ESTRUCTURA DE LA MATERIA

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1 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 0 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 1 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 2 1

2 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 3 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 4 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 5 2

3 El experimento: Cuando la luz incide en algunas superficies metálicas, se produce una corriente de electrones. A este fenómeno se le conoce con el nombre de efecto fotoeléctrico. Así, algunos metales (los alcalinos) pueden emitir electrones si la luz incidente es visible, en cambio otros solo emiten electrones con luz ultravioleta. 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 6 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 8 3

4 Es decir, para cada metal hay una frecuencia umbral de la luz, por debajo de la cual no se produce la corriente de electrones. En este fenómeno, la luz al incidir sobre el metal arranca electrones del metal y dependiendo del tipo de radiación éstos serán expulsados del material a mayor o menor velocidad. 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 Partículas u ondas? Este fenómeno, no puede explicarse empleando la teoría electromagnética clásica pues según esta, la energía cinética de los electrones debe variar con la intensidad y ser independiente de la frecuencia. En 1905, Albert Einstein, demuestra que se podían resolver estas dificultades si se aplicaban los postulados de Plank a este fenómeno. Para ello, sugiere que en vez de pensar en la luz incidente como un fenómeno ondulatorio, debe considerársele como una corriente de corpúsculos a los que llamó fotones. Cada uno de estos fotones tiene una energía determinada que depende de su frecuencia. 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 10 Partículas u ondas? La cantidad de energía de cada fotón está dada según Einstein por esta expresión: E fotón = hν Cuando los fotones golpean la superficie metálica estos, pueden ceder su energía a un electrón del metal. El potasio necesita al menos 2.0 ev para que se produzca una corriente Parte de esta energía la emplea para arrancarlo de la superficie del metal dándole energía cinética. Si la frecuencia es inferior a la umbral, el efecto no se produce. 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 11 4

5 Por otro lado al mismo tiempo se ha demostrado experimentalmente con un fototubo: Que la energía de los electrones emitidos es independiente de la intensidad del haz incidente Electrodo colector ánodo Corriente (A) Voltaje umbral Voltaje opuesto (V) Incremento de la intensidad de la luz Corriente 22/2/18 eléctrica ESTRUCTURA ATÓMICA 12 Que la energía de los electrones emitidos es proporcional a la frecuencia de la radiación incidente. 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 13 Esto se puede ver claramente en esta gráfica: La cual no depende de la intensidad de la luz incidente. Por tanto la interacción ocurre por medio de algo como una partícula que le da toda su energía al electrón. Expulsándolo con esa energía menos la que se necesita para hacerlo escapar de la superficie 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 14 5

6 Adicionalmente es posible ver que los puntos del experimento se pueden ajustar a una recta. El incremento lineal muestra ΔE = 1.25eV que lo que sea que expulsa a los electrones del metal tiene una Δν = 3 10 energía 14 Hz proporcional a la frecuencia. La ecuación de la línea tiene una W = 2.2 constante de proporcionalidad que vale: m = h = ΔE Δν = ev s 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 15 Otra característica importante del fenómeno es que la frecuencia umbral ν o depende del material. La pendiente de los dos metales es la misma y vale h ν 0 de A ν 0 de B Energía cinética de los electrones (ev) 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 16 Ley de la conservación de la energía: hν = W + K hν = Energía de la luz incidente W = Función trabajo del metal K = Energía cinética de los electrones Esto puede re-arreglarse así: hν = hν 0 + K W = hν 0 Donde ν 0 = Frecuencia umbral O si prefieren: K = hν hν 0 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 17 6

7 22/2/18 Propiedades espectroscópicas Para 1885 se habían medido exactamente las líneas del espectro del hidrógeno. Nombre H-α l (nm) Color rojo H-β acua H-γ H-δ azul violeta H-ε UV H-ζ UV H-η UV Johann Jackob Balmer ( ) propone una n2 fórmula para predecirlas: λ = B 2 2 n m Donde B vale nm, m=2 y n=3, 4,5,6 Y obtiene estos valores en nm: n=3 H-α=656.1; n=4 H-β=486.0; n=5 H-γ=433.9; n=6 H-δ=410.1, n=6 H-ε=396.9; n=7 H-ζ=388.9 Era solo una coincidencia? 22/2/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 18 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 19 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 20 7

8 Propiedades espectroscópicas Pues parece que no, al usar n=7; se obtiene que la longitud de onda es , en el extremo del espectro visible en el violeta pero aun se nota: 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 21 Propiedades espectroscópicas Más tarde, Pfund, Brackett, Paschen y Lyman; encuentran algo equivalente para las líneas del espectro que no están en el visible y Johannes Rydberg generaliza la ecuación de Balmer ν = 1 λ =! 1 H 2 n n 2 Donde: R H = cm 1 n 1 y n 2 son enteros mayores que o igual a 1 siempre y cuando cumplan que n 1 < n 2 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 22 Propiedades espectroscópicas El espectro del hidrógeno n 1 n 2 Nombre Tipo de radiación 1 2 Serie de Lyman nm (UV) 2 3 Serie de Balmer nm (Visible) 3 4 Serie de Paschen nm (IR) 4 5 Serie de Brackett nm (IR lejano) 5 6 Serie de Pfund nm (IR lejano) 6 7 Serie de Humphreys nm (IR) 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 23 8

9 Propiedades espectroscópicas Pero a qué se debe este fenómeno? Lo podemos atribuir a que los átomos que componen al gas, absorben la luz. Y por qué absorben la luz? Sabemos que la radiación es causada por la vibración de las cargas y la rapidez de la vibración determina la longitud de onda. Esto significa que, si solamente ciertas longitudes de onda pueden ser absorbidas o emitidas por el átomo, sus electrones vibran solamente a ciertas frecuencias. Modelo del átomo y espectroscopía Los resultados obtenidos del estudio de los espectros de líneas de los elementos no podían explicarse empleando la física clásica. Pues si consideramos el modelo del átomo propuesto por Rutherford, que era muy popular al principio del siglo XX, al electrón se le consideraba como si estuviera dando vueltas alrededor del núcleo. De tal manera que la fuerza centrífuga estuviera balanceada respecto a la atracción coulómbica. Modelo del átomo y espectroscopía De manera que el cambio en su energía meramente alteraría el radio de la órbita. Entonces, un átomo así debería de ser capaz de absorber o emitir cualquier cantidad de energía. Sin embargo, según la teoría electromagnética clásica, una carga acelerada debería emitir radiación electromagnética Por tanto todos los electrones de un átomo deberían caer al núcleo en menos de lo que canta un gallo s! 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 24 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 25 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 26 9

10 Afortunadamente, Niels Bohr ( ) un físico danés, sugiere un cambio al modelo muy radical. Este es el más simple y sensato de los modelos basado en el de Rutherford. Lo radical del modelo, reside en que Bohr propone que para explicar las líneas espectrales, los electrones deben seguir una regla medio mafufa. Esta regla es que sólo pueden estar en ciertas órbitas especiales y todas las otras órbitas están prohibidas. Por lo tanto, los electrones pueden saltar de una órbita a otra y al hacerlo vibran. Consecuentemente producen radiación. 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 27 Entonces, Bohr descubrió que se podía explicar cuantitativamente el espectro del hidrógeno si se consideraba que en el átomo los electrones se movían únicamente en aquellas órbitas especiales donde el momento angular del electrón era un múltiplo de h/ 2π. Es decir que la energía del electrón estaba cuantizada. Esta propuesta tan arbitraria y mafufa para su tiempo, es aceptable en parte, por que consigue salvar el modelo planetario al menos por un tiempo. Y la evidencia experimental de la estructura en capas de los electrones puede verse en los espectros de líneas. 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 28 Su propuesta sigue el siguiente razonamiento: Postulado 1 (o de Rutherford): El átomo consta de una parte central llamada núcleo en la que se encuentra localizada la carga positiva, así como, la casi totalidad de la masa. En torno a este núcleo central y a una gran distancia de él giran los electrones en órbitas circulares. A una gran distancia? Tamaño de los átomos: ~10-10 m ~ 10-8 cm 1 ~ Ǻ Tamaño de los núcleos: ~10-14 m ~10-12 cm 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 29 10

11 Esto significa que el modelo del átomo debe tener estas características: 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 30 Por lo tanto: Y: De manera qué: Que al despejar: F e = Ze2 r 2 F c = mv 2 r Ze 2 r = mv 2 2 r r = Ze2 mv 2 r 2!!!(1) 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 31 Considerando que el átomo de Rutherford es inestable porque toda partícula cargada acelerada irradia energía: Es necesario un segundo postulado (o de la cuantización del momento angular del electrón): El momento angular del electrón está cuantizado, de tal manera que de todas las infinitas órbitas dadas por la ecuación anterior (1), solo son posibles aquellas en las que su momento angular es un múltiplo entero de h/2π = ħ 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 32 11

12 Ahora bien, hay que recordar que el momento lineal se define así: Y el momento angular así: Por lo tanto: Y en un círculo: Por tanto: De manera que: Para n = entero p = mv L = r p L = r p senθ θ = 90 o sen90 o = 1 L = mvr mvr = n!"""(2) 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 33 Ahora debemos determinar cuantas y donde están las órbitas en el átomo. De la ecuación (2): Que al substituir en (1) me da: Que por regla se puede convertir a esto: Y al despejar r: v = n! mr r = n2! 2 Ze 2 m Ze 2 r = m n2! 2 m 2 r 2 r = Ze2 m 2 r 2 mn 2! 2 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 34 Es decir para cada entero positivo n habrá un radio diferente r n. r n = n2! 2 Ze 2 m Donde: n es un entero positivo, ħ, e y m son constantes, por tanto podemos colapsarlas, obteniendo una nueva constante a 0 a la cual llamaremos radio de Bohr, dando a lugar a esta expresión: El valor de a 0 es: (19) Ǻ o (19) m; r n = n2 a 0 Z 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 35 12

13 Esta expresión por tanto la podemos expresar en angstroms o metros o cm, así: r n = n2 ( 0.529) Å Z ( ) r n = n Entonces para el átomo de hidrógeno (Z = 1) los radios de las tres primeras órbitas son: Si n=1, r 1 = 1xa 0 = Ǻ Si n=2, r 2 = 4xa 0 = Ǻ Si n=3, r 3 = 9xa 0 = Ǻ 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 36 Z m Y qué pasa cuando tenemos un átomo con Z diferente? Por ejemplo He + o U 91+ Pues es muy fácil, hay que dividir entre la Z correspondiente: Y He + Z = 2 r 1 = 0.529/2 = r 2 = U 91+ Z = 92 r 1 = 0.529/92 = Ǻ 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 37 Tercer postulado (o de la cuantización de la energía): Cuando el electrón se encuentra en órbita permitida no irradia energía. Pero puede pasar de una órbita permitida a otra. En este caso, el gasto energético será: ΔE = E f E i = hν Ahora bien, dado que la energía total de un sistema es igual a la suma de la energía cinética más la energía potencial : E T = K +V Entonces en nuestro caso: V = Ze2 r K = mv 2 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

14 Por tanto: Ahora bien, de la ecuación (1) tenemos que: Por tanto: E = mv 2 2 Ze2 r E = Ze2 2r Ze2 r Ze 2 r = mv 2 2 r Esta expresión cumple con el teorema del virial y entonces: E = Ze2 2r 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 39 En mecánica clásica, el teorema del virial es una ecuación general que relaciona la energía cinética total promedio K de un sistema con su energía potencial promedio V. En el caso de dos partículas interactuando: V = 2K 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 40 Si recordamos que el segundo postulado establece que r está cuantizado, esto implica que E también está cuantizada. Y cuánto vale? Pues hay que hacer un poco de algebra: r vale: Entonces si lo sustituimos en: Obtenemos: r = n2! 2 Ze 2 m E = Ze2 2 Ze2 m n 2! 2 E = Ze2 2r = e4 m 2! Z 2 2 n 2 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 41 14

15 Entonces tenemos que dado que e, m y ħ son constantes, las podemos evaluar y así obtenemos: En ev: e 4 m = 13.6 ev 2 2! En kj/mol: e 4 m 2! = 1312kJ 2 mol O en kcal/mol: e 4 m 2! = 313kcal 2 mol De manera que: E = 13.6 Z 2 ev Para n entero y positivo: jóvenes les presento su primer numero cuántico 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 42 n 2 Y la energía de cada nivel para el átomo de hidrógeno? E n = 13.6 Z 2 E 1 = ev E 2 = ev E 3 = ev n 2 ev 22/02/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 43 15