TÍTULO DE EXPERTO UNIVERSITARIO EN BOLSAS Y MERCADOS FINANCIEROS ESPAÑOLES

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1 TÍTULO DE EXPERTO UNIVERSITARIO EN BOLSAS Y MERCADOS FINANCIEROS ESPAÑOLES OBTENCIÓN DE CARTERAS ÓPTIMAS CON GAMS 1 1 Este documento, así como los ficheros a los que se hace referencia se pueden obtener de 1

2 Índice 1 Introducción Instalación del programa Comandos gams Inclusión de texto Definición de conjuntos Introducción de datos scalar parameter table Operadores básicos Bloque variables Bloque ecuaciones Bloque modelo Bloque solución Ejecución y solución Cálculo de la frontera eficiente con gams INTRODUCCIÓN El programa GAMS (General Algebraic Modeling System) es un software desarrollado por A. Brooke, D. Kendrick y A. Meeraus. A diferencia de otros paquetes de software de implementación de algoritmos matemáticos que permiten resolver los problemas de optimización, el programa GAMS presenta la ventaja de plantear un lenguaje de modelización que permite poder escribir en un editor la formulación matemática del problema y posteriormente aplicarle una serie de solvers o programas de resolución. Además también permite trabajar con el mismo lenguaje en otro tipo de plataformas no basadas Windows y la interrelación con otros lenguajes de programación. En primer lugar para poder trabajar con el programa GAMS, lo primero que necesitamos es disponer de una versión de dicho programa. Se puede obtener una versión demo del programa conectando a la página web Las limitaciones de la versión gratuita son las siguientes Máximo número de filas: 300 Máximo número de columnas: 300 Máximo número de elementos distintos de cero: 2000 Máximo número de elementos no lineales: 1000 Máximo número de variables discretas: 50 Esta versión restringida será suficiente para el objetivo que pretendemos pues como vemos nos permitirá trabajar con hasta 300 variables (50 discretas) y 300 2

3 restricciones. Para problemas de mayor tamaño, se puede recurrir a la página web o adquirir una licencia. 2 INSTALACIÓN DEL PROGRAMA Una vez bajado el fichero correspondiente de la web de GAMS, la instalación del programa es muy sencilla, pues basta con ejecutar dicho fichero y comenzará la instalación automática del programa, únicamente habrá que elegir el directorio en el cual queremos instalarlo, por defecto c:\archivos de programa\gamsxx.x (donde xx.x indica la versión de GAMS) Finalizada la instalación se accede a dicho programa desde el icono creado durante la instalación en el escritorio o bien desde inicio,/programas/gams,/gamside apareciendo entonces la siguiente ventana Para empezar es conveniente crear un proyecto mediante el menú File, Project, new Project teclear un nombre y guardarlo en la carpeta que queramos. Por defecto el proyecto se crea en la instalación en c:\users\usuario\documents\gamsdir\projdir\gmsproj.gpr 3

4 El proyecto, sirve guardar la configuración personal del programa e indicarle la carpeta de trabajo donde deberá enviar, por defecto, todos los ficheros de ejecución y resultados. A continuación ya podremos crear el fichero que nos permite resolver nuestro modelo, lo cual se realiza eligiendo de la barra de menús la opción file y de ésta new, realizado esto aparecerá la siguiente pantalla Como se puede apreciar, se genera un fichero denominado untitled_1.gms, por lo que resulta conveniente antes de empezar a teclear nuestro modelo asignarle un nombre al fichero, mediante la opción file, save as, 3 COMANDOS GAMS Para poder introducir un modelo, previamente necesitamos conocer algunas nociones de los comandos básicos de gams. Dentro de los bloques que podemos utilizar, hay que distinguir entre los obligatorios que necesariamente habrá que introducir para que el programa funcione y los optativos que, aunque no son necesarios para la ejecución del modelo, nos pueden facilitar el trabajo y la lectura del fichero. 4 INCLUSIÓN DE TEXTO En cualquier parte del fichero podemos introducir notas aclaratorias sobre el mismo o cualquier comentario, que no será compilado, de dos formas distintas. 4

5 Escribiendo un asterisco * en la primera columna de una línea, dicha línea será considerada de comentario y no será compilada. Con este comando se precisa poner * en la primera posición de cada línea de comentario, por lo que sólo se utiliza para comentarios muy cortos. * Ejemplo de texto con asterisco Con los comandos $ontext y $offtext de la siguiente forma $ontext Vamos a crear un fichero con gams que nos va permitir resolver iterativamente el modelo de Markovich y así obtener la frontera eficiente $offtext Se utiliza para comentarios extensos o deshabilitar parte de un fichero que no queremos utilizar en un determinado momento. Todo lo que se encuentre entre ambos comandos será considerado como texto y no se utilizara para la ejecución 5 DEFINICIÓN DE CONJUNTOS La definición de conjuntos es una herramienta muy útil para la construcción de modelos indexados en GAMS, puesto que permite compaginar el uso de nombres completos para referirnos a las distintas opciones, con la brevedad de los índices utilizados en el lenguaje matemático La forma de definir los conjuntos es la siguiente SET I títulos /SANT, BBVA, REPSOL, IBER, GAS, TELEF, INDITEX/ Se introducen con el comando SET a continuación el nombre del conjunto (índice) un comentario si lo creemos oportuno y entre / los nombres de los elementos, separados por comas. La definición de conjuntos debe terminar con ; También se pueden poner comentarios a los elementos del conjunto. El conjunto I se podía haber declarado como SET I títulos /SANT acciones del banco de Santander BBVA acciones del banco Bilbao Vizcaya Argentaria REPSOL acciones de Repsol IBER acciones de Iberdrola GAS acciones de Gas Natural TELEF acciones de Telefónica Española INDITEX acciones de Industria de Diseño Textil /;/ 5

6 Cuando los elementos del conjunto siguen una serie, como en el caso del conjunto T, se puede poner el primer elemento seguido de un * y el último elemento, GAMS generará toda la serie. SET T periodos /1* 5/ ; Ejemplos de SETS abreviados con * SET A años /2000*2004/ L letras /a*d/ O Otros /a1md*a4md/ I Inversiones /proy1*proy3,inv1*inv4 /; También se pueden definir subconjuntos de otros conjuntos definidos anteriormente, como por ejemplo SET IB(I) títulos de bancos /SANT, BBVA/ 6 INTRODUCCIÓN DE DATOS Existen tres tipos de comandos para introducir datos: 6.1 SCALAR Se utiliza para declarar o inicializar una constante. Se introduce con el comando SCALAR seguido del nombre que se le quiere dar, un texto explicativo opcional y el valor que debe tomar entre / /, es decir SCALAR R riesgo de la cartera (varianza) /0.004/ RE rentabilidad exigida a la cartera /0.08/; También puede definirse, sin asignar valor SCALAR R riesgo de la cartera (varianza) y asignarle valor u obtenerlo en función de determinados cálculos cuando sea necesario. R=0.004; R=2*RE+4; 6.2 PARAMETER Es el más versátil de todos los comandos, puesto que puede ser utilizado indistintamente para definir escalares, vectores y matrices. El bloque comienza con el comando PARAMETER seguido del nombre que queremos dar al parámetro, entre paréntesis el nombre del conjunto que indica la dimensión del vector, texto explicativo opcional, y a continuación entre barras / / los valores correspondientes a cada elemento del conjunto 6

7 PARAMETER RENT(I) rendimiento de cada activo del conjunto I /SANT 5 BBVA 6 REPSOL 7/; Más adelante utilizaremos parameter para definir o calcular matrices. 6.3 TABLE La introducción de una matriz comienza con el comando TABLE, a continuación el nombre que le queramos dar a la matriz, en nuestro caso M seguido entre paréntesis por los conjuntos que indican el número de filas y columnas que tiene dicha matriz, un texto explicativo opcional y a continuación los nombres de las columnas y las filas y los valores correspondientes, tal como aparece a continuación TABLE M(T,I) rendimientos en cada periodo de cada título SANT BBVA REPSOL IBER GAS TELEF INDITEX El comando table sólo permite la introducción de datos desde el teclado, si queremos calcular una matriz con datos que son función de otros, necesariamente deberemos recurrir a parameter. Tablas Multidimensionales La forma de introducir tablas con tres o más dimensiones consiste en escribir en la parte correspondiente a las filas todos los índices excepto el último separados por. y el último índice como columna, SET I /I1*I2/ J /J1*J3/ K /K1*K4/ 7

8 TABLE A(I,J,K) tabla con tres conjuntos K1 K2 K3 K4 I1.J I1.J I1.J I2.J I2.J I2.J Tablas continuadas Cuando una tabla tiene un número elevado de columnas que dificultan su visualización, se pueden separar escribiendo todas las filas y sólo un número de columnas adecuado, a continuación el signo + y otro bloque de columnas y así sucesivamente hasta escribir la matriz completa. SET F filas /f1*f2/ C columnas /c1*c10/ TABLE A(F,C) tabla continuada C1 C2 C3 C4 C5 F F F C6 C7 C8 C9 C10 F F F OPERADORES BÁSICOS GAMS contiene multitud de operadores, pero vamos a limitarnos a exponer los estrictamente imprescindibles para poder plantear el ejemplo, aunque posteriormente se utilizarán otros. 8

9 suma/resta + - x+y 3-x producto/cociente * / x*2 x/2 potenciación ** x**n ó power(x,n)) sumatorio i x i Sum[i, x(i)] También tenemos el operador condicional $ (si) muy útil a la hora de realizar determinadas operaciones. Con estos operadores elementales podemos calcular, por ejemplo la rentabilidad media de cada título PARAMETER E(I) rentabilidad media E(I)= SUM[T,M(T,I)]/ CARD(T); Donde CARD(T) representa al cardinal de T, es decir, el número de elementos que contiene el conjunto T (periodos) la matriz de covarianzas PARAMETER COV(I,J) matriz de covarianzas; COV(I,J)=SUM[T,(M(T,I)-E(I))*(M(T,J)-E(J))]/CARD(T); Un cálculo condicional podría ser, por ejemplo, calcular la rentabilidad por título sólo de los tres primeros periodos PARAMETER E3(I) rentabilidad media por título de tres periodos E3(I)= SUM(T$(ORD(T) <=3),M(T,I))/CARD(T); En este caso el comando $ (si) hace que la suma en T sólo se realice cuando el Ordinal de T (ORD(T)) es menor o igual que 3. 8 BLOQUE VARIABLES Dentro del bloque de variables, lo primero que hay que hacer es declarar que nombres vamos a utilizar para referirnos, dentro del modelo, a cada una de ellas. La declaración debe comenzar obligatoriamente con el comando variables, precedido del tipo de variables de que se trata. 9

10 En GAMS hay cinco tipos básicos de variables que podemos utilizar COMANDO Cota Inferior Cota Superior Los valores de las cotas pueden ser cambiados Free + Por defecto si se pone variables son free Positive 0 + Negative 0 Binary 0 1 Variables que sólo pueden tomar el valor 0 ó 1 Integer valores enteros no negativos, el valor superior se puede cambiar A continuación del comando correspondiente al tipo de variable, se introducen los nombres de las variables que pueden contener hasta 64 caracteres, comenzando siempre por una letra, a continuación se puede introducir un texto opcional. VARIABLES V varianza (riesgo asumido con la cartera) EP esperanza (rentabilidad de la cartera) ; Por defecto, si sólo escribimos variables, se entiende que son variables libres, así V y EP son variables libres. La variable objetivo siempre debe ser libre POSITIVE VARIABLES X(I) % del presupuesto invertido en el activo i ; Después de declarar el tipo de variables añadiríamos, si las hay, las cotas sobre las variables. Por ejemplo, imaginemos que queremos invertir un mínimo del 10% en cada título pero no más de un 50% en ninguno de ellos, la notación sería: X.LO(I)=0.1; X.UP(I)=0.5; Si la cota sólo es sobre uno de los valores, para referirnos a dicha variable se pone el nombre entre comillas, del siguiente modo X.LO( IBER )=0.2; 9 BLOQUE ECUACIONES Al igual que en el bloque de variables, lo primero que hay que hacer es declarar los nombres que vamos a utilizar para referirnos a cada ecuación, lo cual se hace con el comando equations y a continuación los nombres, finalizando el bloque con ; La notación es la siguiente. 10

11 EQUATIONS ESP ecuación para el cálculo de la rentabilidad ESP1 ecuación para exigir una rentabilidad mínima VAR ecuación para el cálculo de la varianza VAR1 ecuación para no permitir que la varianza supere un valor dado PRES ecuación presupuestaria ; También se pueden utilizar ecuaciones indexadas como por ejemplo ESP(T) si queremos calcular una ecuación de la esperanza para cada periodo t o incluso ESP(T,I) para cada periodo y título. Una vez declarados los nombres, teniendo en cuenta que los signos de las ecuaciones son ( =L=), ( =G=), (= =E=), estas se definen poniendo el nombre de la ecuación seguido de.. y a continuación la definición de la ecuación correspondiente. Así pues las ecuaciones,, 1 En GAMS se escriben del siguiente modo ESP.. EP=E=SUM(I, X(I)*E(I)); ESP1.. SUM(I, X(I)*E(I))=G=RE; La ecuación ESP sirve para calcular la esperanza de la cartera (EP) y la ecuación ESP1 exige que la rentabilidad sea mayor que el escalar RE. VAR.. V=E=SUM[(I,J), X(I)*COV(I,J)*X(J)]; VAR1.. SUM[(I,J), X(I)*COV(I,J)*X(J)]=L=R; La ecuación VAR1 es para exigir que la varianza sea inferior al escalar R que lo hemos fijado anteriormente en 0,004, mientras que la ecuación VAR es para calcular la varianza V. PRES.. SUM(I,X(I)) =E= 1; Esta ecuación es para garantizar que la inversión realizada sea del 100% 11

12 10 BLOQUE MODELO Una vez definidas las variables y ecuaciones, el siguiente paso es definir los modelos que queremos considerar, puesto que en gams es posible definir más de un modelo en cada fichero. La definición comienza con el comando MODEL, seguido del nombre que queremos poner al modelo y entre // las ecuaciones que componen dicho modelo, separados por comas. Si algún modelo incluye todas las ecuaciones, no es necesario enumerarlas todas sino que, basta con escribir /ALL/. El formato es el siguiente: MODEL nombre_modelo /ecuacion1,ecuacion2,ecuacion3/; En nuestro caso, se plantea un fichero que permite resolver dos problemas simultáneamente, maximizar la rentabilidad para un determinado riesgo y minimizar el riesgo para una determinada rentabilidad, por tanto necesitamos definir dos modelos. El modelo para maximizar la rentabilidad asumiendo un nivel de riesgo máximo, sería el siguiente MODEL maxrent /esp,var1,pres/; El modelo para minimizar el riesgo garantizando una rentabilidad mínima, es MODEL minrisk /esp1,var,pres/; 11 BLOQUE SOLUCIÓN El último paso consiste en decirle al programa que modelos, de los definidos en el bloque anterior, queremos resolver, especificando el tipo de modelo de que se trata, no lineal (NLP), lineal (LP), lineal entero (MIP), etc. y si el objetivo es maximizar o minimizar. Por ejemplo para los dos modelos anteriores la notación es SOLVE maxrent using nlp maximizing EP; SOLVE minrisk us nlp min V; A continuación tenemos el fichero completo (mark.gms) 12

13 $ontext fichero para maximizar la rentabilidad sujeto a un riesgo máximo y para minimizar el riesgo con la condición de obtener una rentabilidad mínima $offtext OPTION DECIMALS=8 NLP=MINOS; SET I títulos /SANT,BBVA,REPSOL,IBER,GAS,TELEF,INDITEX/ T periodos /1*5/; ALIAS (I,J); SCALAR R riesgo de la cartera /0.004/ RE rentabilidad exigida a la cartera /0.08/; TABLE M(T,I) rendimientos en cada período de cada título SANT BBVA REPSOL IBER GAS TELEF INDITEX *CALCULO DE LA RENTABILIDAD ESPERADA POR TITULO PARAMETER E(I); E(I)=SUM(T,M(T,I))/CARD(T); *CÁLCULO DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS PARAMETER COV(I,J); COV(I,J)=SUM[T,(M(T,I)-E(I))*(M(T,J)-E(J))]/CARD(T); VARIABLES V varianza (riesgo asumido con la cartera) EP esperanza (rentabilidad de la cartera) POSITIVE VARIABLES X(I) cantidad invertida en % en el activo i ; EQUATIONS ESP ecuación para el cálculo de la rentabilidad ESP1 ecuación para exigir una rentabilidad mínima VAR ecuación para el cálculo de la varianza VAR1 ecuación para no permitir que la varianza supere un valor dado PRES ecuación presupuestaria ; ESP.. EP=E=SUM(I, X(I)*E(I)); ESP1.. SUM(I, X(I)*E(I))=G=RE; VAR.. V=E=SUM[(I,J), X(I)*COV(I,J)*X(J)]; VAR1.. SUM[(I,J), X(I)*COV(I,J)*X(J)]=L=R; PRES.. SUM(I,X(I)) =E= 1; MODEL maxrent /esp,var1,pres/; MODEL minrisk /esp1,var,pres/; SOLVE maxrent us nlp max ep; SOLVE minrisk us nlp min v; 13

14 12 EJECUCIÓN Y SOLUCIÓN Una vez escrito todo el fichero y guardado con un nombre, por ejemplo mark.gms, estamos en condiciones de ejecutar el programa, pulsando F9 o haciendo clik con el botón izquierdo del ratón sobre el icono con una flecha roja, (ver gráfico siguiente), y obtener la solución. al ejecutar aparecerá una ventana como la siguiente 14

15 si cerramos esta ventana pinchando sobre el icono close, volveremos a una pantalla igual que la del fichero gms pero con dos pestañas, la del fichero mark.gms y otra pestaña, que será la ventana activa, con el fichero mark.lst que es el fichero donde se encuentra la solución al modelo planteado, tal como se aprecia en el gráfico siguiente El fichero LST nos indicará caso de haber cometido errores, cuáles son dichos errores y donde los hemos cometido. Si no hay errores, contiene además de la solución del modelo, abundante información acerca de las variables y ecuaciones empleadas en el modelo (puede ser de ayuda para comprobar si hemos generado correctamente las ecuaciones). El tiempo de CPU necesario para compilar, generar y ejecutar el modelo así como la memoria utilizada. De todo el fichero mark.lst reproduciremos únicamente las partes donde se encuentran las soluciones óptimas de cada modelo. Para el problema consistente en maximizar la rentabilidad sujeto a la condición de que el riesgo máximo asumido no sea superior a 0,004, se ha obtenido: 15

16 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU ESP EQU VAR1 -INF EQU PRES ESP ecuación para el cálculo de la rentabilidad VAR1 ecuación para no permitir que la varianza supere un valor dado PRES ecuación presupuestaria ---- VAR X cantidad invertida en % en el activo i LOWER LEVEL UPPER MARGINAL SANT INF. BBVA.. +INF E-4 REPSOL.. +INF IBER.. +INF GAS INF. TELEF.. +INF INDITEX.. +INF LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR EP -INF INF. EP esperanza (rentabilidad de la cartera) Como se puede apreciar (columna level) la cantidad del presupuesto a invertir en el Santander es el 87% (0.87) del presupuesto, en GAS 13% (0.13) y nada en el resto, con lo que se obtiene una rentabilidad (level EP 0.104) del 10,4%. La varianza para esta inversión es de (level de la ecuación VAR1) que coincide con la máxima permitida (upper de la ecuación VAR1). Además los marginales de las variables nos informan de la pérdida de rentabilidad que se produce si se invierte en los activos que no forman parte de la cartera óptima, por ejemplo invertir en Telefónica significa dejar de ganar un 1,4% por cada unidad de presupuesto que se invierta, en Inditex el 0,2% etc. Respecto al marginal de la ecuación var1 (varianza máxima) que vale 2,419 nos indica que si estamos dispuestos a asumir un mayor riesgo, por cada unidad más de varianza, la rentabilidad aumentará proporcionalmente al marginal. Por ejemplo si asumimos un riesgo máximo del 0,005 la nueva rentabilidad será aproximadamente de EP=0,104+0,001*2,419=0, La solución para el problema consistente en minimizar el riesgo con la condición de obtener una rentabilidad mínima del 8% viene dada por 16

17 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU ESP INF EQU VAR EQU PRES E VAR X cantidad invertida en % en el activo i LOWER LEVEL UPPER MARGINAL SANT INF. BBVA INF 1.657E-11 REPSOL INF -5.06E-10 IBER.. +INF E-4 GAS.. +INF E-5 TELEF INF. INDITEX INF E-9 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR V -INF E-5 +INF. La solución en este caso observamos (columna level) que consiste en invertir el 20,5% en Santander, 33,4% en BBVA, el 11,4% en Repsol, el 16,3% en Telefónica y el 18,4% en Inditex, siendo la varianza para esta cartera de 0, ( ) y proporcionando una rentabilidad esperada del 8% (level de la ecuación ESP1) que era la mínima exigida 13 CÁLCULO DE LA FRONTERA EFICIENTE CON GAMS Con GAMS podemos resolver tantas veces como queramos un modelo de forma sencilla, cambiando cada vez aquel o aquellos valores que se considere oportuno, lo cual nos sirve en nuestro caso para obtener la frontera eficiente. Lo que vamos a hacer en este caso es obtener en primer lugar la varianza mínima y máxima de la cartera, resolviendo los siguientes problemas. min,,. 1 0 max,,

18 El fichero GMS para resolverlos es SET I títulos /SANT,BBVA,REPSOL,IBER,GAS,TELEF,INDITEX/ T periodos /1*5/; ALIAS (I,J); SCALAR R riesgo de la cartera /0.004/; TABLE M(T,I) rendimientos en cada periodo de cada título SANT BBVA REPSOL IBER GAS TELEF INDITEX *CALCULO DE LA RENTABILIDAD ESPERADA POR TITULO PARAMETER E(I); E(I)=SUM(T,M(T,I))/CARD(T); *CALCULO DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS PARAMETER COV(I,J); COV(I,J)=SUM[T,(M(T,I)-E(I))*(M(T,J)-E(J))]/CARD(T); VARIABLES X(I) cantidad invertida en % en el activo i V varianza (riesgo asumido con la cartera) EP rentabilidad esperada; POSITIVE VARIABLES X; EQUATIONS ESP ecuación para el cálculo de la rentabilidad VAR ecuación para el cálculo de la varianza VAR1 ecuación para no permitir que la varianza supere un valor dado PRES ecuación presupuestaria ; ESP.. EP=E=SUM(I, X(I)*E(I)); VAR.. V=E=SUM[(I,J), X(I)*COV(I,J)*X(J)]; VAR1.. SUM[(I,J), X(I)*COV(I,J)*X(J)]=L=R; PRES.. SUM(I,X(I)) =E= 1; MODEL risk /var,pres,esp/; x.l(i)=1/card(i); SOLVE risk US nlp min v; scalar Vmin varianza minima Vmax varianza maxima; Vmin=v.l; x.l(i)=1/card(i); SOLVE risk ud nlp max EP; Vmax=v.l; 18

19 Con las líneas en negrilla resolvemos los dos problemas anteriormente citados, siendo la instrucción x.l(i)=1/card(i) para inicializar los valores de las variables y los parámetros Vmin y Vmax para capturar los valores mínimo y máximo de la varianza de la cartera que utilizaremos para resolver el siguiente problema max EP s. a.: i i i, j xi i i x cov 1 x 0 x E i i ij x R variando el valor de R, entre Vmin R Vmax, para lo cual se añaden las siguientes instrucciones al fichero anterior MODEL MAXEP /ESP,VAR1,PRES/; FOR (R=Vmin TO Vmax BY , x.l(i)=1/card(i); SOLVE MAXEP USING NLP MAXIMIZING EP; ); j Con la instrucción FOR (R=Vmin TO Vmax BY , le estamos diciendo a GAMS que cambie el valor de R desde Vmin hasta Vmax aumentando su valor cada vez en y que resuelva el problema cada vez para dicho valor. Si no añadimos más instrucciones al modelo, para poder leer las distintas soluciones deberíamos desplazarnos a través de todo el fichero solución (LST) buscando la solución para cada valor de R. Para facilitar la lectura de todas las soluciones,vamos a añadir las instrucciones necesarias para que GAMS escriba en un fichero de texto, las soluciones que va obteniendo para cada valor de R, de modo que, una vez resueltos todos, bastará con abrir dicho fichero para leer todas las soluciones. Vamos a exponer cuales deben ser las instrucciones que hay que añadir para que GAMS escriba un fichero texto, con una línea para el valor mínimo (Vmin) y maximo (Vmax) de la varianza de la cartera, una línea con una cabecera en la que figure R (varianza), MAXEP esperanza máxima que se obtiene de una cartera donde se admite un riesgo máximo de R y el nombre de cada uno de los títulos que forman la cartera. En las líneas siguientes y debajo de cada cabecera deberá escribir la solución para cada valor de R. Las instrucciones a añadir son las siguientes: 19

20 FILE FRONT /FRONTERA.TXT/; PUT FRONT; MODEL MAXEP /ESP,VAR1,PRES/; PUT "Vmin=" Vmin:<>8:4 "Vmax=" Vmax:<>8:4 //; PUT "R":<>8 "MAXEP":<>8 LOOP(I, PUT I.TL:<>8); PUT /; FOR (R=Vmin TO (Vmax ) BY , x.l(i)=1/card(i); SOLVE MAXEP USING NLP MAXIMIZING EP; IF ((MAXEP.MODELSTAT LE 2), PUT R:<>8:4 EP.L:<>8:4 LOOP(I, PUT X.L(I):<>8:4); PUT /; ELSE PUT R:<>8:4 " INFACTIBLE "/); ); PUTCLOSE FRONT; La instrucción FILE FRONT /FRONTERA.TXT/; es para que GAMS cree un fichero que se llamará frontera.txt, en el que escribirá todos los resultados que le indiquemos, a dicho fichero nos referimos dentro del programa como front. La instrucción PUT FRONT; es para abrir el fichero FRONTERA.TXT y empezar a escribir los datos que le vayamos indicando. En la línea PUT "Vmin=" Vmin:<>8:4 "Vmax=" Vmax:<>8:4 //; El comando put es para que escriba lo que viene a continuación. El texto que queremos que escriba lo ponemos entre comillas "Vmin=" mientras que si no va entre "" escribirá el valor del parámetro Vmin los caracteres :<>8 son: el 8 para que reserve 8 espacios mientras que :<> es para que escriba el valor centrado (:< alineado a la izquierda) (:> a la derecha) los siguientes caracteres :4 es para que escriba el valor con cuatro decimales. Al final cada una de las / es para insertar un salto de línea y ; para cerrar la instrucción put. Con la instrucción LOOP(I, PUT I.TL:<8), el comando loop equivale al for pero para conjuntos, le estamos indicando que para cada valor de i (loop(i), escriba (put) el nombre (.tl) de cada elemento del conjunto i, alineado a la izquierda y con ocho espacios. Esta instrucción produce el siguiente resultado SANT BBVA REPSOL IBER GAS TELEF INDITEX 20

21 Con la línea PUT R:<>8:4 EP.L:<8:4 LOOP(I, PUT X.L(I):<8:4); PUT /; Le indicamos que escriba, centrado, reservando ocho caracteres y con cuatro decimales, el valor de R, el valor en la solución de la variable EP (esperanza), lo cual se le indica con el sufijo.l y la cantidad invertida en cada activo X.L(I). La última línea PUTCLOSE FRONT; es para cerrar el fichero front. La ejecución del fichero gms (frontera.gms) hará que el GAMS escriba el fichero frontera.txt siguiente: Vmin= Vmax= R MAXEP SANT BBVA REPSOL IBER GAS TELEF INDITEX

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