Universidad de Castilla la Mancha PAEG Septiembre 2.016

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1 1 Universidad de astilla la Mancha PAEG Septiembre.016 SEPTIEMBRE 016 Opción A 1.- En una granja hay vacas y caballos. El veterinario contratado tiene la obligación de supervisar diariamente entre 4 y 8 vacas, y además entre y 5 caballos. Además, el número de vacas supervisadas debe ser al menos el doble que el número de caballos supervisados. El veterinario tarda una hora en supervisar cada animal y trata de averiguar cuál es el tiempo mínimo diario que le permite cumplir todas las condiciones del contrato. a) Expresa la función objetivo. b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. c) alla el número de vacas y caballos que debe supervisar diariamente para cumplir las condiciones en un tiempo mínimo X: nº vacas Y: nº caballos La función objetivo viene dada por: T(x, y) = x + y 7 Restricciones B (8,4) 4 x 8 { y 5 x > y A (4,) (8,) 9 10 Para obtener el tiempo mínimo: T(4, ) = 6 horas T(8, 4) = 1 horas T(8, ) = 10 horas Por tanto, el tiempo mínimo es de 6 horas. Y para ello debe supervisar 4 vacas y caballos..- e comprado 5 kg de almendras, 3 kg de avellanas y kg de cacahuetes, y he pagado por todo ello 98 euros. La diferencia entre el precio por kg de las avellanas y de los cacahuetes, es igual al precio por kg de las almendras. Si hubiera comprado 1 kg de cada fruto seco, hubieras pagado 3 euros. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el precio por kg de cada fruto seco. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. X = /kg almendras Y = /kg avellanas Z = /kg cacahuetes { 5x + 3y + z = 98 y - z = x { x + y + z = 3 -x + y - z = 0 x + y + z = 3 5x + 3y + z = 98 z = 10 x = ( Por tanto, el precio es de 6 /kg de almendras, 16 /kg de avellanas y 10 /kg de cacahuetes x + y + z = 3 0 ) E =E 1 +E ( 0 0 3) { y = 3 y = E 3 =5E 1 -E y + 3z = 6 -(x+3) si x< Se considera la función f(x)= { t si -3 x 3 -(x-3) si x>3 a) alla el valor de t para que f sea continua en x = 3. b) Para t =, representa gráficamente la función f. Para que sea continua en x = 3: lim- f(x) = lim (t) = t x 3 x 3 - lim- f(x) = lim f(x) = f(3) lim x 3 x 3 + x 3 + -(x-3) = 0 { f(3) = t t = 0 -(x+3) si x<-3 Para t=: f(x)= { si -3 x 3 -(x-3) si x>3

2 Bárbara ánovas onesa f(x) = -(x + 3) = -x - 6x - 9 f(x) = -(x - 3) = -x + 6x - 9 Examen Selectividad _ Matemáticas _ SS _ astilla la Mancha Vértice: Vx= -b = 6 Vy= -3 a - (-3, 0) ortes con eje y: (0, -9) Vértice: Vx= -b = -6 Vy= 3 a - (3, 0) ortes con eje y: (0, -9) De la función f(x) = ax 4 + bx + c sabemos que pasa por el punto (0,0), que tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 3 y que la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto vale -18. on estos datos halla el valor de los parámetros a, b y c. Si pasa por el origen de coordenadas significa que f(0)=0: c = 0 Si tiene un punto de inflexión en x = 3 significa que f (3)=0: f (x)= 4ax 3 + bx f (x) = 1ax + b 108a + b = 0 Si la pendiente de la recta tangente en x = 3 vale -18, significa que f (3)=-18: 108a + 6b = -18 acemos un sistema para calcular los parámetros que nos faltan 108a + b = 0 Restamos { -4b = 18 b = a + 6b = -18 a = 1 1 Por lo que la función queda: f(x) = 1 1 x4-9 x 5.- De un total de 80 alumnos de un instituto que se han presentado a la PAEG, 6 no han aprobado la PAEG. a) alcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG. b) alcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso. c) Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, cuál es la probabilidad de que el tercero y el cuarto sean suspensos? A: aprobar S: suspender La probabilidad de aprobar: P(A) La probabilidad de que de 3 alumnos, los tres estén aprobados: P(A) = 74 P(A) = P(A 1 A A 3 ) = P(A 1 A A ) 3 = La probabilidad de que de 4 alumnos, si el 1º y el º han suspendido, que el 3º y el 4º también hayan suspendido: P ( S 3 S 4 S1 S ) = (S 1 S S 3 S 4 ) (1-0.95)4 = (S 1 S ) (1-0.95) P (S 3 S 4 S1 S ) = El gasto en electricidad por hogar y año sigue una distribución normal con media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de 10 hogares y se observa que el gasto para los hogares de esta muestra (en euros) es: 88, 687, 65, 650, 57, 769, 860, 681, 589 y 755. Según la compañía eléctrica el gasto por hogar y año tiene una desviación típica σ = 100 euros. a) Determina el intervalo de confianza para la media poblacional del gasto en electricidad por hogar y año, con un nivel de confianza del 97 %. b) Aceptarías con un nivel de confianza del 97% que la media poblacional es μ= 800 euros? Y con un nivel de significación igual a 0.09? Razona tus respuestas.

3 3 SEPTIEMBRE 016 Nos piden el intervalo de confianza para la media poblacional con desviación típica conocida, es decir: I = (x ± Zα ). n Nos hace falta la media: x = x = Para calcular el valor de Z /, hay que tener en cuenta que a un nivel de confianza del 0.97, le corresponde un nivel de significación = omo el valor correspondiente a P(Z <0.015) no aparece en la tabla: Es decir, el valor buscado es Z / =.17. Por tanto: P(Z<0.015) = 1 P(Z<0.985) I = (x ± Zα 100 ) = (704.3 ±.17 ) I =(635.68, 77.9) n 10 No es razonable concluir que la media poblacional sea de 800 con un nivel de confianza del 97%, ya que este valor no pertenece al intervalo que hemos calculado a un nivel de significación del 0.03%. Si el nivel de significación aumenta hasta 0.08, el valor de Z / disminuiría, por lo que el intervalo sería más estrecho, por lo que tampoco sería razonable. Opción B 1.- Dadas las matrices: A = ( ) y B = (-4 - ). Determina el valor que debe tomar el parámetro k para que ambas matrices k -6 conmuten; es decir: A B = B A. -1-k = -14 k = A B = B A ( 3-1 ) (-4 - ) = (-4 - ) (3-1 1 k -6 k -6 1 ) ( -1-k 0-4+k -14 ) = ( k-6 -k-1 ) { 0 = 0 k = -4+k = 3k-6 k = -14 = -k-1 k =.- emos gastado 7000 euros en comprar 85 acciones de la empresa A, 100 acciones de la empresa B y 70 acciones de la empresa. El valor de una acción de la empresa es el doble que el de una acción de la empresa A. El valor de una acción de la empresa B supera en 5 euros al de una acción de la empresa A. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el valor de una acción de cada una de las empresas mencionadas. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior x = acciones A y = acciones B z = acciones 85x + 100y + 70z = 7000 { z = x 85x + 100(5+x) + 70(x) = 7000 x = 0 y = 40 z = 5 y = 5 + x Es decir, el valor de las acciones es de 0 las de la empresa A, 40 las de la empresa B y 5 las de la empresa. 3.- Se considera la función f(x)= { (x-t) si x 0 (x+t) 3 - x si x>0 a) Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? b) Para t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0,+ ). c) Para t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (0,+ ). Para que sea continua: lim- f(x) = lim x 0 x 0 - (x-t) = t lim- f(x) = lim f(x) = f(0) lim f(x) = lim x 0 x x 0 x 0 + (x+t)3 -x = t 3 { f(0) = t Es decir, f(x) es continua en x = 0 para t = 0 y t = 1. t = t 3 t 3 - t = 0 t (t - 1)=0 { t 1=0 t =1 Para t = 0, la función toma el valor en el intervalo (0, +): f(x)= x 3 - x Estudiados el crecimiento de la función con la primera derivada: f (x) = 3x 1 3x 1 = 0 x = 3 3 f (1/) <0 f (1) >0 3 3 Tiene un mínimo en ( 3 3, ) Decreciente: (0, 3 3 ) reciente: ( 3 3, + )

4 Bárbara ánovas onesa 4 Examen Selectividad _ Matemáticas _ SS _ astilla la Mancha 4.- A las 0 horas de un día lanzamos a la atmosfera un pequeño globo de helio que mediante un transmisor nos va dando información, entre otras cosas, de la altura a la que se encuentra. El globo asciende durante algunas horas y después desciende hasta caer de nuevo a tierra. La altura a la que se encuentra el globo se ajusta a la función: f(x) = 64x 1 x4 donde f(x) está en metros y x en horas, con x 0 y f(x) 0. a) Determina cuándo vuelve el globo a caer a tierra, así como en qué intervalo de tiempo el globo está ascendiendo y en qué intervalo está descendiendo. b) Determina cuál es la altura máxima que alcanza el globo y cuándo se produce esa altura máxima. Volverá a caer cuando f(x) = 0 siendo x 0: 64x 1 x4 = 0 x (64-1 x ) = 0 { x 1 = 0 es decir, a las 11 horas 18 minutos vuelve a caer a la tierra. x = 8 Para ver el intervalo en que asciende y cae el globo, estudiamos el crecimiento de la función con la primera derivada: f (x) = 18x x 3 18x x 3 = 0 x(18 x ) = 0 { x 1 = 0 x = 8 0 f (1) >0 f (10) <0 8 El primer intervalo (-, 0) no lo estudiamos porque no forma parte del dominio de la función. El globo asciende hasta la octava hora y desciende desde la octava hasta las 11horas y 8 minutos que vuelve a tocar tierra. La altura máxima vendrá dada por el valor de f(8) = 048 m. 5.- En una liga de fútbol se sabe que el 5% de los futbolistas son asiáticos, el 5% son africanos y el resto son europeos. También se sabe que el 10% de los futbolistas asiáticos, el 0% de los futbolistas africanos y el 5% de los futbolistas europeos hablan castellano. a) alcule la probabilidad de que un futbolista, elegido al azar, hable castellano. b) Si nos encontramos con un futbolista que no habla castellano, cuál es la probabilidad de que sea europeo? A: ser asiático B: ser africano : ser europeo : hablar castellano : no hablar castellano 0,05 0,5 0,7 A B 0,1 0,9 0, 0,8 0,5 0,75 La probabilidad de que un futbolista hable castellano es: P() = P(A) P ( A ) +P(B) P ( B ) +P() P ( ) = P() = 0.3 La probabilidad de que no hablando castellano sea europeo es: P ( ) = P( ) P( ) = P ( ) P() = P( ) P ( ) = El consumo medio de agua por habitante y día en España sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ = 30 litros. Tomando una muestra aleatoria de habitantes, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (130.4, 169.6) con un nivel de confianza del 95 %. a) alcula el tamaño de la muestra utilizada y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral. b) uál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 9.98 %?

5 5 SEPTIEMBRE 016 Si la variable X: consumo medio de agua por habitante y día en España, sigue una distribución normal: X ~ N(, 30), el intervalo de confianza para la media, toma la forma: (x ± Zα ). n Nos dicen que el I es (130.4, 169.6) con un nivel de confianza del 95%, es decir, con un nivel de significación = Para buscar el valor de Z0.05 en la tabla: P(Z < 0.05) = 1 P(Z < 0.975) Z0.05 = 1.96 La x de la muestra es el centro del I, es decir, el valor medio de los extremos del intervalo: Por tanto: x = x = 150 I = (x ± Zα = ) (130.4, 169.6) = (150 ± 1.96 n n ) n n = = { n n = 9 El error máximo admisible es: Zα E n Nos dicen para un nivel de confianza del 9.98%, es decir, con un nivel de significación = Para buscar el valor de Z en la tabla: P(Z < ) = 1 P(Z < ) Z = 1.81 Por tanto, para un tamaño n = 100: Zα n E E 5.43 E