Tema 1 Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss

Transcripción

1 Tema Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones. Resuelve los sistemas: a b w w Para convertir cada sistema en otro con el mismo numero de ecuaciones que de incógnitas, pasaremos al segundo miembro tantas incógnitas como sea necesario. Cada sistema se resuelve en función de esas incógnitas, a las que llamamos parámetros variable que puede tomar cualquier valor real. Para cada valor que demos a los parámetros obtendremos una solución. Estos sistemas nunca tienen solución única. Pueden tener infinitas soluciones o no tener ninguna. a Pasamos la al segundo miembro para que el sistema tenga tantas ecuaciones como incógnitas llamamos : 6 Sumando ambas ecuaciones, obtenemos: Sustituimos e en la primera ecuación para obtener : Las soluciones del sistema son,,. Para cada valor de obtenemos una solución. Comprobación: 6

2 Matemáticas II Tema.. Hacemos clic sobre el botón <<resolver sistema>> tal como aparece en la Figura : Figura.. Indicamos el número de ecuaciones de nuestro sistema hacer clic en aceptar. En nuestro ejemplo indicamos que el sistema tiene dos ecuaciones: Figura.. Tras pulsar aceptar, nos saldrá lo que aparece en la Figura : Figura.. Pasamos a rellenar los rectángulos con los datos de nuestro sistema: Figura.

3 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Para obtener el resultado de nuestro sistema hacemos clic en el igual: Figura. 6. Hecho todo esto obtendremos la solución: Figura 6. Al resolver este sistema con Wiris la solución es la misma, solamente indicar que en ve de epresar el resultado en función del parámetro landa queda epresado en función de. b Para resolver el sistema, es necesario pasar dos incógnitas al segundo miembro: w w Hacemos, w Sumando, obtenemos: Por lo que las soluciones son:,,,

4 Matemáticas II Tema. Dando valores a, obtenemos las soluciones del sistema, por ejemplo si, la solución es,,, Comprobación: Los pasos para resolver este sistema son los mismo que para el apartado a.. Hacemos clic sobre la pestaña <<resolver sistema>>:. Indicamos el número de ecuaciones de nuestro sistema hacer clic en aceptar.. Rellenamos los rectángulos con los datos de nuestro sistema: Figura 7.. Pulsamos el igual obtener la solución: Figura. En la resolución de este ejercicio con Wiris el programa despeja las incógnitas e en ve de las incógnitas w, algo que da eactamente igual, es por ello que las soluciones vienen epresadas en función de estas dos variables e, sin necesidad de darle a estas variables nombres de letras griegas teniendo en cuenta que estas soluciones son para todos los valores reales de e.

5 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Método de Gauss. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones: a b c o 9 6 a Aplicamos el método de Gauss: El sistema representa planos que tienen un punto en común. La solución es por tanto:,, Los pasos para resolver este sistema son los mismos que los utiliados en el ejercicio. Sistemas con mas incógnitas que ecuaciones :. Hacemos clic sobre la pestaña <<resolver sistema >>:. Indicamos el número de ecuaciones de nuestro sistema hacer clic en aceptar. En este caso serían cuatro: Figura 9.

6 Matemáticas II Tema.. Rellenamos los rectángulos con los datos de nuestro sistema: Figura.. Pulsamos el botón de igual obtenemos la solución: Figura. Es evidente que mediante Wiris solo podemos conocer la solución final del sistema, esto nos permite comprobar que la solución del problema mediante el método de Gauss coincide eactamente con la solución que nos aporta Wiris. b Como ninguno de los coeficientes de las incógnitas es igual a, tomamos la primera educación como referencia: 9 6

7 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Resolvemos pasando la tercera columna al segundo miembro. Soluciones:,, El sistema representa planos que tienen una recta en común. Los pasos para resolver este sistema son los mismos que venimos utiliando:. Hacemos clic sobre la pestaña <<resolver problema>>:. Indicamos el número de ecuaciones de nuestro sistema hacer clic en aceptar. En este caso serían tres: Figura.. Rellenamos los rectángulos con los datos de nuestro sistema: Figura.. Pulsamos el igual obtener la solución: 7

8 Matemáticas II Tema. Figura. Comprobamos que las soluciones de este sistema coinciden tanto con Wiris como mediante el método de Gauss, solo que las soluciones con Wiris vienen epresadas en función de, con lo cual se considera a como el parámetro landa. c La primera la tercera ecuación son contradictorias. El sistema es incompatible. Lo comprobamos aplicando el método de Gauss: La tercera ecuación no se puede cumplir nunca. El sistema no tiene solución; representa dos rectas paralelas otra que las corta. Los pasos para resolver este sistema son los mismos que venimos utiliando:. Hacemos clic sobre la pestaña <<resolver problema>>:. Indicamos el número de ecuaciones de nuestro sistema hacemos clic en aceptar.. Rellenamos los rectángulos con los datos de nuestro sistema: Figura.

9 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 9. Pulsamos el botón de igual obtenemos la solución: Figura 6. Como el sistema es incompatible, Wiris no arroja ninguna solución solo aparece un rectángulo en blanco.. Discusión de sistemas lineales. Discute resuelve estos sistemas en función del parámetro que aparece en ellos: a b c 7 m m m m m a a Pasamos a resolver el primer apartado a 7 m m m Si m =, la última fila se puede suprimir. El sistema es compatible indeterminado: Soluciones:,,

10 Matemáticas II Tema. Si m, el sistema es compatible determinado: Solución,, m Este problema ha que hacerlo con Wiris para m= para otro u otro valor de m distinto de.. De manera análoga a los ejercicios anteriores haremos llegamos a la introducción de los datos del sistema: Figura 7.. Obteniendo la siguiente solución: Figura.. Ahora cambiamos el valor de m por 7 en lugar de, por ejemplo, de manera que la solución es: Figura 9.

11 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato m m m m b m m m m m m Hallamos los valores que anulan el coeficiente de la en la segunda ecuación: que se cumple para el caso de m m se obtiene Si m, la segunda ecuación será. El sistema es incompatible Si m, la segunda ecuación será. Se puede suprimir. El sistema es compatible indeterminado. Solo nos queda la ecuación. Que resolvemos considerando la como parámetro. Las soluciones son:, Si m, el sistema es compatible determinado. Para cada valor de m tenemos un sistema distinto con solución única: m m, m m m m. En este apartado, calcularemos los resultados, para tres valores de m. Esto lo haremos sustituendo el valor donde apareca la incógnita entonces, dentro de la pestaña Operaciones pincharemos en Resolver sistema, indicaremos en este caso que nuestro sistema tiene dos ecuaciones, las rellenaremos pulsaremos el botón de igual para obtener nuestro resultado: *Sustituimos m por : Figura.

12 Matemáticas II Tema. * Sustituimos m por -: Figura. * Sustituimos m por un número distinto de -: Figura. c a a m a a a a Como la ecuación a a no tiene solución, el sistema siempre es compatible determinado. Para cada valor de a tenemos un sistema distinto con solución única, que es,,.. Tomaremos dos valores para a, que sustituiremos en el sistema, con ellos veremos que soluciones obtenemos. * Para a= :

13 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura. * Para a= -: Figura. * Para a= : Figura.

14 Matemáticas II Tema.. Problema de enunciado. Una compañía tiene tres camiones P, Q R, en los que caben eactamente un número de contenedores de tres tipos A, B C de acuerdo con la tabla siguiente: Si se han de transportar contenedores del tipo A, del tipo B del tipo C, Cuántos viajes han de hacer cada camión si todos los viajes los hacen completamente llenos? A B C P Q R 6 Sean X, Y, Z el número de viajes que hacen los camiones P, Q, R, respectivamente: Resolvemos este sistema escalonado: Por tanto, el camión P debe hacer viajes, el camión Q debe hacer viajes el camión R debe hacer viajes.. Al igual que con los ejercicios anteriores, pinchamos en resolver sistema e introducimos los datos: Figura 6.. De esta forma, pinchando en botón de igual, obtenemos el resultado que coincide con el ejercicio resuelto

15 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 7.. Añadir una ecuación a un sistema de ecuaciones. Dado el sistema: a Cómo ha de ser la ecuación que ha que añadirle para que sea incompatible? b Y para que sea compatible indeterminado? a Una ecuación que haga el sistema incompatible ha de ser de la forma: a b k con k a b Por ejemplo, con a b : 7 b un sistema será compatible indeterminado si la ecuación es de la forma: a b a b Por ejemplo,, b a : Para ello se resolverá con Wiris añadiéndole la ecuación 7 la ecuación. Para comprobar que al añadir la ecuación 7, nuestro sistema sea incompatible, lo planteamos como a hemos visto pulsamos igual, obteniendo:

16 Matemáticas II Tema. Figura.. Ahora, para comprobar que al añadir la ecuación, el sistema es compatible indeterminado, ver qué soluciones obtenemos, lo resolveremos en Wiris como en la figura 9: Figura 9. 6