Grado en Economía Universidad de Alcalá Curso Académico 2011/12 1º Curso 2º Cuatrimestre

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO Grado en Economía Universidad de Alcalá Curso Académico 2011/12 1º Curso 2º Cuatrimestre

2 GUÍA DOCENTE Nombre de la asignatura: Análisis Matemático Código: Titulación en la que se imparte: Departamento y Área de Conocimiento: Carácter: Formación Básica Créditos ECTS: 9 Curso y cuatrimestre: Profesorado: Grado en Economía Fundamentos de Economía e Historia Económica Fundamentos del Análisis Económico 1º Curso 2º Cuatrimestre Rafael Cuadra López Omar de la Cruz Vicente Estefanía García Vázquez José María Martínez Mediano Joaquín Pérez Navarro Elena Sanz Rioyo Horario de Tutoría: Idioma en el que se imparte: Serán facilitados por los profesores al comienzo de la impartición de la asignatura. Para datos de contacto, visitar página web del departamento Español 1. PRESENTACIÓN Uno de los fines más importantes de la teoría matemática es el de construir modelos que describan el mundo real. En particular, la matemática puede ayudar a diseñar modelos económicos que expliquen mejor la realidad económica. El futuro graduado deberá dominar los rudimentos del lenguaje en el que se expresa la ciencia, reconociendo el papel que las Matemáticas juegan en el desarrollo de su pensamiento, al mejorar su razonamiento lógico, precisión, rigor, abstracción y capacidad para valorar resultados. También deberá adquirir las destrezas básicas de la comunicación y entendimiento del mundo a través del lenguaje simbólico de las matemáticas. Por ello, la asignatura de Análisis Matemático es una herramienta imprescindible que permite investigar, describir, comprender y reflexionar sobre los modelos que se aplican en la ciencia económica. 2

3 La asignatura aborda un primer acercamiento al Álgebra Lineal mediante el estudio de sus herramientas fundamentales: vectores, matrices y determinantes, lo que permitirá la resolución de los sistemas lineales que aparecen como elementos primarios de los modelos teóricos. Continúa con el Análisis Matemático, centrado en la descripción y estudio de las funciones reales de una y de dos variables, desarrollando los instrumentos matemáticos que permiten prever su comportamiento, determinar sus puntos más característicos y descubrir sus principales propiedades. Por último, la asignatura finaliza con un repaso del Cálculo Integral de las funciones de variable real y sus aplicaciones económicas. El objetivo es que esta asignatura sea una herramienta básica para el alumno, pues con su ayuda se pueden estudiar, entender y comunicar otros muchos conocimientos, especialmente los ligados a las asignaturas de Estadística, Macro y Microeconomía del plan de estudios. Prerrequisitos y Recomendaciones (si es pertinente) Esta materia presupone un dominio adecuado de conocimientos matemáticos previos (lenguaje matemático, lógica básica, manipulación de fracciones y potencias, funciones elementales, gráficas usuales, ecuaciones, inecuaciones, etc.) Como la realidad demuestra que existen notables carencias de los mismos en un amplio sector del alumnado que se matricula en el primer curso de los grados en Economía, SE RECOMIENDA que el alumno valore la conveniencia de cursar previamente (en el Primer Semestre) la materia transversal denominada Matemáticas Básicas para las Ciencias Sociales, cuyo objetivo es precisamente el de afianzar y reforzar tales conocimientos previos. Se recalca el carácter optativo (no es un requisito) de esta recomendación, debiendo ser el propio alumno quien decida si la toma o no, en función de su nivel previo y personal de conocimientos matemáticos. 3

4 2. COMPETENCIAS Competencias genéricas: 1. Capacidad de análisis y síntesis 2. Capacidad de expresión oral y escrita 3. Capacidad de trabajo autónomo y colaborativo 4. Capacidad de búsqueda de información y uso de aplicaciones informáticas Competencias específicas: 1. Comprender el lenguaje matemático y saber explicar diferentes conceptos básicos a través del mismo. 2. Conocer los fundamentos del álgebra que son necesarios para afrontar los estudios de economía. 3. Conocer los fundamentos del análisis matemático que son necesarios para afrontar los estudios de economía. 4. Saber utilizar esos conceptos matemáticos para describir situaciones y problemas concretos. 5. Ser capaz de resolver, con ayuda del álgebra y del cálculo diversos problemas prácticos. 6. Desarrollar habilidades (orales, escritas, tecnológicas, etc.) que faciliten la presentación de sus resultados y trabajos a los demás. 7. Saber colaborar e interrelacionarse con otros y llegar a soluciones compartidas. 8. Comprender y saber interpretar de manera eficaz la información recibida. 9. Adquirir los conocimientos mínimos para el estudio futuro de las materias fundamentales de la titulación. 10. Tomar conciencia y utilizar los conocimientos mínimos para defender puntos de vista económico-empresariales. 4

5 3. CONTENIDOS Bloques de contenido Total de clases, créditos u horas Parte I Álgebra Lineal Tema 1. VECTORES Introducción. Definición y ejemplos. Interpretación geométrica. Operaciones con vectores.producto escalar. Módulo. Ortogonalidad. Bases ortonormales. Dependencia lineal, bases y sistemas de coordenadas. Tema 2. MATRICES Y DETERMINANTES Introducción. Definición, operaciones y propiedades. Suma, Producto e Identidad. Potencias. Matrices especiales. Determinantes. Propiedades. Rango de una matriz. Matriz inversa. 23 horas Tema 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción. Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial.teorema de Rouché. Existencia de soluciones. Discusión de sistemas.resolución de sistemas. Regla de Cramer. Tema 4. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Introducción. Autovalores y autovectores: significado y cálculo. Propiedades.Matrices semejantes. Diagonalización de una matriz. 5

6 Parte II Análisis Matemático Tema 5. FUNCIONES DE UNA VARIABLE: DERIVACIÓN Repaso de los conceptos fundamentales. Definición de función. Límites. Continuidad. Derivada: definición; reglas de derivación. Tangente a una curva. Aplicaciones: crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos; representación gráfica de una función. Desarrollo de Taylor de una función; polinomio de Taylor. Aplicaciones. Tema 6. FUNCIONES DE DOS VARIABLES Introducción. Definiciones y ejemplos. Curvas de nivel. Límites y continuidad. Derivadas direccionales. Concepto, propiedades y cálculo. Derivadas parciales. Diferenciabilidad. Vector gradiente. Propiedades del gradiente. 35 horas Plano tangente a una superficie. Derivación compuesta: regla de la cadena. Derivadas de orden superior. Teorema de Taylor. Funciones definidas implícitamente (Teorema de la función implícita). Derivada de funciones definidas implícitamente. Tangente a una curva de nivel. Funciones Homogéneas. Propiedades. Teorema de Euler. Optimización. Parte III Cálculo Integral Tema 7. INTEGRACIÓN Repaso de los conceptos fundamentales. Definición de primitiva. La integral indefinida. Propiedades y tabla de integrales inmediatas. Métodos de integración. La integral definida. Teorema fundamental del Cálculo Integral. Aplicaciones económicas. Integrales Múltiples. Definición y ejemplos. 11 horas 6

7 4. METODOLOGÍAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.-ACTIVIDADES FORMATIVAS 4.1. Distribución de créditos (especificar en horas) Número de horas presenciales: Número de horas del trabajo propio del estudiante: Total horas Asistencia a clases en grupo grande: 24 Asistencia a clases en grupo reducido: 44 Realización de exámenes: horas 225 horas 4.2. Estrategias metodológicas, materiales y recursos didácticos Clases presenciales Clases teóricas: estas clases se impartirán en grupos grandes de alumnos. Durante las mismas el profesor desarrollará los conceptos más importantes para la comprensión del tema. Resolución de casos prácticos: se harán principalmente en grupos reducidos. Durante las sesiones se aplicarán a problemas concretos los conceptos teóricos estudiados. Los alumnos comentarán entre ellos y con el profesor las soluciones halladas a los problemas propuestos. Presentación de informes y trabajos: el alumno tendrá que presentar a sus compañeros y al profesor los trabajos que haya realizado fuera del horario de clases. Pruebas evaluatorias: durante el curso el profesor propondrá, en el número que considere conveniente, diversas pruebas a fin de evaluar la adquisición continuada de conocimientos y la aplicación de los mismos. Estas pruebas podrán realizarse sin previo 7

8 aviso, siendo considerados sus resultados en el porcentaje de evaluación que se establece a tal efecto. Trabajo autónomo Tutorías Exámenes Estudio para la comprensión completa de los conceptos y procedimientos explicados en las sesiones presenciales. Lecturas. Búsqueda de información. Realización de actividades: ejercicios, casos, informes, trabajos. Participación en foros/blog, etc. Las tutorías podrán ser en grupo o individuales. Durante las mismas el profesor evaluará la adquisición de las diversas competencias. El alumno expondrá la evolución de los informes y trabajos y será orientado hacia su adecuada finalización cuando sea necesario. A lo largo del curso se llevarán a cabo dos exámenes en los cuales el alumno tendrá que interrelacionar todos los conocimientos que ha adquirido, asegurando, de esta manera, que el conocimiento es transversal y que es capaz de relacionar los conceptos y aplicarlos. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS: Los libros recomendados están disponibles en la Biblioteca del Centro. Se podrá utilizar Plataforma virtual. La Universidad dispone de ordenadores para uso de los alumnos. Cuando se considere necesario se entregará, antes de cada tema, material para facilitar el seguimiento de las clases. Se entregarán periódicamente hojas de ejercicios y problemas. 8

9 5. EVALUACIÓN: Procedimientos, criterios de evaluación y de calificación Criterios de evaluación A fin de obtener una evaluación completa del alumno, habrá de observarse que éste: Identifica las ideas principales de cada uno de los contenidos. Relaciona y aplica los contenidos nuevos con los ya sabidos. Comprende los conceptos básicos. Aplica los contenidos a situaciones diversas. Resuelve los problemas de modo comprensivo. Argumenta adecuadamente sus resultados. Aplica el sentido crítico al analizar y solucionar el problema. Integra los diferentes conocimientos. Presenta los ejercicios con claridad, corrección y cuidado expositivo, en la forma y tiempo acordados. Elabora modelos en los que utiliza los conocimientos vistos. Y en cuanto a sus trabajos y aportaciones prácticas, se valorará: Originalidad y aportaciones del trabajo. Rigor en la presentación. Integración y coherencia teórico-práctica. Capacidad de síntesis. Criterios de calificación: La escala de notas numéricas con un decimal y una calificación cualitativa: 0,0-4,9 SUSPENSO (SS) 5,0-6,9 APROBADO (AP) 7,0-8,9 NOTABLE (NT) 9,0-10 SOBRESALIENTE (SB) 9,0 10 MATRÍCULA DE HONOR limitada al 5% Modo de evaluación El procedimiento de evaluación está sujeto a la Normativa reguladora de los procesos de evaluación de los aprendizajes, aprobada en Consejo de Gobierno de la Universidad de Alcalá el 24 de marzo de El modo de evaluación a seguir en esta asignatura será explicado en detalle en la primera sesión de impartición, aclarando las dudas que pudieran surgir, por los profesores responsables de la misma. 9

10 - Evaluación en convocatoria ordinaria: A) Evaluación continua. En este sistema la asistencia participativa en clase, actividades como la realización de ejercicios y la resolución de trabajos, así como la consideración de distintos tipos de pruebas de evaluación, tienen un peso decisivo en la calificación final. A lo largo del periodo de impartición de la asignatura, la presentación de trabajos a realizar por parte del alumno a propuesta del profesor junto con la participación activa en clase, así como la realización de pruebas de evaluación sin previo aviso, supondrán un 15 % de la calificación final. En este sistema se llevarán a cabo dos pruebas cuya fecha de realización será comunicada a los alumnos con suficiente antelación. La primera de ellas se realizará a lo largo del cuatrimestre y evaluará los contenidos relativos a los 5 primeros temas. La segunda prueba evaluará el resto de los temas y se realizará el mismo día que el examen final. Se entiende que, dado el carácter incremental en la adquisición de conocimientos que requiere esta asignatura, en la evaluación de los temas más avanzados siempre están incluidos contenidos de los primeros. Por tanto, en ningún caso ha de entenderse que la superación de la primera de las pruebas exime del conocimiento de la materia en la segunda. Para aquellos alumnos que obtengan una calificación superior a 4 puntos sobre 10 en la primera prueba de evaluación, los pesos que en la calificación final tendrán esta primera prueba y la segunda serán 45% y 40%, respectivamente. Los alumnos que no superen la calificación de 4 puntos sobre 10 en la primera prueba podrán optar, si así lo desean y previa comunicación al profesor responsable de la asignatura, a una prueba, a modo de recuperación, a realizar el mismo día que el examen final. En este caso, la calificación obtenida en la primera prueba pasará a considerarse dentro del 15% de evaluación continua, la calificación de la prueba de recuperación supondrá un 45% y el 40% restante corresponderá a la calificación de la segunda prueba de evaluación. Se considera que un alumno aprueba mediante evaluación continua cuando la suma ponderada de las tres calificaciones anteriormente expuestas es al menos de 5 puntos y en las dos pruebas de evaluación se ha obtenido una calificación superior a 3 puntos sobre 10. Si no se superara la asignatura en la convocatoria ordinaria, las calificaciones relativas a los distintos controles, la entrega de trabajos y la participación activa en clase serian tenidos en cuenta en la convocatoria extraordinaria del año en curso siempre que el alumno obtuviera en ésta una calificación de al menos 4 puntos sobre 10. B) Evaluación final. Este modelo de evaluación se aplicará a los alumnos que cumplan las condiciones del artículo 10 de la Normativa reguladora de los procesos de evaluación de los aprendizajes. 10

11 Consiste en la realización de un examen final cuya nota supondrá el 100 % de la calificación del alumno en la asignatura. Está compuesto de una parte tipo test, con tres alternativas y penalizándose las contestaciones incorrectas, y otra parte de desarrollo de problemas. - Evaluación en convocatoria extraordinaria: La convocatoria extraordinaria consistirá en la superación de un examen único de las mismas características que el realizado en la evaluación final de la convocatoria ordinaria. A la hora de determinar la calificación final en esta convocatoria, a aquellos alumnos que habiendo realizando evaluación continua durante el curso hayan obtenido en la convocatoria extraordinaria una nota superior a 4 puntos sobre 10 en la misma, se les tendrá en cuenta las calificaciones relativas a los distintos controles, la entrega de trabajos y la participación activa en clase a lo largo del año en curso. 6. BIBLIOGRAFÍA Bibliografía Básica CHIANG y WAINWRIGHT (2006), Métodos fundamentales de economía matemática. Ed. McGraw-Hill. GALÁN y otros (2004), Matemáticas para la economía y la empresa. Ejercicios resueltos. Ed. Thomson GALINDO, SANZ y TRISTÁN (2003), Guía práctica de Cálculo infinitesimal de una (y de dos) variable, Ed. Thomson LARSON y HOSTETLER (1999), Cálculo. Ed. McGraw-Hill. SANZ, VÁZQUEZ y ORTEGA (1999), Problemas de Álgebra Lineal. Ed. Prentice Hall. SYDSAETER y HAMMOND (1996), Matemáticas para el Análisis Económico. Ed. Prentice Hall TOMEO, UÑA y SAN MARTÍN (2005), Problemas Resueltos de Cálculo en una Variable. Ed. Thomson. 11