VIBRACIÓN DE CUERDAS

Transcripción

1 VIBRACIÓN DE CUERDAS 1. OBJETIVO Estudiar cómo varía la frecuencia fundamental de vibración de un hilo metálico, sujeto por ambos extremos, en función de su longitud, de su diámetro y de una fuerza tensora..- FUNDAMENTO TEÓRICO Cuando las ondas están confinadas a una región limitada en el espacio, como una cuerda en la que sus extremos están fijos, existen reflexiones en ambos extremos y por lo tanto aparecen ondas que se mueven en ambos sentidos. Estas ondas se combinan de acuerdo con la ley general de interferencia de ondas produciéndose las denominadas ondas estacionarias y cumpliéndose la relación (figura 1): L L n (n 1,,3...) n (1) n es decir, la longitud de la cuerda será igual a un número entero de medias longitudes de onda. Figura 1: Ondas transversales estacionarias originadas en una cuerda fijada por ambos extremos A esta serie de longitudes de onda, n, les corresponde una serie de frecuencias, f n, estando relacionadas ambas magnitudes a través de la velocidad de propagación de la onda: f n () n - 1 -

2 La frecuencia más pequeña f 1 corresponde a la longitud de onda más grande =L (para n=1) y se denomina frecuencia fundamental: f 1 (3) L Las otras frecuencias se denominan también armónicos o sobretonos y son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. f n n (4) L n f 1 Estudio de la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda. En la figura se puede observar la propagación de una onda transversal en una cuerda de longitud L, sección s y densidad tensada con una fuerza F. Figura : Diagrama de fuerzas en un segmento de una cuerda tensada La fuerza resultante sobre un elemento de cuerda de longitud dx es igual a: F y = - F sen + F sen (+d) (5) siendo el ángulo que forman la fuerza F y el eje x. Como los ángulos son muy pequeños se realiza la aproximación sen a a : F y = F d (6) La variación del ángulo al desplazarnos una distancia dx es igual a: (tg) (dy/dx) y dx (7) x x x x d por lo tanto: y Fy Fd Fy F dx (8) x La masa de un elemento de cuerda dx puede expresarse: - -

3 dm = dv= s dx (9) donde s=r es la sección transversal, r el radio de la cuerda y la densidad del material del que está hecha la cuerda. Considerando que la ecuación de movimiento de un elemento diferencial es: y Fy dm (10) t e igualando las expresiones (8) y (10) y sustituyendo dm por su valor, se llega a la ecuación de una onda: y F y t s x (11) con velocidad de propagación: F s (1) Sustituyendo ahora el valor de en la expresión (3): 1 F f f (13) L L s Finalmente, tomando logaritmos se obtiene la expresión: log f = log 0.5 log L log F log s log (14) Dicha expresión será en la que nos basemos para realizar el estudio objeto de esta práctica. 3.- MATERIAL UTILIZADO Varillas, l=50 mm Pie cónico Nueces Pinzas de mesa Regla graduada, l=1000 mm Dinamómetro, 0 N Mango con gancho Tensor de cuerdas Distribuidor de corriente Transformador 5V / DC Fotoelemento de Silicio Cables de conexión BNC Cables de conexión bananas Adaptadores y conectores PEK portalámparas Bombilla 6 V/0.5 A - 3 -

4 Osciloscopio Contador digital Amplificador de baja frecuencia Soportes triangulares Alambres de Constantán, (Cu55Ni45), =8.9 g/cm 3 Alambres de Cobre, =9.0 g/cm EXPERIMENTACIÓN El dispositivo experimental utilizado se muestra en la figura 3. Figura 3: Dispositivo Experimental La cuerda a estudiar (alambre de constantán, cobre.) se sujeta por sus dos extremos; uno de ellos a un dinamómetro y el otro a un tensor de cuerdas con el que se podrá variar la tensión de la misma. No aplicar a las cuerdas tensiones superiores a las indicadas en cada experimentación ya que podrían romperse. El hilo se apoyará sobre los dos soportes triangulares que delimitarán en el experimento la parte de la cuerda que vibra al ser pulsada. Su longitud se puede variar moviendo dichos soportes sobre la regla graduada. La cuerda debe estar situada entre la fuente de iluminación (bombilla) y la ranura horizontal de la placa del sensor (fotoelemento de silicio) tal y como se muestra en la figura 4. Encender la fuente de iluminación conectando el transformador a la red. Para originar la vibración del hilo basta con dar un ligero golpe con un dedo, preferiblemente en su zona central cuando se quiere obtener el modo fundamental. Figura 4: Dispositivo Experimental - 4 -

5 Para iniciar una medición, una vez seleccionada en el contador digital la función FRECUENCIA, pulsar la tecla START. La señal procedente del sensor se amplifica a través de un amplificador de baja frecuencia y se transmite al osciloscopio y al contador digital. En el osciloscopio se puede visualizar dicha vibración. Para tomar el valor de la frecuencia se debe esperar unos pocos segundos después de haber iniciado la vibración en el hilo, de modo que en el osciloscopio se observe la desaparición de los armónicos de mayor orden. Si vibra algún tramo de la cuerda que esté fuera de la región de los soportes, se puede parar la vibración apoyando ligeramente un dedo en su parte central teniendo cuidado de no alterar la tensión de la cuerda Frecuencia fundamental de una cuerda vibrante en función la tensión aplicada Estudio de las frecuencias fundamentales del hilo de constantán, para diferentes valores de la tensión (mínimo 7) y para un valor constante de la longitud. Representen los resultados gráficamente, log frecuencia = f(log Fuerza), realicen un ajuste por mínimos cuadrados y determinen si el resultado se ajusta a la ecuación (14), es decir, si coinciden el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen. L= s= = Diámetro= mm F (N) log F f (Hz) log f 4..- Frecuencia fundamental de una cuerda vibrante en función de su longitud Estudio de las frecuencias fundamentales del hilo de constantán, para diferentes longitudes (mínimo 7) aplicando una tensión constante. Representen los datos gráficamente, log frecuencia = f(log Longitud), realicen un ajuste por mínimos cuadrados y determinen si el resultado se ajusta a la ecuación (14), es decir, si coinciden el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen

6 F= s= = Diámetro= mm L (m) log L f (Hz) log f Frecuencia fundamental de una cuerda vibrante en función de su sección transversal. Estudio de las frecuencias fundamentales de los hilos de cobre de diferente diámetro, para una longitud y tensión constantes. Representen los datos gráficamente, log frecuencia = f(log sección), realicen un ajuste por mínimos cuadrados y determinen si el resultado se ajusta a la ecuación (14), es decir, si coinciden el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen. = F= L= D (mm) s (m ) log s f (Hz) log f Para la realización de los gráficos pueden utilizar Excel u otra hoja de cálculo. En todos los ordenadores del laboratorio está instalada la hoja de cálculo Excel y el procesador de datos Word. Todos los ordenadores se encuentran en red con una impresora, ubicada en el laboratorio, disponible para la impresión de los datos y gráficos que deseen