Correlaciones en la red

Transcripción

1 Correlaciones en la red

2 Homofilia Layout de red social en consonancia con dos variables de contexto: raza y edad Race, School Integration, and Friendship Segregation in America, James Moody 2001 como se cuantifica?

3 Assortative mixing para variables categóricas Supongamos que nodos de una red puedan clasificarse de acuerdo a cierta característica en un conjunto discreto y finito de valores (e.g. género, raza, etc) La red es asortativa (disortativa) si una fracción significativa de enlaces se establece entre nodos del mismo (diferente) tipo.

4 Assortative mixing: caracerísticas categóricas v.1 Supongamos que existen n c clases diferentes para los n nodos de una red de m enlaces. Sea c i la clase del nodo-i. El número de enlaces entre mismo tipo de nodos resulta: c 1 : blanco c 2 : negro c 3 : otro Red real δ c i, c j = 1 sii c i = c j Red aleatoria (recableado: ver siguiente slide y volver) 1 2 ij k i k j 2m δ(c i, c j ) chances de que nodo-j esté al otro extremo de un enlace del nodo-i i j

5 Red aleatoria que preserva distribucion de grado Recableado de la red, preservando la distribución de grado original elijo un enlace entre nodos S 1, T 1 elijo enlace entre nodos S 2, T 2 mezclo extremos generando enlaces S 1 -T 2 y S 2 -T 1

6 Assortative mixing: caracerísticas categóricas v.1 Supongamos que existen n c clases diferentes para los n nodos de una red de m enlaces. Sea c i la clase del nodo-i. El número de enlaces entre mismo tipo de nodos resulta: Red real Red aleatoria (recableado) δ c i, c j = 1 sii c i = c j Consideramos la diferencia: modularidad 0< Q < 1 si hay más enlaces entre vertices del mismo tipo que los esperados por azar Q < 0 si hay menos enlaces entre vertices del mismo tipo que los esperados por azar

7 Assortative mixing: caracerísticas categóricas v.1 En general Q < 1 aun para casos perfectamente asortativos: A ij = δ c i, c j Para este caso resulta ij A ij δ c i, c j = ij A ij =2m Y podemos definir una modularidad normalizada

8 Assortative mixing: caracerísticas categóricas v.2 Otra manera de computar modularidad, en términos de: la fracción de enlaces entre nodos de la clases r y s (o sea, probabilidad de encontrar un nodo de clase r y otro de clase s en los extremos de un enlace). La fracción de enlaces adyacente a nodos del tipo r (o sea, probabilidad de encontrar un nodo de tipo r en un extremo de un enlace)

9 Assortative mixing: caracerísticas categóricas v.2 Otra manera de computar modularidad, en términos de: la fracción de enlaces entre nodos de la clases r y s (o sea, probabilidad de encontrar un nodo de clase r y otro de clase s en los extremos de un enlace). La fracción de enlaces adyacente a nodos del tipo r (o sea, probabilidad de encontrar un nodo de tipo r en un extremo de un enlace) Notar que s e rs = 1 2m = 1 2m ij s ij A ij δ(c i, r)δ(c j, s) A ij δ(c i, r) = a r e rs s = a r En una red sin correlaciones e rs = a r a s

10 Assortative mixing: caracerísticas categóricas v.2 En una red sin correlaciones e rs = a r a s Desviaciones de este valor indican grado de correlacion entre conexionado y la caracterización externa de los nodos

11 Assortative mixing: caracerísticas categóricas fracción enlaces adyacentes a nodos de categoría r Q = e rr a r 2 r fracción enlaces entre nodos de categoría r

12 Assorative mixing: características escalares x v : V R Red de comunicaciones (llamadas tecnología móvil y SMS) Información geo-temporal de llamadas (3 meses, 70e6 usuarios México) Información de la edad de usuarios Interés: Usando la red y la información parcial de la edad de algunos vértices, inferir la edad de usuarios de la red. Hipótesis de trabajo: principio de homofilia en la variable edad

13 Assorative mixing: características escalares Definimos la media de x en el extremo de un enlace. Recorriendo enlaces (ambos sentidos): un vértice de valor x i aparece en k i enlaces x v : V R Notar que:

14 Assorative mixing: características escalares El valor máximo de cov(x i,x j ) es cuando todo enlace conecta nodos de igual valor A ij x i x j = A ij x i 2 = k i x i 2 = k i x i x j δ ij ij ij i i Y finalmente, la versión normalizada resulta x v : V R Es posible extender este razonamiento a campos vectoriales definidos sobre la red: x v : V R n

15 Assorative mixing por grado Caso especial: Asortatividad de una cantidad escalar: el campo de conectividad sobre la red x v = k v x v : V N Red asortativa Red disortativa Estructura núcleo-periferia Estructura tipo estrella

16 Assorative mixing por grado r = A ij k i k j /2m k i k j ij k i δ ij k i k j /2m k i k j ij Red asortativa Red disortativa Estructura núcleo-periferia Estructura tipo estrella

17 H. Jeong Nature 411, (2001) Topología de la red de proteinas Hubs tienden a conectarse con nodos de bajo grado es esperable esto? 1458 proteinas 1746 interacciones En una red aleatoria la probabilidad de que nodos i,j interactuen resulta p ki k j = k ik j 2m p 56,13 = 0.2 p 2,1 = Cuales son las causas por las que vemos muchos enlaces entre nodos de bajo grado en la red y pocos entre hubs? p 56,1 = #enlaces esperados 56,1 = N 1 p 56,1 ~12 #enlaces observados 56,1 = 46

18 Correlación de grado Asortativa Hubs conectados con hubs Neutra Nodos conectados como se espera del caso aleatorio Disortativa Hubs evitan hubs Adaptado de Roberta Maslov and Sneppen, Science 2001 Pastor Satorras and Vespignani, PRL 2001 Newman, PRL 2002

19 Correlación de grado Asortativa Hubs conectados con hubs Red perfectamente asortativa Adaptado de Roberta Maslov and Sneppen, Science 2001 Pastor Satorras and Vespignani, PRL 2001 Newman, PRL 2002

20 Correlación de grado Dos maneras de cuantificar cor(k i,k j ) r = A ij k i k j /2m k i k j ij k i δ ij k i k j /2m k i k j ij grado medio de vecinos Pastor Satorras and Vespignani, PRL 2001 Adaptado de Roberta

21 Asortatividad-Correlación de grado Redes con misma distribución de grado (Poisson: N=1000,<k>=10). En naranja los 5 nodos de mayor grado. e ij : fraccion de enlaces que conectan nodos de grado k 1 =i y k 2 =j

22 Asortatividad-Correlación de grado e rs = 1 2m ij A ij δ(k i, r)δ(k j, s) a k = 1 2m ij A ij δ(k i, k) = 1 2m i k i δ k i, k = k p k N 2m k p k = k? e rs = e r e s e ij : fraccion de enlaces que conectan nodos de grado k 1 =i y k 2 =j

23 Grado medio de vecinos (Average Nearest Neighbor Degree) k annd (k): grado medio de primeros vecinos de nodos con grado k N k nn k i = 1 k i A ij k j j=1 Función de correlación de grado: valor medio de k dado k k nn k = k P k k k prob condicional de encontrar un nodo de grado k en un enlace que tiene un extremo de grado k

24 Exponente de correlación k nn k = k P k k k μ = 0.37 ± 0.11 μ = 0.04 ± 0.05 μ = 0.76 ± 0.04

25 Dos medidas de asortatividad Coeficiente de correlación entre grados de un enlace Grado medio de vecinos de nodos de grado k r = A ij k i k j /2m k i k j ij k i δ ij k i k j /2m k i k j ij k nn k = k P k k k k nn k ~rk k nn k = ak μ

26 Dos medidas de asortatividad Coeficiente de correlación entre grados de un enlace Grado medio de vecinos de nodos de grado k r = A ij k i k j /2m k i k j ij k i δ ij k i k j /2m k i k j ij k nn k = k P k k k k nn k ~rk k nn k = ak μ

27 Dos medidas de asortatividad k nn k = ak μ k nn k ~rk

28 Corte estructural Red scale-free N=300, m=450, γ=2.2 Disortativa: r=-0.19 Cuantos enlaces cabría de esperar en una red neutral entre dos hubs de la red? Fraccion de enlaces (k=55, k =46): e kk = a k a k = kp k k p k k 2 Nro esperado de enlaces (k=55, k =46): N kk = N k e kk = N kp k k p k k = ~2.8 > 1(enlaces multiples!) 3

29 Corte estructural Máximo número de enlaces entre dos grupos de nodos m kk : tres numeros que limitan m kk =min(kn k, k N k, N k N k ) nro de enlaces adyacentes a grupo verde nro de enlaces entre ambos grupos Definimos: m kk =8 nro de enlaces adyacentes a grupo violeta r kk = N kk 1 = N k e kk = m kk m kk r kk = * kk k e k p k p(k ) kk Np k p(k ) = k 2 Np k p(k ) k e kk min kp k, k p k, Np k p(k ) 1 = kk k N notar que si k > Np k y k > Np k entonces m kk =Np(k)p(k ) * para una red neutral

30 Corte estructural Máximo número de enlaces entre dos grupos de nodos m kk : condicion límite r kk = kk k N = 1 corte estructural k s ~ 2 k N Definimos: m kk =8 r kk = N kk = 1 N k e kk = m kk m kk r kk = * kk k e k p k p(k ) kk Np k p(k ) = k 2 Np k p(k ) k e kk min kp k, k p k, Np k p(k ) 1 = kk k N 1 notar que si k > Np k y k > Np k entonces m kk =Np(k)p(k ) * para una red neutral

31 Consecuencias del corte estructural Supongamos una red con distribución de grado tipo ley de potencia (cola pesada) Por efecto de tamaño finito hay dos escalas: 1 k max ~Nγ 1 k s ~ k N 2 impone un umbral tal que nodos con k > k s presentarán E kk >1 en redes neutras Existen dos regimenes para un grafo simple Grafo sin corte estructural: redes aleatorias y libres de escala con γ>3. El exponente de k max es menor que ½ y k s > k max Grafo con disasortatividad estructural: redes libres de escala con γ<3. El exponente de k max es mayor que ½ y k s < k max. Nodos con grado k ϵ [k s,k max ] tendrán, si el grafo es simple, forzosamente menos enlaces que en el caso neutro.

32 Disasortatividad estructural o inherente? Si k max > k s Para ver si la disasortatividad de una red real es estructural o se debe a un proceso de la formación de la red comparación con modelo nulo

33 Disasortatividad estructural o inherente? Si k max > k s Para ver si la disasortatividad de una red real es estructural o se debe a un proceso de la formación de la red comparación con modelo nulo Recableado de la red, preservando la distribución de grado original elijo un enlace entre nodos S 1, T 1 elijo enlace entre nodos S 2, T 2 mezclo extremos generando enlaces S 1 -T 2 y S 2 -T 1

34 Disasortatividad estructural o inherente? Si k max > k s Para ver si la disasortatividad de una red real es estructural o se debe a un proceso de la formación de la red comparación con modelo nulo

35 Redes reales

36 Redes reales

37 Redes reales

38 Asortatividad en redes Observaciones a) en general las redes resultan disortativas b) salvo las de tipo social, que suelen resultar asortativas. Causas : a) Efectos de tener hubs en grafos simples (disasortatividad estructural) b) predominio de grupos pequeños con nodos de bajo grado conectados entre sí dentro del grupo [Newman PRE 2003]

39 Estructura a gran escala I De acuerdo a la distribución de grado las redes pueden clasificarse en Redes acotadas exponencialmente: distribución decae para altos valores de k exponencialmente o más rapido Ausencia de grandes fluctuaciones en el grado [ <k 2 > < <k> ] Redes de cola pesada: redes cuya distribución decae como ley de potencia para altos valores de k Pueden presentarse grandes fluctuaciones en el grado [ <k 2 > >> <k> ] Típicamente presentan outliers (hubs) log p k = -γ log k + c k max = k min N 1 γ 1

40 Estructura a gran escala II Asortatividad / disortatividad variable categorica campo escalar grado r = A ij k i k j /2m k i k j ij k i δ ij k i k j /2m k i k j ij corte estructural k s ~ 2 k N