Física I CIBEX enviar correcciones a:

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1 Física I CIBEX enviar correcciones a: Departamento de Física - UNLP silva@fisica.unlp.edu.ar Práctica 0: Vectores Figura 1: Componentes de un vector en coordenadas cartesianas Dado un sistema cartesiano de ejes coordenados xyz, denotamos un vector a como una terna ordenada de números reales a x, a y, a z : a = (a x, a y, a z ). Los números a x, a y y a z se denominan componentes del vector a en las direcciones de los ejes coordenados x, y y z respectivamente. El módulo de un vector es un número real positivo o cero, definido por a = a 2 x + a 2 y + a 2 z evidentemente, a = 0 sólo si las tres componentes son nulas. Gráficamente el vector a puede representarse como un segmento orientado en el espacio ( flecha ), que va desde un punto inicial o de aplicación a un punto final. El módulo del vector es la longitud de este segmento, y las componentes son las proyecciones en las direcciones de los ejes coordenados. 1. Calcular el módulo de un vector a de componentes a x = 1, a y = 2 y a z = Tiene sentido afirmar que un vector es positivo (o negativo)? Y que la componente y de un vector es positiva (o negativa)? 3. Calcular el módulo de un vector a en el plano xy cuyas componentes son a x = 2 y a y = 4. Determinar el ángulo θ que forma este vector con el eje x. Representar al vector en el plano y verificar que a x = a cos θ, a y = a sin θ Nota: los ángulos se miden con respecto a los semiejes positivos siendo positivo/negativo en sentido antihorario/horario respectivamente ( π < θ π). 4. Determinar las componentes de un vector a en el plano xy que tiene módulo a = 2 y forma un ángulo de 30 o con el eje x. Idem para un vector b de módulo 3 que forma un ángulo de 90 o con el eje x. Muchas magnitudes físicas, como posición r, velocidad v, aceleración a, fuerza F y momento angular L son vectoriales, es decir, se representan matemáticamente mediante vectores (acompañados de las unidades de magnitud correspondientes). Otras como la masa m, densidad ρ, carga eléctrica q y temperatura T son escalares, y se representan por números reales (con la unidad de magnitud que corresponda). En este curso se requerirá conocer algunas operaciones que involucran vectores. 1

2 Figura 2: Suma de vectores. El dibujo de la izquierda muestra que la suma es conmutativa. Suma de vectores: La suma de dos vectores a y b es un vector. Llamando c a la suma de los vectores a = (a x, a y, a z ) y b = (b x, b y, b z ), denotamos c = a + b y tenemos que c = (c x, c y, c z ) = (a x + b x, a y + b y, a z + b z ) en otras palabras, las componentes del vector suma se obtienen sumando las componentes correspondientes de los vectores a, b de manera que c x = a x + b x, c y = a y + b y, etc. Gráficamente, el vector c resultante puede obtenerse ubicando al vector b a continuación de a (esto es, haciendo coincidir el punto de aplicación de b con el punto final de a). El vector c vendrá dado entonces por el segmento orientado que va desde el punto de aplicación de a hasta el punto final de b (ver figura de la derecha arriba). Es evidente de la definición que la suma de vectores es conmutativa. La figura de la izquierda muestra este hecho. 5. (a) Calcular las componentes del vector c = a + b, siendo a y b los vectores definidos en el ejercicio 4. Verificar la validez del método gráfico para este ejemplo. (b) Idem item (a) pero considerando, en lugar de b, el vector b que verifica b = a y forma un ángulo de θ = 30 o con el eje x. Producto de un vector por un escalar: El producto de un vector v = (v x, v y, v z ) por un escalar λ (número real) da como resultado un vector w = λ v cuyas componentes son w x = λv x, w y = λv y, etc. Es facil ver a partir de la definición del módulo de un vector que w = λ v. La dirección del vector resultante w es la misma que la de v, y su sentido es igual al de v si λ > 0 y opuesto al de v si λ < 0. Luego, multiplicando por un escalar podemos modificar el módulo de un vector, y eventualmente el sentido de un vector, pero no la dirección del mismo. Notar que el producto λ v es un producto entre dos nuḿeros reales positivos (o cero): λ es el valor absoluto de λ, mientras que v es el módulo de v. Figura 3: Ejercicio 6 2

3 6. Para los vectores A, B dibujados en la parte superior de la figura 3, determinar cuál de las figuras 1,2,3,4 es correcta? Para las figuras incorrectas modificar A + B para que sean correctas, esto es decir si se trata de A B, A + B, o A B. Justificar. Nota: el vector B debe ser entendido como B = ( 1) B, luego A B = A + ( B). 7. Siendo a y b los vectores definidos en el ejercicio 4, calcular y representar gráficamente los vectores c = 3 a, d = 2 b, e = 1 2 a + b, f = 2 3 b a. Habitualmente escribimos a un vector v = (v x, v y, v z ) utilizando los versores ǐ, ǰ, ǩ, que son los vectores de módulo 1 (o unitarios) cuyas direcciones son las de los ejes coordenados x, y y z respectivamente. Es decir, ǐ = (1, 0, 0), ǰ = (0, 1, 0), ǩ = (0, 0, 1). Luego, podemos entender al vector v como la suma v = v x ǐ + v y ǰ + v z ǩ. 8. (a) Escribir los vectores a, b y b definidos en los ejercicios 4 y 5 utilizando versores. Interpretar gráficamente. (b) Tiene sentido afirmar que un versor es positivo (o negativo)? Vector posición: dado un sistema de ejes coordenados, se define como vector posición de una partícula ubicada en un punto de coordenadas x, y, z al vector que tiene punto de aplicación en el origen de coordenadas y punto final en el punto donde se encuentra la partícula. De este modo, si denotamos a este vector como r, se tiene r = (x, y, z) = x ǐ + y ǰ + z ǩ. Figura 4: Vectores posición r 1, r 2 y vector desplazamiento r Vector desplazamiento: sea r 1 la posición de una partícula en un dado instante inicial, y r 2 la posición de la misma en algún instante posterior ( instante final ), se define el vector desplazamiento de la partícula como D = r 2 r 1. En otras palabras, el desplazamiento es la diferencia entre la posición final y la posición inicial. Una notación usual es D = r 9. A partir de la definición anterior, mostrar gráficamente que si una partícula se desplaza desde un punto A hasta un punto B, el vector cuyo punto de aplicación es A y su punto final es B es justamente el vector desplazamiento D. Cómo se define la distancia entre los puntos A y B? y qué relación tiene con el vector D? Ayuda: Notar que D = r B r A es equivalente a r B = r A + D. 3

4 10. Una persona camina sucesivamente 50 m hacia el este, 30m hacia el sur, 20m hacia el oeste y 10m hacia el norte. Tomando como sistema de referencia los puntos cardinales, elegir un sistema coordenado cartesiano con origen en el punto de partida. (a) Graficar la trayectoria de la persona y expresar los vectores posición al final de cada tramo. b) Graficar los vectores desplazamiento de cada tramo y el desplazamiento total. Escribirlos. 11. En un tiempo t, un cuerpo se desplaza desde el punto A hasta el punto B representados en la siguiente figura: Figura 5: Ejercicio 11. (a) Para el sistema de ejes coordenados de la figura, representar gráficamente los vectores posición inicial y final (denotarlos r A y r B ) y escribirlos usando versores. (b) Calcular el vector desplazamiento r y representarlo gráficamente. Determinar los ángulos que forma r con los ejes coordenados. (c) Idem (a) y (b) para un sistema de ejes coordenados paralelo al de la figura pero cuyo origen coincide con el punto A. (d) Qué nos dicen los resultados anteriores sobre la trayectoria seguida por el cuerpo entre el instante inicial y final? Y sobre la distancia entre las posiciones inicial y final? 12. Definir un sistema de ejes coordenados y determinar en ese sistema el vector desplazamiento para un automóvil que se encuentra en el instante inicial en La Plata y en el instante final en Mar del Plata. Es esta la distancia recorrida por el automovil? Analizar la afirmación: La distancia entre La Plata y Mar del Plata es de 342 km, mientras que la distancia en ruta entre ambas ciudades es de 365 km. 13. Un hombre se desplaza desde un punto A hasta otro punto B siguiendo un arco de circunferencia. Una mujer se mueve también desde el punto A hasta el punto B, pero siguiendo dos caminos rectilíneos (ver figura 6). Si las coordenadas de los puntos A y B en el sistema de ejes representado son A = (5m, 0) y B = (0, 5m), respectivamente, calcular para cada persona la longitud de la trayectoria recorrida y el vector desplazamiento. Figura 6: Izquierda: Ej. 13. Derecha: Ej. 14 4

5 14. La figura 6 derecha muestra un esquema de un plano inclinado que forma un ángulo θ = 30 o con la horizontal. (a) Sean ǐ y ǰ los versores en las direcciones de los ejes x e y. Representar gráficamente el vector A = 3m ǰ, y hallar sus componentes en el sistema de ejes coordenados x y. (b) Un cuerpo desciende sobre el plano inclinado, recorriendo una distancia de 4 m. Escribir el vector desplazamiento en los sistemas de ejes coordenados xy y x y, utilizando los versores correspondientes. Producto entre vectores: hacer con ellos: Dados dos vectores A, B existen dos operaciones importantes que podemos 1. Producto escalar de dos vectores: Dados dos vectores A, B, el producto escalar entre ellos es un número. El producto escalar se denota A B y está dado por A B A x B x + A y B y + A z B z. (1) Una expresión alternativa para el producto escalar es A B = A B cos θ, (2) donde A, B denotan los módulos de los vectores A, B y θ es el ángulo comprendido entre ellos. Por convención se toma 0 θ π. Algunas propiedades del producto escalar: (i) a b = 0 cuando a b. (ii) El producto escalar es conmutativo: a b = b a. 2. Producto vectorial de dos vectores: Dados dos vectores a y b, el producto vectorial entre ellos es un vector. El producto vectorial se denota a b y está dado por a b = (a y b z a z b y ) ˇx + (a z b x a x b z ) ˇy + (a x b y a y b x ) ž (3) donde ˇx = ǐ, ˇy = ǰ, ž = ǩ son los vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados. 5

6 El vector c = a b obtenido a partir del producto vectorial de los vectores a, b tiene las siguientes propiedades: (i) Es perpendicular al plano determinado por los vectores a, b. (ii) Su sentido está dado por la regla de la mano derecha. (iii) Su módulo está dado por a b = a b sin θ, (4) donde a, b denotan los módulos de los vectores a, b y θ es el ángulo comprendido entre ellos. Notar que 0 θ π (iv) A partir de la definición se sigue que: A B = B A. 15. (a) Mostrar que el producto escalar es conmutativo (propiedad (ii)). (b) Mostrar que el producto vectorial no es conmutativo (propiedad (iv)). 16. Demostrar la propiedad (iv) del producto vectorial. 17. Mostrar que a ( a b) = Considerar B = λ A. (a) Qué relación existe entre A y B? (b) Hallar A B usando (3). Cómo se relaciona el resultado con la propiedad (4)? Concluimos entonces que el producto vectorial es nulo para vectores paralelos. 19. Hallar A B y A B siendo A = 4ˇx y B = 6 ˇx + 6 ž. Graficar. 20. Bajo que condiciones el módulo de a b coincide con a b? 21. (a) Calcular el producto escalar A B para A = 3ǐ + 3ǰ y B el vector en el plano xy de módulo B = 2 que forma un ángulo de 30 o con el eje x. Verificar que el cálculo de A B a partir de (1) (usando las componentes cartesianas) coincide con el obtenido a partir de (2) usando los módulos y el ángulo comprendido entre los vectores. (b) Determinar el ángulo que forma el vector r = ǐ + 2ǰ + ǩ con el eje z y representar gráficamente. 6