ISSN MOMENTO. Revista de Física. Número 38 Junio, Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia

Transcripción

1 ISSN MOMENTO Revista de Física Número 38 Junio, 2009 Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia

2 MOMENTO Revista de Física Publicación semestral del Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia MOMENTO publica artículos de divulgación y revisión acerca del estado actual de los problemas más activos de la física, tales como: revisión de problemas actuales, física contemporánea, instrumentos y métodos de investigación, notas metodológicas, historia de la física, epistemología y losofía de la física, notas biográcas, políticas académicas relacionadas directamente con la física. MOMENTO también publica artículos invitados de colegas que se hayan destacado tanto por su labor investigativa como por su interés en la divulgación de sus resultados. MOMENTO se puede recibir: a través de una suscripción anual (2 números) de $ a través de canje con publicaciones similares

3 ISSN MOMENTO Revista de Física Número 38 Junio, 2009 Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia Facultad de Ciencias: Decano: Departamento de Física: Director: Editor: Consejo Editorial: Ignacio Mantilla Anderson Dussan Álvaro Mariño Catalina Ramírez Astrid Baquero Miguel Ardila Ramiro Cardona Comités Cientícos Nacional: Roberto Martínez M. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá Oswaldo Morán C. Universidad Nacional de Colombia, Medellín Internacional: María Teresa Malachevsky. Centro atómico, CNEA, Argentina Pablo Hernández G. Depto. de Electricidad y Electrónica, Universidad de Valladolid, España momento fcbog@unal.edu.co

4 Esta edición recibió el apoyo económico de: ISSN Departamento de Física y Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Armada digital: Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Portada: Año Internacional de la Astronomía, Unesco Diagramación en LA T EX: Nelson David Pérez García ndperezg@unal.edu.co Preprensa y prensa: Proceditor ltda. Calle 1C No.27 A - 01 Teléfonos: Fax: ext. 102 Bogotá, D.C., Colombia proceditor@etb.net.co

5 MOMENTO 38 Junio, 2009 A. Casallas-Lagos, D.J. Cubillos-Jara, R. Casas-Miranda Galaxias Enanas del Grupo Local... 1 J. G. Portilla, E. Brieva Aplicación de Series de Lie al Problema de los Dos Cuerpos O. Rodríguez-León Superconductores de alta Temperatura Crítica a base de Hierro J. C. González N., O. Simbaqueva F. Evolución del arsenal cientíco para la vigilancia de la capa de Ozono... 50

6

7 momento Revista de Física, No 38, Junio de Galaxias Enanas del Grupo Local A. Casallas Lagos, D. J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Grupo de Astrofísica, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. Resumen Las galaxias satélite de la Vía Láctea son de especial importancia para el estudio de la formación y evolución de galaxias, así como para el estudio de la materia oscura. En este articulo de revisión se presentan algunas propiedades estructurales del Grupo Local y de las galaxias enanas esferoidales que componen este sistema, con especial énfasis en las galaxias satélite de la Vía Láctea y su distribución espacial en el disco de satélites. Adicionalmente se presentan los estudios recientes más relevantes relacionados con el problema de la formación del disco de satélites de la Vía Láctea. Palabras claves: Vía Láctea, Grupo Local, galaxias enanas, disco de satélites. Abstract The satellite galaxies of the Milky Way are very important both for the studies of the formation and evolution of galaxies and for the research on the dark matter problem. In the present review paper some structural properties of the Local Group, as well as of the dwarf spheroidal galaxies that compose this astrophysical system are presented. Special emphasis is paid to the satellite galaxies of the Milky Way and their spatial distribution on the disk of satellites (DoS). Furthermore, the more relevant recent studies related to the formation of the disk of satellites of the Milky Way are mentioned. Keywords: Milky Way, Local Group, dwarf galaxies, disk of satellites. R. A. Casas Miranda: racasasm@unal.edu.co

8 2 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda 1. Introducción A escalas astronómicas uno de los sistemas físicos más relevantes a la hora de describir la evolución dinámica y estructural del universo son las galaxias. En particular, pequeñas agrupaciones 1 poco luminosas denominadas galaxias enanas proveen información valiosa acerca de la constitución actual del universo [13, 14, 15, 18]. Observacionalmente es un hecho bien conocido [1] que las galaxias interactúan primordialmente a traves de la gravitación dando origen a grandes grupos conocidos como cúmulos de galaxias. Un grupo de especial importancia para nosotros lo constituye el conjunto de galaxias interactuantes en el cual se encuentra inmersa la Vía Láctea. Este grupo, denominado Grupo Local, está dominado dinámicamente por dos galaxias espirales barradas gigantes [4], la recientemente mencionada Via Láctea y la Galaxia de Andromeda (M31), alrededor de las cuales orbitan una serie de galaxias menores o galaxias satélite. Debido a su cercanía las galaxias satélite de la Vía Láctea representan un excelente laboratorio para el estudio de la formación y evolución de galaxias y el posible contenido de materia oscura a escala galáctica. A continuación se presenta una revisión acerca de las galaxias satélite del Grupo Local y en particular de la Vía Láctea. 2. Propiedades Estructurales del Grupo local En esta sección se introducen algunas de las principales propiedades estructurales del grupo local y de las galaxias enanas que lo componen, prestándo especial atención a los parámetros de selección que permiten detectar nuevos miembros potenciales de este cúmulo. Para 1971 la población total de galaxias asociadas al grupo local constaba de 14 miembros [8]. Con el desarrollo progresivo de los instrumentos de detección astronómica la población de enanas se ha incrementado a cerca de 40 galaxias claramente identificables 1 Pequeñas en comparación con una galaxia como la Vía Láctea o Andrómeda

9 Galaxias Enanas del Grupo Local 3 [13]. Sin embargo, el número exacto de galaxias que componen el grupo local permanece aún sin establecerse [8, 13, 18, 23]. Dada la dificultad observacional que se presenta al intentar detectar nuevas galaxias enanas pertenecientes al Grupo Local, durante la última década se han incorporado nuevas técnicas analíticas que tienen como propósito caracterizar las propiedades de galaxias que podrían ser miembros potenciales de este grupo [13, 14, 17, 18]. A continuación se señalarán algunos de los parámetros de selección usados para determinar si una galaxia recién descubierta puede ser considerada miembro del Grupo Local Morfología Los parámetros morfológicos, siguiendo la secuencia de Hubble, desempeñan un papel importante en la caracterización de las galaxias que podrían ser consideradas como miembros del Grupo Local. Aunque no hay una morfología estándar asociada a los miembros del Grupo Local [13, 14] es común identificar galaxias enanas de tipo irregular (dirr) y esferoidales (dsph) [13]. Abundante evidencia observacional sugiere que las galaxias enanas del grupo local experimentan una transición morfológica de tipo irregular a esferoidal a través del medio interestelar de tipo I [13]. Esto indica que la población de galaxias jóvenes manifiesta una morfología irregular; mientras que las galaxias más antiguas exhiben una morfología esferoidal Dinámica Las velocidades heliocéntricas observadas en las galaxias del Grupo Local tienen valores característicos entre -400 km/s y 400 km/s [13]. A partir de los valores relacionados con estas velocidades es posible estimar la masa del grupo local en M GL = 3, M y su radio en R GL = 1,5Mpc [18]. Con base en las posiciones y velocidades heliocéntricas de las galaxias del Grupo Local es posible determinar el rango de velocidades posibles de una galaxia dada, de posición conocida, para que ésta pueda considerarse perteneciente al Grupo Local.

10 4 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda 2.3. Distribución Espacial Es un hecho bien conocido que las galaxias enanas del grupo local tienden a acumularse y formar subgrupos [1, 4, 13]. Un buen ejemplo de ello corresponde al subgrupo conformado por Andrómeda, M32, NGC205, M33, NGC147 y NGC185 [2]. En la figura 1 se muestra un mapa esquemático de las galaxias del grupo local en coordenadas galácticas. Allí se pueden apreciar la Vía Láctea con algunos de sus satélites, Andrómeda con algunos de sus satélites y otras galaxias enanas aisladas como Tucana y Antlia. Con base en una proyección estereográfica del Grupo Local realizada por Karashentsev [9] a través de la cual se evidencian algunas acumulaciones de galaxias enanas cerca de las galaxias dominantes del grupo, Mateo [13] estableció un diagrama comparativo entre la densidad de galaxias observadas y una distribución uniforme de 40 cuerpos para el grupo local y de 12 cuerpos para la Vía Láctea. Los resultados obtenidos por Mateo revelan que hasta el momento hay un número inferior de galaxias detectadas en comparación con las predicciones teóricas. En particular, se espera que el número de galaxias satélite de la Vía Láctea sea muy superior al detectado hasta ahora Historias de Evolución Química Las galaxias enanas del grupo local tienden a presentar bajas metalicidades [13]. Así las galaxias enanas esferoidales de baja luminosidad, inmersas en el grupo local, representan unejemplo de galaxias que están principalmente compuestas por materiales primordiales [4, 5]. Es importante mencionar que las características de las galaxias satélite mencionadas anteriormente estos no son los únicos criterios de selección aplicables a galaxias que pretenden catalogarse como miembros del grupo local. Actualmente la medición de parámetros espectroscópicos [13, 15] y fotométricos [13, 14] constituye un escenario propicio para el estudio estructural del grupo local. En la sección 4 se evaluará una característica adicional para examinar y catalogar galaxias en un marco geométrico dado por el disco de

11 Galaxias Enanas del Grupo Local 5 Figura 1. Ubicación de las galaxias del Grupo Local con respecto a la Vía Láctea. El ancho de la imagen corresponde a años luz. Las líneas continuas indican que el objeto se encuentra arriba del plano galáctico, mientras que las líneas punteadas indican objetos por debajo del plano galáctico. Imagen creada por Richard Powell y usada bajo la licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 2.5 License satélites. En el cuadro 1 se agrupan algunas de las galaxias representativas del grupo local. Para mayor información ver [13]. 3. Galaxias Satélite de la Vía Láctea Como se mencionó anteriormente la dinámica del grupo local está dominada por la Vía Láctea y la galaxia de Andrómeda. Estas galaxias exhiben un conjunto de galaxias menores ligadas por interacción gravitacional denominadas galáxias satélite. En esta sección se enumeran las galaxias satélite de la Vía Láctea y de Andrómeda, señalando algunas de sus principales propiedades [18]. Se hace especial énfasis en las galaxias satélite de la Vía Láctea.

12 6 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Galaxia Tipo Subgrupo Andrómeda (M31) SbI Andrómeda M32 E2 Andrómeda Galaxia del Triángulo (M33) ScII Andrómeda Vía Láctea Sbc Vía Láctea Pequeña Nube de Magallanes (SMC) Irr Vía Láctea Gran Nube de Magallanes (LMC) Irr Vía Láctea Tucana dsph Cuadro 1. Algunas galaxias representativas del grupo local, el subgrupo hace referencia a la galaxia dominante con la cual la interacción es mayor. Las galaxias enanas del grupo local junto con las galaxias satélite de la Vía Láctea y de Andrómeda ofrecen un marco de referencia único para estudiar de manera detallada las propiedades más comunes de las galaxias que componen el universo. En particular se sabe actualmente que la Vía Láctea cuenta con 17 galaxias enanas satélite de tipo esferoidal (dsph) y dos irregulares (dirr) [18]. En el cuadro 2 se muestra el sistema de satélites de la Vía Láctea junto con su diámetro medido en pc. Por otra parte se conoce actualmente que la galaxia de Andrómeda posee 14 enanas esferoidales como satélites [13] (Ver cuadro 3). 4. El Disco de Satélites Desde hace más de tres décadas es un hecho observacional bien conocido que las galaxias satélite más luminosas de la Vía Láctea presentan una distribución espacial anisotrópica [2, 18]. La exploración de este fenómeno reveló que el sistema de satélites asociado a la Vía Láctea obedece a una distribución espacial mediada por un plano virtual denominado el disco de satélites [14, 15, 17, 18]. Este disco es una construcción geométrica a través de la cual las enanas satélite de la Vía Láctea orbitan. Metz, Kroupa y Jerjen [15]demostraron con base en datos observacionales que el disco de satélites se encuentra inclinado 67,3 grados respecto al plano galáctico inducido por el disco de la Vía Láctea.

13 Galaxias Enanas del Grupo Local 7 Galaxia Diámetro Sagitario (Sgr) Ursa Major (UMaII) Coma Berenices (CBe) Gran Nube de Magallanes* (LMC) Pequeña Nube de Magallanes* (SMC) Bootes (Boo) Ursa Minor (UMi) Sculptor (Scl) Draco (Dra) Sextans (Sex) Ursa Major I (UMaI) Carina (Car) Fornax (For) Hercules (Her) Canes Venatici II (CVnII) Leo IV Leo II Canes Venatici I (CVnI) Leo I Cuadro 2. Sistema de galaxias satélite para la vía láctea, estás galaxias presentan morfología esferoidal (dsph) con excepción de las nubes de Magallanes (*) cuya morfología es irregular (dirr). Los diámetros están dados en pc. A partir del disco de satélites es posible establecer parámetros de selección sobre éste último que modelen las condiciones básicas para obtener posibles nuevos candidatos en el sistema de satélites ya establecido. El problema consiste en definir una función de distribución que mida la probabilidad de encontrar galaxias satélite en las vecindades del disco [18], o de otra manera, definir un límite espacial a partir del cual la certeza de encontrar sistemas de satélites sea nula para un plano de referencia dado. La estrategia anteriormente descrita reduce las opciones espaciales de encontrar galaxias a regiones que están en correspondencia directa con el disco de satélites.

14 8 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda Galaxia Distancia M M NGC NGC Andrómeda I 2.43 Andrómeda II 2.13 Andrómeda III 2.44 Andrómeda V 2.52 Pegasus 2.55 Casiopea 2.49 Andrómeda VIII 2.9 Andrómeda IX 2.5 Andrómeda X 2.9 Triangulum (M33) 2.59 Cuadro 3. Sistema de satélites para la galaxia de Andrómeda. Las distancias corresponden a la ubicación respecto al sol medida en millones de años luz. 5. Nuevas Galáxias Satélite En los últimos años más galaxias han entrado a formar parte del sistema de satélites de la Vía Láctea [14, 15, 17, 18] y la lista tiende a extenderse proporcionalmente de acuerdo con los avances en los dispositivos de observación y medición astronómicos. Durante los últimos cuatro años un nuevo conjunto de galáxias satélite ha sido detectado alrededor de la Via Láctea a través del catálogo generado por SDSS 2 [18]. Estas galaxias se caracterizan por tener muy poca luminosidad comparadas con sus compañeras más luminosas y son denominadas galaxias enanas ultra ténues (Ultra Faint Dwarf Galaxies - UFDG). El catálogo fotométrico SDDS-DR6 ha revelado que estas nuevas galaxias enanas obedecen también a una distribución espacial dada por el disco de satélites. En el cuadro 4 se 2 El catálogo de galáxias SDSS (Sloan Digital Sky Survey) se encarga de recopilar y detectar imágenes de objetos astronómicos a gran resolución. Durante el último conjunto de mediciones se obtuvo el espectro de más de 675,000 galaxias, 90,000 quasars y 185,000 estrellas.

15 Galaxias Enanas del Grupo Local 9 enumeran las siete galaxias (UFDG) reportadas en los últimos tres años y cuatro candidatos adicionales (UMa II, Wilman I, CBe, Boo II) cuya incorporación a este nuevo conjunto de satélites está aún por definirse. Galaxia l [ ] b [ ] R [kpc] d DoS [kpc] UMa II Wil CBe Boo II Boo UMa Her CVn II Leo IV Leo V CVn Cuadro 4. Coordenadas galactocéntricas de las UFDG y los posibles candidatos a formar parte del sistema de satélites de la Vía Láctea [16] Con la aparición de las nuevas galaxias enanas de la Vía Láctea y su automática incorporación al disco de satélites han tomado vigencia el estudio del disco de satélites y la posible reestructuración de los miembros asociados al mismo, pues aún permanece sin establecerse el número exacto de galaxias asociadas al sistema de satélites de la Galaxia. Por otra parte, a partir del estudio del disco de satélites es posible encontrar de manera concreta (i.e. con parámetros físicos y geométricos) los rangos galácticos que permiten definir nuevas galaxias satélite. Estudios realizados con base en modelos con materia oscura fría (CDM) revelan que hay un déficit de galaxias satélite después de 100 kpc desde la Vía Láctea. 6. Estado Actual del Problema de Formación A continuación se mencionan, a modo de contextualización histórica, los resultados mas relevantes que han enriquecido la investigación acerca de la formación del Grupo Local y en particular de las galaxias enanas satélite de la Vía Láctea.

16 10 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda En 1998 Mateo [13] contempla la posibilidad de que el halo galáctico se hubiese formado por la acreción de galaxias enanas esferoidales basándose en la comparación de poblaciones estelares, cúmulos globulares y contenido de materia oscura de las galaxias enanas y del halo. En el 2000 Okazaki y Taniguchi [19], adoptando un escenario de interacción galáctica mostraron que si solo unas pocas galaxias enanas se forman en cada colisión galáctica es posible explicar las relaciones entre la morfología y la densidad tanto de las galaxias enanas como de las gigantes. Posteriormente Grebel [7] discute las propiedades de las galaxias enanas cercanas, encontrando variaciones en las historias de formación estelar para luego concluir que los factores determinantes en dicha evolución son las masas de las galaxias y el medio interestelar. También analiza, entre otras cosas, los tipos de galaxias enanas desde las espirales, pasando por las enanas de marea hasta las esferoidales y el cómo una galaxia enana de algún tipo morfológico puede evolucionar a otro. Durante la primera década del siglo XXI Ricotti y Gnedin [20], considerando las historias de formación de las enanas en el grupo local y comparando sus propiedades con las de galaxias simuladas que formaron todas sus estrellas antes de la reionización cosmológica, proponen que las galaxias enanas del grupo local y todas las otras enanas del universo se formaron en tres diferentes trayectorias de evolución, a saber: fósiles verdaderos que formaron la mayor parte de sus estrellas en la época de pre-reionización del universo y tuvieron poca formación estelar; fósiles contaminados que comienzan como fósiles verdaderos, pero tienen un episodio importante de formación de estrellas en el que continúan acretando masa; y sobrevivientes que comenzaron a formar estrellas después de la reionización. Estos autores encontraron también que las galaxias simuladas son muy parecidas a un subgrupo de enanas del grupo local. Simultáneamente Mashchenko y colaboradores [12] proponen un modelo de formación para las galaxias esferoidales enanas en el cual se supone que las estrellas se formaron a partir de un gas isotérmico y en equilibrio hidrostático dentro de halos de materia oscura extendidos, encontrando que dicho modelo describe adecuadamente las

17 Galaxias Enanas del Grupo Local 11 propiedades de tres galaxias esferoidales satélite (Draco, Sculptor y Carina). En 2006 Tully y colaboradores [22] identificaron cinco asociaciones de galaxias enanas que presentan similitudes con las enanas del grupo local. Estos autores realizaron una revisión de los grupos y asociaciones de galaxias mas cercanos identificados por medio del catálogo NGB, analizando sus masas y localización. En el 2008 Salvadori y colaboradores [21] proponen un escenario para la formación y evolución de galaxias enanas esferoidales satélites de la Vía Láctea, en el que se plantea que las dsph representan objetos fósiles que entraron en equilibrio virial a z = 7,2±0,7 (es decir, en la era de pre-reionización), usando una versión semi analítica del código GAMETE, donde aparte del modelo analizan las propiedades observacionales como metalicidad, diagramas de color magnitud y contenido de materia oscura entre otras. Durante el mismo año, Casas Miranda y colaboradores [3], estudian la evolución de satélites pertenecientes a una galaxia como la Vía Láctea usando simulaciones de N-cuerpos mostrando preliminarmente la región de condiciones iniciales que permite la formación de remanentes que podrían ser interpretados como galaxias enanas esferoidales de la Vía Láctea carentes de materia oscura. Al mismo tiempo D Onghia y Lake [6] suponen un modelo en el que la gran nube de Magallanes es el miembro más grande de un grupo de galaxias enanas que fue acretado dentro del halo de la Vía Láctea, dando explicación a como las nuevas enanas formadas dentro de este grupo (gran Magallánico) brillan más que las que no se crearon dentro y a como las galaxias enanas aisladas podrían llegar a tener compañeras. Algunos autores [10, 11] sostienen que los integrantes del sistema de satélites de la Vía Láctea no ingresaron de manera individual y aleatoria en el halo de nuestra Galaxia. En lugar de ello, argumentan que si una o dos agrupaciones cayeron en el halo la Vía Láctea esto podría explicar la distribución del sistema de satélites a través del disco de satélites [15, 18] hecho que permanece sin explicación y ha sido únicamente observado en las galaxias dominantes del grupo local. Otros autores [4, 5] sugieren que la distribución inducida por el disco de satélites fue generada por la colisión de dos galaxias pertenecientes al grupo local y que la geometría del disco de satélites

18 12 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda es causada por fuerzas de marea que aparecieron como efecto de la colisión. 7. Anotaciones Finales El Grupo Local es un área fértil para la investigación en Astrofísica. El problema de la materia oscura en las galaxias enanas se encuentra actualmente en el centro de la discusión académica, así como el problema de la formación del disco de satélites de la Vía Láctea, y por ende el origen de las galaxias satélite. Este problema ha sido objeto de discusiones en diversos campos de aplicación del conocimiento astrofísico, astronómico y cosmológico. En particular, durante los últimos años el escenario propuesto para estudiar las galaxias enanas satélite se ubica en la forma en la que estas galáxias entraron en el halo de la Vía Láctea. Desde el punto de vista astrofísico y cosmológico el problema de la conformación del disco de satélites daría respuesta a preguntas como Qué parámetros definen la selección de galaxias que podrían ser eventualmente miembros del sistema de satélites? o por otra parte bajo qué condiciones espaciales se definen posibles progenitores asociados a las galaxias satélite?, además de contribuir al avance del conocimiento en el área de formación y evolución de galaxias en general. Referencias [1] M. Aaronson. The older stellar population of dwarf galaxies. In D. Kunth, T. X. Thuan, J. Tran Thanh Van, J. Lequeux, & J. Audouze, editor, Star-forming Dwarf Galaxies and Related Objects, pages , [2] L. A. Anchordoqui. Lectures on Astronomy, Astrophysics, and Cosmology. ArXiv e-prints, June [3] R. Casas-Miranda, V. Arias, Y. Camargo, and K. Pena. Revista Colombiana de Física, 40 1:1, 2008.

19 Galaxias Enanas del Grupo Local 13 [4] G. S. Da Costa. Dwarf Spheroidal Galaxies. In B. Barbuy & A. Renzini, editor, The Stellar Populations of Galaxies, volume 149 of IAU Symposium, pages 191 +, [5] G. S. Da Costa. Dwarf Galaxies. In A. Aparicio, A. Herrero, & F. Sánchez, editor, Stellar astrophysics for the local group: VIII Canary Islands Winter School of Astrophysics, pages 351 +, [6] E. D Onghia and G. Lake. The Magellanic Group and the Seven Dwarfs. In J. T. van Loon & J. M. Oliveira, editor, IAU Symposium, volume 256 of IAU Symposium, pages , March [7] E. K. Grebel. Star Formation Histories of Nearby Dwarf Galaxies. Astrophysics and Space Science Supplement, 277: , [8] P. W. Hodge. Dwarf Galaxies. ARA&A, 9:35 +, [9] I. Karachentsev. The Local Group in comparison with other nearby groups of galaxies. A&A, 305:33 +, January [10] Y.-S. Li and A. Helmi. Infall of substructures on to a Milky Way-like dark halo. MNRAS, 385: , April [11] Y.-S. Li, A. Helmi, G. De Lucia, and F. Stoehr. On the common mass scale of the Milky Way satellites. MNRAS, 397:L87 L91, July [12] S. Mashchenko, H. M. P. Couchman, and A. Sills. Modeling Star Formation in Dwarf Spheroidal Galaxies: A Case for Extended Dark Matter Halos. ApJ, 624: , May [13] M. L. Mateo. Dwarf Galaxies of the Local Group. ARA&A, 36: , [14] M. Metz and P. Kroupa. Dwarf spheroidal satellites: are they of tidal origin? MNRAS, 376: , March 2007.

20 14 A. Casallas Lagos, D.J. Cubillos Jara, R. A. Casas Miranda [15] M. Metz, P. Kroupa, and H. Jerjen. The spatial distribution of the Milky Way and Andromeda satellite galaxies. MNRAS, 374: , January [16] M. Metz, P. Kroupa, and H. Jerjen. Discs of satellites: the new dwarf spheroidals. MNRAS, 394: , April [17] M. Metz, P. Kroupa, and N. I. Libeskind. The Orbital Poles of Milky Way Satellite Galaxies: A Rotationally Supported Disk of Satellites. ApJ, 680: , June [18] M. Metz, P. Kroupa, C. Theis, G. Hensler, and H. Jerjen. Did the Milky Way Dwarf Satellites Enter The Halo as a Group? ApJ, 697: , May [19] T. Okazaki and Y. Taniguchi. Dwarf Galaxy Formation Induced by Galaxy Interactions. ApJ, 543: , November [20] M. Ricotti and N. Y. Gnedin. Formation Histories of Dwarf Galaxies in the Local Group. ApJ, 629: , August [21] S. Salvadori, A. Ferrara, and R. Schneider. Life and times of dwarf spheroidal galaxies. MNRAS, 386: , May [22] R. B. Tully, L. Rizzi, A. E. Dolphin, I. D. Karachentsev, V. E. Karachentseva, D. I. Makarov, L. Makarova, S. Sakai, and E. J. Shaya. Associations of Dwarf Galaxies. AJ, 132: , August [23] S. M. Walsh, H. Jerjen, and B. Willman. A Pair of Boötes: A New Milky Way Satellite. ApJL, 662:L83 L86, June 2007.

21 momento Revista de Física, No 38, Junio Una Aplicación de las Series de Lie en el estudio del Problema de los Dos Cuerpos clásico J. G. Portilla B. 1 y E. Brieva B. 2 1 Observatorio Astronómico Nacional, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia 2 Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Resumen El clásico problema de dos cuerpos es analizado por series de Lie a través de una regularización común. Se muestra que por un cambio adecuado de la variable independiente (la introducción de un pseudo-tiempo) es posible obtener seis ecuaciones diferenciales que, integradas por series de Lie, dan expresiones cortas para los componentes de los vectores posición y velocidad. En principio, las expresiones son válidas para las cónicas y el movimiento rectilíneo. Palabras claves: Series de Lie, problema de los dos cuerpos, mecánica celeste. Abstract The classical two-body problem is analiyzed by Lie series through a common regularization. It is showed that by an appropriate change of the independent variable (introducing a pseudo-time) is possible to obtain six differential equations which, integrated by Lie series, give short expressions for the components of the position and velocity vectors. In principle, the expressions are valid for the conics and the rectilinear motion. Keywords: Lie series, two-body problem, Celestial Mechanics. J. G. Portilla: jgportillab@unal.edu.co E. Brieva: ebrieva@cable.net.co

22 16 J. G. Portilla y E. Brieva 1. Introducción Una serie de Lie es una expresión de la forma (Stumpff, 1968): k=0 t k k! Dk f(z) = f(z) + tdf(z) + t2 2! D2 f(z) +..., (1) donde f(z) es cualquier función que depende de las variables complejas z 1, z 2,... z n ; D es un operador diferenciable lineal definido por: D = δ 1 (z) z 1 + δ 2 (z) z δ n (z) z n, (2) donde los coeficientes δ i (z) representan funciones de las variables complejas z 1, z 2,... z n, las cuales son holomorfas en un cierto vecindario de z 0. Al aplicar D a f(z) se verifica que D 2 f(z) = D(Df(z)); D 3 f(z) = D(D 2 f(z));..., D n f(z) = D(D n 1 f(z)). (3) Las series de Lie se han utilizado como una poderosa herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. En efecto, considérese el sistema autónomo de ecuaciones diferenciales representado por: dz = f(z), z(0) = (a). (4) dt Al introducir el operador diferencial D = ( ) f = a n k=1 la solución del sistema (4) se puede escribir como: f k (a) a k, (5) z(t) = exp(td)a, (6) donde exp(td)a es una serie de Lie n-dimensional.

23 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos El Problema de los dos cuerpos Como es sabido, el problema clásico de los dos cuerpos, esto es, la descripción del movimiento de dos partículas que se mueven sometidas sólo a la atracción newtoniana, posee solución analítica para todos los valores de las masas y todo tipo de condiciones iniciales. Las ecuaciones de movimiento suelen estar expresadas en coordenadas polares y su integración obliga a considerar la solución por separado en cada caso: la órbita rectilínea (momentum angular nulo) y las cónicas: elipse, parábola e hipérbola. Exceptuando el caso de la parábola, las soluciones involucran en algún momento la resolución de una ecuación trascendente (la ecuación de Kepler en la órbita elíptica, por ejemplo). En lo que sigue mostraremos una solución del problema cuyas fórmulas son las mismas con independencia del tipo de trayectoria involucrada. Y esto se hará utilizando series de Lie n-dimensionales. La ecuación diferencial vectorial del problema de los dos cuerpos con masas m 1 y m 2, para el movimiento relativo, es (ver por ejemplo McCuskey, 1963): r = µ r3 r, (7) donde µ = G(m 1 + m 2 ) siendo G la constante de gravitación, r el vector relativo entre las dos y r su doble derivada con respecto al tiempo. Dicho conjunto de ecuaciones representa, en coordenadas cartesianas espaciales, tres ecuaciones diferenciales de segundo orden. Es fácil mostrar que al aplicar la solución (5) al sistema (7) el cálculo de los coeficientes (obtenidos por la recurrencia de D a través de (3)) se va complicando hasta extremos inmanejables. El éxito para obtener una solución concisa y manejable por medio de las series de Lie n-dimensionales se logra partiendo de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, escritas de tal forma que la recurrencia de la serie no genera expresiones complicadas cada vez que se procede en el cálculo de los términos de orden cre-

24 18 J. G. Portilla y E. Brieva ciente. Ello obliga entonces a realizar algún tipo de transformación que permita convertir las ecuaciones diferenciales (7) en un sistema de ecuaciones diferenciales adecuado para abordar la solución por series de Lie. Dicha transformación, como veremos a continuación, puede lograrse mediante una regularización de las ecuaciones. 3. La Regularización Como es evidente, la ecuación diferencial (7) es singular en r = 0. Una regularización permite, mediante una transformación de la variable temporal, eliminar la presencia de r en el denominador de las ecuaciones diferenciales. Definimos el operador diferencial temporal de la siguiente forma: d dt = µ1/2 d r dτ. (8) El operador diferencial temporal aplicado sobre sí mismo es entonces ( ) d d = d2 dt dt dt = d ( µ 1/2 2 dt r ) d = µ1/2 dτ r d dτ ( µ 1/2 r ) d, dτ donde τ será nuestra nueva variable independiente, un seudotiempo. Realizando la última derivada y llamando tendremos r = dr dτ, ( ) d 2 1 dt = µ d 2 2 r 2 dτ r d. (9) 2 r 3 dτ Al aplicar el operador (9) al vector posición r obtenemos el vector aceleración en términos de τ: ( ) r r = µ r r r, (10) 2 r 3

25 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 19 donde se ha utilizado la notación r = d r dτ, r = d2 r dτ 2. Reemplazando la aceleración (10) en la ecuación diferencial del problema de los dos cuerpos obtenemos: r r r r + r r = 0. (11) Para lo que se quiere es necesario eliminar de la ecuación anterior, de algún modo, el término r r. En lo que sigue se verá cómo r se procede. La ecuación (7), al ser multiplicada vectorialmente por r a la izquierda e integrada permite obtener el vector constante llamado momentum angular por unidad de masa h: h = r ṙ. (12) Al multiplicar esta última a ambos lados por r y reemplazar al lado derecho el valor de r por el de (7): h r = ( r ṙ) ( µ r 3 r) = µ r 3 ( r ṙ) r. Aplicando las propiedades del triple producto vectorial se obtiene: h r = µ [ ] ṙ( r r) r( r ṙ), r 3 pero, puesto que r r = r 2 y r ṙ = rṙ podemos escribir: h r = µ [ ] ṙ r ṙ r 2 r = µ d dt ( ) r. r Como h es un vector constante podemos integrar a ambos lados de la ecuación anterior para obtener: h ṙ = µ r r + K,

26 20 J. G. Portilla y E. Brieva donde K es un vector constante. Al reemplazar en esta última la definición de h dada por (12) y de nuevo utilizando las propiedades del producto triple vectorial llegamos a: ṙ( ṙ r) r( ṙ ṙ) = µ r r + K. (13) Pero ṙ r = rṙ y puesto que la velocidad en el problema de los dos cuerpos se puede representar en los cuatro tipos de trayectorias (las tres cónicas y la trayectoria rectilínea) de la siguiente forma ( 2 ṙ ṙ = v 2 = µ r 1 ), (14) α donde α es una constante que en el caso de la elipse es mayor que cero y se identifica con el semieje mayor, o en la órbita parabólica es igual a infinito, la ecuación (13) queda entonces: y puesto que de (8): ṙ(rṙ) = µ r r µ r α + K, ṙ = d r dt = µ1/2 d r r dτ = µ1/2 r r, ṙ = dr dt = µ1/2 dr r dτ = µ1/2 r r, (15) obtenemos, después de dividir por µ a ambos lados: r r r = r r r α + K µ. El término de la izquierda era lo que estábamos buscando. Al reemplazar este valor en (11) tenemos: r + r α K µ = 0, que al derivar de nuevo con respecto a τ se convierte en: r r + α = 0. (16)

27 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 21 Una ecuación equivalente para r puede hallarse de la forma siguiente. De la segunda de las ecuaciones (15) tenemos: r = Aplicando a ambos lados el operador (8): r = r d µ 1/2 dt rṙ. (17) µ 1/2 [ 1 µ 1/2 ( r ṙ) donde al lado derecho se hizo uso de rṙ = r ṙ. Al realizar las derivadas al lado derecho se tiene: r = r ( ) r r + ṙ ṙ. µ Por lo tanto, al reemplazar en esta última las expresiones (7) para r y (14) para ṙ ṙ se tiene: r = r ( µ µ r 3 r r + 2µ r µ ), α y teniendo en cuenta que r r = r 2 se llega a: ] r = 1 r α, (18) expresión que al ser derivada de nuevo con respecto a τ queda: r + r = 0. (19) α Por supuesto que tenemos una ecuación diferencial para t. Esta se consigue aplicando el operador (8) a t con lo que dt dτ = r. (20) µ 1/2 El siguiente paso en convertir las ecuaciones (16) y (19) en ecuaciones diferenciales de primer orden. Ello se logra fácilmente por el siguiente procedimiento. Llamando: p = d r dτ = r, (21)

28 22 J. G. Portilla y E. Brieva se deduce que: d p dτ = d2 r dτ = r. (22) 2 De nuevo, al llamar q = d p dτ, (23) entonces tendremos: d q dτ = d2 p dτ = d3 r 2 dτ = r. (24) 3 Con la introducción de las variables p y q se puede escribir la ecuación diferencial de movimiento (16) como d q dτ = p α. (25) Lo que se ha hecho entonces es convertir una ecuación diferencial de tercer orden en tres de primer orden, es decir, escribir el sistema diferencial en su forma canónica: d q dτ = p α, d p dτ = q, d r = p. (26) dτ Introduciendo las variables no vectoriales p y q y realizando un procedimiento completamente análogo al anterior se puede convertir la ecuación escalar (19) en el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales: dq dτ = p α, dp dτ = q, dr = p; (27) dτ Las ecuaciones difrenciales (26) y (27), junto con (20), son las siete ecuaciones diferenciales simultáneas que han de resolverse. 4. La Solución Se dispone de un conjunto de siete ecuaciones diferenciales, cada una de las cuales es de la forma: dξ dτ = f(ξ), ξ (0) = C.

29 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 23 En conjunto pueden representarse como la ecuación (4). Supóngase entonces que se tienen por condiciones iniciales (en τ 0 ) los siguientes valores para cada una de nuestras variables: q 0, p 0, r 0, q 0, p 0, r 0, t 0. El operador diferencial D en nuestro caso es: 7 D = f k (a) ( = p ) + ( q) τ=0 + ( p) τ=0 + a k α k=1 τ=τ 0 q 0 p 0 r 0 ( + p ) ( ) r + (q) τ=0 + (p) τ=0 +, α τ=0 q 0 p 0 r 0 µ 1/2 t 0 o mejor D = p 0 + q 0 + p 0 p 0 + q 0 + p 0 + r 0. α q 0 p 0 r 0 α q 0 p 0 r 0 µ 1/2 t 0 (28) De acuerdo con (6) y teniendo en cuenta que nuestra variable independiente es τ la solución para r es: τ=0 o en forma explícita: r = exp(τd) r 0, r = (1 + τd + 1 2! τ 2 D ! τ 3 D ! τ 4 D 4 + ) r 0. Aplicando el operador D definido por (28) a r 0 y teniendo en cuenta la propiedad (3) se puede encontrar: D r 0 = p 0, D 2 r 0 = q 0, D 3 r 0 = p 0 α, D 4 r 0 = q 0 α, D5 r 0 = p 0 α 2, D6 r 0 = q 0 α 2, D 7 r 0 = p 0 α, 3 D8 r 0 = q 0 α, 3 D9 r 0 = p 0 α, 4 y así sucesivamente. Por lo tanto, la solución para r es, al factorizar los términos en p y q: r = r 0 + (τ τ 3 3!α + τ 5 5!α 2 τ 7 ) ( τ 2 7!α 3 + p 0 + 2! τ 4 4!α + τ 6 6!α 2 τ 8 ) 8!α 3 + q 0,

30 24 J. G. Portilla y E. Brieva o también: r = r 0 + τ (1 τ 2 3!α + τ 4 5!α 2 τ 6 ) 7!α 3 + p 0 + τ 2 ( 1 2! τ 2 4!α + τ 4 6!α 2 τ 6 ) 8!α 3 + q 0. (29) Llamando θ = τ α, (30) la ecuación para r puede quedar en la forma: ) r = r 0 + τ (1 θ2 3! + θ4 5! θ6 7! + p 0 + τ 2 ( 1 2! θ2 4! + θ4 6! θ6 8! + ) q 0. Ahora bien, recordando que la representación de las funciones seno y coseno en series de potencias es: sen x = x x3 3! +x5 5! x7 7! Es evidente entonces que: ( ) sen θ r = r 0 + τ θ +, cos x = 1 x2 2! +x4 4! x6 6! + ( ) 1 cos θ p 0 + τ 2 q θ 2 0, (31) donde θ está dado por (30). Puesto que el operador D tiene la misma forma funcional, tanto para p y q como para p y q, se deduce que la ecuación para r (la magnitud de r) tiene por solución: ( sen θ r = r 0 + τ θ La solución para t es de la forma: o mejor: ) p 0 + τ 2 ( 1 cos θ θ 2 t = exp(τd)t 0, ) q 0. (32) t = (1 + τd + 1 2! τ 2 D ! τ 3 D ! τ 4 D 4 + )t 0.

31 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 25 Aplicando el operador D definido por (28) a t podemos encontrar: Dt 0 = r 0 µ 1/2, D2 t 0 = p 0 µ 1/2, D3 t 0 = q 0 µ 1/2, D 4 t 0 = p 0 µ 1/2 α, D5 t 0 = q 0 µ 1/2 α, D6 t 0 = p 0 µ 1/2 α 2, D 7 t 0 = q 0 µ 1/2 α 2, D8 t 0 = p 0 µ 1/2 α 3, D9 t 0 = q 0 µ 1/2 α 3, y así sucesivamente. La solución puede escribirse, factorizando los términos de p 0 y q 0, como: t = t 0 + τr 0 µ + p ( 0 τ 2 1/2 µ 1/2 2! τ 4 4!α + τ 6 6!α 2 τ 8 q 0 µ 1/2 la cual, al factorizar τ 2 queda como: t = t 0 + τr 0 µ + p 0τ 2 ( 1 1/2 µ 1/2 2! τ 2 4!α + τ 4 ) 8!α ( τ 3 3! τ 5 5!α + τ 7 7!α 2 τ 9 6!α 2 τ 6 q 0 τ 3 µ 1/2 ) 8!α ) 9!α 3 + ( 1 3! τ 2 5!α + τ 4 7!α 2 τ 6 9!α 3 + y considerando las expansiones en serie del seno y el coseno es evidente que se puede llegar a t = t 0 + τr 0 µ + p ( ) 0τ 2 1 cos θ + q ( ) 0τ 3 θ sen θ, (33) 1/2 µ 1/2 θ 2 µ 1/2 θ 3 donde θ está dado por (30). También es posible encontrar una expresión para el vector velocidad. En efecto, de la ecuación (21) obtenemos p = d r dτ = d r dt dt dτ, teniendo en cuenta (20) se deduce, ), d r dt = µ1/2 p, (34) r

32 26 J. G. Portilla y E. Brieva lo cual requiere encontrar p. La solución para este es: p = exp(τd) p 0. Al aplicar el operador (28) a p se encuentra: D p 0 = q 0, D 2 p 0 = p 0 α, D3 p 0 = q 0 α, D 4 p 0 = p 0 α 2, D5 p 0 = q 0 α 2, D6 p 0 = p 0 α 3, D 7 p 0 = q 0 α, 3 D8 p 0 = p 0 α, 4 D9 p 0 = q 0 α, 4 y así sucesivamente. La solución se puede escribir, factorizando los términos de p y q, como ( p = p 0 1 τ 2 2!α + τ 4 4!α 2 τ 6 6!α 3 + τ 8 ) 8!α q 0 ( τ τ 3 3!α + τ 5 5!α 2 τ 7 7!α 3 + τ 9 ) 9!α 4 + Factorizando τ en el segundo término del lado derecho y teniendo en cuenta (30): ( ) p = p 0 1 θ2 2! + θ4 4! θ6 6! + θ8 8! + + q 0 τ (1 θ2 3! + θ4 5! θ6 7! + θ8 9! + que puede escribirse como: ( ) sen θ p = p 0 cos θ + q 0 τ. (35) θ Por lo tanto, la expresión para el vector velocidad se halla al reemplazar (35) en (34): v = d r [ ( )] dt = µ1/2 sen θ p 0 cos θ + q 0 τ. (36) r θ. ),

33 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos Las Condiciones Iniciales Supóngase que se tiene dos partículas interactuantes de masas conocidas y que las condiciones iniciales para el movimiento relativo son: t = t 0, r 0 = x 0 î + y 0 ĵ + z 0ˆk, 0r = x 0 î + y 0 ĵ + z 0ˆk, así que r 0 = x y0 2 + z0, 2 y v 0 = ẋ ẏ0 2 + ż0. 2 De la ecuación (14) obtenemos inmediatamente el valor de α α = r 0 2 r 0v 2 0 µ. (37) La constante α constituye un indicador del tipo de órbita que está describiendo el objeto. Si α es positiva la trayectoria es una elipse, si es infinita (esto es, cuando rv2 = 2) es una parábola y si µ es negativa es una hipérbola. El valor de p 0 se halla en la siguiente forma. De la primera de las ecuaciones (15) y de (21) tenemos o, en el tiempo t 0 : p = ṙr µ 1/2 p 0 = r 0 r µ 1/2 0. (38) De igual manera, el valor de p 0 puede hallarse con ayuda de la ecuación (17) y de la tercera de las ecuaciones (27): p 0 = r 0ṙ 0 µ = r 0 ṙ 0. (39) 1/2 µ 1/2 De las ecuaciones (11), (22) y (23) se deduce q = r r r 1 r r.

34 28 J. G. Portilla y E. Brieva Teniendo en cuenta las ecuaciones (21) y de tercera de las (27) se tiene, para t = t 0 : q 0 = p 0 r 0 p 0 1 r 0 r 0. (40) Por último, el valor de q 0 se halla con ayuda de (18): 6. Las Funciones de Stumpff q 0 = 1 r 0 α. (41) Se llaman funciones de Stumpff las siguientes funciones trigonométricas: c 0 (θ) = cos θ = 1 θ2 2! + θ4 4! θ6 6! +, (42) c 1 (θ) = sen θ θ c 2 (θ) = 1 cos θ θ 2 c 3 (θ) = θ sen θ θ 3 = 1 θ2 3! + θ4 5! θ6 7! +, (43) = 1 2! θ2 4! + θ4 6! θ6 8! +, (44) = 1 3! θ2 5! + θ4 7! θ6 9! +. (45) Las funciones de Stumpff adoptan los siguientes valores si se toma el límite cuando θ 0: lím 0(θ) θ 0 = 1, (46) lím 1(θ) θ 0 = 1, (47) lím θ 0 C 2(θ) = 1 2, (48) lím C 3(θ) = 1 θ 0 6. (49)

35 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos La Órbita Parabólica El lector habrá notado que, de acuerdo con la introducción de la constante α en la ecuación (14), se tendrá para la órbita parabólica el caso α =, esto es, 1/α = 0, lo cual aparentemente crearía problemas si notamos que θ tiene a α en su denominador. Pero no hay tal. El tomar 1/α 0 equivale a 1/ α 0 con lo cual τ/ α 0; en otras palabras, θ 0. Además, de (41) se obtiene q 0 = 1. Por lo tanto, las ecuaciones que solucionan el problema en la órbita parabólica se reducen a: r = r 0 + τ p 0 + τ 2 2 q 0, (50) r = r 0 + τp 0 + τ 2 2 q 0, (51) t = t 0 + τr 0 µ + p 0τ 2 1/2 2µ + τ 3, (52) 1/2 6µ 1/2 v = µ1/2 r ( p 0 + q 0 τ). (53) El valor de τ puede obtenerse por medio de la ecuación cúbica (52) que puede escribirse: τ 3 + 3p 0 τ 2 + 6r 0 τ 6µ 1/2 (t t 0 ) = La Órbita Hiperbólica La órbita hiperbólica surge al presentarse el caso α < 0. Esto tiene el ligero inconveniente de que α corresponde al dominio de los números complejos. Pero la aparición de los números complejos es tan solo transitoria y las funciones de Stumpff sufren una ligera modificación en términos de las funciones hiperbólicas, como se apreciará a continuación. Tómese como ejemplo el caso de c 0 (θ) cuando θ = τ α. Entonces

36 30 J. G. Portilla y E. Brieva ( ) τ cos α donde τ 2 = 1 2!( α) + τ 4 2 4!( α) τ 3 4 6!( α) + 6 τ 2 = 1 2!(i α ) + τ 4 2 4!(i α ) τ 3 4 6!(i α ) + 6 τ 2 = 1 + 2!( α ) + τ 4 2 4!( α ) + τ 3 4 6!( α ) + 6 = cosh θ h, θ h = τ α. (54) Es sencillo verificar además que ( ) τ sen α τ = senh θ h, α θ h ( ) τ 1 cos α ( ) 2 = cosh θ h 1, τ θh 2 α ( ) ( ) τ τ α senh α ( ) 3 = senh θ h θ h. τ θh 3 α Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento para la órbita hiperbólica son: ( ) ( ) senh θh cosh r = r 0 + τ p 0 + τ 2 θh 1 q θ h θh 2 0, (55) ( ) ( ) senh θh cosh r = r 0 + τ p 0 + τ 2 θh 1 q θ h θh 2 0, (56) t = t 0 + τr 0 µ + p ( ) 0τ 2 cosh θh 1 + q ( ) 0τ 3 senh θh θ h (57), 1/2 µ 1/2 θh 2 µ 1/2 θh 3 [ ( )] v = µ1/2 senh θh p 0 cosh θ h + q 0 τ. (58) r θ h

37 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos Un caso especial en la Órbita Rectilínea La órbita rectilínea surge al presentarse el caso ṙ = βû r (donde β es una cantidad con unidades de velocidad que puede ser positiva, negativa e incluso cero), esto es, cuando el momentum angular h es nulo (ver ecuación (12)). Pueden presentarse varios casos dependiendo del valor que adopte β. A continuación se analizará el caso β = 0. Para un instante dado t 0 = 0 se tiene, a una distancia r = r 0, la partícula de interés con una velocidad v 0 = 0. Por lo tanto: v 0 = 0, α = r 0 2, p 0 = 0, p 0 = 0, q 0 = r 0 r 0, q 0 = 1. De lo anterior se deduce que: 2 θ = τ, esto es, τ = θ r 0 Es fácil verificar que la ecuación (31) queda: al igual que (ver ecuación (32)): r0 2. r = 1 2 (1 + cos θ) r 0 (59) r = 1 2 (1 + cos θ)r 0. (60) La velocidad está dada por (ver ecuación (36)): ( ) µ sen θ v = r 0 (61) 2r 0 r y el tiempo por la expresión (ecuación (33)): t = 1 ( r0 ) 3/2 (θ + sen θ). (62) µ 2

38 32 J. G. Portilla y E. Brieva Es evidente, observando la ecuación (60), que en el tiempo t 0 = 0 se ha de cumplir θ = 0. Así mismo, en el momento de la colisión (r = 0) se tendrá θ = π. La velocidad, en el instante de la colisión, está dada por el límite [ ( )] µ r 0 sen θ v r=0 = lím 2 =. θ π 2r 0 r cos θ El tiempo que tarda la partícula en llegar hasta r = 0 es t r=0 = π ( r0 ) 3/2, esto es, tr=0 = πα3/2. µ 2 µ 10. Algunos Ejemplos Ejemplo 1 Un cuerpo de masa despreciable comparada con la del Sol posee en un instante t 0 = 0 los siguientes valores de las componentes de los vectores posición y velocidad con respecto a un plano fundamental dado: x = 3, , y = 3, , z = 1, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0, , en unidades astronómicas y unidades astronómicas por día, respectivamente. Con el fin de mostrar el procedimiento de cálculo vamos a encontrar la posición del cuerpo en cuestión para un seudotiempo (nuestra variable independiente) igual a τ = 0,69. Sólo después veremos a que tiempo t corresponden dichas coordenadas. Se comienza por hallar las magnitudes de los vectores posición y velocidad en el instante t 0 : r 0 = 4, , v 0 = 0,

39 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos 33 Luego se calcula α por intermedio de (37): α = 5, lo que significa que la órbita puede ser elíptica (o rectilínea acotada). Esto se decide calculando el momentum angular. Es fácil verificar que en nuestro ejemplo h = r ṙ 0, lo que indica que la trayectoria es una elipse. Luego se calculan las componentes de los vectores p 0 y q 0 con ayuda de (38) y (40): (p 0 ) x = 1, , (p 0 ) y = 1, , (p 0 ) z = 0, , (q 0 ) x = 0, , (q 0 ) y = 0, , (q 0 ) z = 0, Con el valor que hemos elegido de τ hallamos θ: θ = 0, Se puede calcular entonces el valor del tiempo t utilizando (33): t = 200, , y las componentes del vector posición y velocidad para dicho tiempo t con ayuda de (31) y (36): x = 2, , y = 3, , z = 1, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0,

40 34 J. G. Portilla y E. Brieva Ejemplo 2 Un cuerpo de masa despreciable posee en un instante t 0 = 0 los siguientes valores de las componentes de los vectores posición y velocidad con respecto a un plano fundamental dado: x = 1, , y = 0, , z = 0, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0, , en unidades astronómicas y unidades astronómicas por día, respectivamente. Se desea encontrar la posición del cuerpo en cuestión para un seudotiempo igual a τ = 1,5. Las magnitudes de los vectores posición y velocidad en el instante t 0 son: r 0 = 4, , v 0 = 0, Luego se calcula α por intermedio de (37): α = 0, , lo que significa que la órbita puede ser hiperbólica (o rectilínea no acotada). Como antes, al calcular el momentum angular se verifica que en nuestro ejemplo h = r ṙ 0, indicando que la trayectoria es hiperbólica. Las componentes de los vectores p 0 y q 0 son: (p 0 ) x = 4, , (p 0 ) y = 1, , (p 0 ) z = 0, , (q 0 ) x = 7, , (q 0 ) y = 2, , (q 0 ) z = 0, Con el valor que hemos elegido de τ hallamos θ: El valor del tiempo t es: θ = 3, t = 1218, , y las componentes del vector posición y velocidad para dicho tiempo t son: x = 46, , y = 11, , z = 1, , ẋ = 0, , ẏ = 0, , ż = 0,

41 Aplicación de series de Lie al problema de los dos cuerpos Conclusiones Se ha realizado una descripción detallada de la solución por Series de Lie de las ecuaciones diferenciales que describen el problema de los dos cuerpos clásico para cualquier tipo de condiciones iniciales. Se dedujeron ecuaciones específicas para el caso de la trayectoria parabólica, hiperbólica y rectilínea y se presentaron dos ejemplos que describen el proceso numérico involucrado. La solución es elegante en su construcción y tiene la ventaja adicional de estudiar aquellos casos en o cercanos al origen puesto que las ecuaciones están regularizadas. Referencias [1] McCuskey, S.W., Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, [2] Stumpff, K., On the application of Lie-series to the problems of celestial mechanics, NASA, TN D-4460, Washington, [3] Battin, R.H., An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA Education Series, American Institute of Astronautics,Inc., New York, 1999.

42 36 Revista de Física, No 38, Junio 2009 momento Superconductores de alta Temperatura Crítica a base de Hierro O. Rodríguez-León 1 1 Grupo de Superconductividad y Nuevos Materiales, Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia. Resumen El descubrimiento a principios de 2008 de una nueva familia superconductora con una T c 26K en un compuesto de hierro y dopado con flúor, LaO 1 x F x FeAs, ha revivido el interés en la búsqueda de materiales superconductores con alta temperatura critica. Su descubrimiento ha propiciado un acelerado estudio de sus propiedades superconductoras y de muchas otras propiedades físicas, dando como resultado la obtención nuevos compuestos con temperaturas criticas entre K. En este artículo se pretende hacer un resumen de las principales características fisicoquímicas de dicha familia y compuestos relacionados. Palabras claves: LaO 1 x F x FeAs, materiales superconductores, alta temperatura crítica. Abstract The discovery in early 2008 of a new family of superconductors with a T c 26K in an iron compound and fluorine doped, LaO 1 x F x FeAs, has revived interest in the search for superconducting materials with high critical temperature. The discovery has led to an accelerated study of superconducting properties and many other physical properties, resulting in obtaining new compounds with critical temperatures between K. In this article it is intended to summarize the main physical and chemist characteristics of this family and related compounds. Keywords: LaO 1 x F x FeAs, superconducting materials, high critical temperature. O. Rodríguez-León: oaridriguezl@unal.edu.co

43 Superconductores de alta Tc a base de hierro Introducción En febrero de 2008 [1] se anunció el descubrimiento de un nuevo material superconductor con una Tc de 26K en un compuesto dopado con flúor y a base de hierro LaO 1 x F x FeAs. Al ser esta una nueva familia superconductora muy diferente a las ya existentes como los cupratos [2], fuleruros [3] o MgB 2 [4], su descubrimiento ha atraído la atención de muchos investigadores y ha impulsado un exhaustivo estudio desde dicha publicación [5-51]. Un hecho distintivo de este tipo de materiales es su estructura laminar formada por láminas de LaO y FeAs (Figura 1) y la presencia de hierro en su estructura (un metal de carácter magnético). El fenómeno superconductor aparece cuando se varían las concentraciones de portadores de carga como resultado del dopado con flúor en las láminas de LaO que se encuentran espacialmente separadas de las láminas de FeAs. Los valores de Tc son sensibles a la concentración y al tipo de elementos dopantes. El exhaustivo estudio de este nuevo tipo de materiales superconductores ha dado como resultado la obtención de diferentes familias relacionadas y que en la literatura se conocen como la tipo 1111 y la tipo 122. En la primera familia (1111) se encuentran los compuestos del tipo LnOFePn donde Ln= Tierras raras (Ce, Pr, Nd, Sm, Gd, Tb, y Dy) y Pn = P, As, Bi. La segunda familia superconductora o tipo 122 esta conformada por arseniuros ternarios y metales alcalinotérreos del tipo AFe 2 As 2 donde A= Ca, Sr, Ba [5-13]. Al igual que en la familia 1111 los superconductores del tipo 122 están compuestos por laminas de FeAs formadas por tetraedros conjugados de FeAs 4 y redes de metales alcalinotérreos (figura 1). En contraste con la familia 1111, los de tipo 122 no contienen oxigeno ni tierras raras. En la presente revisión se pretende mostrar algunas características de la estructura cristalina de las familias 1111 y 122 y métodos de síntesis (Numeral 2), sus propiedades superconductoras y magnéticas (numeral 3), propiedades de otros sistemas superconductores relacionados (Numeral 4) y por ultimo realizar una pequeña

44 38 O. Rodríguez-León Figura 1. Estructuras cristalinas tetragonales de los oxinitrogenuros a. LnOMPn (fase 1111) y de los arseniuros ternarios b. AFe 2 As 2 (fase 122), principales estructuras de los nuevos superconductores con Tc= K. comparación de estas características con las de los superconductores a base de cobre (numeral 5). Para una mayor revisión de estos nuevos materiales se recomiendan otras lecturas [20,49,50,51]. 2. Síntesis y estructura cristalina de las familias 1111 y Métodos de Síntesis Han sido propuestos diversos métodos para la síntesis de la familia LnOMPn-1111 y AFe 2 As Muchos de ellos difieren en los elementos de partida usados, tiempos y temperaturas de reacción, sin embargo, todos se llevan a cabo en una reacción de estado sólido. En la tabla 1 se resumen algunos métodos de síntesis. Para una mayor revisión ver [20] Estructura Cristalina Familia 1111 Bajo condiciones estequiométricas de síntesis la fase LnOMPn tiene una estructura laminar tetragonal (tipo ZrCuSiAs, grupo espacial P4/nmm, Z=2) [21] formada por laminas moleculares de carga opuesta de (LnO) δ+ /(MPn) δ a lo largo del eje c (Figura 1).

45 Superconductores de alta Tc a base de hierro 39 TABLA 1. Algunos métodos de síntesis para las familias superconductoras a base de hierro. Tanto la lamina LnO como la lamina MPn están formadas por redes cuadrado planares de M y O coordinados respectivamente por Pn y Ln, formando laminas de tetraedros conjugados de MPn 4 y OLn 4. Se ha encontrado [15] una correlación entre Tc y los parámetros de red en los la familia LnOMPn: el valor de Tc decrece considerablemente con el aumento del parámetro a (Figura 2a). Este efecto es interpretado en términos de la presión química ejercida en la estructura cristalina por el uso de tierras raras y relacionado con el tamaño de sus radios iónicos, sin embargo el origen de dicha relación aun no es clara. Otra correlación interesante [22] es la existente entre Tc y el ángulo α del enlace As-Fe-As en los tetraedros de FeAs 4, encontrándose que Tc se hace máxima cuando α se acerca a o y FeAs 4 toma la forma de un tetraedro perfecto. Esta variación de α depende directamente de la tierra rara usada (Figura 2b). Por otro lado, en la fase no superconductora de LaOFeAs (compuestos no dopados) se ha encontrado por difracción de neutrones [23] y difracción de rayos X [24] una transición de fase estructural a una temperatura de 155K de una estructura tetragonal (P4/nmm) a una estructura ortorrómbica (Cmma). Después de dicha transición a 137K ocurre una transición de fase magnética debido a la formación de un orden de largo alcance (AFM) para los momentos magnéticos del hierro (Figura 3a).

46 40 O. Rodríguez-León Figura 2. a. Relación entre Tc y el parámetro de red a para diferentes tierras raras en el compuesto LnOMPn Ln= La, Ce, Pr, Nd, Sm [15]. b. Relación entre Tc y el ángulo α de los tetraedros de FeAs 4 en las laminas moleculares de FeAs para diferentes tierras raras [22]. El dopado con electrones o huecos de estos compuestos suprime estas transiciones de fase ocurriendo únicamente la transición al estado superconductor. Familia 122 Bajo condiciones normales la fase AFe 2 As 2 posee una estructura tetragonal (tipo ThCr 2 Si, grupo espacial I4/mmm) formada por láminas alternas de FeAs 4 y redes atómicas de metales alcalinotérreos A (Figura 1). Al igual que la familia 1111 lo materiales parentales no superconductores (compuestos no dopados con metales alcalinos) presentan anomalías bien pronunciadas en la región de bajas temperaturas. El BaFe 2 As 2 muestra anomalías [6,10,25,26] en la resistencia eléctrica, conductividad térmica y susceptibilidad magnética alrededor de 140K, que de acuerdo con datos de difracción de rayos X [25] corresponden a una transición de fase estructural de segundo orden donde la estructura tetragonal (I4/mmm) es distorsionada a una estructura ortorrómbica (Fmmm). Por otra parte estudios con difracción de neutrones [27] revelaron que dicha transición de fase estructural, en contraste con la familia 1111, esta acompañada por una transición casi simultanea a un estado anti-

47 Superconductores de alta Tc a base de hierro 41 ferromagnético (Figura 3b). Ninguna de estas dos transiciones se observa para los arsenuros superconductores (dopados con metales alcalinos) con el descenso de la temperatura. Figura 3. a. Ordenamiento antiferromagnético en los átomos de hierro de las laminas de FeAs para el LaOFeAs [28]. b. Estructura magnética del BaFe2As2 de acuerdo con datos de difracción de neutrones [27]. 3. Superconductividad y magnetismo 3.1. Familia 1111 Algunos compuestos no dopados del tipo LnOMPn no son superconductores y solo algunas fases (LaOFeP y LaONiP) muestran una transición a muy bajas temperaturas (Tc<6K) al estado superconductor [29-31]; mientras que la superconductividad de alta temperatura (Tc>26 K) ocurre en los oxyarsenuros sometidos a un dopaje con electrones o huecos. En estos materiales el efecto superconductor aparece de dos maneras. La primera de ellas es al hacerse un dopado con electrones introduciendo flúor en las lamina de LaO como en el primer compuesto reportado LaO 1 x F x FeAs [1] y donde Tc=26K. Hasta la fecha la mayor temperatura critica reportada la tiene el compuesto SmO 1 x F x FeAs con una Tc 56K, perteneciente a esta familia. La segunda forma de obtener materiales superconductores en la familia 1111 es realizando un dopado con huecos, creando vacancias en el oxígeno de las laminas de LnO (compuestos no estequiométricos de composición LnO 1 x FeAs con las máximas Tc 51 K para NdO 1 x FeAs y Tc 55 K para SmO 1 x FeAs [5]- 32) o sustituyendo un ion trivalente de Ln 3+ por uno divalente de Sr 2+ [6]-33 (Figura 4a).

48 42 O. Rodríguez-León Figura 4. Comportamiento de la resistividad en función de la temperatura para los compuestos de tipo a. LnMOPn [34] y b. AFe 2 As 2 [6]. Por otro lado el descubrimiento inesperado de altos valores de campos críticos B c2 para algunos oxyarsenuros hace que dichos compuestos puedan ser considerados para la generación de fuertes campos magnéticos. En la siguiente tabla se muestran algunos de los valores reportados en la literatura. Compuesto Bc max 2 T Referencia LaO 0,89 F 0,11 FeAs NdO 0,82 F 0,18 FeAs LaO 0,9 F 0,1 FeAs 1 x LaO 0,9 F 0,1 FeAs SmO 0,85 F 0,15 FeAs La 0,8 K 0,2 O 0,8 F 0,2 FeAs SmO 0,9 F 0,1 FeAs TABLA 2. Valores de Bc max 2 para algunos compuestos de la familia Familia 122 Para los compuestos del tipo AFe 2 As 2 donde A= Ca, Sr, Ba el estado superconductor solo se puede alcanzar por dopado con huecos, reemplazando los iones divalentes de A 2+ (Ca 2+, Sr 2+, Ba 2+ ) por iones monovalentes de metales alcalinos como K, Na, Cs. Hasta la fechas se han reportado Tc entre K para los compuestos Ba 1 x K x Fe 2 As 2 [8] (Figura 4b) y Sr 1 x (K,Cs) x Fe 2 As 2 (Figura 5a) [11] y 20 K para el compuesto CaFe 2 As 2 dopado con sodio [42]. Sin embargo, los intentos por obtener materiales superconductores por dopado con electrones a partir de estos han sido infructuosos. Al

49 Superconductores de alta Tc a base de hierro 43 igual que en los sistemas 1111, se ha estudiado el efecto de la presión externa en la superconductividad en los materiales no parentales no dopados (Figura 5b). Mientras que para el material superconductor Ba 1 x K x Fe 2 As 2 la Tc decrece linealmente con el aumento de presión [43] los compuestos no dopados muestran un aumento en la Tc con el aumento de la presión externa llegando a un máximo donde dicha presión afecta la estructura cristalina del solido y Tc comienza a disminuir [44] (Figura 5b). Figura 5. a. Dependencia de Tc con la composición para Sr 1 x K xfe 2 As 2 [11] b. Efecto de la presión externa en la superconductividad de los compuestos CaFe 2 As 2, SrFe 2 As 2 y BaFe 2 As 2 [44]. 4. Otros sistemas superconductores Relacionados. Familias 111 y 11 El exhaustivo estudio de las propiedades de estos nuevos materiales ha conllevado al descubrimiento de nuevos sistemas superconductores a base de hierro (Figura 6). Entre ellos la fase 111 representado por el LiFeAs cuya temperatura de transición de 18K ha sido sintetizado exitosamente [45] y cuyo efecto superconductor parece venir acompañado con la no estequiometria del compuesto. Por otra parte, se ha descubierto también la superconductividad (Tc 8K) en la fase α del seleniuro de hierro FeSe 1 x (x 0.12) conocida en la literatura como la fase 11. Estos compuestos tiene una estructura laminar tetragonal formada por tetraedros conjugados de FeSe 4, similar a las laminas de FeAs en las familias 1111,

50 44 O. Rodríguez-León 122 y 111. La máxima Tc hallada para estos compuestos es de 27K aplicando una presión externa a las muestras [46-48]. Figura 6. Estructura cristalina de los compuestos a. LiFeAs y b. α-fese. 5. Diferencias entre los superconductores a base de hierro y los cupratos El descubrimiento de esta nueva familia superconductora hace necesario que se realice una comparación entre las propiedades de dichos materiales y los superconductores reinantes hasta la fecha; los cupratos. Existen algunas diferencias importantes: 1. Los estados electrónicos cerca del nivel de fermi para los superconductores a base de hierro están compuestos principalmente por los orbitales 3d del hierro donde todos los cinco orbitales d contribuyen para formar bandas electrónicas separadas, es decir, que los compuestos de hierro son sistemas multibandas en contraste con los sistemas monobanda formada por los cupratos. 2. El Fe 2+ tiene una configuración d6 y en su coordinación tetraédrica con el arsénico o selenio, se espera que posea un espín local S=2, el cual favorece un ordenamiento ferromagnético o antiferromagnético, en contraste con al valor de S=1/2 en los cupratos. 3. Los materiales de partida (compuestos no dopados) son aislantes (tipo Mott) con carácter antiferromagnético para el caso de los cupratos, mientras que para los nuevos materiales estos son de tipo metálico con carácter antiferromagnético.