Matemáticas Discretas II clase 1: Principio del Palomar Universidad del valle

Transcripción

1 Matemáticas Discretas II clase 1: Principio del Palomar Universidad del valle Profesor: Jairo Ernesto Maldonado G.

2 Contenido ١. Clase anterior Dudas clase anterior Ejercicios, consultas clase anterior ٢. Principios del palomar Ejemplos y ejercicios ٣. Principio del palomar generalizado Ejemplos y ejercicios

3 1. 2 consultas clase anterior La matemática discreta proporciona, por otro lado, algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos algorítmica bases de datos teoría de autómatas sistemas operativos Investigar Ejemplos sencillos de problemas donde se aplica, más no como se hace. Y justificar explícitamente donde y porque se necesita. Calculo de probabilidades y simulación computacional así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos. Tomado de:

4 2. Principio del Palomar Introducción Supongamos que un grupo de palomas se dispone a anidar. El principio del palomar asegura que si hay más palomas que nidos, debe haber algún nido con al menos dos palomas.

5 2. Principio del Palomar Si K+1 o más objetos se colocan en cajas, existe al menos una caja que contiene dos o más objetos. + 1 = 2

6 2. Principio del Palomar Si K+1 o más objetos se colocan en cajas, existe al menos una caja que contiene dos o más objetos. Dem: suponga que ninguna de las cajas contiene más de un objeto. En tal caso, el número de objetos es como máximo, lo que contradice el hecho de que hay al menos +1 objetos. + 1 = 2

7 2. Principio del Palomar Si K+1 o más objetos se colocan en cajas, existe al menos una caja que contiene dos o más objetos. Ejemplo 2.1. en un grupo de 367 personas debe haber al menos dos que cumplan el mismo día, ya que hay sólo 366 posibles fechas de cumpleaños. Ejemplo 2.2. en cualquier grupo de 28 palabras del idioma español debe haber al menos dos que comiencen por la misma letra, ya que hay 27 letras en el alfabeto. + 1 = 2

8 2. Principio del Palomar Si K+1 o más objetos se colocan en cajas, existe al menos una caja que contiene dos o más objetos. Ejercicio 2.3. Cuántos estudiantes debe haber en una clase para garantizar que al menos dos estudiantes reciben la misma nota en el examen, suponiendo que el examen se califica en una escala de 0 a 100 puntos? + 1 = 2

9 2. Principio del Palomar Si K+1 o más objetos se colocan en cajas, existe al menos una caja que contiene dos o más objetos. + 1 = 2 Ejercicio 2.1. Cuántos estudiantes debe haber en una clase para garantizar que al menos dos estudiantes reciben la misma nota en el examen, suponiendo que el examen se califica en una escala de 0 a 100 puntos? Sol: hay 101 puntuaciones: equivale a +1 Entonces deben existir 102 estudiantes para que: 102/101 sea por lo menos 2 por el principio del palomar.

10 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos K = r + 1 > r Ejemplo 3.1. en un grupo de 100 personas siempre hay al menos que nacieron el mismo mes. 100 = 12 9

11 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Dem: supongamos que ninguna de las cajas contiene más de objetos, entonces el número total de objetos es a lo más: 1 K = + < < K < 1 Lo que sería una contradicción Implica que:

12 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejercicio 3.1: Cuál es el número mínimo de estudiantes que debe haber en una clase para asegurar que al menos seis reciben la misma calificación, si las calificaciones posibles son E, MB,B,A,R,M.

13 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejercicio 3.1: Cuál es el número mínimo de estudiantes que debe haber en una clase para asegurar que al menos seis reciben la misma calificación, si las calificaciones posibles son E, MB,B,A,R,M. =? K= son la cantidad de calificaciones R= 6 n/5+1>2, despejar n> (6-1)*5, entonces debe ser 26. K + 1 > r

14 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejercicio 3.2: Cuántas cartas se deben sacar de una baraja de 52 para garantizar que al menos tres son del mismo palo? K + 1 > r

15 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejercicio 3.2: Cuántas cartas se deben sacar de una baraja de 52 para garantizar que al menos tres son del mismo palo? =? K= 4 son la cantidad tipos o categorías de cartas (espadas,..) R= 3 n/4+1>3, despejar n> (3-1)*4, entonces debe ser 9. K + 1 > r

16 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejemplo libro: Cuál es el menor número de códigos de área necesarios para garantizar que los de teléfonos en un País tienen números distintos?. XX-XX-XXXX, donde los tres primero forman el código de área, representa un dígito del 2 al 9, ambos inclusive, y X representa un dígito cualquiera. K + 1 > r

17 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejemplo libro: Cuál es el menor número de códigos de área necesarios para garantizar que los de teléfonos en un País tienen números distintos?. XX-XX-XXXX, donde los tres primero forman el código de área, representa un dígito del 2 al 9, ambos inclusive, y X representa un dígito cualquiera. =25 K=cantidad de números distintos XX-XXXX = 8 R= 25 /8 = 3,12 = 4, como lo interpreto? K + 1 > r

18 3. Principio del Palomar generalizado Si se colocan objetos en K cajas, existe al menos una caja que contiene al menos objetos Ejemplo 10 libro: A lo largo de 30 días un equipo de beísbol juega al menos un partido cada día, pero no más de 45 partidos en total. Demuestra que debe haber un cierto número de días consecutivos en los que el equipo juegue, exactamente, 14 partidos. K + 1 > r