Análisis de imágenes digitales

Transcripción

1 Análisis de imágenes digitales MEJORAMIENTO DE LA IMAGEN Procesamiento difuso

2 INTRODUCCIÓN Un conjunto es una colección de objetos o elementos. Teoría de conjuntos trata de las herramientas para realiar operaciones entre conjuntos y un concepto fundamental es la membresía. En lógica booleana la membresía de un conjunto se define de manera binaria: verdadero () ó falso (); a esto se le conoce como conjuntos duros. Ejemplo: sea Z el conjunto de todas las personas y se desea definir un subconjunto A de Z que denote el conjunto de todas las personas jóvenes. Se define una función de membresía, A(), que asigne un valor de ó a cada elemento de Z. Entonces, un umbral determina si una persona se considera joven ó no-joven. A () Edad () Problema fundamental: una persona menor de 2 años es considerada joven, una persona con 2 años ya no es miembro del subconjunto de jóvenes. 2

3 INTRODUCCIÓN En algunos casos se requiere definir el significado de joven de una manera más flexible a través de una transición gradual para establecer diferentes grados de juventud. Este tipo de estados difusos son introducidos por la lógica difusa y los conjuntos generados se denominan conjuntos difusos. Esta interpretación es más parecida a la manera en cómo los humanos nos expresamos de forma imprecisa, por ejemplo, sobre la edad. A () Edad () Por ejemplo, mediante conjuntos difusos, una persona con 25 años se dice que tiene.5 grados de membresía en el conjunto de jóvenes. 3

4 DEFINICIONES Sea Z un conjunto de elementos u objetos donde cada elemento se denota como, esto es Z = {}. Un conjunto difuso A en Z se caracteria por una función de membresía, A(), que asocia cada elemento de Z con un número real en el intervalo [, ]. El valor A() representa el grado de membresía de en A. De este modo: A() = Completamente miembros < A() < Parcialmente miembros A() = No miembros Por tanto, un conjunto difuso es un par ordenado que consiste de valores de y su correspondiente grado de membresía: A = {, A () Z} 4

5 DEFINICIONES Un conjunto difuso está vacío ssi * su función de membresía es idéntica a cero en Z. Dos conjuntos difusos A y B son iguales, A = B, ssi A() = B() para todo Z. El complemento (negación) de un conjunto difuso A, denotado como Ā ó NOT(A), se define como: A () = A (), Z Un conjunto difuso A es un subconjunto del conjunto difuso B ssi A() B() para todo Z. La unión de dos conjuntos difusos A y B, denotado A B ó A OR B, es el conjunto difuso U cuya función de membresía es: U () = max [ A (), B ()], Z La intersección de dos conjuntos difusos A y B, denotado A B ó A AND B, es el conjunto difuso I cuya función de membresía es: I () = min [ A (), B ()], Z * Bicondicional si y sólo si 5

6 DEFINICIONES Conjuntos difusos Complemento A () A () = A () B () Unión Intersección U () = max [ A (), B ()] I () = min [ A (), B ()] 6

7 DEFINICIONES Funciones de membresía comúnmente utiliadas: Triangular: () = < a ( a) (b a) a < b ( b) (c b) b < c c.5 a b c Trapeoidal: () = < a ( a) (b a) a < b b < c ( c) (d c) c < d d.5 a b c d 7

8 DEFINICIONES Funciones de membresía comúnmente utiliadas: Sigma: () = a < ( a) (b a) a < b b.5 a b Sigmoide: S(,a,b) = < a ( ) 2 a < p ( ) 2 p < b 2 a b a 2 b b a b.5 a p p = a+b 2 b 8

9 DEFINICIONES Funciones de membresía comúnmente utiliadas: Campana: () = S(,a,b) S(2b,a,b) < b b.5 a b 2b a Grassiana truncada: () = exp ( b)2 s 2 b (b a) otro caso s a b 2b a 9

10 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS El procesamiento difuso se basa en reglas heurísticas SI (antecedentes) ENTONCES (consecuente), donde ambos son también conjuntos difusos. Definir la salida difusa de cada regla usando operaciones AND Relacionar las reglas IF- THEN con operaciones de lógica difusa OR/ AND 2. Realiar operaciones de lógica difusa 3. Aplicar un método de implicación 4. Aplicar un método de agregación Las salidas de los conjuntos difusos son combinados con operaciones OR Relacionar la variable de entrada con una función de membresía Generar una salida dura del sistema difuso. Fuificar las entradas 5. Defuificar el conjunto difuso final

11 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Ejemplo: supóngase que se quiere utiliar el color para categoriar un tipo de fruta en tres grupos: inmadura (IM), medio-madura (MM), madura (M). Las observaciones de las etapas de madure indicaron que: fruta inmadura es verde, fruta media madura es amarilla y fruta madura es roja. Las etiquetas verde, amarillo y rojo son descriptores difusos del color. Paso, fuificación: expresar las etiquetas en formato difuso, donde un color arbitrario (i.e., la longitud de onda),, es fuificado utiliando funciones de membresía. () V () A () R ().5 R ( ) A ( ) V ( ) Color (longitud de onda)

12 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Paso 2, operaciones de lógica difusa: formaliar el conocimiento del problema en la forma de reglas difusas SI-ENTONCES: R : SI el color es verde, ENTONCES la fruta está inmadura OR R 2 : SI el color es amarillo, ENTONCES la fruta está media-madura OR R 3 : SI el color es rojo, ENTONCES la fruta está madura 2

13 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Paso 3, implicación: relacionar las entradas de color y las reglas difusas SI- ENTONCES para crear la salida del sistema difuso. ().5 V () A () R () Color (longitud de onda) Entrada difusa () IM (v) MM (v) M (v) Madure (%) 3 v Salida difusa

14 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Paso 3, implicación: por ejemplo, la expresión rojo y maduro es la operación de intersección asociada con la regla difusa 3: 3 (,v) = min R (), M (v) [ ] Función de membresía relacionada con el rojo.5 () R ().5 (v) M (v) Función de membresía relacionada con la madure Color Madure v Funciones de membresía independientes (, v) 3 (, v) Intersección de ambas funciones de membresía Color Madure v Color Madure v 4

15 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Paso 3, implicación: el grado de membresía de una componente arbitraria de color,, es la escalar R(). Entonces, la salida difusa correspondiente a R3 es: (, v) Q 3 (v) = min [ R ( ), 3 (,v)] Color R ( ) (, v) Madure v Por tanto, las respuestas difusas para una entrada de color arbitraria a las tres reglas difusas que relacionan a un color arbitrario con la madure son: [ ] [ ] [ ] Q (v) = min V ( ), (,v) Q 2 (v) = min A ( ), 2 (,v) Q 3 (v) = min R ( ), 3 (,v) 5

16 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Paso 4, agregación: para obtener la respuesta total se unen las respuestas individuales a través de la unión: Q = Q Q 2 Q 3 la cual se realia mediante operaciones max, de modo que el resultado se escribe como: Q(v) = max r { min[ s ( ), r (,v)]} s para los tres grados de madure r = {inmaduro, medio-maduro, maduro} dadas las entradas de color s = {verde, amarillo, rojo}. 6 () R ( ).5 A ( ) V ( ) V () A () R () Color (longitud de onda) (v).5 (v).5 Q Q Madure (%) Q Madure (%) Q v v

17 PROCESAMIENTO BASADO EN REGLAS Paso 5, defuificación: para obtener una salida dura, v, del conjunto difuso, Q, se calcula su centroide como: v = K v= K v= vq(v) Q(v) Si además del color se considera una variable de consistencia, por ejemplo, si la fruta es roja ó suave entonces está madura.. Fuificación 2. Operaciones MAX 3. Operaciones MIN Verde Dura Inmadura SI color es verde OR consistencia es dura ENTONCES fruta está inmadura Amarillo Media Media madura SI color es amarillo OR consistencia es media ENTONCES fruta está media madura Rojo Suave Madura SI color es rojo OR consistencia es suave ENTONCES fruta está madura 4. Operaciones MAX Entrada: color () Entrada 2: consistencia (c) 5. Defuificación Salida: madure (%) 7

18 TRANSFORMACIÓN DE INTENSIDAD El problema de mejoramiento del contraste de una imagen se puede abordar mediante conjuntos difusos estableciendo las siguientes reglas difusas: R : SI el píxel es oscuro, ENTONCES hacerlo más oscuro R 2 : SI el píxel es gris, ENTONCES hacerlo gris R 3 : SI el píxel es claro, ENTONCES hacerlo más claro En términos de la salida difusa, más oscuro representa los grados de intensidad oscura, donde % es negro; más claro representa los niveles de intensidad clara, donde % es blanco; y gris representa las intensidades en la mitad de la escala de grises entre negro y blanco. 8

19 TRANSFORMACIÓN DE INTENSIDAD El procesamiento de imágenes con lógica difusa es computacionalmente costoso, ya que para cada píxel se debe aplicar el procesamiento difuso. Es por esto que se genera una función de transformación, utiliando las siguientes funciones de membresía: Entrada difusa oscuro () gris () claro () Salida difusa +oscuro (v) + gris (v) +claro (v).5 Nivel de intensidad Nivel de intensidad v Los diferentes grados de intensidad, en el rango [,], ocurren cuando las funciones campana son truncadas por las respuestas de sus correspondientes reglas difusas. 9

20 TRANSFORMACIÓN DE INTENSIDAD Imagen original Intensidad de salida Función de transformación Imagen mejorada Intensidad de entrada Funciones de membresía de entrada oscuro () claro () Funciones de membresía de salida +oscuro (v) +claro (v) h() h() + gris (v) gris () Intensidad 2 Intensidad

21 TRANSFORMACIÓN DE INTENSIDAD Funciones de transformación Imagen mejorada Intensidad de salida Imagen original Int El mejoramiento del contraste en imágenes a color se realia por separado para cada canal cromático en Ocurrencia Ocurrencia Intensidad de entrada Int sid ad en B G R C anal sid ad B G 2 R al Can