ISSN MOMENTO. Revista de Física. Número 38 Junio, Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ISSN MOMENTO. Revista de Física. Número 38 Junio, Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia"

Transcripción

1 ISSN MOMENTO Revista de Física Número 38 Junio, 2009 Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia

2 MOMENTO Revista de Física Publicación semestral del Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia MOMENTO publica artículos de divulgación y revisión acerca del estado actual de los problemas más activos de la física, tales como: revisión de problemas actuales, física contemporánea, instrumentos y métodos de investigación, notas metodológicas, historia de la física, epistemología y losofía de la física, notas biográcas, políticas académicas relacionadas directamente con la física. MOMENTO también publica artículos invitados de colegas que se hayan destacado tanto por su labor investigativa como por su interés en la divulgación de sus resultados. MOMENTO se puede recibir: a través de una suscripción anual (2 números) de $ a través de canje con publicaciones similares

3 ISSN MOMENTO Revista de Física Número 38 Junio, 2009 Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia Facultad de Ciencias: Decano: Departamento de Física: Director: Editor: Consejo Editorial: Ignacio Mantilla Anderson Dussan Álvaro Mariño Catalina Ramírez Astrid Baquero Miguel Ardila Ramiro Cardona Comités Cientícos Nacional: Roberto Martínez M. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá Oswaldo Morán C. Universidad Nacional de Colombia, Medellín Internacional: María Teresa Malachevsky. Centro atómico, CNEA, Argentina Pablo Hernández G. Depto. de Electricidad y Electrónica, Universidad de Valladolid, España momento fcbog@unal.edu.co

4 Esta edición recibió el apoyo económico de: ISSN Departamento de Física y Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Armada digital: Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Portada: Año Internacional de la Astronomía, Unesco Diagramación en LA T EX: Nelson David Pérez García ndperezg@unal.edu.co Preprensa y prensa: Proceditor ltda. Calle 1C No.27 A - 01 Teléfonos: Fax: ext. 102 Bogotá, D.C., Colombia proceditor@etb.net.co

5 MOMENTO 38 Junio, 2009 A. Casallas-Lagos, D.J. Cubillos-Jara, R. Casas-Miranda Galaxias Enanas del Grupo Local... 1 J. G. Portilla, E. Brieva Aplicación de Series de Lie al Problema de los Dos Cuerpos O. Rodríguez-León Superconductores de alta Temperatura Crítica a base de Hierro J. C. González N., O. Simbaqueva F. Evolución del arsenal cientíco para la vigilancia de la capa de Ozono... 50

6

7 momento Revista de Física, No 38, Junio de Galaxias Enanas del Grupo Local A. Casallas Lagos, D. J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Grupo de Astrofísica, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. Resumen Las galaxias satélite de la Vía Láctea son de especial importancia para el estudio de la formación y evolución de galaxias, así como para el estudio de la materia oscura. En este articulo de revisión se presentan algunas propiedades estructurales del Grupo Local y de las galaxias enanas esferoidales que componen este sistema, con especial énfasis en las galaxias satélite de la Vía Láctea y su distribución espacial en el disco de satélites. Adicionalmente se presentan los estudios recientes más relevantes relacionados con el problema de la formación del disco de satélites de la Vía Láctea. Palabras claves: Vía Láctea, Grupo Local, galaxias enanas, disco de satélites. Abstract The satellite galaxies of the Milky Way are very important both for the studies of the formation and evolution of galaxies and for the research on the dark matter problem. In the present review paper some structural properties of the Local Group, as well as of the dwarf spheroidal galaxies that compose this astrophysical system are presented. Special emphasis is paid to the satellite galaxies of the Milky Way and their spatial distribution on the disk of satellites (DoS). Furthermore, the more relevant recent studies related to the formation of the disk of satellites of the Milky Way are mentioned. Keywords: Milky Way, Local Group, dwarf galaxies, disk of satellites. R. A. Casas Miranda: racasasm@unal.edu.co

8 2 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda 1. Introducción A escalas astronómicas uno de los sistemas físicos más relevantes a la hora de describir la evolución dinámica y estructural del universo son las galaxias. En particular, pequeñas agrupaciones 1 poco luminosas denominadas galaxias enanas proveen información valiosa acerca de la constitución actual del universo [13, 14, 15, 18]. Observacionalmente es un hecho bien conocido [1] que las galaxias interactúan primordialmente a traves de la gravitación dando origen a grandes grupos conocidos como cúmulos de galaxias. Un grupo de especial importancia para nosotros lo constituye el conjunto de galaxias interactuantes en el cual se encuentra inmersa la Vía Láctea. Este grupo, denominado Grupo Local, está dominado dinámicamente por dos galaxias espirales barradas gigantes [4], la recientemente mencionada Via Láctea y la Galaxia de Andromeda (M31), alrededor de las cuales orbitan una serie de galaxias menores o galaxias satélite. Debido a su cercanía las galaxias satélite de la Vía Láctea representan un excelente laboratorio para el estudio de la formación y evolución de galaxias y el posible contenido de materia oscura a escala galáctica. A continuación se presenta una revisión acerca de las galaxias satélite del Grupo Local y en particular de la Vía Láctea. 2. Propiedades Estructurales del Grupo local En esta sección se introducen algunas de las principales propiedades estructurales del grupo local y de las galaxias enanas que lo componen, prestándo especial atención a los parámetros de selección que permiten detectar nuevos miembros potenciales de este cúmulo. Para 1971 la población total de galaxias asociadas al grupo local constaba de 14 miembros [8]. Con el desarrollo progresivo de los instrumentos de detección astronómica la población de enanas se ha incrementado a cerca de 40 galaxias claramente identificables 1 Pequeñas en comparación con una galaxia como la Vía Láctea o Andrómeda

9 Galaxias Enanas del Grupo Local 3 [13]. Sin embargo, el número exacto de galaxias que componen el grupo local permanece aún sin establecerse [8, 13, 18, 23]. Dada la dificultad observacional que se presenta al intentar detectar nuevas galaxias enanas pertenecientes al Grupo Local, durante la última década se han incorporado nuevas técnicas analíticas que tienen como propósito caracterizar las propiedades de galaxias que podrían ser miembros potenciales de este grupo [13, 14, 17, 18]. A continuación se señalarán algunos de los parámetros de selección usados para determinar si una galaxia recién descubierta puede ser considerada miembro del Grupo Local Morfología Los parámetros morfológicos, siguiendo la secuencia de Hubble, desempeñan un papel importante en la caracterización de las galaxias que podrían ser consideradas como miembros del Grupo Local. Aunque no hay una morfología estándar asociada a los miembros del Grupo Local [13, 14] es común identificar galaxias enanas de tipo irregular (dirr) y esferoidales (dsph) [13]. Abundante evidencia observacional sugiere que las galaxias enanas del grupo local experimentan una transición morfológica de tipo irregular a esferoidal a través del medio interestelar de tipo I [13]. Esto indica que la población de galaxias jóvenes manifiesta una morfología irregular; mientras que las galaxias más antiguas exhiben una morfología esferoidal Dinámica Las velocidades heliocéntricas observadas en las galaxias del Grupo Local tienen valores característicos entre -400 km/s y 400 km/s [13]. A partir de los valores relacionados con estas velocidades es posible estimar la masa del grupo local en M GL = 3, M y su radio en R GL = 1,5Mpc [18]. Con base en las posiciones y velocidades heliocéntricas de las galaxias del Grupo Local es posible determinar el rango de velocidades posibles de una galaxia dada, de posición conocida, para que ésta pueda considerarse perteneciente al Grupo Local.

10 4 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda 2.3. Distribución Espacial Es un hecho bien conocido que las galaxias enanas del grupo local tienden a acumularse y formar subgrupos [1, 4, 13]. Un buen ejemplo de ello corresponde al subgrupo conformado por Andrómeda, M32, NGC205, M33, NGC147 y NGC185 [2]. En la figura 1 se muestra un mapa esquemático de las galaxias del grupo local en coordenadas galácticas. Allí se pueden apreciar la Vía Láctea con algunos de sus satélites, Andrómeda con algunos de sus satélites y otras galaxias enanas aisladas como Tucana y Antlia. Con base en una proyección estereográfica del Grupo Local realizada por Karashentsev [9] a través de la cual se evidencian algunas acumulaciones de galaxias enanas cerca de las galaxias dominantes del grupo, Mateo [13] estableció un diagrama comparativo entre la densidad de galaxias observadas y una distribución uniforme de 40 cuerpos para el grupo local y de 12 cuerpos para la Vía Láctea. Los resultados obtenidos por Mateo revelan que hasta el momento hay un número inferior de galaxias detectadas en comparación con las predicciones teóricas. En particular, se espera que el número de galaxias satélite de la Vía Láctea sea muy superior al detectado hasta ahora Historias de Evolución Química Las galaxias enanas del grupo local tienden a presentar bajas metalicidades [13]. Así las galaxias enanas esferoidales de baja luminosidad, inmersas en el grupo local, representan unejemplo de galaxias que están principalmente compuestas por materiales primordiales [4, 5]. Es importante mencionar que las características de las galaxias satélite mencionadas anteriormente estos no son los únicos criterios de selección aplicables a galaxias que pretenden catalogarse como miembros del grupo local. Actualmente la medición de parámetros espectroscópicos [13, 15] y fotométricos [13, 14] constituye un escenario propicio para el estudio estructural del grupo local. En la sección 4 se evaluará una característica adicional para examinar y catalogar galaxias en un marco geométrico dado por el disco de

11 Galaxias Enanas del Grupo Local 5 Figura 1. Ubicación de las galaxias del Grupo Local con respecto a la Vía Láctea. El ancho de la imagen corresponde a años luz. Las líneas continuas indican que el objeto se encuentra arriba del plano galáctico, mientras que las líneas punteadas indican objetos por debajo del plano galáctico. Imagen creada por Richard Powell y usada bajo la licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 2.5 License satélites. En el cuadro 1 se agrupan algunas de las galaxias representativas del grupo local. Para mayor información ver [13]. 3. Galaxias Satélite de la Vía Láctea Como se mencionó anteriormente la dinámica del grupo local está dominada por la Vía Láctea y la galaxia de Andrómeda. Estas galaxias exhiben un conjunto de galaxias menores ligadas por interacción gravitacional denominadas galáxias satélite. En esta sección se enumeran las galaxias satélite de la Vía Láctea y de Andrómeda, señalando algunas de sus principales propiedades [18]. Se hace especial énfasis en las galaxias satélite de la Vía Láctea.

12 6 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Galaxia Tipo Subgrupo Andrómeda (M31) SbI Andrómeda M32 E2 Andrómeda Galaxia del Triángulo (M33) ScII Andrómeda Vía Láctea Sbc Vía Láctea Pequeña Nube de Magallanes (SMC) Irr Vía Láctea Gran Nube de Magallanes (LMC) Irr Vía Láctea Tucana dsph Cuadro 1. Algunas galaxias representativas del grupo local, el subgrupo hace referencia a la galaxia dominante con la cual la interacción es mayor. Las galaxias enanas del grupo local junto con las galaxias satélite de la Vía Láctea y de Andrómeda ofrecen un marco de referencia único para estudiar de manera detallada las propiedades más comunes de las galaxias que componen el universo. En particular se sabe actualmente que la Vía Láctea cuenta con 17 galaxias enanas satélite de tipo esferoidal (dsph) y dos irregulares (dirr) [18]. En el cuadro 2 se muestra el sistema de satélites de la Vía Láctea junto con su diámetro medido en pc. Por otra parte se conoce actualmente que la galaxia de Andrómeda posee 14 enanas esferoidales como satélites [13] (Ver cuadro 3). 4. El Disco de Satélites Desde hace más de tres décadas es un hecho observacional bien conocido que las galaxias satélite más luminosas de la Vía Láctea presentan una distribución espacial anisotrópica [2, 18]. La exploración de este fenómeno reveló que el sistema de satélites asociado a la Vía Láctea obedece a una distribución espacial mediada por un plano virtual denominado el disco de satélites [14, 15, 17, 18]. Este disco es una construcción geométrica a través de la cual las enanas satélite de la Vía Láctea orbitan. Metz, Kroupa y Jerjen [15]demostraron con base en datos observacionales que el disco de satélites se encuentra inclinado 67,3 grados respecto al plano galáctico inducido por el disco de la Vía Láctea.

13 Galaxias Enanas del Grupo Local 7 Galaxia Diámetro Sagitario (Sgr) Ursa Major (UMaII) Coma Berenices (CBe) Gran Nube de Magallanes* (LMC) Pequeña Nube de Magallanes* (SMC) Bootes (Boo) Ursa Minor (UMi) Sculptor (Scl) Draco (Dra) Sextans (Sex) Ursa Major I (UMaI) Carina (Car) Fornax (For) Hercules (Her) Canes Venatici II (CVnII) Leo IV Leo II Canes Venatici I (CVnI) Leo I Cuadro 2. Sistema de galaxias satélite para la vía láctea, estás galaxias presentan morfología esferoidal (dsph) con excepción de las nubes de Magallanes (*) cuya morfología es irregular (dirr). Los diámetros están dados en pc. A partir del disco de satélites es posible establecer parámetros de selección sobre éste último que modelen las condiciones básicas para obtener posibles nuevos candidatos en el sistema de satélites ya establecido. El problema consiste en definir una función de distribución que mida la probabilidad de encontrar galaxias satélite en las vecindades del disco [18], o de otra manera, definir un límite espacial a partir del cual la certeza de encontrar sistemas de satélites sea nula para un plano de referencia dado. La estrategia anteriormente descrita reduce las opciones espaciales de encontrar galaxias a regiones que están en correspondencia directa con el disco de satélites.

14 8 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Galaxia Distancia M M NGC NGC Andrómeda I 2.43 Andrómeda II 2.13 Andrómeda III 2.44 Andrómeda V 2.52 Pegasus 2.55 Casiopea 2.49 Andrómeda VIII 2.9 Andrómeda IX 2.5 Andrómeda X 2.9 Triangulum (M33) 2.59 Cuadro 3. Sistema de satélites para la galaxia de Andrómeda. Las distancias corresponden a la ubicación respecto al sol medida en millones de años luz. 5. Nuevas Galáxias Satélite En los últimos años más galaxias han entrado a formar parte del sistema de satélites de la Vía Láctea [14, 15, 17, 18] y la lista tiende a extenderse proporcionalmente de acuerdo con los avances en los dispositivos de observación y medición astronómicos. Durante los últimos cuatro años un nuevo conjunto de galáxias satélite ha sido detectado alrededor de la Via Láctea a través del catálogo generado por SDSS 2 [18]. Estas galaxias se caracterizan por tener muy poca luminosidad comparadas con sus compañeras más luminosas y son denominadas galaxias enanas ultra ténues (Ultra Faint Dwarf Galaxies - UFDG). El catálogo fotométrico SDDS-DR6 ha revelado que estas nuevas galaxias enanas obedecen también a una distribución espacial dada por el disco de satélites. En el cuadro 4 se 2 El catálogo de galáxias SDSS (Sloan Digital Sky Survey) se encarga de recopilar y detectar imágenes de objetos astronómicos a gran resolución. Durante el último conjunto de mediciones se obtuvo el espectro de más de 675,000 galaxias, 90,000 quasars y 185,000 estrellas.

15 Galaxias Enanas del Grupo Local 9 enumeran las siete galaxias (UFDG) reportadas en los últimos tres años y cuatro candidatos adicionales (UMa II, Wilman I, CBe, Boo II) cuya incorporación a este nuevo conjunto de satélites está aún por definirse. Galaxia l [ ] b [ ] R [kpc] d DoS [kpc] UMa II Wil CBe Boo II Boo UMa Her CVn II Leo IV Leo V CVn Cuadro 4. Coordenadas galactocéntricas de las UFDG y los posibles candidatos a formar parte del sistema de satélites de la Vía Láctea [16] Con la aparición de las nuevas galaxias enanas de la Vía Láctea y su automática incorporación al disco de satélites han tomado vigencia el estudio del disco de satélites y la posible reestructuración de los miembros asociados al mismo, pues aún permanece sin establecerse el número exacto de galaxias asociadas al sistema de satélites de la Galaxia. Por otra parte, a partir del estudio del disco de satélites es posible encontrar de manera concreta (i.e. con parámetros físicos y geométricos) los rangos galácticos que permiten definir nuevas galaxias satélite. Estudios realizados con base en modelos con materia oscura fría (CDM) revelan que hay un déficit de galaxias satélite después de 100 kpc desde la Vía Láctea. 6. Estado Actual del Problema de Formación A continuación se mencionan, a modo de contextualización histórica, los resultados mas relevantes que han enriquecido la investigación acerca de la formación del Grupo Local y en particular de las galaxias enanas satélite de la Vía Láctea.

16 10 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda En 1998 Mateo [13] contempla la posibilidad de que el halo galáctico se hubiese formado por la acreción de galaxias enanas esferoidales basándose en la comparación de poblaciones estelares, cúmulos globulares y contenido de materia oscura de las galaxias enanas y del halo. En el 2000 Okazaki y Taniguchi [19], adoptando un escenario de interacción galáctica mostraron que si solo unas pocas galaxias enanas se forman en cada colisión galáctica es posible explicar las relaciones entre la morfología y la densidad tanto de las galaxias enanas como de las gigantes. Posteriormente Grebel [7] discute las propiedades de las galaxias enanas cercanas, encontrando variaciones en las historias de formación estelar para luego concluir que los factores determinantes en dicha evolución son las masas de las galaxias y el medio interestelar. También analiza, entre otras cosas, los tipos de galaxias enanas desde las espirales, pasando por las enanas de marea hasta las esferoidales y el cómo una galaxia enana de algún tipo morfológico puede evolucionar a otro. Durante la primera década del siglo XXI Ricotti y Gnedin [20], considerando las historias de formación de las enanas en el grupo local y comparando sus propiedades con las de galaxias simuladas que formaron todas sus estrellas antes de la reionización cosmológica, proponen que las galaxias enanas del grupo local y todas las otras enanas del universo se formaron en tres diferentes trayectorias de evolución, a saber: fósiles verdaderos que formaron la mayor parte de sus estrellas en la época de pre-reionización del universo y tuvieron poca formación estelar; fósiles contaminados que comienzan como fósiles verdaderos, pero tienen un episodio importante de formación de estrellas en el que continúan acretando masa; y sobrevivientes que comenzaron a formar estrellas después de la reionización. Estos autores encontraron también que las galaxias simuladas son muy parecidas a un subgrupo de enanas del grupo local. Simultáneamente Mashchenko y colaboradores [12] proponen un modelo de formación para las galaxias esferoidales enanas en el cual se supone que las estrellas se formaron a partir de un gas isotérmico y en equilibrio hidrostático dentro de halos de materia oscura extendidos, encontrando que dicho modelo describe adecuadamente las

17 Galaxias Enanas del Grupo Local 11 propiedades de tres galaxias esferoidales satélite (Draco, Sculptor y Carina). En 2006 Tully y colaboradores [22] identificaron cinco asociaciones de galaxias enanas que presentan similitudes con las enanas del grupo local. Estos autores realizaron una revisión de los grupos y asociaciones de galaxias mas cercanos identificados por medio del catálogo NGB, analizando sus masas y localización. En el 2008 Salvadori y colaboradores [21] proponen un escenario para la formación y evolución de galaxias enanas esferoidales satélites de la Vía Láctea, en el que se plantea que las dsph representan objetos fósiles que entraron en equilibrio virial a z = 7,2±0,7 (es decir, en la era de pre-reionización), usando una versión semi analítica del código GAMETE, donde aparte del modelo analizan las propiedades observacionales como metalicidad, diagramas de color magnitud y contenido de materia oscura entre otras. Durante el mismo año, Casas Miranda y colaboradores [3], estudian la evolución de satélites pertenecientes a una galaxia como la Vía Láctea usando simulaciones de N-cuerpos mostrando preliminarmente la región de condiciones iniciales que permite la formación de remanentes que podrían ser interpretados como galaxias enanas esferoidales de la Vía Láctea carentes de materia oscura. Al mismo tiempo D Onghia y Lake [6] suponen un modelo en el que la gran nube de Magallanes es el miembro más grande de un grupo de galaxias enanas que fue acretado dentro del halo de la Vía Láctea, dando explicación a como las nuevas enanas formadas dentro de este grupo (gran Magallánico) brillan más que las que no se crearon dentro y a como las galaxias enanas aisladas podrían llegar a tener compañeras. Algunos autores [10, 11] sostienen que los integrantes del sistema de satélites de la Vía Láctea no ingresaron de manera individual y aleatoria en el halo de nuestra Galaxia. En lugar de ello, argumentan que si una o dos agrupaciones cayeron en el halo la Vía Láctea esto podría explicar la distribución del sistema de satélites a través del disco de satélites [15, 18] hecho que permanece sin explicación y ha sido únicamente observado en las galaxias dominantes del grupo local. Otros autores [4, 5] sugieren que la distribución inducida por el disco de satélites fue generada por la colisión de dos galaxias pertenecientes al grupo local y que la geometría del disco de satélites

18 12 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda es causada por fuerzas de marea que aparecieron como efecto de la colisión. 7. Anotaciones Finales El Grupo Local es un área fértil para la investigación en Astrofísica. El problema de la materia oscura en las galaxias enanas se encuentra actualmente en el centro de la discusión académica, así como el problema de la formación del disco de satélites de la Vía Láctea, y por ende el origen de las galaxias satélite. Este problema ha sido objeto de discusiones en diversos campos de aplicación del conocimiento astrofísico, astronómico y cosmológico. En particular, durante los últimos años el escenario propuesto para estudiar las galaxias enanas satélite se ubica en la forma en la que estas galáxias entraron en el halo de la Vía Láctea. Desde el punto de vista astrofísico y cosmológico el problema de la conformación del disco de satélites daría respuesta a preguntas como Qué parámetros definen la selección de galaxias que podrían ser eventualmente miembros del sistema de satélites? o por otra parte bajo qué condiciones espaciales se definen posibles progenitores asociados a las galaxias satélite?, además de contribuir al avance del conocimiento en el área de formación y evolución de galaxias en general. Referencias [1] M. Aaronson. The older stellar population of dwarf galaxies. In D. Kunth, T. X. Thuan, J. Tran Thanh Van, J. Lequeux, & J. Audouze, editor, Star-forming Dwarf Galaxies and Related Objects, pages , [2] L. A. Anchordoqui. Lectures on Astronomy, Astrophysics, and Cosmology. ArXiv e-prints, June [3] R. Casas-Miranda, V. Arias, Y. Camargo, and K. Pena. Revista Colombiana de Física, 40 1:1, 2008.

19 Galaxias Enanas del Grupo Local 13 [4] G. S. Da Costa. Dwarf Spheroidal Galaxies. In B. Barbuy & A. Renzini, editor, The Stellar Populations of Galaxies, volume 149 of IAU Symposium, pages 191 +, [5] G. S. Da Costa. Dwarf Galaxies. In A. Aparicio, A. Herrero, & F. Sánchez, editor, Stellar astrophysics for the local group: VIII Canary Islands Winter School of Astrophysics, pages 351 +, [6] E. D Onghia and G. Lake. The Magellanic Group and the Seven Dwarfs. In J. T. van Loon & J. M. Oliveira, editor, IAU Symposium, volume 256 of IAU Symposium, pages , March [7] E. K. Grebel. Star Formation Histories of Nearby Dwarf Galaxies. Astrophysics and Space Science Supplement, 277: , [8] P. W. Hodge. Dwarf Galaxies. ARA&A, 9:35 +, [9] I. Karachentsev. The Local Group in comparison with other nearby groups of galaxies. A&A, 305:33 +, January [10] Y.-S. Li and A. Helmi. Infall of substructures on to a Milky Way-like dark halo. MNRAS, 385: , April [11] Y.-S. Li, A. Helmi, G. De Lucia, and F. Stoehr. On the common mass scale of the Milky Way satellites. MNRAS, 397:L87 L91, July [12] S. Mashchenko, H. M. P. Couchman, and A. Sills. Modeling Star Formation in Dwarf Spheroidal Galaxies: A Case for Extended Dark Matter Halos. ApJ, 624: , May [13] M. L. Mateo. Dwarf Galaxies of the Local Group. ARA&A, 36: , [14] M. Metz and P. Kroupa. Dwarf spheroidal satellites: are they of tidal origin? MNRAS, 376: , March 2007.

20 14 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda [15] M. Metz, P. Kroupa, and H. Jerjen. The spatial distribution of the Milky Way and Andromeda satellite galaxies. MNRAS, 374: , January [16] M. Metz, P. Kroupa, and H. Jerjen. Discs of satellites: the new dwarf spheroidals. MNRAS, 394: , April [17] M. Metz, P. Kroupa, and N. I. Libeskind. The Orbital Poles of Milky Way Satellite Galaxies: A Rotationally Supported Disk of Satellites. ApJ, 680: , June [18] M. Metz, P. Kroupa, C. Theis, G. Hensler, and H. Jerjen. Did the Milky Way Dwarf Satellites Enter The Halo as a Group? ApJ, 697: , May [19] T. Okazaki and Y. Taniguchi. Dwarf Galaxy Formation Induced by Galaxy Interactions. ApJ, 543: , November [20] M. Ricotti and N. Y. Gnedin. Formation Histories of Dwarf Galaxies in the Local Group. ApJ, 629: , August [21] S. Salvadori, A. Ferrara, and R. Schneider. Life and times of dwarf spheroidal galaxies. MNRAS, 386: , May [22] R. B. Tully, L. Rizzi, A. E. Dolphin, I. D. Karachentsev, V. E. Karachentseva, D. I. Makarov, L. Makarova, S. Sakai, and E. J. Shaya. Associations of Dwarf Galaxies. AJ, 132: , August [23] S. M. Walsh, H. Jerjen, and B. Willman. A Pair of Boötes: A New Milky Way Satellite. ApJL, 662:L83 L86, June 2007.

21 momento Revista de Física, No 38, Junio Una Aplicación de las Series de Lie en el estudio del Problema de los Dos Cuerpos clásico J. G. Portilla B. 1 y E. Brieva B. 2 1 Observatorio Astronómico Nacional, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia 2 Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Resumen El clásico problema de dos cuerpos es analizado por series de Lie a través de una regularización común. Se muestra que por un cambio adecuado de la variable independiente (la introducción de un pseudo-tiempo) es posible obtener seis ecuaciones diferenciales que, integradas por series de Lie, dan expresiones cortas para los componentes de los vectores posición y velocidad. En principio, las expresiones son válidas para las cónicas y el movimiento rectilíneo. Palabras claves: Series de Lie, problema de los dos cuerpos, mecánica celeste. Abstract The classical two-body problem is analiyzed by Lie series through a common regularization. It is showed that by an appropriate change of the independent variable (introducing a pseudo-time) is possible to obtain six differential equations which, integrated by Lie series, give short expressions for the components of the position and velocity vectors. In principle, the expressions are valid for the conics and the rectilinear motion. Keywords: Lie series, two-body problem, Celestial Mechanics. J. G. Portilla: jgportillab@unal.edu.co E. Brieva: ebrieva@cable.net.co

22 16 J. G. Portilla y E. Brieva 1. Introducción Una serie de Lie es una expresión de la forma (Stumpff, 1968): k=0 t k k! Dk f(z) = f(z) + tdf(z) + t2 2! D2 f(z) +..., (1) donde f(z) es cualquier función que depende de las variables complejas z 1, z 2,... z n ; D es un operador diferenciable lineal definido por: D = δ 1 (z) z 1 + δ 2 (z) z δ n (z) z n, (2) donde los coeficientes δ i (z) representan funciones de las variables complejas z 1, z 2,... z n, las cuales son holomorfas en un cierto vecindario de z 0. Al aplicar D a f(z) se verifica que D 2 f(z) = D(Df(z)); D 3 f(z) = D(D 2 f(z));..., D n f(z) = D(D n 1 f(z)). (3) Las series de Lie se han utilizado como una poderosa herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. En efecto, considérese el sistema autónomo de ecuaciones diferenciales representado por: dz = f(z), z(0) = (a). (4) dt Al introducir el operador diferencial D = ( ) f = a n k=1 la solución del sistema (4) se puede escribir como: f k (a) a k, (5) z(t) = exp(td)a, (6) donde exp(td)a es una serie de Lie n-dimensional.

23 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos El Problema de los dos cuerpos Como es sabido, el problema clásico de los dos cuerpos, esto es, la descripción del movimiento de dos partículas que se mueven sometidas sólo a la atracción newtoniana, posee solución analítica para todos los valores de las masas y todo tipo de condiciones iniciales. Las ecuaciones de movimiento suelen estar expresadas en coordenadas polares y su integración obliga a considerar la solución por separado en cada caso: la órbita rectilínea (momentum angular nulo) y las cónicas: elipse, parábola e hipérbola. Exceptuando el caso de la parábola, las soluciones involucran en algún momento la resolución de una ecuación trascendente (la ecuación de Kepler en la órbita elíptica, por ejemplo). En lo que sigue mostraremos una solución del problema cuyas fórmulas son las mismas con independencia del tipo de trayectoria involucrada. Y esto se hará utilizando series de Lie n-dimensionales. La ecuación diferencial vectorial del problema de los dos cuerpos con masas m 1 y m 2, para el movimiento relativo, es (ver por ejemplo McCuskey, 1963): r = µ r3 r, (7) donde µ = G(m 1 + m 2 ) siendo G la constante de gravitación, r el vector relativo entre las dos y r su doble derivada con respecto al tiempo. Dicho conjunto de ecuaciones representa, en coordenadas cartesianas espaciales, tres ecuaciones diferenciales de segundo orden. Es fácil mostrar que al aplicar la solución (5) al sistema (7) el cálculo de los coeficientes (obtenidos por la recurrencia de D a través de (3)) se va complicando hasta extremos inmanejables. El éxito para obtener una solución concisa y manejable por medio de las series de Lie n-dimensionales se logra partiendo de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, escritas de tal forma que la recurrencia de la serie no genera expresiones complicadas cada vez que se procede en el cálculo de los términos de orden cre-

24 18 J. G. Portilla y E. Brieva ciente. Ello obliga entonces a realizar algún tipo de transformación que permita convertir las ecuaciones diferenciales (7) en un sistema de ecuaciones diferenciales adecuado para abordar la solución por series de Lie. Dicha transformación, como veremos a continuación, puede lograrse mediante una regularización de las ecuaciones. 3. La Regularización Como es evidente, la ecuación diferencial (7) es singular en r = 0. Una regularización permite, mediante una transformación de la variable temporal, eliminar la presencia de r en el denominador de las ecuaciones diferenciales. Definimos el operador diferencial temporal de la siguiente forma: d dt = µ1/2 d r dτ. (8) El operador diferencial temporal aplicado sobre sí mismo es entonces ( ) d d = d2 dt dt dt = d ( µ 1/2 2 dt r ) d = µ1/2 dτ r d dτ ( µ 1/2 r ) d, dτ donde τ será nuestra nueva variable independiente, un seudotiempo. Realizando la última derivada y llamando tendremos r = dr dτ, ( ) d 2 1 dt = µ d 2 2 r 2 dτ r d. (9) 2 r 3 dτ Al aplicar el operador (9) al vector posición r obtenemos el vector aceleración en términos de τ: ( ) r r = µ r r r, (10) 2 r 3

25 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 19 donde se ha utilizado la notación r = d r dτ, r = d2 r dτ 2. Reemplazando la aceleración (10) en la ecuación diferencial del problema de los dos cuerpos obtenemos: r r r r + r r = 0. (11) Para lo que se quiere es necesario eliminar de la ecuación anterior, de algún modo, el término r r. En lo que sigue se verá cómo r se procede. La ecuación (7), al ser multiplicada vectorialmente por r a la izquierda e integrada permite obtener el vector constante llamado momentum angular por unidad de masa h: h = r ṙ. (12) Al multiplicar esta última a ambos lados por r y reemplazar al lado derecho el valor de r por el de (7): h r = ( r ṙ) ( µ r 3 r) = µ r 3 ( r ṙ) r. Aplicando las propiedades del triple producto vectorial se obtiene: h r = µ [ ] ṙ( r r) r( r ṙ), r 3 pero, puesto que r r = r 2 y r ṙ = rṙ podemos escribir: h r = µ [ ] ṙ r ṙ r 2 r = µ d dt ( ) r. r Como h es un vector constante podemos integrar a ambos lados de la ecuación anterior para obtener: h ṙ = µ r r + K,

26 20 J. G. Portilla y E. Brieva donde K es un vector constante. Al reemplazar en esta última la definición de h dada por (12) y de nuevo utilizando las propiedades del producto triple vectorial llegamos a: ṙ( ṙ r) r( ṙ ṙ) = µ r r + K. (13) Pero ṙ r = rṙ y puesto que la velocidad en el problema de los dos cuerpos se puede representar en los cuatro tipos de trayectorias (las tres cónicas y la trayectoria rectilínea) de la siguiente forma ( 2 ṙ ṙ = v 2 = µ r 1 ), (14) α donde α es una constante que en el caso de la elipse es mayor que cero y se identifica con el semieje mayor, o en la órbita parabólica es igual a infinito, la ecuación (13) queda entonces: y puesto que de (8): ṙ(rṙ) = µ r r µ r α + K, ṙ = d r dt = µ1/2 d r r dτ = µ1/2 r r, ṙ = dr dt = µ1/2 dr r dτ = µ1/2 r r, (15) obtenemos, después de dividir por µ a ambos lados: r r r = r r r α + K µ. El término de la izquierda era lo que estábamos buscando. Al reemplazar este valor en (11) tenemos: r + r α K µ = 0, que al derivar de nuevo con respecto a τ se convierte en: r r + α = 0. (16)

27 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 21 Una ecuación equivalente para r puede hallarse de la forma siguiente. De la segunda de las ecuaciones (15) tenemos: r = Aplicando a ambos lados el operador (8): r = r d µ 1/2 dt rṙ. (17) µ 1/2 [ 1 µ 1/2 ( r ṙ) donde al lado derecho se hizo uso de rṙ = r ṙ. Al realizar las derivadas al lado derecho se tiene: r = r ( ) r r + ṙ ṙ. µ Por lo tanto, al reemplazar en esta última las expresiones (7) para r y (14) para ṙ ṙ se tiene: r = r ( µ µ r 3 r r + 2µ r µ ), α y teniendo en cuenta que r r = r 2 se llega a: ] r = 1 r α, (18) expresión que al ser derivada de nuevo con respecto a τ queda: r + r = 0. (19) α Por supuesto que tenemos una ecuación diferencial para t. Esta se consigue aplicando el operador (8) a t con lo que dt dτ = r. (20) µ 1/2 El siguiente paso en convertir las ecuaciones (16) y (19) en ecuaciones diferenciales de primer orden. Ello se logra fácilmente por el siguiente procedimiento. Llamando: p = d r dτ = r, (21)

28 22 J. G. Portilla y E. Brieva se deduce que: d p dτ = d2 r dτ = r. (22) 2 De nuevo, al llamar q = d p dτ, (23) entonces tendremos: d q dτ = d2 p dτ = d3 r 2 dτ = r. (24) 3 Con la introducción de las variables p y q se puede escribir la ecuación diferencial de movimiento (16) como d q dτ = p α. (25) Lo que se ha hecho entonces es convertir una ecuación diferencial de tercer orden en tres de primer orden, es decir, escribir el sistema diferencial en su forma canónica: d q dτ = p α, d p dτ = q, d r = p. (26) dτ Introduciendo las variables no vectoriales p y q y realizando un procedimiento completamente análogo al anterior se puede convertir la ecuación escalar (19) en el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales: dq dτ = p α, dp dτ = q, dr = p; (27) dτ Las ecuaciones difrenciales (26) y (27), junto con (20), son las siete ecuaciones diferenciales simultáneas que han de resolverse. 4. La Solución Se dispone de un conjunto de siete ecuaciones diferenciales, cada una de las cuales es de la forma: dξ dτ = f(ξ), ξ (0) = C.

29 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 23 En conjunto pueden representarse como la ecuación (4). Supóngase entonces que se tienen por condiciones iniciales (en τ 0 ) los siguientes valores para cada una de nuestras variables: q 0, p 0, r 0, q 0, p 0, r 0, t 0. El operador diferencial D en nuestro caso es: 7 D = f k (a) ( = p ) + ( q) τ=0 + ( p) τ=0 + a k α k=1 τ=τ 0 q 0 p 0 r 0 ( + p ) ( ) r + (q) τ=0 + (p) τ=0 +, α τ=0 q 0 p 0 r 0 µ 1/2 t 0 o mejor D = p 0 + q 0 + p 0 p 0 + q 0 + p 0 + r 0. α q 0 p 0 r 0 α q 0 p 0 r 0 µ 1/2 t 0 (28) De acuerdo con (6) y teniendo en cuenta que nuestra variable independiente es τ la solución para r es: τ=0 o en forma explícita: r = exp(τd) r 0, r = (1 + τd + 1 2! τ 2 D ! τ 3 D ! τ 4 D 4 + ) r 0. Aplicando el operador D definido por (28) a r 0 y teniendo en cuenta la propiedad (3) se puede encontrar: D r 0 = p 0, D 2 r 0 = q 0, D 3 r 0 = p 0 α, D 4 r 0 = q 0 α, D5 r 0 = p 0 α 2, D6 r 0 = q 0 α 2, D 7 r 0 = p 0 α, 3 D8 r 0 = q 0 α, 3 D9 r 0 = p 0 α, 4 y así sucesivamente. Por lo tanto, la solución para r es, al factorizar los términos en p y q: r = r 0 + (τ τ 3 3!α + τ 5 5!α 2 τ 7 ) ( τ 2 7!α 3 + p 0 + 2! τ 4 4!α + τ 6 6!α 2 τ 8 ) 8!α 3 + q 0,

30 24 J. G. Portilla y E. Brieva o también: r = r 0 + τ (1 τ 2 3!α + τ 4 5!α 2 τ 6 ) 7!α 3 + p 0 + τ 2 ( 1 2! τ 2 4!α + τ 4 6!α 2 τ 6 ) 8!α 3 + q 0. (29) Llamando θ = τ α, (30) la ecuación para r puede quedar en la forma: ) r = r 0 + τ (1 θ2 3! + θ4 5! θ6 7! + p 0 + τ 2 ( 1 2! θ2 4! + θ4 6! θ6 8! + ) q 0. Ahora bien, recordando que la representación de las funciones seno y coseno en series de potencias es: sen x = x x3 3! +x5 5! x7 7! Es evidente entonces que: ( ) sen θ r = r 0 + τ θ +, cos x = 1 x2 2! +x4 4! x6 6! + ( ) 1 cos θ p 0 + τ 2 q θ 2 0, (31) donde θ está dado por (30). Puesto que el operador D tiene la misma forma funcional, tanto para p y q como para p y q, se deduce que la ecuación para r (la magnitud de r) tiene por solución: ( sen θ r = r 0 + τ θ La solución para t es de la forma: o mejor: ) p 0 + τ 2 ( 1 cos θ θ 2 t = exp(τd)t 0, ) q 0. (32) t = (1 + τd + 1 2! τ 2 D ! τ 3 D ! τ 4 D 4 + )t 0.

31 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 25 Aplicando el operador D definido por (28) a t podemos encontrar: Dt 0 = r 0 µ 1/2, D2 t 0 = p 0 µ 1/2, D3 t 0 = q 0 µ 1/2, D 4 t 0 = p 0 µ 1/2 α, D5 t 0 = q 0 µ 1/2 α, D6 t 0 = p 0 µ 1/2 α 2, D 7 t 0 = q 0 µ 1/2 α 2, D8 t 0 = p 0 µ 1/2 α 3, D9 t 0 = q 0 µ 1/2 α 3, y así sucesivamente. La solución puede escribirse, factorizando los términos de p 0 y q 0, como: t = t 0 + τr 0 µ + p ( 0 τ 2 1/2 µ 1/2 2! τ 4 4!α + τ 6 6!α 2 τ 8 q 0 µ 1/2 la cual, al factorizar τ 2 queda como: t = t 0 + τr 0 µ + p 0τ 2 ( 1 1/2 µ 1/2 2! τ 2 4!α + τ 4 ) 8!α ( τ 3 3! τ 5 5!α + τ 7 7!α 2 τ 9 6!α 2 τ 6 q 0 τ 3 µ 1/2 ) 8!α ) 9!α 3 + ( 1 3! τ 2 5!α + τ 4 7!α 2 τ 6 9!α 3 + y considerando las expansiones en serie del seno y el coseno es evidente que se puede llegar a t = t 0 + τr 0 µ + p ( ) 0τ 2 1 cos θ + q ( ) 0τ 3 θ sen θ, (33) 1/2 µ 1/2 θ 2 µ 1/2 θ 3 donde θ está dado por (30). También es posible encontrar una expresión para el vector velocidad. En efecto, de la ecuación (21) obtenemos p = d r dτ = d r dt dt dτ, teniendo en cuenta (20) se deduce, ), d r dt = µ1/2 p, (34) r

32 26 J. G. Portilla y E. Brieva lo cual requiere encontrar p. La solución para este es: p = exp(τd) p 0. Al aplicar el operador (28) a p se encuentra: D p 0 = q 0, D 2 p 0 = p 0 α, D3 p 0 = q 0 α, D 4 p 0 = p 0 α 2, D5 p 0 = q 0 α 2, D6 p 0 = p 0 α 3, D 7 p 0 = q 0 α, 3 D8 p 0 = p 0 α, 4 D9 p 0 = q 0 α, 4 y así sucesivamente. La solución se puede escribir, factorizando los términos de p y q, como ( p = p 0 1 τ 2 2!α + τ 4 4!α 2 τ 6 6!α 3 + τ 8 ) 8!α q 0 ( τ τ 3 3!α + τ 5 5!α 2 τ 7 7!α 3 + τ 9 ) 9!α 4 + Factorizando τ en el segundo término del lado derecho y teniendo en cuenta (30): ( ) p = p 0 1 θ2 2! + θ4 4! θ6 6! + θ8 8! + + q 0 τ (1 θ2 3! + θ4 5! θ6 7! + θ8 9! + que puede escribirse como: ( ) sen θ p = p 0 cos θ + q 0 τ. (35) θ Por lo tanto, la expresión para el vector velocidad se halla al reemplazar (35) en (34): v = d r [ ( )] dt = µ1/2 sen θ p 0 cos θ + q 0 τ. (36) r θ. ),

33 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos Las Condiciones Iniciales Supóngase que se tiene dos partículas interactuantes de masas conocidas y que las condiciones iniciales para el movimiento relativo son: t = t 0, r 0 = x 0 î + y 0 ĵ + z 0ˆk, 0r = x 0 î + y 0 ĵ + z 0ˆk, así que r 0 = x y0 2 + z0, 2 y v 0 = ẋ ẏ0 2 + ż0. 2 De la ecuación (14) obtenemos inmediatamente el valor de α α = r 0 2 r 0v 2 0 µ. (37) La constante α constituye un indicador del tipo de órbita que está describiendo el objeto. Si α es positiva la trayectoria es una elipse, si es infinita (esto es, cuando rv2 = 2) es una parábola y si µ es negativa es una hipérbola. El valor de p 0 se halla en la siguiente forma. De la primera de las ecuaciones (15) y de (21) tenemos o, en el tiempo t 0 : p = ṙr µ 1/2 p 0 = r 0 r µ 1/2 0. (38) De igual manera, el valor de p 0 puede hallarse con ayuda de la ecuación (17) y de la tercera de las ecuaciones (27): p 0 = r 0ṙ 0 µ = r 0 ṙ 0. (39) 1/2 µ 1/2 De las ecuaciones (11), (22) y (23) se deduce q = r r r 1 r r.

34 28 J. G. Portilla y E. Brieva Teniendo en cuenta las ecuaciones (21) y de tercera de las (27) se tiene, para t = t 0 : q 0 = p 0 r 0 p 0 1 r 0 r 0. (40) Por último, el valor de q 0 se halla con ayuda de (18): 6. Las Funciones de Stumpff q 0 = 1 r 0 α. (41) Se llaman funciones de Stumpff las siguientes funciones trigonométricas: c 0 (θ) = cos θ = 1 θ2 2! + θ4 4! θ6 6! +, (42) c 1 (θ) = sen θ θ c 2 (θ) = 1 cos θ θ 2 c 3 (θ) = θ sen θ θ 3 = 1 θ2 3! + θ4 5! θ6 7! +, (43) = 1 2! θ2 4! + θ4 6! θ6 8! +, (44) = 1 3! θ2 5! + θ4 7! θ6 9! +. (45) Las funciones de Stumpff adoptan los siguientes valores si se toma el límite cuando θ 0: lím 0(θ) θ 0 = 1, (46) lím 1(θ) θ 0 = 1, (47) lím θ 0 C 2(θ) = 1 2, (48) lím C 3(θ) = 1 θ 0 6. (49)

35 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos La Órbita Parabólica El lector habrá notado que, de acuerdo con la introducción de la constante α en la ecuación (14), se tendrá para la órbita parabólica el caso α =, esto es, 1/α = 0, lo cual aparentemente crearía problemas si notamos que θ tiene a α en su denominador. Pero no hay tal. El tomar 1/α 0 equivale a 1/ α 0 con lo cual τ/ α 0; en otras palabras, θ 0. Además, de (41) se obtiene q 0 = 1. Por lo tanto, las ecuaciones que solucionan el problema en la órbita parabólica se reducen a: r = r 0 + τ p 0 + τ 2 2 q 0, (50) r = r 0 + τp 0 + τ 2 2 q 0, (51) t = t 0 + τr 0 µ + p 0τ 2 1/2 2µ + τ 3, (52) 1/2 6µ 1/2 v = µ1/2 r ( p 0 + q 0 τ). (53) El valor de τ puede obtenerse por medio de la ecuación cúbica (52) que puede escribirse: τ 3 + 3p 0 τ 2 + 6r 0 τ 6µ 1/2 (t t 0 ) = La Órbita Hiperbólica La órbita hiperbólica surge al presentarse el caso α < 0. Esto tiene el ligero inconveniente de que α corresponde al dominio de los números complejos. Pero la aparición de los números complejos es tan solo transitoria y las funciones de Stumpff sufren una ligera modificación en términos de las funciones hiperbólicas, como se apreciará a continuación. Tómese como ejemplo el caso de c 0 (θ) cuando θ = τ α. Entonces

36 30 J. G. Portilla y E. Brieva ( ) τ cos α donde τ 2 = 1 2!( α) + τ 4 2 4!( α) τ 3 4 6!( α) + 6 τ 2 = 1 2!(i α ) + τ 4 2 4!(i α ) τ 3 4 6!(i α ) + 6 τ 2 = 1 + 2!( α ) + τ 4 2 4!( α ) + τ 3 4 6!( α ) + 6 = cosh θ h, θ h = τ α. (54) Es sencillo verificar además que ( ) τ sen α τ = senh θ h, α θ h ( ) τ 1 cos α ( ) 2 = cosh θ h 1, τ θh 2 α ( ) ( ) τ τ α senh α ( ) 3 = senh θ h θ h. τ θh 3 α Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento para la órbita hiperbólica son: ( ) ( ) senh θh cosh r = r 0 + τ p 0 + τ 2 θh 1 q θ h θh 2 0, (55) ( ) ( ) senh θh cosh r = r 0 + τ p 0 + τ 2 θh 1 q θ h θh 2 0, (56) t = t 0 + τr 0 µ + p ( ) 0τ 2 cosh θh 1 + q ( ) 0τ 3 senh θh θ h (57), 1/2 µ 1/2 θh 2 µ 1/2 θh 3 [ ( )] v = µ1/2 senh θh p 0 cosh θ h + q 0 τ. (58) r θ h

37 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos Un caso especial en la Órbita Rectilínea La órbita rectilínea surge al presentarse el caso ṙ = βû r (donde β es una cantidad con unidades de velocidad que puede ser positiva, negativa e incluso cero), esto es, cuando el momentum angular h es nulo (ver ecuación (12)). Pueden presentarse varios casos dependiendo del valor que adopte β. A continuación se analizará el caso β = 0. Para un instante dado t 0 = 0 se tiene, a una distancia r = r 0, la partícula de interés con una velocidad v 0 = 0. Por lo tanto: v 0 = 0, α = r 0 2, p 0 = 0, p 0 = 0, q 0 = r 0 r 0, q 0 = 1. De lo anterior se deduce que: 2 θ = τ, esto es, τ = θ r 0 Es fácil verificar que la ecuación (31) queda: al igual que (ver ecuación (32)): r0 2. r = 1 2 (1 + cos θ) r 0 (59) r = 1 2 (1 + cos θ)r 0. (60) La velocidad está dada por (ver ecuación (36)): ( ) µ sen θ v = r 0 (61) 2r 0 r y el tiempo por la expresión (ecuación (33)): t = 1 ( r0 ) 3/2 (θ + sen θ). (62) µ 2

38 32 J. G. Portilla y E. Brieva Es evidente, observando la ecuación (60), que en el tiempo t 0 = 0 se ha de cumplir θ = 0. Así mismo, en el momento de la colisión (r = 0) se tendrá θ = π. La velocidad, en el instante de la colisión, está dada por el límite [ ( )] µ r 0 sen θ v r=0 = lím 2 =. θ π 2r 0 r cos θ El tiempo que tarda la partícula en llegar hasta r = 0 es t r=0 = π ( r0 ) 3/2, esto es, tr=0 = πα3/2. µ 2 µ 10. Algunos Ejemplos Ejemplo 1 Un cuerpo de masa despreciable comparada con la del Sol posee en un instante t 0 = 0 los siguientes valores de las componentes de los vectores posición y velocidad con respecto a un plano fundamental dado: x = 3, , y = 3, , z = 1, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0, , en unidades astronómicas y unidades astronómicas por día, respectivamente. Con el fin de mostrar el procedimiento de cálculo vamos a encontrar la posición del cuerpo en cuestión para un seudotiempo (nuestra variable independiente) igual a τ = 0,69. Sólo después veremos a que tiempo t corresponden dichas coordenadas. Se comienza por hallar las magnitudes de los vectores posición y velocidad en el instante t 0 : r 0 = 4, , v 0 = 0,

39 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 33 Luego se calcula α por intermedio de (37): α = 5, lo que significa que la órbita puede ser elíptica (o rectilínea acotada). Esto se decide calculando el momentum angular. Es fácil verificar que en nuestro ejemplo h = r ṙ 0, lo que indica que la trayectoria es una elipse. Luego se calculan las componentes de los vectores p 0 y q 0 con ayuda de (38) y (40): (p 0 ) x = 1, , (p 0 ) y = 1, , (p 0 ) z = 0, , (q 0 ) x = 0, , (q 0 ) y = 0, , (q 0 ) z = 0, Con el valor que hemos elegido de τ hallamos θ: θ = 0, Se puede calcular entonces el valor del tiempo t utilizando (33): t = 200, , y las componentes del vector posición y velocidad para dicho tiempo t con ayuda de (31) y (36): x = 2, , y = 3, , z = 1, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0,

40 34 J. G. Portilla y E. Brieva Ejemplo 2 Un cuerpo de masa despreciable posee en un instante t 0 = 0 los siguientes valores de las componentes de los vectores posición y velocidad con respecto a un plano fundamental dado: x = 1, , y = 0, , z = 0, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0, , en unidades astronómicas y unidades astronómicas por día, respectivamente. Se desea encontrar la posición del cuerpo en cuestión para un seudotiempo igual a τ = 1,5. Las magnitudes de los vectores posición y velocidad en el instante t 0 son: r 0 = 4, , v 0 = 0, Luego se calcula α por intermedio de (37): α = 0, , lo que significa que la órbita puede ser hiperbólica (o rectilínea no acotada). Como antes, al calcular el momentum angular se verifica que en nuestro ejemplo h = r ṙ 0, indicando que la trayectoria es hiperbólica. Las componentes de los vectores p 0 y q 0 son: (p 0 ) x = 4, , (p 0 ) y = 1, , (p 0 ) z = 0, , (q 0 ) x = 7, , (q 0 ) y = 2, , (q 0 ) z = 0, Con el valor que hemos elegido de τ hallamos θ: El valor del tiempo t es: θ = 3, t = 1218, , y las componentes del vector posición y velocidad para dicho tiempo t son: x = 46, , y = 11, , z = 1, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0,

41 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos Conclusiones Se ha realizado una descripción detallada de la solución por Series de Lie de las ecuaciones diferenciales que describen el problema de los dos cuerpos clásico para cualquier tipo de condiciones iniciales. Se dedujeron ecuaciones específicas para el caso de la trayectoria parabólica, hiperbólica y rectilínea y se presentaron dos ejemplos que describen el proceso numérico involucrado. La solución es elegante en su construcción y tiene la ventaja adicional de estudiar aquellos casos en o cercanos al origen puesto que las ecuaciones están regularizadas. Referencias [1] McCuskey, S.W., Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, [2] Stumpff, K., On the application of Lie-series to the problems of celestial mechanics, NASA, TN D-4460, Washington, [3] Battin, R.H., An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA Education Series, American Institute of Astronautics,Inc., New York, 1999.

42 36 Revista de Física, No 38, Junio 2009 momento Superconductores de alta Temperatura Crítica a base de Hierro O. Rodríguez-León 1 1 Grupo de Superconductividad y Nuevos Materiales, Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia. Resumen El descubrimiento a principios de 2008 de una nueva familia superconductora con una T c 26K en un compuesto de hierro y dopado con flúor, LaO 1 x F x FeAs, ha revivido el interés en la búsqueda de materiales superconductores con alta temperatura critica. Su descubrimiento ha propiciado un acelerado estudio de sus propiedades superconductoras y de muchas otras propiedades físicas, dando como resultado la obtención nuevos compuestos con temperaturas criticas entre K. En este artículo se pretende hacer un resumen de las principales características fisicoquímicas de dicha familia y compuestos relacionados. Palabras claves: LaO 1 x F x FeAs, materiales superconductores, alta temperatura crítica. Abstract The discovery in early 2008 of a new family of superconductors with a T c 26K in an iron compound and fluorine doped, LaO 1 x F x FeAs, has revived interest in the search for superconducting materials with high critical temperature. The discovery has led to an accelerated study of superconducting properties and many other physical properties, resulting in obtaining new compounds with critical temperatures between K. In this article it is intended to summarize the main physical and chemist characteristics of this family and related compounds. Keywords: LaO 1 x F x FeAs, superconducting materials, high critical temperature. O. Rodríguez-León: oaridriguezl@unal.edu.co

43 Superconductores de alta Tc a base de hierro Introducción En febrero de 2008 [1] se anunció el descubrimiento de un nuevo material superconductor con una Tc de 26K en un compuesto dopado con flúor y a base de hierro LaO 1 x F x FeAs. Al ser esta una nueva familia superconductora muy diferente a las ya existentes como los cupratos [2], fuleruros [3] o MgB 2 [4], su descubrimiento ha atraído la atención de muchos investigadores y ha impulsado un exhaustivo estudio desde dicha publicación [5-51]. Un hecho distintivo de este tipo de materiales es su estructura laminar formada por láminas de LaO y FeAs (Figura 1) y la presencia de hierro en su estructura (un metal de carácter magnético). El fenómeno superconductor aparece cuando se varían las concentraciones de portadores de carga como resultado del dopado con flúor en las láminas de LaO que se encuentran espacialmente separadas de las láminas de FeAs. Los valores de Tc son sensibles a la concentración y al tipo de elementos dopantes. El exhaustivo estudio de este nuevo tipo de materiales superconductores ha dado como resultado la obtención de diferentes familias relacionadas y que en la literatura se conocen como la tipo 1111 y la tipo 122. En la primera familia (1111) se encuentran los compuestos del tipo LnOFePn donde Ln= Tierras raras (Ce, Pr, Nd, Sm, Gd, Tb, y Dy) y Pn = P, As, Bi. La segunda familia superconductora o tipo 122 esta conformada por arseniuros ternarios y metales alcalinotérreos del tipo AFe 2 As 2 donde A= Ca, Sr, Ba [5-13]. Al igual que en la familia 1111 los superconductores del tipo 122 están compuestos por laminas de FeAs formadas por tetraedros conjugados de FeAs 4 y redes de metales alcalinotérreos (figura 1). En contraste con la familia 1111, los de tipo 122 no contienen oxigeno ni tierras raras. En la presente revisión se pretende mostrar algunas características de la estructura cristalina de las familias 1111 y 122 y métodos de síntesis (Numeral 2), sus propiedades superconductoras y magnéticas (numeral 3), propiedades de otros sistemas superconductores relacionados (Numeral 4) y por ultimo realizar una pequeña

44 38 O. Rodríguez-León Figura 1. Estructuras cristalinas tetragonales de los oxinitrogenuros a. LnOMPn (fase 1111) y de los arseniuros ternarios b. AFe 2 As 2 (fase 122), principales estructuras de los nuevos superconductores con Tc= K. comparación de estas características con las de los superconductores a base de cobre (numeral 5). Para una mayor revisión de estos nuevos materiales se recomiendan otras lecturas [20,49,50,51]. 2. Síntesis y estructura cristalina de las familias 1111 y Métodos de Síntesis Han sido propuestos diversos métodos para la síntesis de la familia LnOMPn-1111 y AFe 2 As Muchos de ellos difieren en los elementos de partida usados, tiempos y temperaturas de reacción, sin embargo, todos se llevan a cabo en una reacción de estado sólido. En la tabla 1 se resumen algunos métodos de síntesis. Para una mayor revisión ver [20] Estructura Cristalina Familia 1111 Bajo condiciones estequiométricas de síntesis la fase LnOMPn tiene una estructura laminar tetragonal (tipo ZrCuSiAs, grupo espacial P4/nmm, Z=2) [21] formada por laminas moleculares de carga opuesta de (LnO) δ+ /(MPn) δ a lo largo del eje c (Figura 1).

45 Superconductores de alta Tc a base de hierro 39 TABLA 1. Algunos métodos de síntesis para las familias superconductoras a base de hierro. Tanto la lamina LnO como la lamina MPn están formadas por redes cuadrado planares de M y O coordinados respectivamente por Pn y Ln, formando laminas de tetraedros conjugados de MPn 4 y OLn 4. Se ha encontrado [15] una correlación entre Tc y los parámetros de red en los la familia LnOMPn: el valor de Tc decrece considerablemente con el aumento del parámetro a (Figura 2a). Este efecto es interpretado en términos de la presión química ejercida en la estructura cristalina por el uso de tierras raras y relacionado con el tamaño de sus radios iónicos, sin embargo el origen de dicha relación aun no es clara. Otra correlación interesante [22] es la existente entre Tc y el ángulo α del enlace As-Fe-As en los tetraedros de FeAs 4, encontrándose que Tc se hace máxima cuando α se acerca a o y FeAs 4 toma la forma de un tetraedro perfecto. Esta variación de α depende directamente de la tierra rara usada (Figura 2b). Por otro lado, en la fase no superconductora de LaOFeAs (compuestos no dopados) se ha encontrado por difracción de neutrones [23] y difracción de rayos X [24] una transición de fase estructural a una temperatura de 155K de una estructura tetragonal (P4/nmm) a una estructura ortorrómbica (Cmma). Después de dicha transición a 137K ocurre una transición de fase magnética debido a la formación de un orden de largo alcance (AFM) para los momentos magnéticos del hierro (Figura 3a).

46 40 O. Rodríguez-León Figura 2. a. Relación entre Tc y el parámetro de red a para diferentes tierras raras en el compuesto LnOMPn Ln= La, Ce, Pr, Nd, Sm [15]. b. Relación entre Tc y el ángulo α de los tetraedros de FeAs 4 en las laminas moleculares de FeAs para diferentes tierras raras [22]. El dopado con electrones o huecos de estos compuestos suprime estas transiciones de fase ocurriendo únicamente la transición al estado superconductor. Familia 122 Bajo condiciones normales la fase AFe 2 As 2 posee una estructura tetragonal (tipo ThCr 2 Si, grupo espacial I4/mmm) formada por láminas alternas de FeAs 4 y redes atómicas de metales alcalinotérreos A (Figura 1). Al igual que la familia 1111 lo materiales parentales no superconductores (compuestos no dopados con metales alcalinos) presentan anomalías bien pronunciadas en la región de bajas temperaturas. El BaFe 2 As 2 muestra anomalías [6,10,25,26] en la resistencia eléctrica, conductividad térmica y susceptibilidad magnética alrededor de 140K, que de acuerdo con datos de difracción de rayos X [25] corresponden a una transición de fase estructural de segundo orden donde la estructura tetragonal (I4/mmm) es distorsionada a una estructura ortorrómbica (Fmmm). Por otra parte estudios con difracción de neutrones [27] revelaron que dicha transición de fase estructural, en contraste con la familia 1111, esta acompañada por una transición casi simultanea a un estado anti-

47 Superconductores de alta Tc a base de hierro 41 ferromagnético (Figura 3b). Ninguna de estas dos transiciones se observa para los arsenuros superconductores (dopados con metales alcalinos) con el descenso de la temperatura. Figura 3. a. Ordenamiento antiferromagnético en los átomos de hierro de las laminas de FeAs para el LaOFeAs [28]. b. Estructura magnética del BaFe2As2 de acuerdo con datos de difracción de neutrones [27]. 3. Superconductividad y magnetismo 3.1. Familia 1111 Algunos compuestos no dopados del tipo LnOMPn no son superconductores y solo algunas fases (LaOFeP y LaONiP) muestran una transición a muy bajas temperaturas (Tc<6K) al estado superconductor [29-31]; mientras que la superconductividad de alta temperatura (Tc>26 K) ocurre en los oxyarsenuros sometidos a un dopaje con electrones o huecos. En estos materiales el efecto superconductor aparece de dos maneras. La primera de ellas es al hacerse un dopado con electrones introduciendo flúor en las lamina de LaO como en el primer compuesto reportado LaO 1 x F x FeAs [1] y donde Tc=26K. Hasta la fecha la mayor temperatura critica reportada la tiene el compuesto SmO 1 x F x FeAs con una Tc 56K, perteneciente a esta familia. La segunda forma de obtener materiales superconductores en la familia 1111 es realizando un dopado con huecos, creando vacancias en el oxígeno de las laminas de LnO (compuestos no estequiométricos de composición LnO 1 x FeAs con las máximas Tc 51 K para NdO 1 x FeAs y Tc 55 K para SmO 1 x FeAs [5]- 32) o sustituyendo un ion trivalente de Ln 3+ por uno divalente de Sr 2+ [6]-33 (Figura 4a).

48 42 O. Rodríguez-León Figura 4. Comportamiento de la resistividad en función de la temperatura para los compuestos de tipo a. LnMOPn [34] y b. AFe 2 As 2 [6]. Por otro lado el descubrimiento inesperado de altos valores de campos críticos B c2 para algunos oxyarsenuros hace que dichos compuestos puedan ser considerados para la generación de fuertes campos magnéticos. En la siguiente tabla se muestran algunos de los valores reportados en la literatura. Compuesto Bc max 2 T Referencia LaO 0,89 F 0,11 FeAs NdO 0,82 F 0,18 FeAs LaO 0,9 F 0,1 FeAs 1 x LaO 0,9 F 0,1 FeAs SmO 0,85 F 0,15 FeAs La 0,8 K 0,2 O 0,8 F 0,2 FeAs SmO 0,9 F 0,1 FeAs TABLA 2. Valores de Bc max 2 para algunos compuestos de la familia Familia 122 Para los compuestos del tipo AFe 2 As 2 donde A= Ca, Sr, Ba el estado superconductor solo se puede alcanzar por dopado con huecos, reemplazando los iones divalentes de A 2+ (Ca 2+, Sr 2+, Ba 2+ ) por iones monovalentes de metales alcalinos como K, Na, Cs. Hasta la fechas se han reportado Tc entre K para los compuestos Ba 1 x K x Fe 2 As 2 [8] (Figura 4b) y Sr 1 x (K,Cs) x Fe 2 As 2 (Figura 5a) [11] y 20 K para el compuesto CaFe 2 As 2 dopado con sodio [42]. Sin embargo, los intentos por obtener materiales superconductores por dopado con electrones a partir de estos han sido infructuosos. Al

49 Superconductores de alta Tc a base de hierro 43 igual que en los sistemas 1111, se ha estudiado el efecto de la presión externa en la superconductividad en los materiales no parentales no dopados (Figura 5b). Mientras que para el material superconductor Ba 1 x K x Fe 2 As 2 la Tc decrece linealmente con el aumento de presión [43] los compuestos no dopados muestran un aumento en la Tc con el aumento de la presión externa llegando a un máximo donde dicha presión afecta la estructura cristalina del solido y Tc comienza a disminuir [44] (Figura 5b). Figura 5. a. Dependencia de Tc con la composición para Sr 1 x K xfe 2 As 2 [11] b. Efecto de la presión externa en la superconductividad de los compuestos CaFe 2 As 2, SrFe 2 As 2 y BaFe 2 As 2 [44]. 4. Otros sistemas superconductores Relacionados. Familias 111 y 11 El exhaustivo estudio de las propiedades de estos nuevos materiales ha conllevado al descubrimiento de nuevos sistemas superconductores a base de hierro (Figura 6). Entre ellos la fase 111 representado por el LiFeAs cuya temperatura de transición de 18K ha sido sintetizado exitosamente [45] y cuyo efecto superconductor parece venir acompañado con la no estequiometria del compuesto. Por otra parte, se ha descubierto también la superconductividad (Tc 8K) en la fase α del seleniuro de hierro FeSe 1 x (x 0.12) conocida en la literatura como la fase 11. Estos compuestos tiene una estructura laminar tetragonal formada por tetraedros conjugados de FeSe 4, similar a las laminas de FeAs en las familias 1111,

50 44 O. Rodríguez-León 122 y 111. La máxima Tc hallada para estos compuestos es de 27K aplicando una presión externa a las muestras [46-48]. Figura 6. Estructura cristalina de los compuestos a. LiFeAs y b. α-fese. 5. Diferencias entre los superconductores a base de hierro y los cupratos El descubrimiento de esta nueva familia superconductora hace necesario que se realice una comparación entre las propiedades de dichos materiales y los superconductores reinantes hasta la fecha; los cupratos. Existen algunas diferencias importantes: 1. Los estados electrónicos cerca del nivel de fermi para los superconductores a base de hierro están compuestos principalmente por los orbitales 3d del hierro donde todos los cinco orbitales d contribuyen para formar bandas electrónicas separadas, es decir, que los compuestos de hierro son sistemas multibandas en contraste con los sistemas monobanda formada por los cupratos. 2. El Fe 2+ tiene una configuración d6 y en su coordinación tetraédrica con el arsénico o selenio, se espera que posea un espín local S=2, el cual favorece un ordenamiento ferromagnético o antiferromagnético, en contraste con al valor de S=1/2 en los cupratos. 3. Los materiales de partida (compuestos no dopados) son aislantes (tipo Mott) con carácter antiferromagnético para el caso de los cupratos, mientras que para los nuevos materiales estos son de tipo metálico con carácter antiferromagnético.

Una Aplicación de las Series de Lie en el estudio del Problema de los Dos Cuerpos clásico

Una Aplicación de las Series de Lie en el estudio del Problema de los Dos Cuerpos clásico momento Revista de Física, No 38, Junio 2009 15 Una Aplicación de las Series de Lie en el estudio del Problema de los Dos Cuerpos clásico J. G. Portilla B. 1 y E. Brieva B. 2 1 Observatorio Astronómico

Más detalles

momento Revista de Física, No 38, Junio de Galaxias Enanas del Grupo Local

momento Revista de Física, No 38, Junio de Galaxias Enanas del Grupo Local momento Revista de Física, No 38, Junio de 2009 1 Galaxias Enanas del Grupo Local A. Casallas Lagos, D. J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Grupo de Astrofísica, Departamento de Física, Universidad Nacional

Más detalles

Galaxias Esferoidales Enanas del Grupo Local

Galaxias Esferoidales Enanas del Grupo Local Galaxias Esferoidales Enanas del Grupo Local Una familia en aumento Las Siete Enanas (Fornax, Sculptor, Leo I, Leo II, Ursa Minor, Draco y Carina) Andromeda I, II y III + Sextans, Phoenix, Antlia, Tucana,

Más detalles

Grupo Local. Una familia en aumento. Las Siete Enanas (Fornax, Sculptor, Leo I, Leo II, Ursa Minor, Draco y Carina) Andromeda I, II y III.

Grupo Local. Una familia en aumento. Las Siete Enanas (Fornax, Sculptor, Leo I, Leo II, Ursa Minor, Draco y Carina) Andromeda I, II y III. Galaxias Esferoidales Enanas del Una familia en aumento Grupo Local Las Siete Enanas (Fornax, Sculptor, Leo I, Leo II, Ursa Minor, Draco y Carina) Andromeda I, II y III + Sextans,, Phoenix, Antlia, Tucana,

Más detalles

Simulaciones numéricas de la caída de asociaciones de galaxias enanas al Halo de la Vía Láctea

Simulaciones numéricas de la caída de asociaciones de galaxias enanas al Halo de la Vía Láctea REVISTA DE CIENCIAS, Vol. 6, No. 3 de 2015 Simulaciones numéricas de la caída de asociaciones de galaxias enanas al Halo de la Vía Láctea Numerical simulations of the fall of associations dwarfs galaxies

Más detalles

2 Poblaciones estelares en galaxias del Grupo Local

2 Poblaciones estelares en galaxias del Grupo Local 2 Poblaciones estelares en galaxias del Grupo Local Importancia histórica Amplio rango de tipos morfológicos y masas Diferentes poblaciones estelares que en La Galaxia ( Observación de estrellas individuales

Más detalles

Importancia histórica. Método:

Importancia histórica. Método: 2 Poblaciones estelares en galaxias del Grupo Local Importancia histórica Amplio rango de tipos morfológicos y masas evolución galáctica Diferentes poblaciones estelares que en La Galaxia ( población II?,

Más detalles

CAÍDA DE ASOCIACIONES DE GALAXIAS ENANAS AL HALO DE LA VÍA LÁCTEA

CAÍDA DE ASOCIACIONES DE GALAXIAS ENANAS AL HALO DE LA VÍA LÁCTEA CAÍDA DE ASOCIACIONES DE GALAXIAS ENANAS AL HALO DE LA VÍA LÁCTEA Grupo y área de trabajo Grupo y área de trabajo Grupo y área de trabajo YEYMY DALLANA CAMARGO CAMARGO OMAR ALFONSO BOHORQUEZ PACHECO DIEGO

Más detalles

Estudio de la Formación de Galaxias Enanas Esferoidales Satélites de la Vía Láctea Mediante la Simulación de la Colisión de dos Galaxias

Estudio de la Formación de Galaxias Enanas Esferoidales Satélites de la Vía Láctea Mediante la Simulación de la Colisión de dos Galaxias Estudio de la Formación de Galaxias Enanas Esferoidales Satélites de la Vía Láctea Mediante la Simulación de la Colisión de dos Galaxias Diana Judith Cubillos Jara Universidad Nacional de Colombia Facultad

Más detalles

CÚMULOS Y GALAXIAS. Las Mega estructuras del Universo

CÚMULOS Y GALAXIAS. Las Mega estructuras del Universo CÚMULOS Y GALAXIAS Las Mega estructuras del Universo Introducción Hasta el momento hemos visto los componentes básicos del Universo... Pero, Cómo interactúan estos objetos? Nos afecta a nosotros lo que

Más detalles

AST Temario. Distancias Movimientos y tiempos La Radiación Los Planetas Las Estrellas Las Galaxias El Universo

AST Temario. Distancias Movimientos y tiempos La Radiación Los Planetas Las Estrellas Las Galaxias El Universo AST 0111 Temario Distancias Movimientos y tiempos La Radiación Los Planetas Las Estrellas Las Galaxias El Universo Distribución de Cúmulos Abiertos en la Vía Láctea Distribución de Cúmulos Globulares en

Más detalles

Nuestra galaxia: la Vía Láctea

Nuestra galaxia: la Vía Láctea Nuestra galaxia: la Vía Láctea Las estrellas y los cúmulos de estrellas, el gas y el polvo, rayos cósmicos, radiación, campos magnéticos se agrupan en estructuras denominadas Galaxias. Nosotros formamos

Más detalles

La Distribución de las Estrellas

La Distribución de las Estrellas ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR Recuentos de Estrellas y Cinemática Estelar 1 Dr. César A. Caretta Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato La Distribución de las Estrellas 1 Distancias

Más detalles

Ayudantía 11. Astronomía FIA Ayudante: Felipe Garrido Goicovic

Ayudantía 11. Astronomía FIA Ayudante: Felipe Garrido Goicovic Ayudantía 11 Astronomía FIA 0111 Ayudante: Felipe Garrido Goicovic fagarri1@uc.cl 1.- Remanentes estelares provenientes del colapso nuclear de una supernova, con diámetro ~ 20 km y una inmensa densidad.

Más detalles

Cúmulos globulares. (ω Centauri) por José Bosch

Cúmulos globulares. (ω Centauri) por José Bosch Cúmulos globulares (ω Centauri) por José Bosch 1 Qué es un cúmulo globular? 2 Por qué son tan especiales? 3 Formación de globulares y evolución 4 Edad, tamaños y masas 5 Estructura y diagrama Hertzsprung-

Más detalles

Astronáutica y Vehículos Espaciales

Astronáutica y Vehículos Espaciales Astronáutica y Vehículos Espaciales Mecánica Orbital Básica Rafael Vázquez Valenzuela Departmento de Ingeniería Aeroespacial Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla rvazquez1@us.es 19 de

Más detalles

Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que:

Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que: COORDENADAS POLARES. Algunas veces conviene representar un punto P en el plano por medio de coordenadas polares planas (r, ), donde r se mide desde el origen y es el ángulo entre r y el eje x (ver figura).

Más detalles

ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR

ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR La Evolución de la Vía-Láctea Dr. César A. Caretta Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato escenarios de formación 1 El Colapso monolítico Observaciones:

Más detalles

La destrucción de la galaxia enana de Sagitario

La destrucción de la galaxia enana de Sagitario La destrucción de la galaxia enana de Sagitario La cosmología standard predice que las galaxias enanas son las primeras en formarse en el Universo y que muchas de ellas se fusionan para formar las galaxias

Más detalles

Las Nubes de Magallanes (MC)

Las Nubes de Magallanes (MC) Las Nubes de Magallanes (MC) Más fáciles de estudiar que la Galaxia Compleja evolución galáctica En la secuencia: SMC - LMC - La Galaxia: Luminosidad, masa, [Fe/H], contenido gas (estudio de la variación

Más detalles

PROGRAMA DE CURSO. Código Nombre AS4101 Astrofísica de galaxias Nombre en Inglés Extragalactic Astronomy SCT ,0 1,5 5,5

PROGRAMA DE CURSO. Código Nombre AS4101 Astrofísica de galaxias Nombre en Inglés Extragalactic Astronomy SCT ,0 1,5 5,5 PROGRAMA DE CURSO Código Nombre AS4101 Astrofísica de galaxias Nombre en Inglés Extragalactic Astronomy es Horas de Horas Docencia Horas de Trabajo SCT Docentes Cátedra Auxiliar Personal 6 10 3,0 1,5 5,5

Más detalles

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA COORDINACION DE POSTGRADO.

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA COORDINACION DE POSTGRADO. UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA COORDINACION DE POSTGRADO. Programa: ESPECIALIZACION EN ENSEÑANZA DE LA FISICA. Asignatura: Enseñanza de la Mecánica Clásica.

Más detalles

Física I CIBEX enviar correcciones a:

Física I CIBEX enviar correcciones a: Física I CIBEX - 2017 enviar correcciones a: Departamento de Física - UNLP silva@fisica.unlp.edu.ar Práctica 0: Vectores Figura 1: Componentes de un vector en coordenadas cartesianas Dado un sistema cartesiano

Más detalles

MECÁNICA CLÁSICA CINEMATICA. FAyA Licenciatura en Química Física III año 2006

MECÁNICA CLÁSICA CINEMATICA. FAyA Licenciatura en Química Física III año 2006 Física III año 26 CINEMATICA MECÁNICA CLÁSICA La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, sin tener en cuenta las causas que lo producen. Antes de continuar establezcamos la diferencia entre un

Más detalles

Formación Estelar Jerárquica (II)

Formación Estelar Jerárquica (II) Formación Estelar Jerárquica (II) Emilio J. Alfaro Instituto de Astrofísica de Andalucía IV Escuela Colombiana de Astronomía y Astrofísica Observatorio Astronómico Nacional Universidad Nacional de Colombia

Más detalles

Sistemas Estelares. curso Galaxias. Imágenes y gráficos de apoyo a las clases. Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas

Sistemas Estelares. curso Galaxias. Imágenes y gráficos de apoyo a las clases. Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas Sistemas Estelares curso 2015 Galaxias Imágenes y gráficos de apoyo a las clases Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas Universidad Nacional de La Plata, Argentina Profesor: Dr. Sergio A. Cellone

Más detalles

LAS GALAXIAS Y EL UNIVERSO

LAS GALAXIAS Y EL UNIVERSO LAS GALAXIAS Y EL UNIVERSO Introducción Tour por las Galaxias Distribución de Galaxias en el espacio. Masas de Galaxias y Materia Oscura Formación y Evolución de Galaxias Estructuras de Gran Escala Qué

Más detalles

Más fáciles de estudiar que la Galaxia Compleja evolución galáctica

Más fáciles de estudiar que la Galaxia Compleja evolución galáctica Las Nubes de Magallanes (MC) Más fáciles de estudiar que la Galaxia Compleja evolución galáctica En la secuencia: SMC - LMC - La Galaxia: Luminosidad, masa, [Fe/H], contenido gas (estudio de la variación

Más detalles

Agujeros Negros: los motores centrales de los Núcleos Activos de Galaxias

Agujeros Negros: los motores centrales de los Núcleos Activos de Galaxias Agujeros Negros: los motores centrales de los Núcleos Activos de Galaxias Antxon Alberdi Odriozola Dpto. de Radioastronomía y Estructura Galáctica Instituto de Astrofísica de Andalucía (IAA-CSIC) antxon@iaa.es

Más detalles

Galaxias. CESAR s Booklet

Galaxias. CESAR s Booklet Qué es una galaxia? Figura 1: Una galaxia espiral típica: nuestra Vía Láctea (impresión artística). (Créditos: NASA) Una galaxia es una enorme colección de estrellas y de materia interestelar, que se encuentra

Más detalles

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago Guía de vectores. Vectores En matemática, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo

Más detalles

Poblaciones Estelares en cúmulos y galaxias

Poblaciones Estelares en cúmulos y galaxias Poblaciones Estelares en cúmulos y galaxias Máster en Astrofísica (POPIA) UCM: Javier Gorgas, Nicolás Cardiel y Javier Cenarro UAM: Ángeles Díaz 07/11/2007 Poblaciones Estelares en Cúmulos y Galaxias 1

Más detalles

Cinemática del sólido rígido

Cinemática del sólido rígido Cinemática del sólido rígido Teoría básica para el curso Cinemática del sólido rígido, ejercicios comentados α δ ω B B A A P r B AB A ω α O Ramírez López-Para, Pilar Loizaga Garmendia, Maider López Soto,

Más detalles

DM y DE. Probablemente, los bariones son una componente minoritaria del Universo. DM y DE Pero... DE no es la energía de la DM.

DM y DE. Probablemente, los bariones son una componente minoritaria del Universo. DM y DE Pero... DE no es la energía de la DM. DM y DE Probablemente, los bariones son una componente minoritaria del Universo. DM y DE Pero... DE no es la energía de la DM. Es otra cosa Materia oscura Hay razones científicas y sentimentales para pensar

Más detalles

Cónicas. Clasificación.

Cónicas. Clasificación. Tema 7 Cónicas. Clasificación. Desde el punto de vista algebraico una cónica es una ecuación de segundo grado en las variables x, y. De ese modo, la ecuación general de una cónica viene dada por una expresión

Más detalles

ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR

ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR Colisiones, E.B.A. Dr. César A. Caretta Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato La importancia de los encuentros Vimos como ciertos potenciales sencillos

Más detalles

La fauna galáctica y cosmología

La fauna galáctica y cosmología La fauna galáctica y cosmología Diapasón de Hubble Espirales Elípticas Espirales barradas Lenticulares Irregulares Ir Clasificación morfológica ideada por Hubble (1926) Elípticas y lenticulares se dicen

Más detalles

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Instituto de Física FORMATO DE MICROCURRICULO O PLAN DE ASIGNATURA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Instituto de Física FORMATO DE MICROCURRICULO O PLAN DE ASIGNATURA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Instituto de Física APROBADO CONSEJO DE FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES 30 DE SEPTIEMBRE ACTA 34 DEL DE 2015 FORMATO DE MICROCURRICULO O PLAN DE ASIGNATURA

Más detalles

COMETAS HIPERBOLICOS EN EL SISTEMA SOLAR: CUAL ES SU EXPLICACION?

COMETAS HIPERBOLICOS EN EL SISTEMA SOLAR: CUAL ES SU EXPLICACION? COMETAS HIPERBOLICOS EN EL SISTEMA SOLAR: CUAL ES SU EXPLICACION? Julio A. Fernández Departamento de Astronomía, Facultad de Ciencias, Montevideo, URUGUAY La precisión de las órbitas originales cometarias:

Más detalles

Capítulo V. Valores y vectores propios. Diagonalización de operadores lineales.

Capítulo V. Valores y vectores propios. Diagonalización de operadores lineales. Capítulo V Valores y vectores propios. Diagonalización de operadores lineales. Hemos visto que la aplicaciones lineales de en están definidas a través de una expresión de la forma ; pero esta fórmula puede

Más detalles

Movimiento circular uniforme FUNDAMENTOS DE MECANICA

Movimiento circular uniforme FUNDAMENTOS DE MECANICA Movimiento circular uniforme FUNDAMENTOS DE MECANICA Diego Jimenez, Tania Castillo, Jeisson Vasco, Angie Domínguez, Fernando Urrego, Cristian Bustamante Laboratorio 22 de marzo de 2017 Resumen En la presente

Más detalles

Materia oscura. Eduardo Battaner EFE 2009

Materia oscura. Eduardo Battaner EFE 2009 Materia oscura Eduardo Battaner EFE 2009 Por qué no? Creemos en agujeros negros, neutrinos, machos, planetas... qque serían DM (o casi) Por qué todas las partículas deben interaccionar con la luz? No

Más detalles

Lic. Mónica Oddone. Agosto 2011

Lic. Mónica Oddone. Agosto 2011 Lic. Mónica Oddone Agosto 2011 La charla de hoy... Galaxias Clasificación de Galaxias Satélites Nuestro vecindario Las Nubes Unidades de Distancias 1 unidad astronómica = 1 U.A. = 149.600.000 km. 1 año-luz

Más detalles

Astrofísica " Extragaláctica! INTRODUCCIÓN!

Astrofísica  Extragaláctica! INTRODUCCIÓN! Astrofísica " Extragaláctica! INTRODUCCIÓN! INTRODUCCIÓN Un sistema estelar es un grupo de estrellas ligadas gravitacionalmente. Varian en ~14 ordenes de magnitud en tamaños y masas: desde estrellas binarias

Más detalles

PROGRAMA DE CURSO. Horas de Trabajo Personal ,0 1,5 5,0. Horas de Cátedra

PROGRAMA DE CURSO. Horas de Trabajo Personal ,0 1,5 5,0. Horas de Cátedra Código FI2001 Nombre PROGRAMA DE CURSO Mecánica Nombre en Inglés Mechanics SCT Unidades Docentes Horas de Cátedra Horas Docencia Auxiliar Horas de Trabajo Personal 6 10 3,0 1,5 5,0 Requisitos FI1002: Sistemas

Más detalles

Astronáutica y Vehículos Espaciales

Astronáutica y Vehículos Espaciales Astronáutica y Vehículos Espaciales Mecánica Orbital Básica Rafael Vázquez Valenzuela Departmento de Ingeniería Aeroespacial Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla rvazquez1@us.es 2 de

Más detalles

Cúmulos estelares. Asociados generalmente a regiones HII

Cúmulos estelares. Asociados generalmente a regiones HII Cúmulos estelares Los procesos de formación estelar tienen lugar en las nubes moleculares. Como consecuencia se originan los cúmulos abiertos o galácticos. Asociados generalmente a regiones HII Los cúmulos

Más detalles

CURSOS DE ASTROFÍSICA, DE NOVIEMBRE DE Instituto de Geofísica y Astronomía Calle 212, N 2906 entre 29 y 31, La Coronela,

CURSOS DE ASTROFÍSICA, DE NOVIEMBRE DE Instituto de Geofísica y Astronomía Calle 212, N 2906 entre 29 y 31, La Coronela, CURSOS DE ASTROFÍSICA, 14-25 DE NOVIEMBRE DE 2016 Instituto de Geofísica y Astronomía Calle 212, N 2906 entre 29 y 31, La Coronela, La Lisa, La Habana, Cuba Por : Dominique BALLEREAU Observatorio de París,

Más detalles

Momento Lineal, Momento Angular & Momento Radial

Momento Lineal, Momento Angular & Momento Radial Momento Lineal, Momento Angular & Momento Radial Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina Este trabajo presenta el momento lineal, el momento angular y

Más detalles

Estrellas Binarias. Gerardo Martínez Avilés. Desde que en la ciencia se unificaron la física terrestre y la física de los

Estrellas Binarias. Gerardo Martínez Avilés. Desde que en la ciencia se unificaron la física terrestre y la física de los Estrellas Binarias Gerardo Martínez Avilés Desde que en la ciencia se unificaron la física terrestre y la física de los fenómenos celestes, aproximadamente en el siglo XVII, la astronomía puede considerarse

Más detalles

CÚMULOS DE GALAXIAS! GRUPOS! ESTRUCTURA A GRAN ESCALA!

CÚMULOS DE GALAXIAS! GRUPOS! ESTRUCTURA A GRAN ESCALA! CÚMULOS DE GALAXIAS! GRUPOS! ESTRUCTURA A GRAN ESCALA! Una gran parte de las galaxias se encuentra en grupos y cúmulos! Los grupos y cúmulos se mantienen por gravedad! Propiedades básicas:! Grupos: ~ 3

Más detalles

Introducción: Las galaxias y sus componentes

Introducción: Las galaxias y sus componentes Introducción: Las galaxias y sus componentes Cúmulos de estrellas Nebulosas: Nubes de polvo, residuos de explosiones de estrellas, etc -A principios del siglo XX se creía que nuestra galaxia era todo el

Más detalles

Relatividad. 1 Dinámica en la métrica de Schwarzschild

Relatividad. 1 Dinámica en la métrica de Schwarzschild Relatividad Tarea 8 A entregar: Viernes 2 de diciembre de 2011 1 Dinámica en la métrica de Schwarzschild Una estrella de masa M deforma el espacio-tiempo en su vecindad. Tal deformación está expresada

Más detalles

SISTEMAS ESTELARES. Material didáctico para las clases de Cúmulos Globulares. dictadas por: Dra.. Lilia P. Bassino

SISTEMAS ESTELARES. Material didáctico para las clases de Cúmulos Globulares. dictadas por: Dra.. Lilia P. Bassino SISTEMAS ESTELARES Material didáctico para las clases de Cúmulos Globulares Clases teóricas dictadas por: Dra.. Lilia P. Bassino Características básicas de los cúmulos globulares (CGs) Aspecto regular

Más detalles

Poblaciones Estelares

Poblaciones Estelares Poblaciones Estelares (en galaxias y cúmulos estelares) Curso de doctorado Javier Gorgas,, Javier Cenarro y Nicolás Cardiel 1 Poblaciones Estelares 1. Introducción 2. Evolución estelar Poblaciones Estelares

Más detalles

SOLUCIONARIO GUÍA TÉCNICO PROFESIONAL El universo y el sistema solar

SOLUCIONARIO GUÍA TÉCNICO PROFESIONAL El universo y el sistema solar SOLUCIONARIO GUÍA TÉCNICO PROFESIONAL El universo y el sistema solar SGUICTC028TC32 - A16V1 Solucionario guía El universo y el sistema solar Ítem Alternativa Habilidad 1 B Reconocimiento 2 A Reconocimiento

Más detalles

Masas estelares. Estrellas binarias

Masas estelares. Estrellas binarias Capítulo 7 Masas estelares. Estrellas binarias 7.1. Masas estelares # Masa magnitud fundamental de las estrellas Determina la producción de energía ( ) evolución Constante durante la mayor parte de la

Más detalles

CÚMULOS ABIERTOS O GALÁCTICOS

CÚMULOS ABIERTOS O GALÁCTICOS CÚMULOS ABIERTOS O GALÁCTICOS Si miramos al cielo veremos una banda blanquecina que lo cruza de Norte-Sur, esta banda es la Vía Láctea, con poco que este un poco oscuro y mostremos un poco más de atención

Más detalles

Origen, evolución y posible destino del Universo, III. Prof. Alejandro García Universidad de los Andes 20/02/2010

Origen, evolución y posible destino del Universo, III. Prof. Alejandro García Universidad de los Andes 20/02/2010 Origen, evolución y posible destino del Universo, III Prof. Alejandro García Universidad de los Andes 20/02/2010 Qué es una Galaxia? Qué son Las Galaxias? Las galaxias son acumulaciones enormes de estrellas,,gases

Más detalles

Curso sobre el Sistema Solar: Lección nro. 6

Curso sobre el Sistema Solar: Lección nro. 6 Curso sobre el Sistema Solar: Lección nro. 6 c10) Planetas Enanos: Plutón y otros. Según Wikipedia, cotejado y además tabla corregida por el autor: Planeta enano es el término creado por la Unión Astronómica

Más detalles

Ingeniería de Sistemas Espaciales

Ingeniería de Sistemas Espaciales Ingeniería de Sistemas Espaciales Aplicado a una misión CanSat Introducción a la mecánica orbital 2 Objetivos: Describir y explicar los elementos orbitales clásicos (EOCs). Usar los EOCs para describir

Más detalles

Temario. Distancias Movimientos y tiempos La Radiación Los Planetas Las Estrellas Las Galaxias El Universo

Temario. Distancias Movimientos y tiempos La Radiación Los Planetas Las Estrellas Las Galaxias El Universo Temario Distancias Movimientos y tiempos La Radiación Los Planetas Las Estrellas Las Galaxias El Universo Gas en la Vía Láctea El gas (nubes de HI, HII, CO) y polvo se mueven de manera más ordenada que

Más detalles

Estudios Observacionales en el Halo

Estudios Observacionales en el Halo Estudios Observacionales en el Halo Estrellas locales con propiedades propias del halo (mov propios grandes, excesos ultravioleta) Cuentas de estrellas Trazador de la población del halo Cúmulos Globulares

Más detalles

MODELACION EN VARIABLES DE ESTADO

MODELACION EN VARIABLES DE ESTADO CAPÍTULO VIII INGENIERÍA DE SISTEMAS I MODELACION EN VARIABLES DE ESTADO 8.1. DEFINICIONES Estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables de modo que el conocimiento de

Más detalles

Simulación de colisión de dos galaxias para estudiar la formación de las galaxias enanas esferoidales satélites de la Vía Láctea

Simulación de colisión de dos galaxias para estudiar la formación de las galaxias enanas esferoidales satélites de la Vía Láctea Simulación de colisión de dos galaxias para estudiar la formación de las galaxias enanas esferoidales satélites de la Vía Láctea Omar Alfonso Bohórquez Pacheco Universidad Nacional de Colombia Facultad

Más detalles

Introducción Polvo interestelar Gas interestelar. Sistemas Estelares. curso Medio interestelar. Imágenes y gráficos de apoyo a las clases

Introducción Polvo interestelar Gas interestelar. Sistemas Estelares. curso Medio interestelar. Imágenes y gráficos de apoyo a las clases Sistemas Estelares curso 2016 Medio interestelar Imágenes y gráficos de apoyo a las clases Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas Universidad Nacional de La Plata, Argentina Profesor Asociado:

Más detalles

Una nueva vision de los Cúmulos Globulares

Una nueva vision de los Cúmulos Globulares Una nueva vision de los Cúmulos Globulares Dr. Oscar Mario Martinez Bravo FCFM-BUAP Seminario del Cuerpo de Gravitacion, Particulas y Campos FCFM-BUAP " Cuando el grupo esta formado por mas de una docena

Más detalles

ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR

ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR Potencial Gravitacional Dr. César A. Caretta Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato Modelos de Potenciales Gravitacionales Estamos interesados en sistemas

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es

Más detalles

Estudio del Movimiento de Partículas Cargadas en Campos Electromagnéticos

Estudio del Movimiento de Partículas Cargadas en Campos Electromagnéticos Estudio del Movimiento de Partículas Cargadas en Campos Electromagnéticos A. Peña *, J.J. Sandoval ** Universidad Central, Universidad Santo Tomas 4 de diciembre de 14 Resumen Se muestra la solución analítica

Más detalles

Grandes estructuras Galácticas

Grandes estructuras Galácticas Capítulo Grandes estructuras Galácticas Empezaremos nuestro estudio de la Vía Láctea con una descripción de sus principales macro-estructuras, y de las principales características de cada una. También

Más detalles

Dinámica de una partícula

Dinámica de una partícula Dinámica de una partícula W. Barreto Junio, 2008. I. INTRODUCCIÓN La cinemática permite la descripción del movimiento per se. Pero por qué los cuerpos se mueven? por qué describen trayectorias tan específicas?

Más detalles

Webpage: Departamento de Física Universidad de Sonora

Webpage: Departamento de Física Universidad de Sonora Mecánica y fluidos Webpage: http://paginas.fisica.uson.mx/qb 2007 Departamento de Física Universidad de Sonora Temario III.- VECTORES. 1. Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores. 2.

Más detalles

Johan H. Knapen, Instituto de Astrofísica de Canarias, La Laguna, Tenerife

Johan H. Knapen, Instituto de Astrofísica de Canarias, La Laguna, Tenerife Las galaxias barradas Johan H. Knapen, Instituto de Astrofísica de Canarias, 38200 La Laguna, Tenerife Introducción Las estrellas forman parte de galaxias, y nuestra estrella, el Sol, forma parte de nuestra

Más detalles

UNIDAD I. EL MUNDO EN QUE VIVIMOS

UNIDAD I. EL MUNDO EN QUE VIVIMOS ÍNDICE UNIDAD I. EL MUNDO EN QUE VIVIMOS Capítulo 1. Estructura de la materia 3 1-1. La materia, 3. 1-2. Los elementos químicos, 3. 1-3. Atomos, 5. 1-4. Isótopos, 7. 1-5. Moléculas, 8. 1-6. Partículas

Más detalles

Momento angular de una partícula. Momento angular de un sólido rígido

Momento angular de una partícula. Momento angular de un sólido rígido Momento angular de una partícula Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv L=r mv Momento angular

Más detalles

Probando el corrector de coma (NGC2903 y M104)

Probando el corrector de coma (NGC2903 y M104) Probando el corrector de coma (NGC2903 y M104) Autor: Joan Josep Isach Cogollos. Por fin, después de un año y poco, he adquirido un accesorio fundamental para poder hacer astro-fotografía con mi telescopio

Más detalles

nuestro lugar en el universo

nuestro lugar en el universo nuestro lugar en el universo Si al mirar el cielo nocturno notamos una franja blanquecina que lo atraviesa, estaremos observando la Vía Láctea. Desde nuestra perspectiva, la galaxia en la cual nos encontramos

Más detalles

Galaxia espiral Messier 31 (2.5 millones de años luz=775 kpc)

Galaxia espiral Messier 31 (2.5 millones de años luz=775 kpc) Galaxia espiral Messier 31 (2.5 millones de años luz=775 kpc) galaxias espirales barradas y la nuestra? Como sabemos cómo es, si estamos dentro? imagen de la Vía Láctea vista desde el hemisferio sur Herschel

Más detalles

PROGRAMA ANALÍTICO. Sigla: FIS 137 EVARISTO MAMANI CARLO Semestre: 1/2019 Área Curricular:

PROGRAMA ANALÍTICO. Sigla: FIS 137 EVARISTO MAMANI CARLO Semestre: 1/2019 Área Curricular: PROGRAMA ANALÍTICO Asignatura: FISICA 1 (MATEMÁTICA) Sigla: FIS 137 Docente: EVARISTO MAMANI CARLO Semestre: 1/2019 Área Curricular: Física Modalidad: Semestral Nivel semestral: Tercer Semestre, Ciclo

Más detalles

Sección A Completar la casilla con V o F (Verdadero o Falso) según corresponda.

Sección A Completar la casilla con V o F (Verdadero o Falso) según corresponda. Docente/Tutor: Establecimiento Educativo: _ SEGUNDO NIVEL: Examen para alumnos de 4 to año y años superiores. Sección A Completar la casilla con V o F (Verdadero o Falso) según corresponda. A.1) Los elementos

Más detalles

Ecuaciones de Movimiento.

Ecuaciones de Movimiento. Capítulo 4 Ecuaciones de Movimiento. 4.1. Coordenadas esféricas 4.1.1. Función de Lagrange Para hallar las ecuaciones de movimiento del sistema vamos a usar la formulación lagrangiana. Para esto calculamos

Más detalles

tradicionalmente se conocen como estrellas variables aquellas cuyo brillo varía con el tiempo

tradicionalmente se conocen como estrellas variables aquellas cuyo brillo varía con el tiempo estrellas variables tradicionalmente se conocen como estrellas variables aquellas cuyo brillo varía con el tiempo actualmente también se llaman estrellas variables aquellas estrellas que muestran variación

Más detalles

PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA Capítulo 3 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA 3.1 Introducción En el desarrollo de este tema, cuyo objeto de estudio son los principios de la dinámica, comenzaremos describiendo las causas del movimiento

Más detalles

Primera ley Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos

Primera ley Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos La teoría de gravitación universal. Breve introducción sobre la evolución de los modelos del movimiento planetario. Desde el principio de los tiempos, los Hombres han tratado de explicar el movimiento

Más detalles

1.- Álgebra de números complejos.

1.- Álgebra de números complejos. .- Álgebra de números complejos. a) Definición y representación geométrica. b) Sumas y productos de números complejos. c) Vectores y módulos en el plano complejo. d) Representación en forma exponencial.

Más detalles

SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL El universo y el sistema solar

SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL El universo y el sistema solar SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL El universo y el sistema solar SGUICES028CB32-A16V1 Solucionario guía El universo y el sistema solar Ítem Alternativa Habilidad 1 B Reconocimiento 2 A Reconocimiento 3

Más detalles

Astronomía. Ayudantía 13 Prof. Jorge Cuadra Ayudante: Paulina González

Astronomía. Ayudantía 13 Prof. Jorge Cuadra Ayudante: Paulina González Astronomía Ayudantía 13 Prof. Jorge Cuadra Ayudante: Paulina González 1.- Los brazos espirales en una galaxia son delineados por: a) Enanas blancas. b) Estrellas tipo O y B. c) Estrellas de tipo solar.

Más detalles

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN APROXIMADA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN APROXIMADA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN APROXIMADA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO 1. Objetivo El objetivo de esta aplicación es ilustrar cómo se pueden integrar las ecuaciones diferenciales

Más detalles

El primer paso para investigar la evolución de galaxias es comprender las propiedades actuales de esas galaxias. Galaxias Elípticas

El primer paso para investigar la evolución de galaxias es comprender las propiedades actuales de esas galaxias. Galaxias Elípticas El primer paso para investigar la evolución de galaxias es comprender las propiedades actuales de esas galaxias. Galaxias Elípticas Familia que agrupa varias clases de galaxias cd: masivas y luminosas,

Más detalles

Introducción a las Ciencias de la Tierra y el Espacio II 2011 (www.astronomia.edu.uy/cte2) Práctica Nro. 3. Materia oscura del halo galáctico NOMBRE:

Introducción a las Ciencias de la Tierra y el Espacio II 2011 (www.astronomia.edu.uy/cte2) Práctica Nro. 3. Materia oscura del halo galáctico NOMBRE: Práctica Nro. 3 Materia oscura del halo galáctico NOMBRE: FECHA DE ENTREGA: Objetivos Estimaremos la masa de la galaxia NGC 2742 por dos métodos diferentes: uno basado en la curva de rotación de la galaxia

Más detalles

Fundamentos de Cinemática.

Fundamentos de Cinemática. Fundamentos de Cinemática. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx Estas

Más detalles

Taller de Astronomía en Ciencias del Mundo Contemporáneo. Cúmulos estelares. investigación

Taller de Astronomía en Ciencias del Mundo Contemporáneo. Cúmulos estelares. investigación Taller de Astronomía en Ciencias del Mundo Contemporáneo 5. Cúmulos estelares investigación Autoras: Ana Ulla Miguel y Luisa Blanco Fernández Cúmulo estelar 1. Definición Un cúmulo estelar es un conjunto

Más detalles

Relatividad. Dinámica relativista de la partícula libre

Relatividad. Dinámica relativista de la partícula libre Relatividad Tarea 3 A entregar: Viernes 23 de septiembre de 2011 Esta tarea es para complementar el estudio de la dinámica relativista de una partícula libre. Lea y estudie estas notas y resuelva los problemas

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA UNIDAD III. HIDROCINEMÁTICA Introducción. La hidrocinemática o cinemática de los líquidos se ocupa del estudio de las partículas que integran

Más detalles

Historia. Resolvió estrellas en algunas nebulosas: Universos isla Pero 1790 nebulosa planetaria: algunas nebulosas no estrellas

Historia. Resolvió estrellas en algunas nebulosas: Universos isla Pero 1790 nebulosa planetaria: algunas nebulosas no estrellas Historia Antigüedad: Nubes de Magallanes y Andrómeda Con otras fuentes difusas (nebulosas) C. Messier (1781): catálogo s. XVII: Universos isla W. Herschel (s. XVIII): Resolvió estrellas en algunas nebulosas:

Más detalles

La luz difusa en cúmulos galácticos

La luz difusa en cúmulos galácticos La luz difusa en cúmulos galácticos Las galaxias no aparecen aisladas en el Universo, sino que tienden a agruparse en grandes cúmulos. Uno de ellos, el cúmulo de Virgo, contiene al menos 2.500 galaxias

Más detalles

OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA 05/08/2016 CÚMULOS GLOBULARES

OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA 05/08/2016 CÚMULOS GLOBULARES CÚMULOS GLOBULARES Si miramos al cielo veremos una banda blanquecina que lo cruza de Norte-Sur, esta banda es la Vía Láctea, con poco que este un poco oscuro y mostremos un poco más de atención a dicha

Más detalles

1. Los números reales. 2. Representación. 3. Densidad de los números racionales. 4. Propiedades de los números reales

1. Los números reales. 2. Representación. 3. Densidad de los números racionales. 4. Propiedades de los números reales EJES ARTICULADORES Y PRODUCTIVOS DEL AREA SISTEMA DE CONOCIMIENTOS GRADO: 10 11 1. Los números reales 1. Desigualdades. 2. Representación 2. Propiedades. 3. Densidad de los números racionales 4. Propiedades

Más detalles