Fundamentos de Cinemática.

Transcripción

1 Fundamentos de Cinemática. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato Estas notas de la clase de Dinámica de Maquinaria tienen como objetivo presentar aquellos conceptos fundamentales de la cinemática de partículas, cuerpos rígidos y mecanismos que son necesarios para el estudio de la Dinámica de Maquinaria. Estas notas contienen solo aquellos conceptos que no se han tratado en las notas de los cursos de Dinámica I, Dinámica II y Análisis y Síntesis de Mecanismos. De manera que es necesario que los estudiantes del curso de Dinámica de Maquinaria tengan a la mano las notas de los cursos anteriores indicados en este párrafo. Es importante indicar que, como ya se indicóenlaintroducciónaladinámica de maquinaria, en este curso, se estudiará exclusivamenteladinámica de maquinaria plana. Larazón de esta limitación es que los cursos previos de Dinámica I, Dinámica II y Análisis y Síntesis de Mecanismos, se han limitado al estudio de la dinámica plana. 1 Cinemática de la Partícula: Notación. El objeto mas sencillo en el estudio del movimiento de los objetos es una partícula o masa puntual o punto. En la clase de Dinámica I, una partícula se definió como un objeto de dimensiones arbitrarias que: 1. El objeto es incapaz de rotar.. El objeto puede rotar, pero su movimiento de rotación no es importancia para el análisis que se realiza. En el curso de Dinámica de Maquinaria, una partícula se define como un objeto de dimensiones tan pequeñas que es imposible determinar si el objeto rota o no. Por lo tanto, se asumirá que la partícula no rota. El estudio del movimiento de partículas y, posteriormente, de cuerpos rígidos requiere de uno o varios Sistemas de Referencia. Estos sistemas de referencia están constituidos por una persona con instrumentos de medición del tiempo y la distancia, 1 que permiten a la persona determinar, para cualquier instante de tiempo la posición de una o varias partículas. Es importante señalar que el concepto de un sistema de referencia es independiente del concepto de sistema coordenado, un Sistema Coordenado es un conjunto de un punto, denominado Origen y, en el plano, dos vectores unitarios de dirección constante o variable. Este sistema coordenado permite escribir el vector de posición de la partícula, respecto al origen, como una combinación lineal de los vectores unitarios. En las clases de Dinámica I y Dinámica II se emplearon los sistemas coordenados Cartesianos, Polares y Normal Tangencial. En el curso de Dinámica de Maquinaria, a menos que se indique lo contrario, los sistemas 1 De manera un cuanto tanto simplista se dice que los instrumentos son una regla y un reloj. 1

2 coordenados que se emplearán son cartesianos. Mas aún, cuando no ocasione confusión, el sistema de referencia cartesiano representará, de manera implícita, un sistema de referencia. El vector de posición de una partícula P, respecto a un sistema de referencia con un sistema coordenado cartesiano OXY está dado por rxp xp r P = =. (1) r yp Los escalares r xp y r yp,ox P y y P, se conocen como las coordenadas de la partícula P, respecto al sistema de referencia, representado implicitamente por el sistema coordenado cartesiano OXY, y denominado de aquí en adelante como un sistema coordenada cartesiano OXY. Como se indicó, a partir de estas componentes, el vector de posición de la partícula P puede escribirse como r P = r xp î + r yp ĵ = x P î + y P ĵ. () donde î y ĵ son vectores unitarios a lo largo de los ejes X y Y respectivamente. Vea la figura 1 y P Figure 1: Vector de Posición de una Partícula P. A partir de estos resultados es posible determinar la velocidad de la partícula P, respecto al sistema coordenado cartesiano OXY,estádadapor v P = r ṙxp ẋp P = =. (3) donde ṙ yp ṙ xp =ẋ P = dx P y ṙ yp =ẏ P = dy P (4) dt dt De manera semejante, la aceleración de la partícula P está dadapor a P = v P = r rxp ẍp P = =. (5) donde r yp ẏ P r xp =ẍ P = d x P dt y r yp =ÿ P = d y P dt (6) Es por ello que algunos autores hablan de Sistemas de Referencia Cartesianos. De esa manera se indica que el sistema coordenado que emplea el sistema de referencia es, precisamente, cartesiano. ÿ P

3 Cinemática del Cuerpo Rígido: Notación. Un cuerpo rígido se define como una agrupación de partículas tal que la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece constante. Puede probarse que no solo las distancias entre partículas permanecen sin cambio, los ángulos entre dos líneas cualesquiera del cuerpo también permanecen sin cambio. Es importante recordar que un cuerpo rígido es una abstracción que para muchas aplicaciones de ingeniería es muy satisfactoria. Cada uno de los cuerpos rígidos que se analizan constituye un sistema de referencia, pues en cada uno de ellos puede localizarse una persona con los instrumentos de medición necesarios. La descripción de la posición de un cuerpo rígido en el plano es un poco más complicado que la descripción de la posición de una partícula. Para describir la posición de un cuerpo rígido es posible determinar la posición de una partícula del cuerpo rígido, por ejemplo la partícula P mediante r P,yelángulo que forma una línea arbitraria del cuerpo con respecto al semieje positivo X del sistema coordenada cartesiano OXY asociado al sistema de referencia en cuestión, esta ángulo se denota φ, vea la Figura. De manera que las coordenadas del cuerpo estarán dadas por c = 4 r xp r yp φ 3 5 = 4 x P y P φ 3 5. (7) Figure : Posición de una Cuerpo Rígido B. Por otro lado, cada uno de los cuerpos rígidos analizados se convierte en un sistema de referencia móvil y en cada uno de esos cuerpos rígidos se puede colocar un nuevo sistema coordenado, vea la Figura 3. La localización del sistema coordenado en el cuerpo rígido es arbitraria; sin embargo, en la Dinámica de Maquinaria, es común localizar el origen del sistema coordenado en el centro de masas G. De manera que las coordenadas del cuerpo estarán dadas por c = 4 r 3 xg r yg 5 = 4 x 3 G y G 5. (8) φ φ 3 Cambio de Coordenadas Entre los Sistemas Coordenados. Es frecuente que un vector coordenado se conozca en un sistema coordenado y se desee conocer el vector coordenado correspondiente en otro sistema coordenado. Igualmente, es posible que el vector de posición de una partícula se conozca en un sistema coordenado y se desee conocer 3

4 Figure 3: Sistemas de Referencia Coordenados en Dos Cuerpos Rígidos. el vector de posición de la misma partícula en otro sistema coordenado. Esta sección muestra los procesos necesarios para realizar esas tareas. Figure 4: Transformación de Vectores en Diferentes Sistemas de Referencia Coordenados. Considere el vector v, vea la Figura 4, cuyo vector coordenado respecto al sistema coordenado Gxy está dadopor v Gxy =. El problema consiste en encontrar el vector coordenado, del vector v, respecto al sistema coordenado OXY. Si se denominan î B y ĵ B los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados x y y fijos al cuerpo rígido B respectivamente y, de manera semejante, se demoninan î A y ĵ A los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados X y Y fijos al cuerpo rígido A respectivamente, el vector v puede escribirse como v = v x î B + ĵ B = v x (Cφî A + Sφĵ A )+ ( Sφî A + Cφĵ A ) = (v x Cφ Sφ)î A +(v x Sφ+ Cφ)ĵ A (9) En forma matricial, la ecuación (9) puede escribirse como vx Cφ v v OXY = = y Sφ Cφ Sφ = v x Sφ+ Cφ Sφ Cφ v Y = R v Gxy, (10) donde R se denomina la matriz de rotación asociada al paso del sistema coordenado OXY al sistema coordenado Gxy. La matriz de rotación R es ortogonal propia, es decir satisface las 4

5 condiciones R T R = I = RR T y R =1. (11) En particular, como resultado de la primera condición, se tiene que R 1 = R T. (1) De la ecuación (10), se tiene que v Gxy = R 1 v OXY = R T v OXY (13) o en forma desarrollada v Gxy = = R 1 v OXY = R T Cφ v OXY = Sφ Sφ Cφ vx v Y = vx Cφ+ v Y Sφ v X Sφ+ v Y Cφ (14) Figure 5: Transformación de Vectores de Posición en Diferentes Sistemas de Referencia Coordenados. Considere ahora el punto P mostrado en la Figura 5, en términos del sistema coordenado Gxy, el vector está dadopor rpx r P/G =, (15) Si el vector coordenado del centro de masas, G, del cuerpo B, estádadoentérminos del sistema coordenado OXY por rgx r G/O =, (16) es necesario determinar el vector de posición del mismo punto P, en términos del sistema coordenado OXY.Del álgebra vectorial, se tiene que r Py r GY r P/O = r G/O + r P/G (17) Sin embargo, los vectores r G/O y r P/G están expresados en términos de diferentes sistemas coordenados. Por lo tanto, para expresar el vector r P/O en términos del sistema coordenado OXY,setieneque rpx rgx Cφ Sφ rpx r P/O = = + = r Sφ Cφ G/O + R r P/G. (18) r PY r GY r Py 5