Modelación ARIMA. 41 Página

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1 4 Modelación ARIMA A finales del siglo XX diversos investigadores comenzaron a desarrollar y aplicar nuevas propuestas para la modelación de series de tiempo, las cuales lograron probar su eficacia, ya que son capaces de tratar con cualquier patrón de datos y producir pronósticos precisos en base a la descripción de patrones históricos en los datos (Aguirre 994). Las nuevas propuestas de análisis de series de tiempo se empezaron a implementar en un principio a problemas de contaminación, en la economía, a enfermedades epidemiológicas y en la actualidad a fenómenos físicos e inclusive fenómenos sociales. Específicamente los modelos desarrollados en las últimas décadas son los llamados autorregresivos (AR), de medias móviles (MA), integrados (I), así como las posibles combinaciones entre estos (ARMA y ARIMA). La principal diferencia entre estos modelos y los clásicos es el enfoque estocástico que se le da a las series de tiempo, en vez de tratarlas de forma determinística. Bajo este enfoque se concibe a la serie de tiempo como un conjunto de valores de tipo aleatorio, generados a partir de un proceso totalmente desconocido, es decir, se concibe a la serie como un proceso estocástico. Así mismo, derivado del desconocimiento del proceso generador de los datos, el objetivo de este enfoque es tratar de identificar el modelo probabilístico que represente las características principales del comportamiento de la serie (Aguirre 994). El desarrollo y aplicación de este tipo de modelos de series de tiempo en un principio estuvieron gravemente limitados, fundamentalmente debido a razones de cómputo. Actualmente con la amplia disponibilidad de las computadoras, el uso de los modelos ARIMA se ha tornado posible. En el presente texto se hace imprescindible el uso de paquetes informáticos especializados en la modelación ARIMA. En especial se hacen necesarios debido a la frecuencia con que se manejan grandes volúmenes de información. De otra forma, utilizar métodos tradicionales haría que la tarea de modelar bajo este enfoque fuera casi imposible de realizar. 4 Página

2 4. Enfoque y procesos estocásticos En general las series de interés llevan asociados fenómenos aleatorios. Por este motivo el estudio de su comportamiento pasado sólo permite acercarse a la estructura o modelo probabilístico para la predicción del futuro. La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinísticas, esto es, de carácter aleatorio y probabilístico. Para aclarar esta idea definimos un proceso estocástico como una familia de variables aleatorias asociadas a un conjunto índice de números reales, de tal forma que a cada elemento del conjunto le corresponda una y sólo una variable aleatoria que evoluciona con el tiempo: Con,2,3,, Bajo este enfoque, una serie de tiempo se define como una observación particular sobre el estado dinámico de una variable de un proceso de naturaleza aleatoria. Simultáneamente se presupone que los procesos de series de tiempo siguen un comportamiento aleatorio y debido a la propia dinámica de dicho proceso, tales impulsos pueden generar un conjunto de datos serialmente dependientes. Así, mediante la identificación de la estructura de dependencia latente existe entre las observaciones, se puede modelar la serie. Una de las principales ventajas de este enfoque aplicado a las series de tiempo, es la gran flexibilidad que se logra para representar un buen número fenómenos reales mediante una sola clase general de modelos. Otra ventaja es la facilidad y precisión para realizar pronósticos. 4.2 Modelos AR, MA y mixtos La estructura existente de dependencia entre los datos en un proceso estocástico, puede ajustarse a seis modelos que pueden describir una gran variedad de fenómenos reales. La principal característica de dichos modelos es que no involucran a las variables independientes en su construcción, es decir, a la variable del tiempo, como se hace en el análisis clásico. En cambio, emplean la información que se encuentra en la serie misma para generar los pronósticos (Makridakis y Wheelwright 2). Los modelos son los que se describen a continuación (Arnau 2): Proceso de ruido blanco (a t ): Es un proceso formado por una secuencia de variables aleatorias mutuamente independientes e idénticamente distribuidas. Modelo no estacionario de corrido aleatorio - (I): Correspondiente a aquellas situaciones en las que los impulsos aleatorios tienden a sumarse o a integrase en el tiempo. La integración refleja la presencia de un componente de tendencia. 42 Página

3 Modelo autorregresivo de orden p - AR(p): Se trata de un modelo en el que una determinada observación es predecible a partir de la observación inmediatamente anterior (modelo autorregresivo de primer orden) o a partir de las dos observaciones que le preceden (modelo autorregresivo de segundo orden). En este caso, la observación actual se define como la suma ponderada de una cantidad finita de observaciones precedentes más un impulso aleatorio independiente. Matemáticamente, un modelo autorregresivo tiene la forma siguiente: En donde es la variable dependiente y,,, son las variables independientes. En este caso, las variables independientes son valores de la misma variable (de aquí el nombre de auto), pero de periodos anteriores, 2, 3,,. Por último, es el error, o término residual, que representa perturbaciones aleatorias que no pueden ser explicadas por el modelo. El modelo se llama autorregresivo porque se asemeja a la ecuación de regresión: Las variables independientes son simplemente valores rezagados de la variable dependiente con rezagos de tiempo, 2, 3,, periodos. Modelo de Medias Móviles de orden q - MA(q): En este modelo, una determinada observación está condicionada por los impulsos aleatorios de las observaciones anteriores. De esta forma la observación actual se define como la suma del impulso actual y de los impulsos aleatorios anteriores con un determinado peso. El modelo de medias móviles tiene la siguiente forma: Donde es el residuo o error en el periodo y,,,, son los valores anteriores del error. La ecuación es semejante a la anterior, con la excepción de que implica que la variable dependiente depende de valores previos del término residual más que de la variable misma. Modelo autorregresivo de medias móviles de orden p,q - ARMA(p,q): Este modelo es la combinación de las estructuras anteriores: modelo autorregresivo y modelo de medias móviles. Así, una observación está determinada tanto por observaciones anteriores así como por impulsos aleatorios o también llamados errores de observaciones pasadas. La forma general de un modelo autorregresivo de medias móviles es: 43 Página

4 Se observa que la ecuación es sencillamente una combinación de las ecuaciones del modelo AR y MA. En la ecuación anterior simboliza los valores tomados por la variable durante los periodos anteriores, 2, 3,,. El grado de influencia de cada valor anterior sobre el valor considerado de la variable viene dado pr el parámetro correspondiente,,,. Por su parte representa los errores o residuos de la variable durante los momentos anteriores, 2, 3,,. El grado de influencia de cada uno de ellos viene ponderado por el parámetro correspondiente,,,. Un modelo ARMA puede ajustarse a cualquier patrón de datos. Sin embargo, los valores de y se deben de especificar. Por ejemplo si, el modelo ARMA es: El modelo derivado de esta ecuación es llamado modelo AR de primer orden y se escribe como AR() o ARMA(,). Si 2, el modelo correspondiente es un AR(2) o un modelo ARMA(2,) de la forma: La ecuación es un proceso AR de segundo orden. Cuando, se trata de un modelo MA de primer orden y se escribe como MA() o ARMA(,): Cuando 2, el modelo es un MA(2) o ARMA(,2) de la forma: Por último y pueden cada una ser diferentes de, en cuyo caso existe un modelo ARMA mixto. Por ejemplo, cuando, el modelo es un modelo ARMA(,) y es de la forma: Es interesante darse cuenta que esta ecuación es no lineal y por lo tanto suficientemente general para describir una amplia variedad de patrones de datos. Obviamente y pueden adoptar muchos otros valores, aun cuando raramente son mayores que 2. Modelo autorregresivo integrado de medias móviles de orden p,d,q - ARIMA(p,d,q): Al igual que un modelo ARMA, es la combinación de los modelos autorregresivo y el de medias móviles, con la particularidad de incluir un proceso de restablecimiento (el cual se denomina integración) de 44 Página

5 inestabilidad original presente en una serie de tiempo. La idea de inestabilidad es una característica que se presenta más adelante en la sección 4.3. La forma general de un modelo ARIMA es semejante al de un modelo ARMA: Donde: : En ocasiones es apropiado incluir un término constante a los modelos AR, MA y ARIMA. En un modelo que contiene sólo parámetros de media móvil, el valor de la constante es la media de los valores de la serie. Mientras tanto en un modelo autorregresivo (Arnau 2). La inclusión del término depende de la serie en estudio. Concretamente, depende del valor de la media. Si la media de todas las observaciones es cero o muy cercana, no se incluye término constante. Si la media es significativamente distinta de cero, se incluye el término. Un rápido indicador, es conocer si la serie ha sido diferenciada (este concepto se estudia posteriormente). Si la serie ha sido diferenciada, la constante es eliminada, se puede probar que en una serie diferenciada. Por el otro lado si la serie no es diferenciada, se debe verificar el valor de (Arnau 2). 4.3 Metodología Box-Jenkins No estacional Existen distintas metodologías que ayudan a elegir el modelo que mejor se represente a la serie de tiempo de entre los diversos modelos existentes. La metodología más usada y difundida es la que propusieron los profesores G.E.P Box y G.M Jenkins en la década de los años 97, en la cual lograron grandes avances en identificar, ajustar y verificar los modelos ARIMA adecuados (Hanke y Wichern 26). Comúnmente se le conoce como Metodología Box-Jenkins. Se especifica en esta metodología únicamente el uso de los modelos ARIMA ya que los modelos autorregresivos (AR) y los de medias móviles (MA) se dicen que son las formas particulares de la clase general de modelos ARMA y este a su vez del modelo ARIMA. Esta metodología se basa en tratar de determinar cuál es el modelo probabilístico que rige el comportamiento del proceso a lo largo del tiempo. Cabe apuntar en este momento la diferencia entre proceso y modelo. Se puede decir que un proceso es lo real, es decir, el fenómeno en sí, del cual se desconoce su mecanismo generador. Por el otro lado un modelo es solo la imitación o representación del proceso (Pankratz 983). En esta sección se estudiará el caso particular de la aplicación de modelos ARIMA para datos no estacionales, es decir, datos que no presentan fluctuaciones periódicas a lo largo del tiempo. Además en cuanto al tipo de datos que son aptos para someterse al análisis mediante la modelación ARIMA, se puede decir debido a la experiencia, que la mayoría de las series de tiempo se pueden modelar mediante estos métodos. Por ese motivo esta metodología es ampliamente utilizada. 45 Página

6 Sólo se destacan en seguida algunas consideraciones importantes acerca de la naturaleza de los datos en la modelación ARIMA (Pankratz 983): Los modelos ARIMA aplican tanto para datos discretos o continuos. Los datos discretos son aquellos que son medidos solamente en números enteros, nunca con cifras decimales. Mientras tanto los datos continuos son medidos en intervalos fraccionarios, es decir, con cifras decimales. Aunque la metodología ARIMA trata tanto con datos discretos y continuos, sólo se puede aplicar a datos espaciados equidistantemente en el tiempo, en intervalos discretos de tiempo. Los datos medidos en intervalos discretos de tiempo pueden clasificarse en dos tipos: ) datos que son producto de la acumulación durante un periodo de tiempo, por ejemplo los ahorros de una persona en un mes. 2) datos que son producto de la medición instantánea periódicamente, por ejemplo la medición de la presión en una tubería en intervalos de una hora. Para elaborar un modelo ARIMA se requiere una cierta cantidad de datos mínimo. Los profesores Box y Jenkins sugieren un mínimo de 5 observaciones. Un modelo ARIMA se puede aplicar a una serie con menor tamaño, realizando con especial cautela su interpretación. Para series con patrones estacionales se aconseja una serie con gran número de muestras observadas. Los modelos ARIMA son especialmente útiles en el tratamiento de series que presentan patrones estacionales. Los métodos Box-Jenkins aplican a series estacionarias y no estacionarias. Una serie estacionaria es aquella cuya media, varianza y función de autocorrelación permanecen constantes en el tiempo. Se asume que las perturbaciones aleatorias presentes en la serie, son independientes entre sí. No existe correlación entre ellas, por lo tanto ningún patrón modelable. Una vez hechas estas anotaciones, se puede entrar de lleno a la metodología. La Figura 4. muestra las etapas esenciales en la aplicación de esta metodología (Aguirre 994). De la figura se destacan en especial 5 etapas principales:. Estacionariedad 2. Identificación 3. Estimación 4. Evaluación 5. Pronóstico Cada una de estas etapas se desarrolla en las siguientes secciones. 46 Página

7 Es la serie estacionaria? No Inducir estacionariedad Sí. Estacionariedad Identificar modelos posibles 2. Identificación Estimar los parámetros de los modelos tentativos 3. Estimación No Son adecuados los modelos estimados sobre la serie estacionaria? 4. Evaluación Sí Restablecer noestacionaridad 5. Pronósticos No Son adecuados los pronósticos? Establecer modelos Figura 4. Metodología Box Jenkins 4.3. Estacionariedad Los procesos estocásticos se clasifican en estacionarios y no estacionarios. La idea de estacionariedad está relacionada con la estabilidad de la serie. Un proceso estacionario se describe como una secuencia de datos o valores que no presentan cambio sistemático en la media, ni cambio sistemático alguno en la varianza, se dice entonces que la serie es estable. De forma parecida, un proceso no estacionario es aquel que presenta cambios sistemáticos en la media y/o varianza; la serie de datos es inestable en el tiempo. Aplicado dicho concepto a una secuencia cronológica y explicado en forma intuitiva, una serie de tiempo es estacionaria si sus propiedades estadísticas (media, varianza) son esencialmente constantes a través del tiempo. Una serie cuya media y/o varianza cambian a través del tiempo es una serie no estacionaria (Bowerman, O Conell, Koehler 27). A partir de la definición previa, se puede advertir que una serie cuyos valores fluctúan respecto de una media constante, es decir, sin tendencia, es una serie estacionaria. 47 Página

8 La Figura 4.2 muestra la gráfica de una serie de tiempo, en ella se observa que los valores de una serie de tiempo fluctúan respecto de una media constante, entonces es razonable pensar que la serie temporal es estacionaria. Si los valores no fluctúan respecto de una media constante o fluctúan con variación constante, entonces es razonable pensar que la serie de tiempo es no estacionaria, como se observa en la Figura 4.3. Este concepto es importante ya que el primer paso en la metodología Box-Jenkins es determinar si la serie de tiempo es estacionaria. En caso de que la serie de datos no sea estable a lo largo del tiempo, es necesario aplicar una transformación a la serie para inducirla a ello. Este paso es indispensable para poder aplicar las demás etapas de esta metodología. Existen dos formas de conocer si una serie es estacionaria: por medio del gráfico de la serie y mediante la exploración de función de autocorrelación simple.. Por medio de inspección gráfica Visualmente se puede advertir si la serie es estacionaria si se detectan elevaciones o inclinaciones en los datos. Cualquier patrón de este tipo expresa que la serie es inestable. Por ejemplo la Figura 4.2 previamente analizada, muestra una serie de datos estable, se observa que los valores giran alrededor de una media constante, sin incrementos o decrementos. Por otro lado la Figura 4.3 muestra una serie con una fuerte tendencia ascendente, indicador inmediato de inestabilidad. Yt Yt Tiempo Tiempo Figura 4.2 Serie de tiempo estacionaria Figura 4.3 Serie de tiempo no estacionaria 2. Por medio de las funciones de autocorrelación Cuando visualmente no es factible determinar si la serie es estacionaria, usualmente se recurre a la función de autocorrelación simple (FAS), en especial en aquellas series con tendencia poco remarcada. El reconocimiento de la estabilidad se logra a partir de la variedad de comportamientos que esta función que puede mostrar (Bowerman, O Conell, Koehler 27). 48 Página

9 En primer lugar, la función de autocorrelación simple se puede cortar ó truncar. Para explicar este término, se dice que existe una espiga en el desfasamiento en la FAS si es estadísticamente grande. Se considera que existe una espiga en la función si el valor absoluto de: es mayor que 2. La función de autocorrelación se trunca después del desfasamiento si no hay espigas en los desfasamientos mayores que k en la función. Por ejemplo, si Entonces la función de autocorrelación simple se trunca o se corta después del desfasamiento 2. Esto se ilustra en la siguiente figura (Figura 4.4) Figura 4.4 La función de autocorrelación se trunca La salida de MINITAB muestra automáticamente el valor de asociado a cada coeficiente y además muestra en la gráfica (Figura 4.5) un par de bandas que representan el valor de dos desviaciones estándar 2. Si un coeficiente sobrepasa estas bandas ya sea en la parte de arriba como en la de abajo, significa que el valor de es mayor que Página

10 Autocorrelation Function for Yt (with 5% significance limits for the autocorrelations) Autocorrelation Lag Figura 4.5 Salida MINITAB función de autocorrelación simple Segundo, la función de autocorrelación simple decae ó se extingue si esta no se corta o muere sino que decrece en una forma permanente. Puede extinguirse de tres maneras: En forma exponencial (Figura 4.6) En seno amortiguada (Figura 4.7) En combinación de y 2 (Figura 4.8) Además puede cortarse con gran rapidez como se muestra en la Figura 4.9 o puede extinguirse con lentitud extrema como se muestra en la Figura Figura 4.6 Se extingue en forma exponencial 5 Página

11 Figura 4.7 Se extingue en forma de seno amortiguada Figura 4.8 Se extingue en forma en forma combinada Figura 4.9 Se extingue con gran rapidez 5 Página

12 5 5 2 Figura 4. Se extingue con lentitud extrema En general, se puede demostrar que: Si la función de autocorrelación simple de los valores,, de la serie de tiempo se corta claramente con rapidez o si se corta rápidamente, entonces se deben considerar que los valores de la serie temporal son estacionarios. Si la función de autocorrelación simple de los valores,, de la serie de tiempo se corta con lentitud extrema, entonces se deben considerar que los valores de la serie de tiempo son no estacionarios Cabe aclarar que los términos claramente con rapidez y con lentitud extrema es algo arbitrario, y se puede determinar mejor a través de la experiencia. Además, la experiencia indica que en lo que se refiere a datos no estacionales, si la función de autocorrelación simple se trunca claramente con rapidez, casi siempre sucede así, después de un desfasamiento que es menor o igual a 2 (Bowerman, O Conell, Koehler 27). De esta simple forma se determina por medio de la FAS si la serie es estacionaria. Ahora bien, la realidad es que las series de tiempo normalmente no se comportan establemente, es decir, no son procesos estocásticos estacionarios. Cuando se presenta esa situación entonces es preciso aplicar una transformación a los valores de la serie para tener una serie temporal estacionaria. Existen distintas maneras de inducir la estacionariedad en una serie de tiempo, la más usada es el método llamado de construcción de diferencias. Este método consiste, como su nombre lo dice, en obtener diferencias entre los mismos valores de la serie, para remover cualquier patrón de tendencia. Las primeras diferencias de los valores de la serie de tiempo,,, son: 2,3,, 52 Página

13 La Tabla 4. muestra cómo se hace la diferenciación y cómo los datos con una tendencia lineal se convierten en estacionarios (horizontales) después de diferenciar. Gráficamente se puede observar esta transformación en la Figura 4. Serie de datos Primeras diferencias Nueva serie = = = = = = Tabla 4. Obtención de las primeras diferencias en una serie 6 2 Serie original con tendencia Nueva serie Yt 8 4 Tiempo Figura 4. Transformación de la serie de tiempo mediante las primeras diferencias En ocasiones es necesario realizar más de una diferenciación para generar valores de series de tiempo estacionarias. Si los valores originales no son estacionarios y las primeras diferencias de los valores originales de la serie de tiempo tampoco son estacionarios, entonces podemos obtenerlas segundas diferencias de los valores originales de la serie de tiempo. Las segundas diferencias de los valores de la serie de tiempo son: 2 3,4,, 53 Página

14 La Tabla 4.2 muestra cómo se obtienen las segundas diferencias a una serie de tiempo, se puede apreciar que las primeras diferencias siguen siendo no estacionarias, al aplicar una nueva diferenciación se obtiene una serie estacionaria. Cabe aclarar que la notación tan sólo se usa para indicar que la serie se transformó, ya sea mediante las primeras o las segundas diferencias. En la gráfica de la Figura 4.2 se observa ambas transformaciones a la serie original. Serie de datos Primeras diferencias Nueva serie Segundas diferencias Nueva serie = = = = = = = = = = = Tabla 4.2 Obtención de las segundas diferencias de una serie 6 2 Serie original Serie primeras diferencias Series segundas diferencias Yt 8 4 Tiempo Figura 4.2 Transformación de la serie mediante primeras y segundas diferencias La experiencia indica que si los valores de la serie de tiempo original son no estacionarios y no estacionales, entonces si se aplica la primera transformación por diferencias o la segunda transformación por diferencias por lo general se producen valores estacionarios de la serie de tiempo. Una vez introducido el tema de estabilidad en una serie de tiempo, es turno de hacer un pequeño paréntesis en el curso de la metodología Box-Jenkins, a fin esclarecer la diferencia entre un modelo ARMA y un modelo ARIMA. La diferencia se halla en que un modelo ARMA(p,q) es capaz de operar únicamente sobre series estacionarias, mientras que un modelo ARIMA(p,d,q) es capaz de operar tanto sobre series de tiempo no estacionarias, como en series estacionarias. 54 Página

15 El modelo ARIMA(p,d,q) es capaz de operar sobre cualquier ya que se incluye el proceso de estabilización de la serie, por medio del parámetro, que simboliza el grado de diferenciación aplicado a la serie de tiempo. Por ejemplo si, significa que se esta trabajando con las primeras diferencias de la serie; si 2, se trabaja con las segundas diferencias y así sucesivamente Identificación Una vez que se asegura que la serie es estable en el tiempo. El siguiente paso en la metodología Box- Jenkins es la identificación del modelo probable que rige el proceso de la serie de tiempo. Las ideas básicas de esta fase son las siguientes: La serie de tiempo que se encuentre en proceso de estudio cuenta con sus respectivas funciones de autocorrelación simple y parcial (FAS y FAP), que se denominan prácticas o calculadas. Por otra parte, cada una de las distintas configuraciones ARMA posee su FAS y FAP teóricas asociadas al modelo. Si la FAS y FAP calculadas de la serie a la que deseamos ajustar un modelo se asemeja a alguna o varias FAS y FAP teóricas, entonces podemos decir que el modelo ARMA teórico es un modelo tentativo para la serie. Queda claro entonces que la identificación del modelo probable se realiza por medio de la comparación de las funciones de autocorrelación calculadas contra las teóricas (tanto simples como parciales). Las funciones de autocorrelación calculadas sólo se usan como guías para escoger uno o varios modelos ARMA que parezcan apropiados, ya que tan sólo brindan una aproximación a la estructura más adecuada que debe considerarse. Las funciones de autocorrelación teóricas por su parte se derivan de una familia de modelos ARMA propuestos por Box y Jenkins. Cabe aclarar que aunque existen una infinidad de posibles procesos dentro de estos modelos ARMA, la mayoría de los procesos que ocurren normalmente en la práctica caben dentro de un número reducido de modelos. Es por esto que los modelos más comunes en la práctica, suelen ser precisamente los propuestos y desarrollados por estos profesores (Pankratz 983) De esta manera entonces los profesores Box y Jenkins sugirieron una completa familia de modelos teóricos de los cuales se puede escoger: AR(), AR(2), MA(), MA(2), ARMA(,). Las principales características que se observan de las funciones de autocorrelación teóricas son: Modelo FAS FAP AR Decae a cero Se trunca o se corta (después del retraso p) MA Se trunca o se corta (después del retraso q) Decae a cero ARMA Decae a cero Decae a cero Tabla 4.3 Características FAS y FAP Teóricas (Pankratz) 55 Página

16 A partir de la tabla anterior se describe en seguida a detalle las características de cada uno de los posibles modelos ARMA (Pankratz 983). Modelo AR: Las funciones de autocorrelación simples de los procesos autorregresivos decaen a cero. Es común que se usen también las expresiones: se extingue o se muere. La forma en que se extingue la FAS puede ser de forma exponencial, en forma de seno amortiguado, etc. Ahora bien, las funciones de autocorrelación parcial contienen espigas significativas hasta el retraso, después del cual la función se corta. El número de espigas indica por tanto, el orden del proceso autorregresivo. Usualmente no sobrepasa el valor de 2 o 3. La Figura 4.3 (Aguirre 994) muestra dos configuraciones posibles para un modelo AR() o bien ARMA(,). De esta figura se puede destacar que la FAS de un proceso autorregresivo de primer orden decae exponencialmente hacia cero, mientras que existe una espiga significativa en la FAP en el primer retraso. Además si, La FAS decae positivamente hacia cero y la espiga en la FAP es positiva también. Si, la FAS decae hacia cero alternando signos, mientras que la espiga significativa en la FAP es negativa. a) FAS FAP b) FAS FAP Figura 4.3 Funciones de autocorrelación simple y parcial teóricas para el modelo AR() 56 Página

17 Para un modelo AR(2) o ARMA (2,) existen una mayor variedad de patrones posibles que para un modelo AR(). En general un proceso autorregresivo de segundo orden cuenta con una FAS que decae a cero tanto de forma exponencial como de seno amortiguado ó bien una mezcla de ambos. La FAP se caracteriza por tener espigas en los retrasos y 2. El patrón exacto depende en las posibles combinación de signos para. En la Figura 4.4a y 4.4b se muestran cuatro posibles combinaciones. a) FAS FAP b) FAS FAP c) FAS FAP Figura 4.4a Funciones de autocorrelación simple y parcial teóricas para el modelo AR(2) 57 Página

18 d) FAS FAP - Figura 4.4b Funciones de autocorrelación simple y parcial teóricas para el modelo AR(2) Modelo MA: En general la FAS de un proceso de medias móviles cuenta con espigas significativas hasta el retraso, después del cual se corta la función. La FAP por su lado decae de forma exponencial o en forma de seno amortiguado. Normalmente el valor de no es mayor que 2 o 3. La Figura 4.5 muestra las configuraciones de un modelo MA(). Se ilustra como si en la FAS se presenta una espiga positiva mientras que la FAP decae exponencialmente a cero alternando signos. Si la espiga en la FAS es negativa, la FAP decae exponencialmente a cero con signo negativo. a) FAS FAP b) FAS FAP Figura 4.5 Funciones de autocorrelación simples y parcial teóricas para el modelo MA() 58 Página

19 Para un modelo MA(2) la Figura 4.6a y 4.6b muestra algunas formas que pueden tomar las funciones de autocorrelación. Se muestra que existen espigas en la FAS hasta el retraso, en este caso hasta 2 y después de este retraso la función de corta o se extingue. La FAP decae a cero con distintas configuraciones. a) FAS FAP b) FAS FAP c) FAS FAP - Figura 4.6a Funciones de autocorrelación simples y parcial teóricas para el modelo MA(2) 59 Página

20 d) FAS FAP - - Figura 4.6b Funciones de autocorrelación simple y parcial teóricas para el modelo MA(2) Modelos ARMA: Las funciones de autocorrelación combinan las características que se presentan en los modelos AR y los MA. En general la FAS decae a cero tanto exponencialmente como en forma de seno amortiguado después del retraso de tiempo. La FAP teórica también decae a cero después del retraso. Se muestran en la Figura 4.7a y 4.7b seis posibles combinaciones para el modelo teórico ARMA(,) a) FAS FAP - - b) FAS FAP - - Figura 4.7a Funciones de autocorrelación simple y parcial teóricas para el modelo ARMA(,) 6 Página

21 c) FAS FAP - - d) FAS FAP - - e) FAS FAP - - f) FAS FAP - - Figura 4.7b Funciones de autocorrelación simple y parcial teóricas para el modelo ARMA(,) 6 Página

22 Es probable que exista cierta ambigüedad al determinar un modelo ARIMA apropiado a partir de los patrones que provienen de las FAS y FAP parciales de la muestra. Cualquier modelo que se escoja, se considera simplemente tentativo: sólo es un candidato para ser considerado como el modelo ideal. Si no fuera el caso, se deberá intentar con un modelo alterno Estimación En esta etapa se estiman los coeficientes del modelo escogido tentativamente en el paso anterior, existen distintos criterios para dicho propósito. Usualmente se realiza por medio de paquetes informáticos. Además en esta etapa se puede pre-visualizar la adecuación del modelo a la serie de tiempo. Particularmente si los coeficientes no satisfacen ciertas condiciones matemáticas, el modelo es rechazado. El principal criterio para el cálculo de los parámetros es el llamado Estimación de máxima verosimilitud ó Maximum Likelihood (ML por sus siglas en ingles). Se ha demostrado que los parámetros estimados a través de este criterio reflejan con gran exactitud las características presentes en los datos de la serie de tiempo. Sin embargo éste método se ve limitado debido al gran tiempo que conlleva realizar la estimación, aún con el uso de la computadora (Pankratz 983). Por esta razón la mayoría de la literatura existente sugiere el uso del criterio de mínimos cuadrados o least squares (LS por sus siglas en ingles). Se ha demostrado que las estimaciones hechas mediante este criterio son muy cercanas a las del criterio de máxima verosimilitud. La estimación de los parámetros del modelo ARMA seleccionado, se realiza por medio de minimizar la suma de los cuadrados de los residuales SSR (sum of squared residuals). En general, estos estimados de los mínimos cuadrados deben obtenerse mediante un procedimiento no lineal de mínimos cuadrados. Un procedimiento no lineal de mínimos cuadrados es, sencillamente, un algoritmo que encuentra el mínimo de la suma de la función de errores cuadrados, mediante un proceso iterativo. Los residuales de cualquier modelo ARMA se definen como: Donde: : : : á Entonces, la suma de los cuadrados de los residuales se define como: Esta última función es la que se debe minimizar, a través de la búsqueda de los parámetros del modelo ARMA que se desea ajustar. 62 Página

23 Finalmente obtenidos los parámetros del modelo ARMA propuesto, deben de cubrir en conjunto los siguientes requerimientos (Pankratz 983):. El modelo debe tener parsimonia: Box y Jenkins enfatizaron la importancia del principio de parsimonia. Un modelo con parsimonia ajusta la información disponible sin usar coeficientes innecesarios. Es decir, se opta siempre por el modelo con el menor número de coeficientes. Este principio es importante ya que en la práctica un modelo con esta característica produce mejores predicciones. El objetivo en la modelación ARIMA no es encontrar el modelo exacto que represente al proceso generador de las observaciones, es más bien encontrar el modelo que se aproxime al verdadero proceso y que explique el comportamiento de la variable en estudio de forma adecuada y práctica. 2. El modelo debe ser estacionario e inversible: La metodología Box-Jenkins requiere que el modelo que se utiliza para la descripción y pronóstico de una serie de tiempo sea tanto estacionario como inversible. La inversibilidad se refiere a que cualquier modelo ARIMA puede expresar a la serie en función de las observaciones pasadas, es decir,,,. Esto es obvio para un modelo autorregresivo de orden : No es obvio para un modelo de medias móviles de orden : No obstante, se puede demostrar que un modelo de medias móviles puede expresar a la serie como una serie infinita de observaciones pasadas. Es decir, un modelo de medias móviles se puede transformar o invertir en un modelo autorregresivo de orden infinito. La Tabla 4.4 (Bowerman, O Conell, Koehler 27) muestra las condiciones de estacionariedad e inversibilidad para los modelos ARMA más comunes. Las condiciones para modelos generales son complicadas por lo que no se estudian en este texto. Sin embargo, se puede decir que si un modelo utiliza parámetros autorregresivos, una condición de estacionariedad necesaria (pero no suficiente) es que la suma de los valores de los parámetros autorregresivos es menor que. Si un modelo utiliza parámetros de media móvil, una condición de inversibilidad necesaria (pero no suficiente) es que la suma de los valores de los parámetros de la media móvil es menor que. Además, un modelo que utiliza sólo parámetros autorregresivos no tiene condiciones de inversibilidad y un modelo que utiliza sólo parámetros de media móvil no tiene condiciones de estacionariedad. 63 Página

24 Tabla 4.4 Condiciones de estacionariedad e invertibilidad 3. Los coeficientes del modelo deben ser estadísticamente significativos: Se debe determinar si los coeficientes son importantes en el modelo o se deben excluir del mismo. Se hace uso de los valores del error estándar y el valor asociado a cada uno de los coeficientes del modelo. El valor de se define como: á Ambos valores normalmente son calculados automáticamente por los programas estadísticos tales como MINITAB o SAS. La exclusión de aquellos coeficientes que no son importantes en el modelo se hace mediante la hipótesis de que el coeficiente no es significativo, por tanto si se rechaza esta hipótesis, el coeficiente es significativo y debe permanecer en el modelo. Como regla práctica se dice que es razonable incluir en el modelo un parámetro cuya estadística absoluta es mayor que 2. Si el valor de absoluto de un coeficiente es menor a 2, entonces debemos considerar seriamente, excluir el parámetro del modelo. La Figuras 4.8 y 4.9 muestra la salida de dos ajustes realizados por MINITAB. En la primer figura se observa que los valores asociados a los coeficientes calculados son menores a dos, por lo que supone que el modelo propuesto no es apropiado y debe considerarse excluir algún parámetro del modelo. En la segunda figura se ha excluido un parámetro y el valor en valor absoluto es mayor a dos, para el coeficiente MA. En este caso el parámetro es importante en el modelo y no debe excluirse. 64 Página

25 Figura 4.8 Ajuste MINITAB modelo inadecuado Figura 4.9 Ajuste MINITAB modelo adecuado 4. El modelo debe proporcionar un adecuado ajuste: Aplicar la modelación ARIMA a una serie de tiempo no es garantía de que se obtendrá un modelo que ajuste a la perfección, en especial en aquellas series donde existe gran cantidad de perturbaciones aleatorias que no puedan ser ajustadas al modelo. Suele suceder que para una misma serie de tiempo, existen varios modelos que cumplen con las 65 Página

26 características de un modelo adecuado y proporcionan resultados similares, sin embargo debe escogerse aquel que se ajuste mejor a la serie. Una medida útil que ayuda a conocer el grado de ajuste del modelo a la serie es la RMSE (root-meansquared error). Esta medida da a conocer la desviación estándar de los residuales, y se calcula como: Donde: : : ú : ú Generalmente se utiliza el valor de RMSE para compararlo con el de otros modelos estimados para la misma serie. Se preferirá aquel modelo cuyo RMSE tienda a tener menor valor Evaluación del modelo Una vez estimados los coeficientes del modelo propuesto, la siguiente etapa en la metodología Box- Jenkins es la evaluación ó verificación del mismo. En este paso se comprueba la eficiencia del modelo y se decide si es estadísticamente adecuado. Un modelo estadísticamente adecuado es aquel cuyos residuales son independientes entre sí. Es decir, si los residuales son completamente aleatorios. Para comprender mejor el objetivo de esta etapa, es conveniente recordar algunas ideas importantes:. La idea básica de la metodología es modelar aquellos datos que estén correlacionados entre sí, mediante la combinación de términos AR y MA. 2. Los fenómenos reales siempre presentan perturbaciones aleatorias, también llamados choques aleatorios ó proceso de ruido blanco. 3. La metodología Box-Jenkins asume que las perturbaciones aleatorias pertenecientes a un proceso son independientes entre sí. No existe correlación alguna entre ellas. Por tanto estas perturbaciones no se modelan mediante términos AR o MA. En la práctica las perturbaciones aleatorias no se pueden identificar directamente en una serie de tiempo. Sin embargo, los residuales del modelo ARIMA, nos proporcionan un cálculo aproximado de las perturbaciones reales (Pankratz 983). Recordemos que los residuales de cualquier modelo ARIMA se definen como: Donde: : 66 Página

27 : : á Entonces, si los residuales muestran estar correlacionados entre sí, significa que existe un patrón que aun no ha sido tomado en cuenta por los términos autorregresivos y/o de medias móviles del modelo propuesto. Por lo tanto, se concluye que si los residuales están correlacionados de alguna manera, estos no son ruido blanco y se debe buscar otro modelo cuyos residuales sean completamente aleatorios. La función de autocorrelación simple de los residuales es el instrumento que se utiliza para determinar si el modelo es estadísticamente adecuado. El cálculo de los coeficientes de autocorrelación se realiza por medio de la misma fórmula vista en el capítulo 2 pero aplicada a los residuales del modelo ajustado (Pankratz 983): Donde: : ó : : : : ú Mediante el análisis de esta función se busca que los coeficientes de autocorrelación sean cero o muy cercanos a él. Específicamente se pretende que los coeficientes no sean significativos. Esto se determina a través del estadístico asociado a la función de autocorrelación simple de los residuales: 2 La mayoría de los programas de computadora realiza automáticamente el cálculo del estadístico. MINITAB por su parte despliega el gráfico de la función de autocorrelación de los residuales, tal como se observa en la Figura Página

28 Por medio del gráfico y de las bandas se puede establecer si el valor de un coeficiente es significativo. Si uno o varios valores de autocorrelación sobrepasan las bandas de dos desviaciones estándar, significa que el ó los coeficientes son significativamente distintos de cero y por lo tanto, los residuales no son independientes entre sí. El modelo no es estadísticamente adecuado. De modo contrario, si los valor de los coeficientes no sobrepasan la banda de puntos, indica que dichos valores no son significativo y por tanto se asume que los residuales son independientes entre si y se acepta el modelo. También una regla común es que para los tres primeros rezagos de tiempo, si el valor del estadístico calculado es menor que.25 y menor que.6 para rezagos posteriores, se concluya que las perturbaciones aleatorias son independientes entre sí (Pankratz 983). Autocorrelation ACF of Residuals for Esf (Yt) (with 5% significance limits for the autocorrelations) Lag Figura 4.2 Función de autocorrelación simple de los residuales mediante MINITAB Es necesario precisar que el cálculo del estadístico tan sólo es una aproximación del valor real, lo que podría provocar que se consideren los residuos como aleatorios, cuando en realidad no lo son, o viceversa. Por esta razón se recomienda el uso del estadístico Ljung-Box, el cual también se enfoca al análisis de los coeficientes de autocorrelación de los residuales, pero lo hace de manera grupal. Es una prueba que considera un conjunto de coeficientes de autocorrelación. El estadístico Ljung-Box se define como: 2 Donde: : ú : ó : : ú 68 Página

29 El valor de se fija arbitrariamente, la mayoría de los programas de computadora establecen 6,2,8 24. La forma en que se prueba la eficiencia de un modelo a través de este estadístico sigue el mismo razonamiento, es decir, se trata de comprobar que los residuos no están correlacionados y, por tanto, las autocorrelaciones de los residuos deben ser pequeñas. Por consiguiente, debe ser pequeña. Ahora bien, juzgar que el valor de es un valor pequeño, es sumamente subjetivo. Es por eso que se utilizan ciertas condiciones para establecer un punto de rechazo de la suficiencia del modelo. Se utiliza una escala de distribución chi-cuadrado, a la cual se asocia un valor que representa la probabilidad de juzgar de manera correcta el valor de. Se puede demostrar que si el valor de es pequeño, el valor de es grande y el modelo no es adecuado y viceversa (Bowerman, O Conell, Koehler 27). De forma práctica, si el valor de es mayor que. pero menor que.5, se considera que el modelo es inaceptable sin lugar a dudas. Si el valor de es mayor que.5 entonces se dice que es razonable concluir que el modelo es suficiente. No es del alcance de esta tesis demostrar los valores anteriores, pero se consideran aceptables y válidos debido a la amplia difusión que tienen en la literatura existente. También cabe destacar que la razón de mencionar el valor de para analizar la suficiencia de un modelo es que en los paquetes informáticos se incluye con frecuencia este valor. Además es una manera práctica y rápida de evaluar la suficiencia del modelo. Una manera de comprobar que el modelo es estadísticamente adecuado. Para ejemplificar lo enunciado anteriormente, consideremos la salida de MINITAB para dos modelos propuestos (Figuras 4.2 y 4.22). En primera figura, la tabla se muestra los valores del estadístico Ljung-Box y el valor. Los valores son menores que.5, en este caso, se rechaza la suficiencia del modelo y debe proponerse un nuevo modelo. En la segunda, los valores de son mayores a.5 por lo que se acepta la suficiencia del modelo y puede procederse a la realización de pronósticos. Figura 4.2 Salida MINITAB Figura 4.22 Salida MINITAB Pronóstico La fase final de la metodología Box-Jenkins es pronosticar valores futuros de la serie de tiempo. En primer lugar se debe comprender cómo realizar predicciones puntuales a partir de un modelo ARIMA ya estimado. En segundo lugar se debe estudiar cómo estimar límites de probabilidad alrededor de una estimación puntual, conocidos particularmente como intervalos de confianza. Y por último se debe conocer y probar la suficiencia de los pronósticos. 69 Página

30 A partir de este punto y con el fin de explicar la generación de pronósticos, se asumirá que se conoce al modelo ARIMA en su totalidad, es decir, se conoce sus coeficientes y se ha probado que el modelo es adecuado. Se hace notar que en la práctica, estas consideraciones son verdaderas si se ha identificado y estimado los parámetros del modelo conforme a la aplicación de las etapas anteriores. El pronóstico de una serie de tiempo se hace por medio de predicciones ó estimaciones puntuales. Así, una predicción puntual se define como el valor de la variable en el tiempo, calculado por medio del modelo ARIMA ajustado a la serie. La forma más conveniente para empezar a realizar predicciones puntuales es escribir el modelo incluyendo el restablecimiento de la no estacionariedad. Hay que recordar que en el primer paso de la metodología, se induce la estacionariedad en la serie de tiempo (sólo en caso que se requiera), por medio de diferencias. Para restablecer las características originales de la serie, se realiza la operación inversa, es decir, se integra a la serie. A este proceso inverso se le conoce como integración. Se advierte la importancia del restablecimiento de condiciones iniciales, ya que es lógico que se requieran para obtener pronósticos adecuados y apegados a la realidad. Para ejemplificar cómo se escribe un modelo considerando la integración de la serie, tomemos un modelo ARIMA(,,) cuya ecuación es: Donde: : Simplemente se sustituye en la ecuación del modelo: Despejando : Ahora bien, para explicar la forma en que se realizan las predicciones puntuales tomemos como ejemplo el modelo ARIMA(,,) ajustado a la serie que se muestra en la Tabla 4.5. (Se explicará de esta forma debido a que es práctico y fácilmente entendible). 7 Página

31 t Y t t Y t t Y t t Y t Tabla 4.5 Serie de tiempo ejemplo La ecuación del modelo, considerando la integración de la serie es: Una predicción puntual para este modelo ARIMA(,,) particular se calcularía a partir de: Donde: Al realizar predicciones puntuales (específicamente para este ejemplo) se considera lo siguiente: La predicción puntual de de la perturbación futura es cero. La predicción puntual de de la perturbación aleatoria pasada es el residuo é si podemos calcular y es cero si no la podemos determinar. El coeficiente del modelo calculado mediante MINITAB es: Página

32 A parir del valor del coeficiente se trata de predecir el valor de la variable en el tiempo, la ecuación queda:.256 Puesto que no hay valor para, no se puede calcular el valor de, ni el primer residuo ( ) y este se considera. Luego para intentar predecir a partir del tiempo de origen se tiene:.3534 Como En este caso 5 de la Tabla 4.5 Al usar el valor se puede calcular: Con este residuo se puede calcular a partir del origen 2 como: Con este valor se calcula a su vez: Al continuar con este proceso con cada uno de los siguientes periodos, se obtiene que la predicción puntual El residuo para el periodo 2 es: Ahora bien, hasta ahora se han predicho valores hasta el periodo 2, a partir del origen inmediato anterior, es decir, se calculó el valor de a partir del origen 9, el valor a partir del origen 8, y así sucesivamente. Sin embargo como no se cuenta con las observaciones para los periodos subsecuentes 2, 22, 23, etc., las predicciones puntuales,,,. se obtienen a partir del origen 2. Entonces el pronóstico puntual para es: Página

33 Puesto que no se cuenta con la observación, no se puede obtener el valor por lo que se supone un valor de. Entonces la predicción puntual para a partir del origen 2 es:.3534 Se asume que el valor es igual al valor de puesto que no existe valor observado en ese tiempo Esta operación se realiza sucesivamente hasta el periodo de tiempo que se desee pronosticar. Por otra parte cada pronóstico posee un intervalo de confianza asociado a la probabilidad de que el valor futuro observado se encuentre dentro de dicho intervalo. Normalmente se establece que la probabilidad sea del 95%. A esta combinación probabilidad-intervalo normalmente se le conoce como intervalo de confianza del 95%. Por medio de esta manera se puede conocer si los pronósticos son satisfactorios o no. La generación de pronósticos es satisfactoria si los valores futuros se encuentran dentro del intervalo de confianza. De manera inversa serán insatisfactorios si estos se hallan fuera del intervalo. El cálculo de un intervalo de confianza del 95% para un pronóstico, se realiza por medio de la ecuación:.96 Donde: : ó : ó El cálculo de quedá fuera del alcance de este texto. No obstante, las salidas de los programas estadísticos contienen los valor correspondientes a cada predicción puntual. Para el ejemplo anterior donde y se tiene que El intervalo de confianza del 95% para es: Para es: , , Página

34 Después de que se ha encontrado un modelo adecuado, se pueden llevar a cabo los pronósticos para un periodo, o varios, en el futuro. Si el patrón de la serie parece cambiar con el tiempo, los nuevos datos podrían usarse para volver a estimar los parámetros del modelo o, de ser necesario, desarrollar un modelo completamente nuevo. Vigilar los errores de pronóstico es una buena idea. Si las magnitudes de los errores más recientes tienden a ser considerablemente mayores que los anteriores, quizá sea hora de evaluar nuevamente el modelo. 4.4 Metodología Box-Jenkins Estacional La metodología vista hasta ahora, está enfocada a series de tiempo no estacionales. Sin embargo, en la práctica se presentan frecuentemente series con estacionalidad. Este hecho no se había remarcado anteriormente debido a que las etapas de la metodología para series estacionales no varían en su concepto y siguen las mismas pautas. Las variaciones que deben tenerse en cuenta al aplicar modelos ARIMA a series estacionales consisten principalmente en tres aspectos: el reconocimiento del periodo estacional, la estabilización de la serie y la adición de términos autorregresivos y/o de medias móviles referidos a periodos de tiempo anteriores donde. A continuación se presentan aquellas consideraciones extras que deben hacerse en cada una de las etapas. Estacionariedad: Uno de los requisitos para poder iniciar la identificación y estimación del modelo es que la serie debe ser estacionaria. Recordemos que si la serie presenta algún tipo de patrón ascendente o descendente, la serie es inestable o no estacionaria, por lo que la serie debe ser transformada para lograr su estabilización. La Figura 4.23 muestra una serie estacional donde se muestra un aumento en los valores de la serie. 5 Yt Tiempo Figura 4.23 Serie de tiempo no estacionaria 74 Página