Nociones de Localidad
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- María Villanueva Prado
- hace 5 años
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1 Nociones de Localidad IIC3260 IIC3260 Nociones de Localidad 1 / 48
2 Notación: Grafo de Gaifman Dado: Vocabulario L y L-estructura A Primero suponemos que L sólo contiene símbolos de relación IIC3260 Nociones de Localidad 2 / 48
3 Notación: Grafo de Gaifman Dado: Vocabulario L y L-estructura A Primero suponemos que L sólo contiene símbolos de relación Definición El Grafo de Gaifman de A, denotado como G(A), contiene los siguientes elementos: Nodos: Dominio A de A. Arcos: (a 1,a 2 ) es un arco en G(A) si y sólo si a 1 a 2 y existe R L y una tupla t R A que menciona a a 1 y a 2. IIC3260 Nociones de Localidad 2 / 48
4 Grafo de Gaifman: Ejemplo Ejemplo Si A es la estructura A = {1,2,3,4,5}, R A = {(1,2,3)}, T A = {(1,4), (4,5)}, entonces: IIC3260 Nociones de Localidad 3 / 48
5 Grafo de Gaifman: Ejemplo Ejemplo Si A es la estructura A = {1,2,3,4,5}, R A = {(1,2,3)}, T A = {(1,4), (4,5)}, entonces: G(A): 5 3 IIC3260 Nociones de Localidad 3 / 48
6 Vecindarios Notación d A (a,b): Distancia entre a y b en G(A) d A (ā,b): Menor valor de d A (a,b), para a en ā Nd A (ā): Subestructura de A inducida por los elementos a distancia a lo más d de ā Elementos en ā son tratados como constantes IIC3260 Nociones de Localidad 4 / 48
7 Vecindarios: Ejemplo Ejemplo Nuevamente sea A la estructura A = {1, 2, 3, 4, 5}, R A = {(1,2,3)}, T A = {(1,4), (4,5)}. IIC3260 Nociones de Localidad 5 / 48
8 Vecindarios: Ejemplo Ejemplo Nuevamente sea A la estructura A = {1, 2, 3, 4, 5}, R A = {(1,2,3)}, T A = {(1,4), (4,5)}. Vocabulario de N2 A (5): {R(,, ), T(, ), c} IIC3260 Nociones de Localidad 5 / 48
9 Vecindarios: Ejemplo Ejemplo Nuevamente sea A la estructura A = {1, 2, 3, 4, 5}, R A = {(1,2,3)}, T A = {(1,4), (4,5)}. Vocabulario de N2 A (5): {R(,, ), T(, ), c} Dominio de N2 A (5) es N = {1,4,5} R NA 2 (5) = T NA 2 (5) = {(1,4),(4,5)} c NA 2 (5) = 5 IIC3260 Nociones de Localidad 5 / 48
10 Vecindarios: Ejemplo Ejemplo Nuevamente sea A la estructura A = {1, 2, 3, 4, 5}, R A = {(1,2,3)}, T A = {(1,4), (4,5)}. Vocabulario de N2 A (5): {R(,, ), T(, ), c} Dominio de N2 A (5) es N = {1,4,5} R NA 2 (5) = T NA 2 (5) = {(1,4),(4,5)} c NA 2 (5) = 5 Notación Para ā = (a 1,...,a m ), usamos N A d (a 1,...,a m ) como notación alternativa para N A d (ā). IIC3260 Nociones de Localidad 5 / 48
11 Isomorfismo de vecindarios Dados: Vecindarios N A d (ā) y NA d ( b), donde ā = (a 1,...,a m ) y b = (b 1,...,b m ) Si f es un isomorfismo entre N A d (ā) y NA d ( b), entonces f (a i ) = b i, para todo 1 i m Por qué? IIC3260 Nociones de Localidad 6 / 48
12 Isomorfismo de vecindarios Dados: Vecindarios N A d (ā) y NA d ( b), donde ā = (a 1,...,a m ) y b = (b 1,...,b m ) Si f es un isomorfismo entre N A d (ā) y NA d ( b), entonces f (a i ) = b i, para todo 1 i m Por qué? Notación N A d (ā) = N A d ( b) IIC3260 Nociones de Localidad 6 / 48
13 Primera noción: Localidad de Gaifman Dado: Vocabulario L Teorema (Gaifman) Para cada L-fórmula ϕ( x) en LPO, existe un número d tal que para toda L-estructura A y tuplas ā, b en A: N A d (ā) = N A d ( b) A = ϕ(ā) si y sólo si A = ϕ( b) IIC3260 Nociones de Localidad 7 / 48
14 Primera noción: Localidad de Gaifman Dado: Vocabulario L Teorema (Gaifman) Para cada L-fórmula ϕ( x) en LPO, existe un número d tal que para toda L-estructura A y tuplas ā, b en A: N A d (ā) = N A d ( b) A = ϕ(ā) si y sólo si A = ϕ( b) Cómo podemos usar este teorema para demostrar que una propiedad no es expresable en LPO? IIC3260 Nociones de Localidad 7 / 48
15 Localidad de Gaifman: Dos ejemplos Ejercicios Usando el teorema de Gaifman demuestre que las siguientes propiedades no son expresables en lógica de primer orden: 1. Clausura transitiva: Determinar si existe un camino entre dos nodos de un grafo 2. Misma generación: Determinar si en un árbol dos nodos están en la misma generación IIC3260 Nociones de Localidad 8 / 48
16 Localidad de Gaifman: Dos ejemplos Ejercicios Usando el teorema de Gaifman demuestre que las siguientes propiedades no son expresables en lógica de primer orden: 1. Clausura transitiva: Determinar si existe un camino entre dos nodos de un grafo 2. Misma generación: Determinar si en un árbol dos nodos están en la misma generación Qué tan difícil es resolver estos problemas usando juegos de Ehrenfeucht-Fraïssé? IIC3260 Nociones de Localidad 8 / 48
17 Primer ejercicio: Clausura transitiva Sea L = {E(, )} Por contradicción: Suponga que existe una L-fórmula ϕ(x,y) en LPO tal que para cada L-estructura A y par de puntos a,b en A: A = ϕ(a,b) si y sólo si existe un camino desde a a b en el grafo representado por A Por Teorema de Gaifman: Existe d tal que para toda L-estructura A y tuplas (a 1,b 1 ), (a 1,b 2 ) en A: Si N A d (a 1,b 1 ) = N A d (a 2,b 2 ), entonces A = ϕ(a 1,b 1 ) si y sólo si A = ϕ(a 2,b 2 ) IIC3260 Nociones de Localidad 9 / 48
18 Primer ejercicio: Clausura transitiva Sea A una estructura tal que E A es la siguiente relación de sucesor: a b Donde: La distancia entre a y el primer punto de E A es mayor que d La distancia entre b y a es mayor que 2 d + 1 La distancia entre el último punto de E A y b es mayor que d IIC3260 Nociones de Localidad 10 / 48
19 Primer ejercicio: Clausura transitiva N A d (a,b) es la siguiente estructura: a b IIC3260 Nociones de Localidad 11 / 48
20 Primer ejercicio: Clausura transitiva N A d (a,b) es la siguiente estructura: a b N A d (b,a) es la siguiente estructura: b a IIC3260 Nociones de Localidad 11 / 48
21 Primer ejercicio: Clausura transitiva N A d (a,b) es la siguiente estructura: a b N A d (b,a) es la siguiente estructura: b a Por lo tanto: N A d (a,b) = N A d (b,a) Por hipótesis: A = ϕ(a, b) si y sólo si A = ϕ(b, a) IIC3260 Nociones de Localidad 11 / 48
22 Primer ejercicio: Clausura transitiva N A d (a,b) es la siguiente estructura: a b N A d (b,a) es la siguiente estructura: b a Por lo tanto: N A d (a,b) = N A d (b,a) Por hipótesis: A = ϕ(a, b) si y sólo si A = ϕ(b, a) Pero: A = ϕ(a,b) y A = ϕ(b,a) Tenemos una contradicción! IIC3260 Nociones de Localidad 11 / 48
23 Segundo ejercicio: Misma generación Sea L = {E(, )} Ahora suponga que ψ(x,y) es una L-fórmula en LPO tal que para cada L-estructura B que representa un árbol y puntos a,b en B: B = ψ(a,b) si y sólo si a y b están en la misma generación en el árbol representado por B Por Teorema de Gaifman: Existe d tal que para toda L-estructura B y tuplas (a 1,b 1 ), (a 1,b 2 ) en B: Si N B d (a 1,b 1 ) = N B d (a 2,b 2 ), entonces B = ψ(a 1,b 1 ) si y sólo si B = ψ(a 2,b 2 ) IIC3260 Nociones de Localidad 12 / 48
24 Segundo ejercicio: Misma generación Sea B una estructura tal que E B es el siguiente árbol: r a b c h 1 h 2 Donde: d B (a,r) = d B (b,r) > d a y b están en la misma generación (b,c) E B d B (h 1,a) = d B (h 2,c) > d IIC3260 Nociones de Localidad 13 / 48
25 Segundo ejercicio: Misma generación N B d (a,b) es la siguiente estructura: a b IIC3260 Nociones de Localidad 14 / 48
26 Segundo ejercicio: Misma generación N B d (a,b) es la siguiente estructura: a b N B d (a,c) es la siguiente estructura: a c IIC3260 Nociones de Localidad 14 / 48
27 Segundo ejercicio: Misma generación Por lo tanto: N B d (a,b) = N B d (a,c) Por hipótesis: B = ψ(a, b) si y sólo si B = ψ(a, c) IIC3260 Nociones de Localidad 15 / 48
28 Segundo ejercicio: Misma generación Por lo tanto: N B d (a,b) = N B d (a,c) Por hipótesis: B = ψ(a, b) si y sólo si B = ψ(a, c) Pero: B = ψ(a,b) y B = ψ(a,c) Tenemos una contradicción! IIC3260 Nociones de Localidad 15 / 48
29 Segunda noción: Localidad de Hanf Se puede utilizar la noción de localidad de Gaifman para consultas Booleanas (oraciones)? IIC3260 Nociones de Localidad 16 / 48
30 Segunda noción: Localidad de Hanf Se puede utilizar la noción de localidad de Gaifman para consultas Booleanas (oraciones)? El teorema es válido pero inútil en este caso IIC3260 Nociones de Localidad 16 / 48
31 Segunda noción: Localidad de Hanf Se puede utilizar la noción de localidad de Gaifman para consultas Booleanas (oraciones)? El teorema es válido pero inútil en este caso Necesitamos una segunda noción. No sólo va a ser útil en el caso de consultas Booleanas IIC3260 Nociones de Localidad 16 / 48
32 Segunda noción: Localidad de Hanf Definición Decimos que A d B si existe una biyección f : A B tal que para todo c A: Nd A (c) = Nd B (f (c)) IIC3260 Nociones de Localidad 17 / 48
33 Segunda noción: Localidad de Hanf Definición Decimos que A d B si existe una biyección f : A B tal que para todo c A: Nd A (c) = Nd B (f (c)) Teorema (Hanf) Para cada L-oración ϕ en LPO, existe un número d tal que para todo par de L-estructuras A y B: A d B A = ϕ si y sólo si B = ϕ IIC3260 Nociones de Localidad 17 / 48
34 Localidad de Hanf: Utilización Cómo podemos usar este teorema para demostrar que una propiedad no es expresable en LPO? IIC3260 Nociones de Localidad 18 / 48
35 Localidad de Hanf: Utilización Cómo podemos usar este teorema para demostrar que una propiedad no es expresable en LPO? Ejercicio Usando el teorema de Hanf demuestre que la siguiente propiedad no es expresable en lógica de primer orden: 1. Conexidad: Determinar si un grafo es conexo. Existe una secuencia de arcos entre cada par de nodos Podemos usar la noción de localidad de Gaifman para hacer esta demostración? IIC3260 Nociones de Localidad 18 / 48
36 Utilizando localidad de Hanf: Conexidad Sea L = {E(, )} Por contradicción: Suponga que Φ es una L-oración en LPO tal que para cada L-estructura A: A = Φ si y sólo si el grafo representado por A es conexo Por Teorema de Hanf: Existe d tal que para todo par de L-estructura A, B: Si A d B, entonces A = Φ si y sólo si B = Φ IIC3260 Nociones de Localidad 19 / 48
37 Utilizando localidad de Hanf: Conexidad Considere las siguientes estructuras: A B A contiene dos ciclos, cada uno con 2 d + 2 elementos, y B contiene un ciclo con 4 d + 4 elementos. IIC3260 Nociones de Localidad 20 / 48
38 Utilizando localidad de Hanf: Conexidad El grafo representado por A no es conexo. A = Φ El grafo representado por B es conexo. B = Φ IIC3260 Nociones de Localidad 21 / 48
39 Utilizando localidad de Hanf: Conexidad Sea f una biyección cualquiera de A en B Existe porque A = B = 4 d + 4 IIC3260 Nociones de Localidad 22 / 48
40 Utilizando localidad de Hanf: Conexidad Sea f una biyección cualquiera de A en B Existe porque A = B = 4 d + 4 Se tiene que: A d B Por qué? IIC3260 Nociones de Localidad 22 / 48
41 Utilizando localidad de Hanf: Conexidad Sea f una biyección cualquiera de A en B Existe porque A = B = 4 d + 4 Se tiene que: A d B Por qué? Por hipótesis: A = Φ si y sólo si B = Φ Tenemos una contradicción! IIC3260 Nociones de Localidad 22 / 48
42 Localidad de Hanf: Noción general Notación Dada tuplas ā = (a 1,...,a m ), b = (b 1,...,b n ) y un elemento c: ā b se define como la tupla (a 1,...,a m,b 1,...,b n ) āc se define como la tupla (a 1,...,a m,c) IIC3260 Nociones de Localidad 23 / 48
43 Localidad de Hanf: Noción general Notación Dada tuplas ā = (a 1,...,a m ), b = (b 1,...,b n ) y un elemento c: ā b se define como la tupla (a 1,...,a m,b 1,...,b n ) āc se define como la tupla (a 1,...,a m,c) Definición Decimos que (A,ā) d (B, b) si existe una biyección f : A B tal que para todo elemento c en A: N A d (āc) = N B d ( bf (c)) IIC3260 Nociones de Localidad 23 / 48
44 Localidad de Hanf: Noción general Teorema (Hanf) Para cada L-fórmula ϕ( x) en LPO, existe un número d tal que para todo par de L-estructuras A y B, para todo ā en A y para todo b en B: (A,ā) d (B, b) A = ϕ(ā) si y sólo si B = ϕ( b) IIC3260 Nociones de Localidad 24 / 48
45 Localidad de Hanf: Noción general Teorema (Hanf) Para cada L-fórmula ϕ( x) en LPO, existe un número d tal que para todo par de L-estructuras A y B, para todo ā en A y para todo b en B: (A,ā) d (B, b) A = ϕ(ā) si y sólo si B = ϕ( b) Vamos a demostrar el teorema. Necesitamos introducir una noción general de consulta para hacer esto. IIC3260 Nociones de Localidad 24 / 48
46 Noción de consulta Dado: Vocabulario L Recuerde que L sólo contiene símbolos de relación IIC3260 Nociones de Localidad 25 / 48
47 Noción de consulta Dado: Vocabulario L Recuerde que L sólo contiene símbolos de relación Una consulta m-aria Q (m > 0) es una función tal que para todo A Struct[L] con dominio A: Q(A) A m Q(A) es la imagen de Q para A Q puede no ser definible en LPO IIC3260 Nociones de Localidad 25 / 48
48 Noción de consulta Dado: Vocabulario L Recuerde que L sólo contiene símbolos de relación Una consulta m-aria Q (m > 0) es una función tal que para todo A Struct[L] con dominio A: Q(A) A m Q(A) es la imagen de Q para A Q puede no ser definible en LPO De la misma forma se define las consultas 0-arias (o Booleanas) Una consulta 0-aria Q es una función con dominio Struct[L] y recorrido {verdadero, falso} Si Q(A) = verdadero, entonces decimos que A satisface Q IIC3260 Nociones de Localidad 25 / 48
49 Localidad de Hanf para consultas Definición Una consulta Q es local según Hanf si existe d tal que para todo par de L-estructuras A y B, para todo ā en A y b en B: (A,ā) d (B, b) ā Q(A) si y sólo si b Q(B) IIC3260 Nociones de Localidad 26 / 48
50 Localidad de Hanf para consultas Definición Una consulta Q es local según Hanf si existe d tal que para todo par de L-estructuras A y B, para todo ā en A y b en B: (A,ā) d (B, b) ā Q(A) si y sólo si b Q(B) Notación Si Q es local según Hanf: rlh(q) es el menor d que satisface la condición de localidad. IIC3260 Nociones de Localidad 26 / 48
51 Localidad de Hanf para consultas Vamos a demostrar que toda consulta en LPO es local según Hanf. IIC3260 Nociones de Localidad 27 / 48
52 Localidad de Hanf para consultas Vamos a demostrar que toda consulta en LPO es local según Hanf. De hecho, vamos a demostrar que si rc(ϕ) = k, entonces: rlh(ϕ) 3k 1 2 IIC3260 Nociones de Localidad 27 / 48
53 Localidad de Hanf para consultas Vamos a demostrar que toda consulta en LPO es local según Hanf. De hecho, vamos a demostrar que si rc(ϕ) = k, entonces: rlh(ϕ) 3k 1 2 Notación Dado ā = (a 1,...,a m ), en la demostración usamos lo siguiente: f (ā) = (f (a 1 ),...,f (a m )) Bd A(ā) es el dominio de NA d (ā) IIC3260 Nociones de Localidad 27 / 48
54 Localidad de Hanf: Demostración Lema (Libkin) Si N A 3d+1 (ā) = N B 3d+1 ( b) y A d B, entonces (A,ā) d (B, b). Demostración: Dado que N A 3d+1 (ā) = N B 3d+1 ( b), existe un isomorfismo g entre N A 3d+1 (ā) y NB 3d+1 ( b) tal que g(ā) = b. Concluimos que para todo c A tal que d A (ā,c) 2d + 1: d A (ā,c) = d B ( b,g(c)) N A d (c) = N B d (g(c)) IIC3260 Nociones de Localidad 28 / 48
55 Localidad de Hanf: Demostración Dado que A d B: Existe una biyección h 1 : A B tal que para todo c A se tiene que N A d (c) = N B d (h 1(c)). De la existencia de g y h 1, podemos concluir que existe una biyección: h 2 : (A B A 2d+1 (ā)) (B BB 2d+1 ( b)) tal que para todo c (A B A 2d+1 (ā)): Cómo se concluye esto? N A d (c) = N B d (h 2(c)) IIC3260 Nociones de Localidad 29 / 48
56 Localidad de Hanf: Demostración Definimos una biyección f : A B de la siguiente forma: { g(c) d A (ā,c) 2d + 1 f (c) = h 2 (c) d A (ā,c) > 2d + 1 Se tiene que para todo c A: N A d (āc) = N B d ( bf (c)). Por qué? Concluimos que (A,ā) d (B, b). IIC3260 Nociones de Localidad 30 / 48
57 Localidad de Hanf: Demostración Del lema podemos deducir el siguiente corolario: Corolario Si (A,ā) 3d+1 (B, b), entonces existe una biyección f : A B tal que para todo c A: (A,āc) d (B, bf (c)). Ejercicio Demuestre el corolario. IIC3260 Nociones de Localidad 31 / 48
58 Localidad de Hanf: Demostración Teorema Sea ϕ( x) una fórmula en LPO tal que rc(ϕ( x)) = k. Entonces ϕ( x) es local según Hanf y rlh(ϕ( x)) 3k 1 2. Demostración: Por inducción en k. Si k = 0 es fácil demostrar que la propiedad se cumple Cómo se demuestra esto? IIC3260 Nociones de Localidad 32 / 48
59 Localidad de Hanf: Demostración Teorema Sea ϕ( x) una fórmula en LPO tal que rc(ϕ( x)) = k. Entonces ϕ( x) es local según Hanf y rlh(ϕ( x)) 3k 1 2. Demostración: Por inducción en k. Si k = 0 es fácil demostrar que la propiedad se cumple Cómo se demuestra esto? Supongamos que la propiedad es cierta para cada fórmula con rango de cuantificación menor o igual a k. Sea ϕ( x) una fórmula en LPO tal que rc(ϕ( x)) = k + 1. IIC3260 Nociones de Localidad 32 / 48
60 Localidad de Hanf: Demostración ϕ( x) es una combinación Booleana de fórmulas de la forma y ψ( x,y), donde rc(ψ( x,y)) k. Nos basta demostrar que la propiedad se cumple para y ψ( x,y), donde rc(ψ( x,y)) = k. Por qué? Sean A y B L-estructuras, ā una tupla en A y b una tupla en B tales que: (A,ā) 3 k+1 1 (B, b). 2 Tenemos que demostrar: A = y ψ(ā,y) si y sólo si B = y ψ( b,y) IIC3260 Nociones de Localidad 33 / 48
61 Localidad de Hanf: Demostración Supongamos que A = y ψ(ā,y) Entonces existe e A tal que A = ψ(ā, e) Sea d = 3k 1 2 Nótese que 3k = 3d + 1 Como (A,ā) 3d+1 (B, b): Por el último corolario: Existe una biyección f : A B tal que para todo c A se tiene que (A,āc) d (B, bf (c)) IIC3260 Nociones de Localidad 34 / 48
62 Localidad de Hanf: Demostración En particular: (A,āe) d (B, bf (e)) Por hipótesis de inducción: B = ψ( b,f (e)) Concluimos que B = y ψ( b,y) De la misma forma concluimos que si B = y ψ( b,y), entonces A = y ψ(ā,y). IIC3260 Nociones de Localidad 35 / 48
63 Localidad de Gaifman: Demostración Definición Una consulta Q es local según Gaifman si existe d tal que para toda L-estructura A y tuplas ā, b en A: N A d (ā) = N A d ( b) ā Q(A) si y sólo si b Q(A) IIC3260 Nociones de Localidad 36 / 48
64 Localidad de Gaifman: Demostración Definición Una consulta Q es local según Gaifman si existe d tal que para toda L-estructura A y tuplas ā, b en A: N A d (ā) = N A d ( b) ā Q(A) si y sólo si b Q(A) Notación Si Q es local según Gaifman: rlg(q) es el menor d que satisface la condición de localidad. IIC3260 Nociones de Localidad 36 / 48
65 Localidad de Gaifman: Demostración Definición Una consulta Q es local según Gaifman si existe d tal que para toda L-estructura A y tuplas ā, b en A: N A d (ā) = N A d ( b) ā Q(A) si y sólo si b Q(A) Notación Si Q es local según Gaifman: rlg(q) es el menor d que satisface la condición de localidad. Por demostrar: Cada consulta ϕ en LPO es local según Gaifman. De hecho: si rc(ϕ) = k, entonces rlg(ϕ) 3k IIC3260 Nociones de Localidad 36 / 48
66 Localidad de Hanf y Gaifman: Relación Teorema Si una consulta es local según Hanf, entonces es local según Gaifman. Además, rlg(q) 3 rlh(q) + 1. Demostración: Suponga que Q es local según Hanf y rlh(q) = d. Sea A una L-estructura y ā, b tuplas en A tales que: N A 3d+1 (ā) = N A 3d+1 ( b) Tenemos que demostrar que ā Q(A) si y sólo si b Q(A) IIC3260 Nociones de Localidad 37 / 48
67 Localidad de Hanf y Gaifman: Relación Como A d A, por Lema de Libkin concluimos que: (A,ā) d (A, b) Como rlh(q) = d, se tiene el resultado deseado: ā Q(A) si y sólo si b Q(A) IIC3260 Nociones de Localidad 38 / 48
68 Localidad de Gaifman: Demostración Para cada fórmula ϕ en LPO tal que rc(ϕ) = k, se tiene que ϕ es local según Hanf y rlh(ϕ) 3k 1 2. Por el teorema anterior concluimos que: Corolario Sea ϕ( x) una fórmula en LPO tal que rc(ϕ( x)) = k. Entonces ϕ( x) es local según Gaifman y rlg(ϕ( x)) 3k IIC3260 Nociones de Localidad 39 / 48
69 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Sabemos que toda consulta en LPO es local según Hanf. IIC3260 Nociones de Localidad 40 / 48
70 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Sabemos que toda consulta en LPO es local según Hanf. Es cierta la propiedad inversa? IIC3260 Nociones de Localidad 40 / 48
71 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Sabemos que toda consulta en LPO es local según Hanf. Es cierta la propiedad inversa? Vale decir, es cierto que si una consulta es local según Hanf entonces tiene que se expresable en LPO? IIC3260 Nociones de Localidad 40 / 48
72 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Sabemos que toda consulta en LPO es local según Hanf. Es cierta la propiedad inversa? Vale decir, es cierto que si una consulta es local según Hanf entonces tiene que se expresable en LPO? La noción de localidad de Hanf nos permite demostrar de manera más simple que algo no es expresable en LPO. IIC3260 Nociones de Localidad 40 / 48
73 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Sabemos que toda consulta en LPO es local según Hanf. Es cierta la propiedad inversa? Vale decir, es cierto que si una consulta es local según Hanf entonces tiene que se expresable en LPO? La noción de localidad de Hanf nos permite demostrar de manera más simple que algo no es expresable en LPO. Pero qué tan bien representa esta noción a la LPO? IIC3260 Nociones de Localidad 40 / 48
74 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Ejercicio Sea L={U( )} y Q una consulta tal que para toda L-estructura A: Q(A) = verdadero si y sólo si U A tiene una cantidad par de elementos Demuestre que Q es local según Hanf. IIC3260 Nociones de Localidad 41 / 48
75 Expresividad de LPO contra la localidad de Hanf Ejercicio Sea L={U( )} y Q una consulta tal que para toda L-estructura A: Q(A) = verdadero si y sólo si U A tiene una cantidad par de elementos Demuestre que Q es local según Hanf. Conclusión Localidad según Hanf es una buena herramienta para LPO Pero en algunos casos no puede ser utilizada para demostrar inexpresibilidad IIC3260 Nociones de Localidad 41 / 48
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