Introducción al Algebra Lineal

Transcripción

1 Introducción al Algebra Lineal Independencia Lineal, Espacios vectoriales, Transformaciones Lineales y valores y vectores propios Darwin Eduardo Martínez Riaño [email protected] Maestría en Modelado y Simulación Universidad Central y Universidad Jorge Tadeo Lozano Monday 10 th February, 2014 Fundamentos Matemáticos para el Modelado y la Simulación

2 Agenda 1 Independencia lineal y rango de una matriz Independencia lineal y dependencia de vectores Rango de una matriz 2 Espacios vectoriales Espacios vectoriales Espacios con producto interior 3 Transformaciones lineales Composición de transformaciones lineales 4 Valores y vectores propios

3 Agenda 1 Independencia lineal y rango de una matriz Independencia lineal y dependencia de vectores Rango de una matriz 2 Espacios vectoriales 3 Transformaciones lineales 4 Valores y vectores propios

4 Independencia lineal y dependencia de vectores Combinación lineal Combinación lineal Un vector x es una combinación lineal de un conjunto de vectores {a (1),, a (m) } (V, K) si se puede expresar como la suma de los vectores, multiplicado cada uno de ellos por un coeficiente escalar c 1,, c m respectivamente x = c 1 a (1) + c 2 a (2) + + c m a (m) = m c i a (i) i= =

5 Independencia lineal y dependencia de vectores Independencia y dependencia lineal Definición Considere c 1 a (1) + c 2 a (2) + + c m a (m) = 0 (1) la ecuación 1 es válida, si y solo si, todos los escalares c j son cero. Entonces los vectores a (1),, a (m) son linealmente independientes si ningún vector a j {a (1),, a (m) } puede representarse como combinación lineal de los otros vectores en el conjunto. De manera similar si existe al menos un vector a j que sea combinación de otros vectores entonces es dependiente linealmente a j = m c i a (i) i=1 i j

6 Independencia lineal y dependencia de vectores Independencia lineal Ejemplo Considere: a = [ ] [ ] 1 4, b = 2 2 Sean α 1 y α 2 dos números reales tales que [ ] [ ] [ ] α 1 + α 2 2 = 2 0 o en su representación como ecuaciones: α 1 + 4α 2 = 0 2α 1 2α 2 = 0

7 Independencia lineal y dependencia de vectores Independencia lineal Ejemplo Considere: a = [ ] [ ] 1 4, b = 2 2 Sean α 1 y α 2 dos números reales tales que [ ] [ ] [ ] α 1 + α 2 2 = 2 0 o en su representación como ecuaciones: α 1 + 4α 2 = 0 2α 1 2α 2 = 0 Por qué se iguala a cero?

8 Independencia lineal y dependencia de vectores Independencia lineal Ejemplo Considere: a = [ ] [ ] 1 4, b = 2 2 Sean α 1 y α 2 dos números reales tales que [ ] [ ] [ ] α 1 + α 2 2 = 2 0 o en su representación como ecuaciones: α 1 + 4α 2 = 0 2α 1 2α 2 = 0 La única solución para el sistema es α 1 = 0 y α 2 = 0

9 Independencia lineal y dependencia de vectores Independencia lineal Ejemplo Considere: a = [ ] [ ] 1 4, b = 2 2 Sean α 1 y α 2 dos números reales tales que [ ] [ ] [ ] α 1 + α 2 2 = 2 0 o en su representación como ecuaciones: α 1 + 4α 2 = 0 2α 1 2α 2 = 0 a y b son dependientes si van en la misma dirección a y b son independientes forman el plano(espacio 2D)

10 Rango de una matriz Rango de una matriz Definición Matrix rank The rank of a matrix or a linear transformation a is the dimension of the image of the matrix or the linear transformation, corresponding to the number of linearly independent rows or columns of the matrix, or to the number of nonzero singular values of the map. a Se denota por rangoa

11 Rango de una matriz Rango de una matriz Ejemplo Sea A el rango A = 2, porque el vector de la primera fila es una combinación lineal de los otros dos vectores fila en A Una matriz A 1 es equivalente por filas a una matriz A 2 si A 1 se puede obtener a partir de A 2 por un conjunto finito de operaciones sobre filas. Las matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango.

12 Rango de una matriz Rango de una matriz Ejemplo A = Fila2 + 2Fila Fila3 7Fila = Fila3 1 2 Fila2 = Entonces el rango A = 2

13 Agenda 1 Independencia lineal y rango de una matriz 2 Espacios vectoriales Espacios vectoriales Espacios con producto interior 3 Transformaciones lineales 4 Valores y vectores propios

14 Espacios vectoriales Espacios vectoriales Definición y propiedades Espacio Vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (colección de escalares) es un conjunto V no vacio, de vectores con las dos operaciones algebráicas suma y multiplicación por un escalar Para que V sea considerado un espacio vectorial se deben cumplir las siguientes condiciones para todos los elementos a, b, c V y cualquier escalar α y β en K: a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = 0 + a = a a + ( a) = 0 α(βa) = (αβ)a (α + β)a = αa + βa α(a + b) = αa + αb 1a = a Por ejemplo, el espacio euclideano n-dimensional R n

15 Espacios vectoriales Espacios vectoriales Términos y ejemplos Dimensión Es el número máximo de vectores linealmente independientes en V y se denota por dim V Base Es un conjunto ordenado de vectores en V compuesto por el máximo número posible de vectores linalmente independiente de V, tal que: Todos los elementos de la base pertenecen a V. Todo elemento de V se puede escribir como combinacin lineal de los elementos de la base.

16 Espacios vectoriales Espacios vectoriales Términos y ejemplos Dimensión Es el número máximo de vectores linealmente independientes en V y se denota por dim V Base Es un conjunto ordenado de vectores en V compuesto por el máximo número posible de vectores linalmente independiente de V, tal que: Todos los elementos de la base pertenecen a V. Todo elemento de V se puede escribir como combinacin lineal de los elementos de la base. B = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} la cual es conocida como base cannica de R 3. Otras bases de R 3 son: B = {(2, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} B = {(504, 0, 0); (0, 7, 0); (0, 0, 1/2)}

17 Espacios vectoriales Espacios vectoriales Términos y ejemplos Los vectores de n componenentes que conforman el espacio real n dimensional (R n ) son llamados vectores reales. Cada vector en R n es una n tupla ordenada de números reales. De manera similar, al tomar n tuplas de números complejos como vectores y números complejos como escalares, obtenemos el espacio vectorial complejo C n Adicionalmente, existen otros conjunto de interes especial para los cuales se puede definir la adición y la multiplicación escalar por lo cual forman espacios vectoriales de manera natural. Por ejemplo: Matrices, funciones y transformaciones.

18 Espacios con producto interior Espacios con producto interior Definición Real Inner Product Space A real vector space V is called a real inner product space if it has the following property. With every pair of vectors a and b in V there is associated a real number, which is denoted by (a, b) and is called the inner product of a and b, such that the following axioms are satisfied. I For all scalars q 1 and q 2 and all vectors a, b, c V, (q 1a + q 2b, c) = q 1(ac) + q 2(bc) (Linearity) II For all vectors a and b in V, (a, b) = (b, a) III For every a in V, (a, a) 0 (a, a) = 0 if and only if a = 0 (Symmetry) (Positive definiteness)

19 Espacios con producto interior Espacios con producto interior Propiedades Si a y b son vectores columna en R n, podemos formar el producto a T b. Esto es una matriz de 1 1, la cual podemos identificar con una componente sencillo, es decir con un número. Este producto es llamado el producto interno o producto punto de a y b. Otras notaciones par el son (a, b) y a b entonces: a T b = (a, b) = a b = [ ] a 1 a n = b 1. b n n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. i=1 Los vectores cuyo producto interno es cero son llamados ortogonales. La longitud o norma de un vector en V esta definida por a = (a, a) ( 0) (2) Un vector con norma 1 es llamado vector unitario.

20 Espacios con producto interior Espacios con producto interior Propiedades From these axioms and from (2) one can derive the basic inequality From this follows (a, b) a b (CauchySchwarz inequality) (3) a + b a + b (Triangle inequality) (4) A simple direct calculation gives a + b 2 + a b 2 = 2( a 2 + b 2 ) Ejemplo:Espacio Euclidiano n dimensional R n con el producto interno (Parallelogram equality) (5) (a, b) = a T b = a 1b a nb n (6) Llamado E n o simplemente R n. Los axiomas se muestran por cálculo directo, así la ecuación 2 nos da la norma euclideana a = (a, a) = a T a = a1 2 (7)

21 Espacios con producto interior Espacios con producto interno Ejemplo: espacio de funciones El conjunto de todas las funciones continuas de valores reales f (x), g(x),... en un intervalo dado α x β. En este Espacio funcional podemos definir el producto interno por la integral (f, g) = β α f (x)g(x)dx (8) Los axiomas pueden ser verificados por calculo directo, así la ecuación 2 nos da la norma: β f = (f, f ) = α f (x) 2 dx (9)

22 Agenda 1 Independencia lineal y rango de una matriz 2 Espacios vectoriales 3 Transformaciones lineales Composición de transformaciones lineales 4 Valores y vectores propios

23 Transformaciones lineales Definición Linear Transformation a A linear transformation between two vector spaces V and W is a map T : V W such that the following hold: 1 T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) for any vectors v 1 and v 2 in V, and 2 T (αv) = αt (v) for any scalar α. a Rowland, Todd and Weisstein, Eric W. Linear Transformation. From MathWorld A Wolfram Web Resource. Una transformación lineal puede o no ser inyectiva o subyectiva Cuando V y W tienen la misma dimensión, es posible que T sea invertible. T 1 : TT 1 = I T (0) = 0 Also, a linear transformation always maps lines to lines (or to zero).

24 Transformaciones lineales Ejemplo: Transformación lineal 3D Sea A una matrix de n m, defina T (v) = Av, donde v es escribe como vector columna (con m coordenadas). Por ejemplo: Considere: A = Entonces T es una trasformación lineal de R 2 R 3 definida por: T (x, y) = (y, 2x + 2y, x). Cuando V y W son dimensionalmente finitos, una transformación lineal general puede escribirse como una multiplicación de matrices únicamente después de indicar la base del espacio vectorial para V y W. Cuando V y W tienen producto interno y sus bases v 1,, v m y w 1,, v n son orto-normales, es fácil escribir la matriz correspondiente A = [a ij ]. En particular, a ij =< w i, T (v j ) >

25 Transformaciones lineales Linear Transformation of Space R n into Space R m From now on we let X = R n and Y = R m. Then any real m n matrix A = [a jk ] gives a transformation of R n into R m. y = Ax (10) Since A(u + x) = Au + Ax and A(cx) = cax, this transformation is linear. Let e (1),, e (n) be any basis for R n. every x in R n has a unique representation. x = x 1e (1) + x ne (n) Since F is linear, this representation implies for the image F (x): F (x) = F (x 1e (1) + + x ne (n) ) = x 1F (e (1) ) + + x nf (e (n) ) F is uniquely determined by the images of the vectors of a basis for R n. Choose for R n the standard basis e (1) =., e 1 (2) =., e 0 (n) = (11)

26 Transformaciones lineales Linear Transformation of Space R n into Space R m From now on we let X = R n and Y = R m. Then any real m n matrix A = [a jk ] gives a transformation of R n into R m. y = Ax (10) Since A(u + x) = Au + Ax and A(cx) = cax, this transformation is linear. Indeed, from the image y (1) = F (e (1) ) We can now determine an m n of e (1) we get the condition matrix A = [a jk ] such that for every x R n and image y = F (x) R m, y (1) 1 a 11 a 1n 1 y y = F (x) = Ax (1) =... = y m (1) a m1 a mn 0 We say that A represents F, or is a representation of F, with respect to the bases for R n and R m

27 Transformaciones lineales Ejemplos de trasnformaciones en 2D [ ] Reflection in the line x 2 = x 1 [ ] Reflection in the origin [ ] Reflection in the x 1 axis [ ] a Stretch in x 1 direction

28 Composición de transformaciones lineales Composición de transformaciones lineales Definición Composición de transformaciones lineales Sean X, Y, W espacios vectoriales. Sea F una transformación lineal de X a Y. Sea G una trasnformación lineal de W a X. Denote por H la composición de F y G tal que: H = F G = FG = F (G) Que significa aplicar la transformación G y entonces aplicar la transformación F Sea w W, entonces G(w) es un vector en X Y F (G(w)) es un vector en Y, entonces H mapea W a Y y se pude escribir como: H(w) = (F G)(w) = (FG)(w) = F (G(w)) (11)

29 Composición de transformaciones lineales Composición de transformaciones lineales Ejemplo Sean A = [ ] 0 1, y B = 1 0 [ ] a Entonces al aplicar la transformación a un vector w = [w 1 w 2 ] T : [ ] [ ] [ ] 0 1 a 0 w1 ABw = (AB)w = [ ] [ 0 1 w1 a 0 ABw = (AB)w = w 2 [ w2 w 2 ] aw 1 ]

30 Agenda 1 Independencia lineal y rango de una matriz 2 Espacios vectoriales 3 Transformaciones lineales 4 Valores y vectores propios

31 Valores y vectores propios Definción Definción Let A be a linear transformation represented by a matrix A. If there is a vector x R n 0 such that Ax = λx (12) for some scalar λ, then λ is called the eigenvalue of A with corresponding (right) eigenvector x.

32 Valores y vectores propios Definición Letting A be a k k square matrix a ( 11) a ( 12) a ( 1k) a ( 21) a ( 22) a ( 2k) a ( k1) a ( k2) a ( kk) with eigenvalue λ, then the corresponding eigenvectors satisfy a ( 11) a ( 12) a ( 1k) x 1 x 1 a ( 21) a ( 22) a ( 2k) x = λ x 2. a ( k1) a ( k2) a ( kk) x k x k (13) (14)

33 Valores y vectores propios Definición which is equivalent to the homogeneous system a ( 11) λ a ( 12) a ( 1k) x 1 0 a ( 21) a ( 22) λ a ( 2k) x = 0. a ( k1) a ( k2) a ( kk) λ x k 0 Equation 15 can be written compactly as (15) (A λi)x = 0, (16) where I is the identity matrix. As shown in Cramer s rule, a linear system of equations has nontrivial solutions iff the determinant vanishes, so the solutions of equation 16 are given by det(a λi) = 0. (17) This equation is known as the characteristic equation of A, and the left-hand side is known as the characteristic polynomial.

34 Valores y vectores propios How to find EigenValues and Eigenvectors A = [ ] [ ] [ ] 5 2 x1 Ax = = λ 2 2 x 2 [ x1 x 2 ] 5x 1 + 2x 2 = λx 1 2x 1 2x 2 = λx 2 ( 5 λ)x 1 + 2x 2 = 0 (A λi)x = 0 2x 1 (2 + λ)x 2 = 0 because Ax = λx is Ax λx = Ax λix = (A λi)x = 0. We see that this is a homogeneous linear system. By Cramers theorem it has a nontrivial solution x = 0 (an eigenvector of A we are looking for) if and only if its coefficient determinant is zero.

35 Valores y vectores propios How to find EigenValues and Eigenvectors D(λ) = det(a λi) = ( 5 λ) λ = ( 5 λ)( 2 λ) (2)(2) = λ 2 + 7λ + 6 = 0 The solution of this quadratic equation are λ 1 = 1 and λ 2 = 6. These are the eigenvalues of A

36 Valores y vectores propios How to find EigenValues and Eigenvectors The Eigenvector of A corresponding to λ 1. 4x 1 + 2x 2 = 0 2x 1 x 2 = 0 A solution is x 2 = 2x 1, as we see from either of the two equations, so that we need only one of them. This determines an eigenvector corresponding to λ 1 = 1 up to a scalar multiple. If we choose x 1 = 1, we obtain the eigenvector X 1 = [ 1 2], Check : [ [ ] = 2 2] 2 [ ] 1 = ( 1)x 2 1 = λ 1 x 1

37 Valores y vectores propios How to find EigenValues and Eigenvectors The Eigenvector of A corresponding to λ 2 = 6. x 1 + 2x 2 = 0 2x 1 + 4x 2 = 0 A solution is x 2 = x1 2, with arbitrary x 1. If we choose x 1 = 2, we get x 2 = 1 the eigenvectorof A corresponding to λ 2 is X 2 = [ 2 1], Check : [ [ ] ] 1 = [ 12 6 ] = ( 6)x 2 = λ 2 x 2