + 1) 3x 3.e. 3x e + 4 = (4x3 + 4x).ln(e 3x + 4) - 3.e.(x +1) 3x 3x e

86 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna h(x) = 1 3x - 5 x - -1 h (x) = 3x - -10x (x - ) 3x + 10x (x - ) -1 = EJERCICIO 3 Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se selecciona un día del año al azar, (a) (1 5 puntos) cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? (b) (1 5 puntos) cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas? Solución Llamemos R, R C, P y P C a los sucesos "riesgo de lluvia, no riesgo de lluvia, coge paraguas y no coge paraguas. De el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia, tenemos p(r) = 40% =0 4, y por suceso contrario p(r C ) = 0 6. De cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces, tenemos p(p/r) = 98% = 0 ' 98. De cuando no hay riesgo de lluvia, coge el paraguas un 5% de las veces, tenemos p(p/r C ) = 5% = 0 ' 05. Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiendo que la suma de las que parten de un mismo nodo valen 1). (a) cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que Pedro no coja el paraguas es: p(p C ) = p(r).p(p C /R) + p(r C ).p(p C /R C ) = (0 4)(0 0) + (0 6)(0 95) = (b) cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas? Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que si ha sonado la alarma, no haya habido incidente es: p( R P ) p( R).p(P/R ) 0'4.0'98 p(r/p) = = = C p(p) 1-p(P ) 1-0'578 EJERCICIO 4 El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media µ y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de 574 gramos. (a) (1 5 puntos) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media µ. (b) (1 5 puntos) Con el mismo nivel de confianza, cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos? Solución (a) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media µ. Sabemos que si una variable aleatoria X sigue una normal N(µ,σ), la distribución muestral de medias X sigue una σ normal N(µ, ). n Datos σ = 7; n = 36; µ( X ) = µ = 574 = x Para construir el intervalo: - Se elige un estimador del parámetro que se desea estimar ( X para μ), en nuestro caso es de la media, luego es x = Se elige un nivel de confianza 1 α con el que se desea construir el intervalo, que nos lo dan y es del 94%, es decir 6

87 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 1 α = 94% = 0 94, de donde α = 0 06 = 6% como nivel de significación. - El intervalo centrado en el estadístico x obtenido en la muestra sería: σ σ I.C. = I(µ) = x - z 1 - α/. < µ < x + z 1 - α/., para estimar µ. n n Donde z 1-α/ es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p( Z <z 1 - α/ ) = 1 -α. De esa igualdad se deduce que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira en la tabla de la Normal N(0,1), y nos dará el correspondiente valor crítico z 1 - α/. p(z z 1-α/ ) = 1 - (0 06)/ = 0 97, mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor más próximo a 0 97 es , que corresponde a z 1-α/ = Por tanto el intervalo de confianza pedido es σ σ I.C.= I(µ) = x - z 1 - α/. < µ < x + z 1 - α/. n n = '88., '88. (571 81; ) (b) Con el mismo nivel de confianza, cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos? Si me dan el mismo intervalo de confianza 1 α = 0 94, sabemos que z 1-α/ = La amplitud de un intervalo (a, b) sabemos que es b-a, y me dicen que como máximo es 3, luego: '88. n '88. n = 7 6'3 6'3.1'88. = < 3, de donde n > n n , por tanto el tamaño de la muestra ha de ser como mínimo n = 77 con un nivel de confianza del 94%. 7

88 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 010 (COMÚN MODELO) OPCIÓN A EJERCICIO Sean las matrices A =, B =, C = a) (1 punto) Calcule A B.C t. b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A.X + B =.C. Solución Dadas A =, B =, C =, la matriz traspuesta de C es C t = (a) A B.C t -5-5 = = 7 - = (b) Resuelva la ecuación matricial A.X + B =.C. De A.X + B =.C tenemos A.X =.C - B. Si A tiene inversa podríamos multiplicar por la izquierda la expresión entera por A -1 y nos quedaría: A -1.A.X = A -1 (.C B), es decir X = A -1 (.C B). A tiene inversa si mediante transformaciones elementales por filas de Gauss podemos llegar de (A I ), a la expresión (I B), donde B = A -1. (I A) = F1-F F1-F F-F F La matriz inversa es A -1 = También se puede calcular la inversa por determinantes. A tiene inversa si su determinante A es distinto de 0, y la inversa es A -1 1 t =.Adj(A ) A A = =.(-3) (-5)(1) = -1, luego existe A-1 = A = -5 ; A t = ; Adj(A t ) = ; A -1 = -1 1.Adj(A t ) A = X = A -1 (.C B) = = = EJERCICIO -x e a) (1 punto) Calcule la función derivada de f(x) = (-x +) b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = at +bt, 0 t 8, a, b R. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. Solución Recordamos algunas derivadas y reglas de derivación. También algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); = ; ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); g(x) (g(x)) ( e kx ) = k.e kx.; (x k ) = k.x k-1 ; (k) = 0. 1

89 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Sabemos que los extremos absolutos de una función N(t) se encuentran entre las soluciones de N(t) = 0, y en los extremos del intervalo (en este caso 0 y 8). También en los números donde no es continua o derivable, que no es nuestro caso por ser un trozo d una función polinómica a) -x e f(x) = (-x +) ; f (x) = ( ) -x -x 3x e.(-x +1) - e..(-x +1).(-x) -.e. x +x - x -x+1 = ((-x +1) ) (-x +1) 4. -(-x +1).( -x +1)(-x) = -(x 4 -x +1) -.(x 3 -x) = -(x 4 + x 3 - x -x +1) EJERCICIO 3 En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que: a) (1.5 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b) (1.5 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca. Solución Antes de extraer las bolas la composición de las bolsas es: 1ª bolsa 4 bolas blancas y 3 negras y ª bolsa 3 blancas y 5 negras Llamemos Bl 1 y Ne 1 a los sucesos "sacar blanca de la 1ª bolsa, sacar negra de la 1ª bolsa. Evidentemente p(bl 1 ) = 4/7 y p(ne 1 ) = 3/7 (número de casos favorables partido número de casos posibles). Si saco una bola blanca de la 1ª bolsa y la introduzco en la ª bolsa la composición de la ª bolsa es 4 blancas y 5 negras, llamando Bl y Ne a los sucesos "sacar blanca de la ª bolsa, sacar negra de la ª bolsa, tenemos las siguientes probabilidades p(bl / Bl 1 ) = 4/9 y p(ne / Bl 1 ) = 5/9 (número de casos favorables partido número de casos posibles). Si saco una bola negra de la 1ª bolsa y la introduzco en la ª bolsa la composición de la ª bolsa es 3 blancas y 6 negras, llamando Bl y Ne a los sucesos "sacar blanca de la ª bolsa, sacar negra de la ª bolsa, tenemos las siguientes probabilidades p(bl / Ne 1 ) = 3/9 y p(ne / Ne 1 ) = 6/9 (número de casos favorables partido número de casos posibles). Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol. (a) Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída de la segunda bolsa sea negra es: p(ne ) = p(bl 1 ).p(ne / Bl 1 ) + p(ne 1 ).p(ne /Ne 1 ) = (4/7)(5/9) + (3/7)(6/9) = 38/ (b) Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que la bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca es: p( Ne1 Ne ) p( Ne 1).p(Ne /Ne 1) (3/7)(6/9) p(ne 1 /Ne ) = = = = 9/ p(ne ) p(ne ) (38/63) EJERCICIO 4 Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud.

90 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Se toma una muestra de 1000 piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0 cm. a) (0.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm. b) (1 punto) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación α = c) (1 punto) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas? Solución (a), (b) y (c) Como me dicen que la máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud, y que plantee un contraste de hipótesis unilateral para ver si es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm, tenemos por tanto que la hipótesis nula que se desea contrastar es H 0 : μ 10, frente a la hipótesis alternativa de este contraste que sería H 1 : μ < 10, que se opone a hipótesis nula H 0. X - µ 0 El estadístico de prueba de este contraste es Z =, que sigue una ley normal N(0,1). σ / n En nuestro caso: X = cm; µ 0 = 10 cm; desviación típica σ = 0 cm; n=1000. Calculo de la región crítica para el nivel de significación α = 0 05 El valor critico correspondiente es z α = - z 1- α Sabemos que p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 975, que se mira en la tabla de la distribución Normal N(0,1), y nos dará el correspondiente valor crítico z 1 - α. Vemos en la tabla de la N(0,1) que el valor aparece en la tabla, y que corresponde a z 1-α = Por tanto z α = - z 1- α = - z Entonces la región crítica está formada por los números reales situados a la izquierda de los números Cálculo del valor observado del estadístico de contraste: x - µ 0 10' z 0 = = σ / n 0'/ 1000 Resultado del contraste: Como el valor observado está a la derecha de -1 96, porque < 0 585, se encuentra en la región de aceptación correspondiente al nivel 0 05, por lo cual no puede rechazarse la hipótesis nula H 0 : μ 10 a este nivel. En consecuencia, no se puede afirmar, al nivel 0 05, que los datos la creencia de que las piezas midan menos de 10 cm o más. OPCION B EJERCICIO 1 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: x + y 0, 3x + 5y 7 0, x 0, y 0. 3

91 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4 1,11 7) pertenece al recinto. b) (1.5 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (0.75 puntos) Dónde alcanzará la función F(x,y) = 0 6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos? Solución (a) Razone si el punto de coordenadas (4 1,11 7) pertenece al recinto. Tenemos que ver si verifica todas las desigualdades. Las dos últimas las verifica x 0 e y 0. Veamos las otras: x + y 0, en nuestro caso , es decir lo cual es cierto. 3x + 5y 70, en nuestro caso 3(4 1) + 5(11 7) 70, es decir lo cual es falso. Por tanto el punto (4 1,11 7) no pertenece al recinto. (b) Las desigualdades x + y 0, 3x + 5y 70, x 0, y 0, las transformamos las desigualdades en igualdades, y ya son rectas, x+y = 0; 3x +5y = 70 ; y = 0; x = 0, Para que nos sea más fácil dibujar las rectas (con dos valores es suficiente) despejamos las y y tenemos y = 0 - x; y = -(3/5)x + 70/5 = -0 6x + 14 ; y = 0; x = 0, Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades, entre las que estarán los bordes del recinto delimitado por las inecuaciones dadas. Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. De y=0 e y=0-x, Tenemos 0 = 0-x, de donde x = 0 e y = 0, y el punto de corte es D(0,0) De y=0 y x=0, obtenemos el punto A(0,0) De y=0-x e y= -0 6x+14, Tenemos 0-x= -0 6x+14, de donde 6 = 0 4x, luego x = 6/0 4 = 15 e y = 5, y el punto de corte es C(15,5) De y=0-x y x=0, Tenemos y = 0, y el punto de corte es E(0,0) De y=-0 6x+14 y x=0, Tenemos y = 14, y el punto de corte es B(0,14) Fijándonos de nuevo en las desigualdades de las inecuaciones los vértices son sólo A(0,0); B(0,14); C(15,5) y el D(0,0). El recinto es: (c) 4

92 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Consideremos la función F(x,y) = 0 6x + y. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función F alcanza máximo (y mínimo) absoluto en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores A(0,0); B(0,14); C(15,5) y el D(0,0): F(0,0)= =0, F(0,14)= =14, F(15,5) = =14, F(0,0)= =1. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 14 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en los puntos (0,14) y (15,5), por tanto todo el segmento BC es donde se alcanza el máximo. El mínimo es 0 y se alcanza en el punto (0,0) EJERCICIO Las funciones I(t) = -t + 51t y G(t) = t - 3t + 96 con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0 5 puntos) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) (1 punto) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio. Solución (a) I(t) = -t + 51t y G(t) = t - 3t + 96 con 0 t 18 Lo que nos piden es que resolvamos la ecuación I(t) = G(t) en el intervalo [0,18]. De -t + 51t = t - 3t + 96, tenemos 0 = 3t -54t + 96 (at + bt + c = 0) Resolvemos 3t -(-54)± (-54) -4(3)(96) 54± ±4-54t + 96 = 0; t = = =, donde tenemos dos (3) soluciones t 1 = (54+4)/ = 48 y t = (54-4)/ = 6. La solución válida es t = 6. (b) Beneficios = B(t) = I(t) G(t) = -t + 51t (t - 3t + 96) = -3t + 54t 96. Nos piden dibujar la parábola B(t) = -3t + 54t 96 (a = -3, b = 54, c = -96) entre 0 y 18. Como a = -3 < 0, las parábola tiene las ramas hacia abajo ) ( Su vértice tiene la abscisa en t = -b/a = -54/-6 = 9, que sabemos es un máximo. El vértice es V(9,B(9)) = V(9,147). B(9) = -3(9) + 54(9) 96 = 147 Para t = 0, B(0) = -96. Para t = 18, B(18) = -3(18) + 54(18) 96 = -96. La gráfica de la parábola es:

93 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna (c) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio. Sabemos que los extremos absolutos se encuentran entre los valores que anulan la primera derivada, y lo extremos del intervalo t = 0 y t = 18 De B(t) = -3t + 54t 96, tenemos B (t) = -6t Resolviendo -6t = 0, tenemos t = 54/6 = 9. Como B(9) = 147; B(0) = -96; B(18) = -96, resulta que los beneficios fueron máximos al cabo de 9 años y fueron de euros (el problema lo han dado en miles de euros). EJERCICIO 3 Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el % del tercera tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores. a) (1 5 puntos) Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? b) (1 5 puntos) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? Solución Llamemos I,II,III,IV y Er, a los sucesos "páginas del capítulo I, II, III, IV, páginas del capítulo con error. Pondremos indistintamente Er C o Er, y recordaremos que p(er C ) = 1 - p(er) y que p(er C /II ) = 1 - p(er/ii) Número de páginas del libro = = 440 Como el primer capítulo tiene 140 páginas tenemos p(i) = 140/440 = 7/. Como el segundo capítulo tiene 100 páginas tenemos p(ii) = 100/440 = 5/. Como el tercer capítulo tiene 150 páginas tenemos p(iii) = 150/440 = 15/44. Como el primer capítulo tiene 50 páginas tenemos p(iv) = 50/440 = 5/44. Como el 5% de las páginas del primer capítulo tienen algún error, p(er/i) = 5% = Como el 4% de las páginas del segundo capítulo tienen algún error, p(er/ii) = 4% = Como el 4% de las páginas del segundo capítulo tienen algún error, p(er/iii) = % = 0 0. Como las páginas del cuarto capítulo no tienen errores, p(er/iv) = 0% = 0. Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol. Recordamos que las sumas de las ramas de cada nodo en un diagrama de árbol suman 1. (a) Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que llegue tarde a clase (R) es: p(er) = p(i).p(er/i) + p(ii).p(er/ii) + p(iii).p(er/iii) + p(iv).p(er/iv) = = (7/) (5/) (15/44) (5/44).0 = 7/ b) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? Aplicando el ( teorema de Bayes, la probabilidad de pedida es: C ) ( C p II Er p II).p(Er /II ) P(II/Er C (5/)(1-0'04) ) = = = 0 53 = 53% C C p(er ) p(er ) 1-0'0318 6

94 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna EJERCICIO 4 a) (1 punto) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 50 y 00. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, cuál es el tamaño de la muestra? b) (1.5 puntos) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg. Solución (a) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 50 y 00. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, cuál es el tamaño de la muestra? Sabemos que en un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, si hay k estratos y que el número de elementos de cada estrato es N 1, N,..., N k, y si n 1, n,..., n k son los elementos de cada una de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra n = n 1 + n, n k y se calculan eligiendo los números n 1, n,..., n k proporcionales a los tamaños de los estratos N 1, N,..., N k, es decir n 1 n = n =... = k n = N1 N Nk N n1 En nuestro caso 150 = n De 50 = n 4 00 = n = = n , tenemos n = = 40, luego el tamaño de la muestra es n = (b) Sabemos que si tenemos una población con distribución normal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de σ tamaño n, la distribución muestral de medias X sigue también una distribución normal: N(µ, ). n También sabemos que cuando la población no sigue una distribución normal, podemos aplicar el teorema central del límite que dice: Si se toman muestras de tamaño n > 30 de una población, con una distribución cualquiera, media µ y una σ desviación típica σ, la distribución muestral de medias X se aproxima a una distribución normal N(µ, ). n Sabemos que un parámetro es un valor numérico que describe una característica de la población (µ, p, σ, etc. Es decir la media, la proporción, la varianza,.). σ Sabemos que para la media poblacional μ el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue una N(μ, ), y n σ σ generalmente escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) n n Sabemos que el intervalo de confianza para estimar la media es: σ σ x z,x+ z n n I.C= 1 α/ 1 α/ donde z 1-α/ es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1 - α/ También sabemos que el error máximo de la estimación es E = 1 α /, para el intervalo de la media. De esta fórmula despejando n (tamaño de la muestra) tenemos n = z σ n z 1- α/. σ E. En nuestro caso de los datos del problema tenemos E = 1; σ = 6, nivel de confianza 1 α = 95% = α = = 0 05, de donde α/ = 0 05/ = 0 05 De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = mirando en las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que corresponde a z 1-α/ = z =

95 IES Fco Ayala de Granada Junio de 011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna z 1- α/. σ En nuestro caso n = E = 1' = , por tanto el tamaño mínimo de la muestra es n =

96 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 011 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD SEPTIEMBRE ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Instrucciones: a) Duración:1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones: x + y ; x + 3y 15; 3x y 15; x 0, y 0. (a) (1 5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. (b) (0 5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x,y) = 3x + y en dicho recinto. (c) (0 5 puntos) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que F(x,y) = 30. Solución (a) y (b) Tenemos las siguientes inecuaciones: x + y ; x + 3y 15; 3x y 15; x 0, y 0. De las desigualdades pasamos a las igualdades: x + y = ; x + 3y = 15; 3x y = 15; x = 0, y = 0. Para dibujar la región factible o recinto, de cada inecuación despejamos la incógnita y para dibujar la recta correspondiente, y después observando las inecuaciones tendremos la región factible que indicaremos como la letra Región factible. y = -x+; y = -x/3+5; y = 3x-15; x = 0, x = 0 (eje OY), y = 0 (eje OX) Dibujamos las rectas Si nos fijamos en las desigualdades y -x+; y -x/3+5; y 3x-15; x 0, y 0, vemos que el recinto factible, y los vértices A, C, D y E de dicha región son: De y= -x+ e y=0, Tenemos el punto de corte A(,0) De y= -x+ y x = 0, tenemos y= 0, y el punto de corte B(0,) De y=-x/3+5 y x= 0, tenemos el punto de corte C(0,5) De y= -x/3+5 e y= 3x-15, tenemos -x/3+5 = 3x-15, de donde -x+15 = 9x-45, es decir 10x = 60, luego x = 6 e y= 3, y el punto de corte D(6,3) De y= 3x-15 e y= 0, tenemos x = 5 e y = 0, el punto de corte E(5,0) El recinto tiene por vértices A(,0), B(0,), C(0,5), D(6,3) y E(5,0). 1