Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

Transcripción

1

2 ÍNDICE Modelos de caja gris Calibración de modelos Estimación de parámetros Análisis de la estimación Regresión no lineal

3 1. Modelos de caja gris Son modelos de un sistema (o proceso), donde: Desarrollados a partir de ecuaciones basadas en principios fundamentales (modelos de caja blanca) Existe una parte del mismo del cual se desconocen sus parámetros y/o estructura.

4 2. Calibración de modelos Dados: 1. Modelo de caja gris 2. Conjunto de mediciones (datos de calibrado) 3. Una medida del ajuste (función de pérdida) Estimar: El valor de los parámetros o la estructura que no esté determinada.

5 Pasos en la calibración de un modelo 1. Análisis de la especificación del modelo 2. Análisis de los datos y preprocesamiento 3. Estimación de parámetros y/o estructura 4. Análisis de la calidad de la estimación Posteriormente realizar una validación del modelo obtenido.

6 Análisis de las especificaciones del modelo Analizar el modelo de ecuaciones obtenido Seleccionar qué parámetros y/o elementos de la estructura se quieren estimar Ver de qué conjunto de datos de medida se puede disponer Análisis de los datos y preprocesamiento Los datos obtenidos deben de ser analizados en busca de: Existencia de bias Existencia de valores atípicos Existencia de errores de medida (debido a la instrumentación o grandes perturbaciones) Los errores de medida deberían de estar normalmente distribuidos y tener una media CERO. (es difícil de detectar a priori)

7 3. Estimación de parámetros Dado: Modelo del sistema (caja gris) Conjunto de datos (preprocesados) Una función de pérdida (medida del ajuste) Calcular: Estimación de los parámetros

8 Regresión lineal Variablidad de los datos Media Desviación estándar Varianza Coeficiente de variación

9 Qué significa que sea regresión lineal? Cómo son los siguientes casos? Dados unos datos y modelo lineal en los parámetros Encontrar unos valores para β 1 y β 0 tal que hagan el error de la predicción mínimo. El modelo en este caso es:

10 Queremos minimizar el error, es decir, la diferencia entre el valor real y el modelo Posibles criterios para obtener los parámetros. Suma de errores Suma del valor absoluto del error Suma de los cuadrados de los errores

11 Regresión lineal múltiple En el caso general de n variables Encontrar unos valores para todos los β tal que hagan el error de la predicción mínimo. El modelo es:

12 Ajuste por el método de Mínimos cuadrados Minimizar la suma de los cuadrados de los errores. Derivamos respecto de cada parámetro: Poco robusto numéricamente Formulación para resolución numérica

13 Estimación de la estructura Dado: Modelo del sistema (caja gris) Conjunto de datos (preprocesados) Una función de pérdida (medida del ajuste) Calcular: Estimación de la estructura del modelo (en un dominio de modelos) Realizar una estimación de parámetros para todo el dominio de modelos

14 4. Análisis de la estimación 1. Análisis de los residuos 2. Análisis de la calidad de la estimación 1. Suma del cuadrado de los errores (o desviación típica residual) 2. Desviación típica del parámetro(s) (comparación con su valor) 3. En caso de varios parámetros, correlación entre ellos.

15 Análisis de los residuos Media CERO Distribución aleatoria (residuos independientes)

16 Análisis de la estimación caso una variable Propiedades del estimador β 1 Suma de cuadrado de errores Desviacion típica de los datos y Desviacion típica residual Coeficiente de correlación

17 Análisis de la estimación caso multivariable Propiedades de los estimadores β i Matriz de varianzas y covarianzas parámetros Desviacion típica Suma de cuadrado de errores Matriz de varianzas y covarianzas de datos Correlación entre parámetros Desviacion típica residual Coeficiente de determinación corregido

18 Ejemplo: Análisis de los resultados Desviacion típica residual Media de los errores e-016 Distribución de los errores Valor estimado parámetro Desviacion típica parámetro

19 5. Regresión no lineal Modelo NO lineal Transformar el problema a uno de regresión lineal Modelo exponencial Se transforma en Ecuación en potencias Se transforma en Fracciones Se transforma en

20 Regresión con Aspen Plus 1. Construir el modelo

21 2. Introducir datos experimentales

22

23 3. Indicar los parámetros de regresión

24

25 4. Examinar los resultados

26