RESOLUCIÓN DEL CAMPO FLUIDO POTENCIAL EMPLEANDO DIFERENCIAS FINITAS

Transcripción

1 RESOUCIÓN DE CAMPO FUIDO POTENCIA EMPEANDO DIFERENCIAS FINITAS Se resolverá la ecuación de aplace mediante el método de diferencias finitas empleando planillas de cálculo. Para un flujo bidimensional incompresible irrotacional la ecuación de aplace es: ψ = El método de diferencias finitas permite resolver en forma aproximada el campo fluido, ya que discretizamos a este en un número finito de elementos. Mayor es el número de elementos en que se divida el continuo más exacta será la solución. Expresamos la ecuación de aplace, para flujo potencial, en diferencias finitas de la siguiente manera: 0 1 ψ = ( ψ + ψ + ψ + ψ 4 ) i, j i+ 1, j i 1, j i, j+ 1 i, j 1 Nota: Esta expresión es válida siempre que el elemento sea cuadrado ( x y h) as derivadas primeras se expresan usando diferencias centradas como: ψ ψ u = h ψ ψ v = h i, j+ 1 i, j 1 i+ 1, j i 1, j (1) Δ =Δ =. Donde h es el ancho del elemento. Cuando empleamos el Excel, debemos tener en cuenta que cada celda representa un punto, y que celdas contiguas están separadas una distancia h, por lo tanto, para un mallado de N celdas interiores tendremos definido un sistema de N ecuaciones con N incógnitas. A modo de ejemplo resolveremos un conducto recto de longitud y ancho D = por donde circula un fluido incompresible e irrotacional. U /4 / / Ψ i, j-1 Ψ i-1, j Ψ i, j Ψ i+1, j h h Ψ i, j+1 1

2 A partir de aquí describiremos el método mediante un ejemplo de cálculo: Sea m U = 1 seg = 4m = m = 1m 4 h = 0,1m h e = = 0,05 El número de celdas que cabrán en cada longitud será: 4 m Número de celdas para el largo: N = + 1= + 1= h 0,1m 4 m Número de celdas para el ancho: N = + 1= 1.0,1m 4m Numero de celdas para el obstáculo : N = + 1= ,1m El número de celdas que conformarán el mallado (para este caso particular) será: 4 N N = 40 0 = 800 Nota: Recordar que las expresiones anteriores se dedujeron teniendo en cuenta que, por lo cual cuando se defina el valor de h, este debe ser tal que los puntos estén igualmente espaciados en TODO el contorno. Empezamos obteniendo la evolución de las líneas de corriente: Recordemos que: Q = ψ ψ =Δ ψ ii, + 1 i+ 1 i Esto es, el caudal entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de los valores de la función de corriente en el sector considerado. m m Δ ψ = U * h= 1 *0,1m= 0,1 0 seg seg as condiciones de contorno son: para el borde de un obstáculo, Ψ = cte. (línea de corriente). Si el flujo en una zona tiene una componente nula (p. ej. a la entrada o salida de un conducto, se puede asumir la velocidad paralela al eje del mismo), esa componente es la derivada normal de la función de corriente, la que por ψ consecuencia será nula (si v = 0 = 0 ). Esto se expresa, en diferencias finitas, como. También puede x asignarse velocidad uniforme en entradas y salidas de flujo, si están suficientemente lejos de obstáculos. En este caso, al ser la derivada normal de Ψ (la velocidad) constante, se tendrá una variación lineal de Ψ. Ahora ya conocidos los valores de la función de corriente y su incremento en el contorno empezamos a construir la planilla de cálculo. En una fila definimos un valor para ψ ( ψ = 0) y en las filas subsiguientes vamos incrementando en Δ ψ al valor inicial.

3 A continuación nos colocaremos en la celda C3 e introduciremos en ella la ecuación (1): Esta fórmula debe escribirse en todas las celdas interiores. Para facilitar esta tarea procederemos a rellenar: 1. Apretar el botón izquierdo del mouse en C5 sin soltarlo.. Arrastrar el puntero hasta C3 con el botón apretado y recién allí soltarlo. 3. Con toda la columna seleccionada arrastra el puntero hasta donde corresponda y allí soltarlo. Hasta ahora obtenemos lo que sigue: 3

4 Por el momento la máquina no ha efectuado ninguna iteración, así que debmos indicárselo: 1. Selecionamos del menú herramientas, la opción Opciones y de allí la solapa Calcular, veremos la ventana:. Marcamos el casillero Iteración, definimos el nro. Máximo de iteraciones y el cambio máximo (error) para el cual se detiene el proceso de iteración. 3. Pulsar aceptar. 4

5 Ya tenemos el sistema resuelto, podemos ahora graficar las curvas de nivel para los valores obtenidos: 1. Apretar el botón izquierdo del mouse en B sin soltarlo.. Arrastrar el puntero hasta M7con el botón apretado y recién allí soltarlo. 3. Pulsar el botón del asistente para gráficos. 4. Seleccionar el tipo Superficie (Usar curvas de nivel D). 5. Pulsar siguiente tantas veces como se necesario y luego pulsar terminar. as curvas de nivel serán: Para obtener las curvas de velocidad recurrimos a la definición de las componentes de la velocidad en diferencias finitas. Nota: Aunque en este caso no sea necesario, en esquemas más complejos aparecerán en un punto ambas componentes de la velocidad, por lo cual hay que introducir en cada celda la expresión correspondiente al módulo de la velocidad. as líneas de corriente para una corriente uniforme se relacionan con la velocidad de la corriente libre mediante: 5

6 a tabla de velocidades será: Para obtener su gráfica se procede de manera idéntica al caso de las líneas de corriente. 6

7 Para obtener la distribución del coeficiente de presiones hacemos lo siguiente: a expresión del C p es: C p = ΔP 1. ρv. Planteando la ecuación de Bernoulli para flujo sin pérdidas es: p +. ρ. V = p +. ρ. V Δ p =. ρ. i i ( V V i ) Por lo tanto el coeficiente de presiones será: C p ΔP = = 1.. ρv ( V ) 1.. ρ V i 1. ρ. V V V i = V a velocidad de erencia puede ser la velocidad de entrada del fluido U. Confeccionando una nueva tabla donde se calculen los valores del cp a partir de los valores de la velocidad previamente calculados, podremos obtener la distribución del cp y en consecuencia graficarlo. 7