Ejemplo 7.1. Heterocedasticidad. Pilar González y Susan Orbe. Dpto. Economía Aplicada III (Econometría y Estadística)

Transcripción

1 Ejemplo 7.1 Heterocedasticidad Pilar González y Susan Orbe Dpto. Economía Aplicada III (Econometría y Estadística) Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 1 / 22

2 Enunciado. Abre el fichero pizza.gdt. a. Estima un modelo en el que el consumo de pizza depende linealmente de las variables género, nivel máximo de estudios, renta y edad y escribe la FRM. b. Es la variable renta significativa? c. Creyendo que puede haber heterocedasticidad en las perturbaciones, utiliza un estadístico robusto a la heterocedásticidad para contrastar la significatividad de la variable renta. d. Realiza el contraste de Breusch-Pagan para analizar si la varianza de la perturbación depende de las variables explicativas del modelo. e. Realiza el contraste de White para analizar si la varianza de la perturbación depende de las variables explicativas del modelo. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 2 / 22

3 Enunciado. f. Obtén el gráfico de residuos frente a la variable edad. g. Realiza el contraste de Goldfeld-Quandt para analizar si la varianza de la perturbación es una función decreciente de la edad. h. Dados los contrastes realizados para analizar la posible heterocedasticidad en las perturbaciones, cómo se debe contrastar la significatividad de la variable renta? Razona tu respuesta en base a las propiedades de los estimadores empleados. i. Interpreta los resultados. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 3 / 22

4 En primer lugar estimamos el modelo por MCO. Con esta información es posible contrastar la significatividad de la variable renta. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 4 / 22

5 Para obtener la estimación de la matriz de varianzas y covarianzas robustas a la heterocedasticidad, seleccionamos en el cuadro de diálogo de la estimación Desviaciones típicas robustas. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 5 / 22

6 Para obtener la estimación de la matriz de varianzas y covarianzas robustas a la heterocedasticidad, en el cuadro de diálogo de la estimación elegimos Seleccionar desde las opciones HCCME regulares. Y seleccionamos HC0 para estimar la matriz de covarianzas robustas según White. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 6 / 22

7 En los resultados de estimación se observa que la estimación de los coeficientes por MCO es la misma y que varía la desviación típica, el estadístico y el p valor (estos dos últimos por depender de la desviación típica). El resto de resultados se mantienen constantes. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 7 / 22

8 Ejemplo 7.1 Heterocedasticidad. Para realizar los contrastes de heterocedasticidad, en la pantalla de estimación anterior pinchamos Contrastes Heterocedasticidad Los contrastes de White y Breusch-Pagan aparecen como opciones. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 8 / 22

9 Los resultados del contraste de Breusch-Pagan son: Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 9 / 22

10 Los resultados del contraste de White son: Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 10 / 22

11 Para realizar el contraste de Goldfeld-Quandt tenemos que ordenar la muestra en función de la variable edad. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 11 / 22

12 Dado el gráfico de los residuos frente a la variable renta, se sospecha que la varianza de las perturbaciones decrece con la variable edad. 150 Residuos de la regresión (= pizza observada - estimada) residuo edad Por tanto a la hora de ordenar la muestra se debe ordenar de forma decreciente: Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 12 / 22

13 Hay que seleccionar dos submuestras: una con las primeras observaciones y otra con las últimas. Elegimos que el tamaño de cada submuestra sea 13, con lo que se eliminan 14 observaciones centrales. Restringimos la muestra a las primeras 13 observaciones. Observamos que del total de 40 observaciones estamos escogiendo las primeras 13. Esta será la primera submuestra. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 13 / 22

14 Los resultados de la estimación del modelo para la primera submuestra son: Comprobamos el tamaño muestral y anotamos la suma de cuadrados residual (SCR 1 ). Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 14 / 22

15 Tras recuperar el rango completo, restringimos la muestra a las últimas 13 observaciones. Observamos que del total de 40 observaciones estamos escogiendo las 13 últimas. Esta será la segunda submuestra. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 15 / 22

16 Ejemplo 7.1 Heterocedasticidad. Los resultados de la estimación del modelo para la segunda submuestra son: Comprobamos el tamaño muestral y anotamos la suma de cuadrados residual (SCR 2 ). Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 16 / 22

17 Resultados (I). Función de regresión muestral. pizza i = 439, , 854 M i + 73, 1179 B i 6, U i 48, 7524 P i + + 2, renta i 8, edad i i = 1,..., 40 Contraste de significatividad de la variable renta. H 0 : β 6 = 0 H 0 : β 6 0 t = ˆβ 6 0 ˆσ ˆβ6 H 0 t(n k) donde ˆσ ˆβ6 se obtiene utilizando la fórmula habitual para la estimación de la matriz de covarianzas del estimador MCO, ˆV ( ˆβ) = ˆσ(X X) 1. t = 6, 615 > 2, = t 0,05/2 (40 7) Por lo tanto, se rechaza H 0 para un nivel de significatividad del 5 %. La variable renta es significativa. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 17 / 22

18 Resultados (II). Contraste de significatividad de la variable renta empleando el estimador MCO con la matriz de covarianzas robusta de White. Si las perturbaciones fueran heterocedásticas, el estimador de la matriz de covarianzas del estimador MCO, ˆ(V )( ˆβ) = ˆσ 2 (X X) 1, estaría sesgado y no se podría utilizar para hacer inferencia. Para contrastar la significatividad de la variable renta utilizando el estimador MCO hay que seguir otro procedimiento. H 0 : β 6 = 0 H 0 : β 6 0 t = ˆβ 6 0 ˆσ Rˆβ6 H 0,a N(0, 1) donde ˆσ Rˆβ6 se obtiene utilizando la fórmula propuesta por White para estimar la matriz de covarianzas del estimador MCO robusta a la heterocedasticidad. t = 6, 598 > 1, 96 = N 0,05/2 (0, 1) Por lo tanto, se rechaza H 0 para un nivel de significatividad del 5 %. La variable renta es significativa. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 18 / 22

19 Resultados (III). Contraste de Breusch-Pagan. Regresión auxiliar: û 2 i SCR/N = α0 + α1mi + α2bi + α3ui + α4pi + α5rentai + α5edadi + wi Estadístico de contraste: LM = SCE 2 H 0,a χ 2 (p = 6) Criterio de decisión: LM = 3, < 12, 5916 = χ 2 0,05(6) Por tanto no rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad a un nivel del 5 % de significatividad. La varianza de las perturbaciones es constante a lo largo de la muestra. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 19 / 22

20 Resultados (IV). Contraste de White. Regresión auxiliar: û 2 i = α 0 + α 1M i + α 2B i + α 3U i + α 4P i + α 5renta i + α 5edad i + + α 6M ib i + α 7M iu i + α 8M ip i + α 9M irenta i + α 10M iedad i + α 11B irenta i + + α 12U irenta i + α 13P irenta i + α 14B iedad i + α 15U iedad i + + α 16P iedad i + α 17renta 2 i + α 18edad 2 i + α 19renta iedad i + w i Estadístico de contraste: LM = NR 2 H 0,a χ 2 (p = 19) Criterio de decisión: LM = 17, < 30, 1435 = χ 2 0,05(19) Por tanto no rechazamos la hipótesis nula de homocedasticidad a un nivel del 5 % de significatividad. La varianza de las perturbaciones es constante a lo largo de la muestra. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 20 / 22

21 Resultados (V). Contraste de Goldfeld-Quandt. Gráfico de los residuos: En el gráfico se aprecia que a medida que aumenta la edad del individuo la varianza de los residuos decrece. En consecuencia parece que la varianza de las perturbaciones no es constante a lo largo de la muestra sino que depende de forma decreciente de la variable edad. Dada nuestra sospecha, ordenamos de forma decreciente la muestra acorde a la variable edad. Primera submuestra de 13 observaciones: pizza i = 965, , 647M i 51, 5852B i + 11, 4384U i 97, 8381P i + 1, renta i 17, 1824 edad i i = 1,..., 13 SCR 1 = 15587, 54 Segunda submuestra de 13 observaciones: pizza i = 39, , 953M i + 121, 532B i + 69, 6723U i 1, renta i + 13, 1123 edad i i = 28,..., 40 SCR 2 = 56674, 17 Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 21 / 22

22 Resultados. Estadístico de contraste: GQ = SCR2/(N2 k2) SCR 1/(N 1 k 1) H 0,a F N2 k 2,N 1 k 1 Criterio de decisión: GQ = 56674, = 3, < 4, = F0,05(7, 6) 15587, Por tanto no rechazamos la hipótesis nula de homocedásticidad a un nivel del 5 % de significatividad. La varianza de las perturbaciones es constante a lo largo de la muestra y no depende de la variable edad. Conclusión. Los contrastes indican que las perturbaciones no son heterocedásticas por lo que la varianza de la perturbación puede asumirse constante. En consecuencia la estimación MCO del modelo es adecuado. Los estimadores MCO, condicionados a X, son lineales en u, insesgados y de varianza mínima entre los estimadores lineales e insesgados. El estimador de la varianza de la perturbación (ˆσ 2 = SCR/(N k)) también es insesgado. Por tanto la inferencia en el modelo empleando el estimador MCO y el estadístico habitual es válida. El primer contraste realizado es el adecuado. Pilar González y Susan Orbe OCW 2013 Ejemplo 7.1. Heterocedásticidad 22 / 22