Interacción de la radiación con la materia

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José Antonio Soriano Cáceres
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1 C A P Í T U L O 3 Interacción de la radiación con la materia 3.1. ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 1. Determine la probabilidad de transición para una perturbación H (x) independiente del tiempo usando la teoría de perturbaciones de primer orden. P n m (t) = H mn hω mn sen ω mnt. Sobre una partícula que se encuentra en el estado fundamental de una caja de potencial de paredes infinitas se aplica una perturbación que levanta la mitad izquierda del suelo de la caja a una altura constante V 0. Si al cabo de cierto tiempo t se elimina la perturbación, cuál es la probabilidad de que la partícula acabe en el primer estado excitado? P 1 (t) = 64V 0 l 9πh sen ω 1t Probabilidad máxima : P1 max (t) = 64V 0 l 9πh 5, 1 V 0 l 4 h 4

2 Capítulo 3 Interacción de la radiación con la materia 3. Sea un oscilador armónico unidimensional con carga q en su estado fundamental, al que se aplica un campo eléctrico de intensidad constante E. Determine la probabilidad de que sufra una transición a un estado excitado dado. [ ] qe < n x 0 > P 0 m (t) = sen [πνmt] hmν como < 1 x 0 >= ( ) 1 1/ ( α = hν ) 1/ k P 0 1 (t) = q E π mhν 3 sen [πνt] cuyo valor máximo es: P 0 1 (t) = q E π mhν 3 4. Determine los valores de ω para los que se anula la probabilidad de transición entre dos estados cuando la transición es inducida por un haz de radiación monocromática. El grueso de la probabilidad de transición se concentra en el intervalo de frecuencias ω comprendido entre los dos primeros ceros de la probabilidad situados a cada lado de la frecuencia de resonancia ω mn. Obtenga una expresión para dicho intervalo. ω = 4π t equivalente a: E t = h 4π 5. Analice como varía con el tiempo la probabilidad de transición entre dos estados cuando hace incidir sobre el sistema un haz de radiación monocromática con una frecuencia ω diferente de la frecuencia de resonancia ω mn. El comportamiento es oscilante, anulándose para los tiempos: π t i = ω i,i=1,,3,... nm ω con una probabilidad máxima de: P n m (t) = E0x <n µx n> h (ω nm ω) 6. Sea un sistema sobre el que incide un haz de radiación monocromática. Razone que para un intervalo de tiempo suficientemente corto es discutible realizar la aproximación de la onda resonante y que para un intervalo de tiempo demasiado largo la expresión perturbativa para la probabilidad de transición deja de ser válida. De acuerdo con ello, obtenga los límites temporales inferior y superior de aplicabilidad de dicha expresión perturbativa. límite inferior: t límite superior: t π = 1 ω nm ν nm h E 0x < m µ x n >

3 Sección 3.1 Enunciados y soluciones de los Problemas 3 7. Demuestre que para una partícula en una caja de potencial unidimensional, el momento de transición eléctrico para una transición permitida está dado por m µ x n = ql [ ] cos[(m n)π] 1 cos[(m + n)π] 1 π (m n) (m + n) y obtenga las reglas de selección correspondientes. Están permitidas las transiciones entre estados en los que hay cambio de paridad 8. Considere una partícula cargada en una caja de potencial que interactúa con un haz de radiación electromagnética monocromática y plano-polarizada. Obtenga una expresión para la probabilidad de que se produzcan transiciones entre dos estados consecutivos cuando hay resonancia entre la radiación y el sistema. Deduzca una expresión similar para las transiciones permitidas entre el estado fundamental y cualquier otro estado excitado. Analice como varían las probabilidades con los números cuánticos en ambos casos. P n n+1 (t) = 64t (E 0 x ) q l h π P 1 m (t) = 64t (E 0 x ) q l h π [ [ ] n(n+1) (n+1) ] m (m 1) 9. Deduzca una expresión para la probabilidad de transición entre dos estados consecutivos de un oscilador armónico unidimensional cargado que se ilumina con un haz de radiación monocromática cuya frecuencia coincide con la del oscilador. P n (n+1) (ω = ω n(n+1) ) = Iq (n + 1)t 8πcε = Iq (n + 1)t 0 hmν 4cε 0 hmν 10. Calcule la probabilidad de que un electrón que oscila armónicamente en una dimensión con una frecuencia ν = s 1 pase del estado fundamental al primer estado excitado cuando se irradia con una onda electromagnética monocromática de la misma frecuencia y 10 4 Wm de intensidad durante s. P 0 1 (ω = ω 10 ) = Obtenga una expresión para la probabilidad de transición de dipolo eléctrico para el caso en el que los momentos dipolares se orientan en direcciones aleatorias. P n m = πt 1 3 < m d n > u(ω mn ) ε 0 h

4 4 Capítulo 3 Interacción de la radiación con la materia 1. Demuestre usando los principios de conservación de la energía y de conservación del momento lineal que el fotón que emite un átomo en la transición m n no tiene la misma frecuencia que el fotón que debe absorber el mismo átomo para efectuar la transición inversa n m. hν = E + ( E) Mc = (E m E n ) + (E m En) Mc 13. Obtenga una expresión para la frecuencia a la que se igualan las velocidades de emisión espontánea y estimulada para la radiación térmica que emite un cuerpo negro y calcule el valor de dicha frecuencia a 300 K. ν mn = kt ln h 14. Calcule los coeficientes de Einstein de emisión espontánea, los tiempos de vida media y las diferencias entre los niveles de energía para transiciones típicas electrónicas (ν mn = s 1 ), vibracionales (ν mn = s 1 ), y rotacionales (ν mn = s 1 ). Los momentos dipolares de transición para estas transiciones son del orden de 1 Debye. Transición ν mn E A mn τ Electrónica s 1 4, 1eV 1, s 1 8, Vibracional s 1 333, 5cm 1 11, 4s 1 8, 8 10 Rotacional s 1 3, 33cm 1 1, s 1 8, Calcule los coeficientes de Einstein A 1, B 1 y B 1 para un electrón que se encuentra en el interior de una caja de potencial unidimensional de 10 Å de longitud. Calcule también el tiempo de vida media del estado excitado. 1 m3 B 1 = B 1 = 1, Js A 1 = 1, s 1 τ 1 = 1 A 1 = 5, s 16. Se observa que un estado atómico excitado decae a otro estado inferior con un tiempo de vida media de 15 ns y emitiendo radiación electromagnética con una longitud de onda de 6000 Å. Calcule los coeficientes de Einstein de esta transición y el momento dipolar de transición. A mn = 1 τ = m3 B mn = B nm = 8, Js < m µ n >=, Cm

5 Sección 3.1 Enunciados y soluciones de los Problemas Calcule el tiempo de vida media por emisión espontánea de un electrón que oscila armónicamente con una frecuencia ν = s 1 en el primer estado excitado. τ = 47ps 18. Una muestra de gas se prepara de manera que todos sus átomos se encuentran en el nivel fundamental. Se hace incidir sobre la misma un haz de radiación capaz de excitar los átomos al primer nivel excitado que está situado a 1 ev del fundamental. Si la densidad de energía espectral de la radiación en la frecuencia de resonancia vale ρ(ν) = J s m 3 y la muestra contiene 10 1 atomos/m 3, calcule las poblaciones de los niveles fundamental y primero excitado cuando se alcanza el equilibrio. Suponga que el estado excitado sólo puede desactivarse radiativamente. N fundamental = 5, N primer estado excitado = 4, Las relaciones entre los coeficientes de Einstein A mn, B mn y B nm se han obtenido suponiendo que los niveles n y m no están degenerados. Deduzca dichas relaciones cuando se tienen en cuenta los grados de degeneración g n y g m de dichos niveles. g n g m = B mn A mn = 8πhν3 mn c 3 B mn 0. Obtenga la expresión que relaciona los coeficientes de Einstein B mn y A mn cuando la densidad de radiación espectral se expresa en función de la frecuencia angular (ρ(ω)) y cuando se utiliza la intensidad espectral I(ν) en lugar de la densidad de radiación espectral.

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