Funciones de Hilbert y códigos de tipo Reed Muller

Transcripción

1 Funciones de Hilbert y códigos de tipo Reed Muller Rafael Heraclio Villarreal, CINVESTAV-IPN XII Coloquio Nacional de Códigos, Criptografía, y Areas Relacionadas UAM, Casa de la Primera Imprenta de América CDMX, martes 27 junio, 2017, 16:00-16:40 horas

2 Sean K un campo, S = K [t] anillo de polinomios en una variable t, S d espacio vectorial de los f S con grado(f ) d, X = {P 1,..., P m } un conjunto de puntos en K, d 1 un entero. Problema de Interpolación: Dados escalares c 1,..., c m en K, existe f K [t] d tal que f (P i ) = c i para i = 1,..., m?

3 Sea K = F q un campo finito. Hay una función K -lineal T d : S d K m, f (f (P 1 ),..., f (P m )). La imagen de S d bajo T d, denotada por C X (d), se llama código Reed Solomon de grado d en X. Reformulación Problema de Interpolación: para que valores de d se satisface C d (X) = K m? cual es el menor entero d 1 tal que C d (X) = K m? El ideal anulador de X, denotado por I(X), es el conjunto de todos los polinomios de K [t] que se anulan en todos los puntos de X.

4 Por lo tanto S d /I(X) d C X (d). Usando el algoritmo de la división obtenemos: I(X) = ((t P 1 ) (t P m )). La función de Hilbert Afín de S/I(X), denotada por HX a (d), se define como H a X(d) := dim K (S d /I(X) d ) = dim K (C X (d)).

5 Sea g(t) = (t P 1 ) (t P m ). Es fácil ver que {1, t,..., t d } is a K -basis of S d/(g(t)) d si d < m 1, {1, t,..., t m 1 } is a K -basis of S d/(g(t)) d si d m 1. Por lo tanto obtenemos: d + 1 si 1 d < m 1 HX(d) a = m si d m 1. En particular H a X (d) = m si y solo si C X(d) = K m.

6 El menor entero d 1 para el que existe Interpolación polinomial es d = m 1. Este número se llama la regularidad de H a X y se denota por reg(ha X ). La distancia mínima de C X (d), denotada por δ X (d), se define como δ X (d) := min{ X \ V X (f ) : f S d \ I(X)}, donde V X (f ) = {α X f (α) = 0}.

7 Proposición Supongamos que para algún d 1 no hay interpolación polinomial, es decir, d < reg(hx a ) = m 1. Entonces La distancia mínima de C X (d) es δ X (d) = m d 2. Demostración Notar X \ V X (f ) = m d, donde f = (t P 1 ) (t P d ). Por lo tanto δ X (d) m d. Sea f cualquier polinomio en S d \ I(X). Entonces f tiene a lo más d raices X, esto es, V X (f ) d. Entonces X \ V X (f ) m d. Luego entonces δ X (d) m d.

8 Parámetros Basicos de C X (d) Longitud: m = X = deg(s/i(x)) Dimensión: dim K (C X (d)) = d + 1 para d < m 1 Distancia mínima: δ X (d) = m d para d < m 1 δ X (d) = X dim K (C X (d)) + 1 (en general )

9 Generalizando los Códigos Reed-Solomon Sean K = F q un campo, X = {P 1,..., P m } K s, S = K [t 1,..., t s ] campo finito, El código afín tipo Reed Muller es: C X (d) := {(f (P 1 ),..., f (P m )) f S d } K m. Parámetros básicos Longitud: deg(s/i(x)) = X = m, Dimensión: H a I (d) = dim K (C X (d)) Distancia mínima: δ X (d) := min{ X \ V X (f ) : f S d \ I(X)}, donde V X (f ) = {α X f (α) = 0}.

10 Cota de Singleton δ X (d) X dim K (C X (d)) + 1. La distancia mínima es difícil de calcular. El siguiente resultado es útil para su estimación. Lemma Si 0 f S, entonces el número de ceros de f en X está dado por: deg(s/(i(x), f )) if (I(X): f ) I(X), V X (f ) = 0 if (I(X): f ) = I(X), donde (I(X): f ) = {g S gf I(X)}.

11 Example S = K [x, y], K = F 71, X = K 2. Usando Macaulay2, obtenemos que el polinomio f = y 2 x 3 + x tiene 71 ceros en X = K 2. La correspondiente curva elíptica C = V X (f ) {0} tiene 72 puntos. En este caso I(X) = (x 71 x, y 71 y), V X (f ) = deg(f 71 [x, y]/(i(x), f )) = 71

12 Funciones de Hilbert Sea S = K [t 1,..., t s ] = d=0 S d un anillo de polinomios con la graduación estándar, K un campo. I S es un ideal graduado de dimensión k = dim S/I La función de Hilbert de S/I es: H I (d) := dim K (S d /I d ), d = 0, 1, 2,... Theorem (Hilbert) Existe un polinomio h I (t) Q[t] de grado k 1 tal que H I (d) = h I (d) para d 0

13 El grado de S/I, denotado por deg(s/i), es el entero positivo (k 1)! lim d H I (d)/d k 1 si k 1 deg(s/i) := dim K (S/I) si k = 0. El índice de regularidad de H I, denotado reg(h I ), es el menor entero r 0 tal que H I (d) = h I (d) para d r. Si I S es Cohen-Macaulay y dim(s/i) = 1, entonces reg(h I ) es la regularidad de Castelnuovo-Mumford del anillo graduado S/I.

14 Ideales anuladores El siguiente objetivo es generalizar los códigos afines tipo Reed Muller usando el espacio proyectivo. P s 1 es el espacio proyectivo sobre K = F q X es un subconjunto de P s 1 I(X) S es el ideal anulador de X S/I(X) es un anillo graduado Cohen Macaulay de dimensión de Krull 1 La función de Hilbert de S/I(X) se denota por H X (d)

15 Códigos proyectivos tipo Reed Muller Sea K = F q un campo finito, X = {[P 1 ],..., [P m ]} P s 1 con m = X. Fijamos un entero d 1. Hay una función K -lineal: T d : S d K m, f (f (P 1 ),..., f (P m )). La imagen de S d bajo T d, denotada C X (d), se llama un código proyectivo de tipo Reed Muller de grado d.

16 Los parámetros básicos del código lineal C X (d) son: (a) longitud: X, (b) dimensión: dim K C X (d), (c) distancia mínima: δ X (d) = min{ v : 0 v C X (d)}, donde v es el número de entradas no cero de v.

17 Lo siguiente da la bien conocida relación entre códigos de tipo Reed-Muller y funciones de Hilbert: (a) deg(s/i(x)) = X. (b) H X (d) = dim K C X (d) for d 0. (c) δ X (d) = 1 for d reg(h I ). (d) Cota de Singleton: δ X (d) X H X (d) + 1.

18 Lemma Si 0 f S es homogeneo, entonces el número de ceros de f en X está dado por deg(s/(i(x), f )) si (I(X): f ) I(X), V X (f ) = 0 si (I(X): f ) = I(X). Example Usando Macaulay2, obtenemos que el polinomio f = t t t t 1 t 2 t 3 tiene 18 ceros en X = P 2 sobre el campo K = F 13. Notar que el ideal anulador de P 2 es: I(X) = (t 13 1 t 2 t 1 t 13 2, t 13 1 t 3 t 1 t 13 3, t 13 2 t 3 t 2 t 13 3 ).

19 Sea I = I(X). La distancia mínima se expresa como: δ X (d) = min{ T d (f ) : T d (f ) 0; f S d }, = min{ X \ V X (f ) : f S d \ I(X)} = X max{deg(s/(i, f )) f S d \ I, (I : f ) I} Para códigos tipo Reed-Muller esta fórmula en términos del grado permite calcular la distancia mínima usando bases de Gröbner.

20 Example Sean S = F 3 [t 1, t 2, t 3 ] y X el conjunto de puntos en P 2 : [(1, 1, 0)], [(1, 1, 0)], [(1, 0, 1)], [(1, 0, 1)], [(1, 1, 1)], [(1, 1, 1)]. Entonces I(X) = (t 2 2 t 3 t 2 t 2 3, t 2 1 t t 2t 3 t 2 3 ) y los parámetros básicos de C X (d) son: d X H X (d) δ X (d) 3 2 1

21 Existen enteros r 1 y r 1 1 tales que 1 = H X (0) < H X (1) < < H X (r 1) < H X (d) = X para d r = reg(h I(X) ), δ X (1) > δ X (2) > > δ X (r 1 ) = δ X (d) = 1 para d r 1. El entero r 1, denotado por reg(δ X ), se llama el índice de regularidad de δ X. En general reg(δ X ) reg(h I(X) ). En efecto, usando δ X (d) X H X (d) + 1, obtenemos que δ X (d) = 1 para d reg(h I(X) ).

22 Comparando las funciones HI(X) y δx

23 Example Sea K el campo F 3. Consideremos el conjunto X = {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0]} P 2 Usando Macaulay2, obtenemos que reg(h I(X) ) = 3. Tenemos que δ X (1) = 1 pues el polinomio t 1 + t 2 + t 3 se anula en todos los puntos de X \ {[1, 0, 0]}. Por lo tanto 1 = reg(δ X ) < reg(h I(X) ) = 3 Existen muchas familias donde reg(δ X ) = reg(h I(X) ).

24 Problema Principal: Si X tiene una buena estructura algebraica o combinatoria encontrar fórmulas, en términos de s, q, d, y la estructura de X, para los parámetros básicos de C X (d): (a) H X (d), (b) deg(s/i(x)), (c) δ X (d), (d) reg(h I(X) ). En particular nos interesan los siguientes casos: X está parametrizado por monomios y v 1,..., y v s. X es un conjunto cartesiano proyectivo anidado.

25 The basic parameters of projective Reed-Muller-type codes have been computed in some cases: If X = P s 1, C X (d) is the classical projective Reed Muller code. Formulas for its basic parameters were given by [Sørensen, IEEE Trans. Inform. Theory, 1991]. If X is a projective torus, C X (d) is the generalized projective Reed Solomon code. Formulas for its basic parameters are known [Sarmiento, Vaz Pinto, -, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 2011].

26 Conjecture If I(X) = (f 1,..., f r ) is a complete intersection, with r = s 1, d i = deg(f i ) and 1 d i d i+1 for i 1, then δ X (d) (d k+1 l) d k+2 d r, where 0 k r 1 and l are integers such that d = k i=1 (d i 1) + l and 1 l d k+1 1. This conjecture can be restated as: If I(X) = (f 1,..., f r ) is a complete intersection, then V X (f ) deg(s/i(x)) (d k+1 l) d k+2 d r, for f S d \ I(X), where r = s 1.

27 The conjecture is true if for some monomial order the intial ideal of I(X) is a complete intersection. Proposition If X P 1 and I(X) is a complete intersection, then X d if 1 d X 2, δ I(X) (d) = 1 if d X 1.

28 The following is a special case of the conjecture: Conjecture (Tohǎneanu and Van Tuyl) Let X be a finite set of points in P s 1. If I(X) is a complete intersection generated by f 1,..., f s 1, with d i = deg(f i ) for i = 1,..., s 1, and 2 d i d i+1 for all i, then δ X (1) (d 1 1)d 2 d s 1. This conjecture is true if the initial ideal of I(X) is a complete intersection for some monomial order.

29 Given a collection of subsets A 1,..., A r of a finite field K = F q with r = s 1, we denote the image of X = A 1 A r under the map A s 1 P s 1, x [(x, 1)], by X = [A 1 A r 1]. The Reed-Muller-type code C X (d) of degree d is called an affine cartesian code. Remark If t 1 t s, then in (I(X)) = (t d 1 1,..., t dr r ).

30 Theorem (López, Rentería, -, 2014) If K = F q, X = [A 1 A r 1] P s 1 with r = s 1, and 1 d i d i+1 for i 1, with d i = A i, and d 1, then the minimum distance of C X (d) is given by (d k+1 l) d k+2 d r if d r (d i 1) 1, i=1 δ X (d) = 1 if d r (d i 1), i=1 where k 0, l are the unique integers such that d = k i=1 (d i 1) + l and 1 l d k+1 1.

31 Let A 1,..., A s be a collection of subsets of P s 1 and let X = [A 1 A s ] be the image of A 1 A s \ {0} under the map K s \ {0} P s 1, x [x]. The set X is called a projective nested cartesian set if (i) {0, 1} A i for i = 1,..., s, (ii) a/b A j for 1 i < j s, a A j, 0 b A i, and (iii d 1 d s, where d i = A i for i = 1,..., s. If X is a projective nested cartesian set, we call C X (d) a projective nested cartesian code.

32 Conjecture (Carvalho, Lopez-Neumann and López, 2014) Let C X (d) be the d-th projective nested cartesian code on the set X = [A 1 A s ] with d i = A i for i = 1,..., s. Then its minimum distance is given by (d k+2 l + 1) d k+3 d s if d s (d i 1), i=2 δ X (d) = 1 if d s (d i 1) + 1, where 0 k s 2 and l are the unique integers such that d = k+1 i=2 (d i 1) + l and 1 l d k+2 1. i=2

33 The conjecture of Carvalho, Lopez-Neumann, López fails: Example Let K be the field F 3 and let X be the set in P 3 given by X = [A 1 A 2 A 3 ], where A 1 = {0, 1}, A 2 = {0, 1}, A 3 = {0, 1, 2}. Using Macaulay2, we get the basic parameters of C X (d): d X H X (d) δ X (d) The polynomial f = t 3 (t 2 3 t 2 2 t t 1t 2 ) vanishes at all points of X \ {e 3 } and f (e 3 ) = 1. Thus δ X (3) = 1.

34 Example (Continuation) In the following table we show the values of the minimum distance of the conjecture of Carvalho, Lopez-Neumann, López. Thus this conjecture fails. d k / l / δ X (d)

35 Example Let K be the field F 4 and let X be the set X = [A 1 A 2 A 3 ], A 1 = {0, 1}, A 2 = {0, 1}, A 3 = F 4. Using Macaulay2, we get d X H X (d) δ X (d) The polynomial f = t 3 (t 3 3 t 3 2 t t 2 1 t 2) vanishes at all points of X \ {e 3 } and f (e 3 ) = 1. This shows that δ X (4) = 1.

36 Example (Continuation) In the following table we show the values of the minimum distance of the conjecture of Carvalho, Lopez-Neumann, López. Thus this conjecture fails even if A 1,..., A s are subfields of F q. d k / l / δ X (d)

37 Let be the lexicographical order on S with t 1 t s and let X = [A 1 A s ] be a projective nested cartesian set with d i = A i for i = 1,..., s. Proposition (Carvalho, Lopez-Neumann and López, 2014) The initial ideal of I(X ) is generated by the set of all t i t d j j such that 1 i < j s, s deg(s/i(x )) = 1 + d i d s, reg(s/i(x )) = i=2 s (d i 1) + 1. i=2

38 Let L be the ideal of S generated by all t i t d j j such that i < j. We will introduce a new family of ideals that generalize L A digraph D consists of a finite set V (D) of vertices together with a prescribed collection E(D) of ordered pairs of distinct points called edges or arrows. An oriented graph is a digraph having no oriented cycles of length two. In other words an oriented graph D is a simple graph G together with an orientation of its edges. We call G the underlying graph of D. If a digraph D has a function d : V (D) N +, we call D a vertex-weighted digraph.

39 Let D be a vertex-weighted digraph with vertex set V (D) = {t 1,..., t s }. The weight d(t i ) of t i is denoted by d i. If a vertex t i is a source (i.e., has only arrows leaving t i ) we shall always assume that d i = 1. The edge-ideal of D, denoted I(D), is the ideal Example I(D) = (t i t d j j (t i, t j ) E(D)). Let D be the complete oriented graph on the vertex set V (D) = {t 1,..., t s } whose edges are the set of all pairs (t i, t j ) such that i < j. If t i has weight d i, then I(D) is equal to L, the initial ideal of I(X ).

40 A major result of Pitones, Reyes and Toledo shows an explicit combinatorial expression for the irredundant decomposition of I(D) as an intersection of irreducible monomial ideals.

41 Future Works Conjecture Let X be a projective torus in P s 1 and let δ r (C X (d)) be the r-th generalized Hamming weight of C X (d). Then δ r (C X (d)) = [ (q 1) r 1 (q l) 1 ] (q 1) s k r 1 for 1 r s k 1, 1 r H X (d), where d = k(q 2) + l, 0 k s 2, 1 l q 2. If r s k we do not know of any candidate for δ r (C X (d)). If X is understood, we set δ r (d) = δ r (C X (d)).

42 THE END