7. INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN

7. INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN Fenómenos de singula impotancia que distinguen las ondas de las patículas son la intefeencia y la difacción. La intefeencia es la combinación po supeposición de dos ó más ondas que se encuentan en un punto del espacio. La difacción es la desviación que sufen las ondas alededo de los bodes y esquinas que se poduce cuando una poción de un fente de ondas se ve cotado ó inteumpido po una baea ó obstáculo. El esquema de la onda esultante puede calculase consideando cada punto del fente de onda oiginal como una fuente puntual de acuedo con el pincipio de Huygens y calculando el diagama de intefeencia que esulta de todas estas fuentes. 7. Condiciones de intefeencia En el capítulo, movimiento ondulatoio, analizamos el fenómeno de supeposición de dos ondas amónicas de igual amplitud y fecuencia peo de difeente fase en un punto del espacio llegando a la conclusión de que la onda esultante es una onda amónica cuya amplitud depende de la difeencia de fase según la ecuación ξ = ( ξ cos δ ) sen ( kx ωt + δ ) [7.] Si la difeencia de fase es un númeo enteo de veces π, las ondas están en fase y la intefeencia es constuctiva obteniéndose un máximo de amplitud. Si la difeencia de fase es un númeo enteo impa de veces π, las ondas están desfasadas y la amplitud es un mínimo. Una causa común de difeencia de fase es la difeencia en la longitud de camino ecoido po las dos ondas. Ota causa de difeencia de fase es el cambio de fase en π que a veces sufe una onda cuando se efleja en una supeficie límite deteminada Siempe que se supeponen dos ondas electomagnéticas, ondas luminosas, se poducen fenómenos de inteacción; peo paa que estos fenómenos intefeenciales sean pemanentes, detectables y utilizables deben cumplise cietas condiciones: a) Las ondas que se supeponen deben se coheentes, la difeencia de fase ente ellas debe se constante e independiente del tiempo. Po ejemplo bocinas póximas excitadas po un geneado poducen intefeencia dado que esponden de igual foma al amplificado. En cambio, una bombilla es una fuente de luz incoheente dado que existen vaiaciones al aza en la fase de la luz emitida. Si δ vaía al aza, la intensidad esultante de la 7-

supeposición de bombillas es simplemente la suma de las intensidades paciales. Paa consegui fuentes de luz coheentes en geneal se sepaan dos pates de un mismo fente de ondas (división del fente de ondas) paa luego supeponelas ó se sepaa la amplitud de la onda incidente en eflejada y efactada (división de amplitudes) paa posteiomente supeponelas. b) Las ondas deben se monocomáticas y tene la misma longitud de onda. Esta condición está asociada a la constancia en la difeencia de fase con el tiempo. Dos ondas de difeente fecuencia dan luga a difeencias de fase que dependen del tiempo y po tanto a patones de intefeencia que dependen del tiempo con un peiodo de vaiación del oden de la fecuencia de la luz y po tanto no detectable 7. Diagama de intefeencia de dos endijas Este famoso expeimento, ideado po Thomas Young en 8, demostó la natualeza ondulatoia de la luz. Consideemos dos endijas de anchua muy pequeña, paalelas, sepaadas una distancia d e iluminadas po una sola fuente tal y como se muesta en la figua 7.. Cada endija actuaá como fuente puntual de ondas y además seán fuentes de luz coheentes, dado que estos focos secundaios son poducidos po la onda oiginal, dando luga al fenómeno de intefeencia obsevado en una pantalla alejada una distancia gande L. Si está distancia es gande, las líneas que van desde las endijas hasta un punto P en la pantalla seán apoximadamente paalelas con lo que la difeencia de camino óptico como se obseva en la figua 7. es = dsenθ [7.] y la difeencia de fase δ π π = = dsenθ [7.3] Figua 7..a) Intefeencia de dos endijas y b) constucción geomética Como vimos anteiomente, paa tene intefeencia constuctiva se debeá cumpli que 7-

dsen θ = n n =,,,.. [7.4] 7. Intefeencia y difacción y si se cumple esta condición obsevaemos sobe la pantalla un máximo de intensidad luminosa denominándose n númeo de oden intefeencial. La intefeencia destuctiva se da paa dsen θ = (n + ) n =,,,... [7.5] y obsevaemos en la pantalla un mínimo de intensidad. La distancia y n medida sobe la pantalla desde el punto cental hasta la fanja billante n-esima está elacionada con la distancia L según la ecuación yn tgθ = [7.6] L y paa ángulos pequeños donde tangente y seno son iguales obtenemos y n L = n [7.7] d de foma que las fanjas billantes están igualmente sepaadas ente si sobe la pantalla. La amplitud de la onda esultante viene dada po la ecuación [7.] con lo que la intensidad en el punto P, popocional al cuadado de la intensidad, es igual a I = 4I cos δ [7.8] en donde I es la intensidad de luz que se obtiene en la pantalla paa cualquiea de las endijas po sepaado. La figua 7. muesta el diagama de intensidades tal y como se ve en la pantalla en un expeimento de intefeencia de doble endija. Figua 7..a) Intensidad y b) diagama de intensidades en pantalla en el expeimento de Young 7-3

7.3 Diagama de intefeencia de endijas múltiples Consideemos ahoa el caso del diagama de intefeencia de N endijas igualmente sepaadas una distancia d como se ilusta en la figua 7.3. Cada endija es una fuente coheente de ondas luminosas al igual que en el caso anteio. Paa simplifica el análisis consideamos de nuevo que obsevamos el movimiento ondulatoio esultante a una distancia muy alejada de las fuentes de modo que los ayos que intefieen se pueden considea paalelos. Ente ayos sucesivos hay un defasaje constante, justificado en el apatado anteio, dado po Figua 7.3. Intefeencia ente endijas múltiples δ π = dsenϑ [7.9] Paa obtene la amplitud esultante en la diección de obsevación, dada po el ángulo θ, en el punto P de la pantalla debemos evalua la suma de las ondas ξ P ( t) = ξcos( ωt ϕ) + ξcos( ωt ϕ δ ) + ξ cos( ωt ϕ δ ) +... N té min os [7.] Utilizando los vectoes otantes definidos en el capítulo, la amplitud esultante en el punto P vendá dada po la suma de los N vectoes otantes, cada uno de longitud igual ξ y desfasados sucesivamente δ tal y como se indica en la figua 7.4. La suma vectoial da luga a una amplitud esultante igual a Figua 7.4. Amplitud esultante del poceso de intefeencia como suma de los vectoes otantes ξ = OP = QP ρsen Nδ [7.] = y del tiángulo COR obtenemos ξ = ρsen δ [7.] 7-4

Eliminando ρ ente ambas ecuaciones obtenemos ξ sen Nδ = ξ [7.3] sen δ Paa N= obtenemos ξ = ( ξ cos δ ) de confomidad con los esultados del apatado anteio paa dos endijas. La intensidad esultante, popocional a la amplitud al cuadado vendá dada po sen Nδ sen( Nπdsenθ / ) I = I = I ( / [7.4] sen πdsenθ sen δ donde I es la intensidad de cada fuente po sepaado. Evaluando la expesión [7.4] paa difeentes situaciones. Se obtiene un máximo de intensidad, máximo pincipal, paa δ = πn dsenθ = n I = N I [7.5] sennα ecodando la identidad geomética = ± N paa α=nπ. La posición de senα estos máximos pincipales coincide con la del sistema de doble endija.. Se obtiene un mínimo de intensidad paa Nδ dsenθ = n π n = N I = [7.6] donde n toma los valoes a N-, N+ a N-, etc; los valoes n =, N, N,.. se excluyen, ya que de lo contaio la ecuación [7.6] se convetiía en la [7.5]. Po tanto ente dos máximos pincipales existen N- mínimos y además, ente dos mínimos debe habe siempe un máximo, po consiguiente, concluimos que también hay N- máximos adicionales, ente los máximos pincipales dados po [7.5]. Sus amplitudes son, sin embago, elativamente pequeñas, especialmente si N es gande 7-5

El gáfico de intensidades en función de δ se muesta en la figua 7.5 paa N=,4,8 y muy gande. Vemos que cuando N aumenta el sistema se hace altamente dieccional, poque el movimiento ondulatoio esultante es impotante solo paa bandas estechas de valoes de δ, o lo que es lo mismo, paa bandas estechas de valoes del ángulo θ. Este esultado es ampliamente utilizado en las estaciones de adiotansmisión ó ecepción cuando se desea un efecto dieccional. En este caso se agupan vaias antenas de tal foma que la intensidad de la adiación emitida (o ecibida) sea máxima solo paa cietas diecciones dadas po [7.5]. 7-6 Figua 7.5. Diagama de intensidades en un poceso de intefeencia de vaias endijas 7.4 Intefeencia en películas delgadas Todos hemos obsevado las bandas coloeadas que apaecen en las pompas de jabón ó en las películas aceitosas que suelen cubi el agua que se encuenta en una calle mojada. Estas bandas se deben a la intefeencia poducida po la luz eflejada en las supeficies supeio e infeio de la película y esultan difeentes coloes debido a las vaiaciones que existen en el espeso de la película, que poducen intefeencias paa distintas longitudes de onda, en difeentes puntos de la misma. Consideemos una película de espeso a y ondas planas incidentes sobe ella con un ángulo de incidencia θ I, figua 7.6. Pate del ayo AB se efleja según BG y se efacta según BC. El ayo BC a su vez, se efleja pacialmente en C según CD y se tansmite pacialmente según CH. El ayo CD de nuevo se efleja pacialmente en D según DK, supeponiéndose con el ayo efactado en D del incidente FD. Este mismo ayo CD se efacta en D y el ayo efactado se supepone con el eflejado

Figua 7.6. Poceso de intefeencia en una película delgada de FD. Análogamente el ayo eflejado BG también contiene contibuciones de los vaios ayos a su izquieda. Po lo tanto ocuián fenómenos de intefeencia a lo lago de los ayos eflejados y efactados de una foma simila a lo analizado en el apatado anteio peo con la impotante difeencia de que los ayos que intefieen no tienen todos la misma intensidad dado que en las sucesivas eflexiones y efacciones la intensidad va disminuyendo. No consideando este cambio de intensidad calculemos la difeencia de fase ente los ayos AB y FD. El defasaje según DE se debe a que los caminos B D y BCD seguidos po los ayos que intefieen son ecoidos en difeentes tiempos. De la figua 7.6 se deduce que B D = BDsenθi BD = atgθ [7.7] B D ansen θ = atgθ senθi = [7.8] cosθ a BCD = [7.9] cosθ Po tanto los tiempos empleados en ecoe estas distancias po los dos ayos seán t t B D ansen θ = = c ccosθ = BCD v an = ccosθ [7.] y la difeencia de tiempo es igual a t an cosθ t [7.] c = Esta difeencia de tiempo povoca una difeencia de fase dada po 7-7

δ anω cosθ 4πan cosθ = ω ( t t ) = = [7.] c Nos falta po considea las posibles difeencias de fase intoducidas po el fenómeno de eflexión. En capítulos pasados estudiamos como si la onda pasa de un medio donde su velocidad es mayo a oto donde es meno, la onda eflejada muesta una difeencia de fase de π. En el caso que nos ocupa, si n> hay un cambio de fase de π paa el ayo FD cuando se efleja en D, peo no lo hay paa el ayo BC cuando se efleja en C. De este modo podemos escibi que la difeencia de fase es igual a 4πan cosθ δ = + π [7.3] Tendemos po tanto intefeencia constuctiva (δ=πn, con N enteo) y po tanto eflexión máxima y tansmisión mínima paa an cosθ = (N ) [7.4] y mediante cálculos similaes obtenemos paa eflexión mínima (δ=(n+)π, con N enteo) y tansmisión máxima ancosθ = N [7.5] Si la película delgada de po ejemplo agua (n,33), estuviese sobe una supeficie de vidio (n,5), el ayo que se efleja en la supeficie infeio agua-vidio sufiía también un cambio de fase de π. Esto implicaía que el cambio de fase total vendía dado po [7.]. Es inteesante nota que el colo obsevado po eflexión no es el mismo que el obsevado po tansmisión. Estos están deteminados en cada caso po las longitudes de onda que satisfacen [7.4] y [7.5]. Además, si el haz incidente no es monocomático, las ecuaciones [7.4] y [7.5] dan difeentes valoes de θ y po lo tanto de θ I paa cada. Esto explica los coloes que obsevamos en las películas delgadas de aceite sobe agua. 7.4. Anillos de Newton. Cuando se obseva con luz monocomática una película delgada de espeso vaiable se ve po eflexión bandas ó líneas altenativamente billantes y oscuas denominadas fanjas. Paa el caso de incidencia nomal, la distancia ente una fanja billante y ota oscua inmediata, es la distancia en que la película cambia de espeso de foma tal que la difeencia de caminos de la luz es /. La figua 7.7.a ilusta el diagama de intefeencia obsevado cuando se efleja la luz en una película de aie enceada ente una supeficie de vidio esféica y una supeficie de vidio plana en contacto. Estas 7-8

fanjas de intefeencia ciculaes se conocen como anillos de Newton. En la figua 7.7.b se muestan los típicos ayos eflejados en la supeficie supeio e infeio de la película de aie. Ceca del punto de contacto de las supeficies, en donde la difeencia de camino ente el ayo eflejado en la supeficie supeio vidioaie y en la supeficie infeio aie-vidio es esencialmente ceo, la intefeencia es destuctiva debido al cambio de fase π del ayo eflejado en la supeficie infeio aievidio. Po consiguiente la zona cental es oscua. La pimea fanja billante se pesenta paa un adio tal que la difeencia de camino es / que contibuye con una difeencia de fase π y po tanto la difeencia de fase total es π causando intefeencia constuctiva. La segunda egión oscua se pesenta paa un adio Figua 7.7.a) Anillos de Newton fomados en la paa el que la difeencia de caminos es, intefeencia de luz al b) atavesa un vidio y así sucesivamente. Siguiendo la figua esféico apoyado en uno plano 7.8, el espeso d de la película de aie en un punto P de la lente que coesponde a uno de los anillos de Newton es igual a d = [7.6] R siendo el adio del anillo y R el adio de la lente. Si en el punto P se obseva po eflexión una fanja luminosa se debe cumpli [7.4] y po tanto = (N ) R [7.7] y paa la fanja oscua = NR [7.8] La difeencia ente dos anillos, luminosos u oscuos, consecutivos seá igual a Figua 7.8. Constucción geomética de los anillos de Newton N R [7.9] N + = 7-9

7.4. Láminas antieflectantes. Paa evita la eflexión en supeficies ópticas de medios tanspaentes, hecho de vital impotancia paa aumenta el endimiento de cietos instumentos ópticos, se emplean los ecubimientos antieflectantes. Estos ecubimientos se fabican depositando sobe las supeficies ópticas una delgada película de mateial tanspaente de índice n y espeso d, calculados de tal foma que la luz de una deteminada longitud de onda no sufa eflexión. Supongamos, tal y como se esquematiza en la figua 7.9, un vidio, de índice n v, sobe el que tenemos una lámina, de índice n<n v y espeso d, con coeficientes de eflexión R en la intefase aie/lámina y R v en la intefase lámina/vidio y con coeficientes de tansmisión T en la intefase aie/lámina y T en la intefase lámina/aie. Sobe el conjunto incide de foma nomal a la Figua 7.9 Luz incidiendo sobe un sustato de vidio con lámina antieflectante supeficie luz que se popaga en el aie, de amplitud unidad y de longitud de onda, Paa que la luz eflejada se anule, en cuyo caso toda la incidente pasaá a tavés de la lámina hacia el vidio, bastaá que los ayos,3,4, salgan en oposición de fase con el, y que la suma de amplitudes de,3,4, sea igual a la del. Vimos como paa el caso esquematizado en 7.9 (n<n v, θ = y haciendo N= paa obtene el espeso más delgado) la oposición de fase ente y obliga a que el espeso de la lámina sea d = [7.3] 4n Bastaá ahoa que la amplitud eflejada sea nula, es deci que la amplitud del ayo sea igual a la suma de todos los demás. Esta condición obliga a que 7- R = TT R ( + RR v v + R Rv +...) = ( R ) R [7.3] v RR donde se ha hecho uso de que TT =(-R ), tal y como se demuesta a pati de las ecuaciones [5.48] y [5.49], y del esultado del sumatoio de la seie (+x n ) con x<. De [7.3] esulta la condición R=R v que junto a [5.48] nos pemite obtene la elación que debe existi ente índices de efacción paa anula la amplitud eflejada n = n v [7.3] Las ecuaciones [7.3] y [7.3] deteminan las caacteísticas de la lámina antieflectante. Los instumentos con óptica azul, diseñados paa que la eflexión sea mínima en el cento del especto visible, amaillo, pesentan un colo violáceo al eflejase pedominantemente el azul y el ojo. v

7.5 Condiciones de difacción La difacción se obseva cuando se distosiona una onda po un obstáculo cuyas dimensiones son compaables a la longitud de onda de aquella. Po la expeiencia diaia sabemos que las ondas, al contaio que las patículas se extienden alededo de los obstáculos intepuestos en su camino, caso de la luz y el sonido. Este efecto se hace más notable cuando las dimensiones de los obstáculos se apoximan a la longitud de onda de las ondas. En este apatado estudiaemos la difacción poducida po cietas abetuas y pantallas de geometía simple, en dos cicunstancias especiales. En la difacción de Faunhofe suponemos que los ayos incidentes son paalelos, fente de ondas plano, y que obsevamos el patón de difacción a una distancia lo suficientemente gande como paa que se eciban únicamente ayos difactados paalelos. En la difacción de Fesnel, bien los ayos incidentes se oiginan en una fuente puntual, bien se obsevan los ayos difactados ceca del obstáculo y no pueden se consideados paalelos. 7.6 Difacción de Faunhofe po una endija ectangula Consideemos una endija ectangula estecha, de anchua b, y laga, de modo que podamos ignoa los efectos de los bodes, sobe la que inciden ondas nomales al plano de la endija de longitud de onda. De acuedo con el pincipio de Huygens, cuando la onda incide sobe la endija todos los puntos de su plano se convieten en fuentes de ondas secundaias emitiendo nuevas ondas que en este caso eciben el nombe de ondas difactadas. Obsevando las ondas difactadas a difeentes ángulos θ especto a la diección de incidencia, figua 7., encontamos que paa cietas diecciones su intensidad es nula. Figua 7..a) Rendija ectangula estecha donde tiene luga b) la difacción de la onda luminosa 7-

Estas diecciones de intensidad nula están dadas po la elación bsenθ = n senθ n = b n [7.33] La figua 7. se epesenta el diagama de difacción de una sola endija obsevado y la intensidad de las ondas difactadas en función del ángulo θ. Obsévese que el máximo cental tiene un ancho doble del de los demás máximos secundaios. Calculemos la distibución de intensidades que apaece en la figua anteio. Paa ello dividimos la endija en bandas muy estechas de ancho dx, tal y como se muesta en la figua 7..a y cada banda es una fuente secundaia de ondas de amplitud dξ muy pequeña. Si Figua 7. Diagama de difacción de una sola endija y el AA tomado como efeencia es consideamos los ayos emitidos en la diección coespondiente al ángulo θ, figua 7..b, el defasaje ente el ayo CC δ π πxsenθ = CD = [7.34] y po lo tanto aumenta gadualmente con x. Figua 7..a) Se divide la endija en bandas estechas de espeso dx y b) cada banda es una fuente secundaia de ondas desfasada con las demás bandas 7-

Paa obtene la amplitud coespondiente al ángulo θ, debemos epesenta los vectoes otantes coespondientes a las ondas que povienen de todas las bandas ente A y B. Como todas son de amplitud infinitesimal y como el ángulo de fase δ aumenta popocionalmente a x, los vectoes yacen sobe un aco de cicunfeencia OP cuyo cento está en C y cuyo adio es ρ, figua 7.3. La amplitud esultante A es la cueda OP. La pendiente en cualquie punto del aco ente O y P es justamente el ángulo δ dado po la ecuación [7.34]. En P, que coesponde a x=b, la inclinación de la tangente es Figua 7.3. Suma de vectoes otantes en el poceso de difacción en una endija α πbsenθ = [7.35] Este es también el ángulo fomado po los adios CO y CP. Po consiguiente la amplitud esultante es πbsenθ A = QP = ρsen α = ρsen( ) [7.36] Paa obsevación nomal, todos los vectoes dξ son paalelos y su esultante es la suma de sus longitudes, que es igual a la longitud del aco OP. Llamando A la amplitud esultante paa obsevación nomal tenemos πbsenθ A = ρα = ρ( ) [7.37] y dividiendo ambas ecuaciones llegamos a πbsenθ sen A = A [7.38] πbsenθ y como las intensidades son popocionales a los cuadados de la amplitudes obtenemos 7-3

πbsenθ sen I = I [7.39] πbsenθ Los ceos de intensidad tienen luga paa bsenθ=n de acuedo con la ecuación [7.33]. Paa obtene los máximos de intensidad debemos halla los valoes de θ que satisfacen que di / dθ = esultando el diagama de difacción mostado en la figua 7.. Cuando es muy pequeña especto a b, los pimeos ceos de intensidad a ambos lados del máximo cental coesponden al ángulo θ senθ = ± [7.4] b Este hecho nos pemite defini el pode de esolución de una endija como el ángulo mínimo que subtienden dos ondas incidentes povenientes de dos fuentes puntuales distantes S y S que pemita distingui sus espectivos diagamas de difacción. Cuando las ondas povenientes de las dos fuentes pasan a tavés de la misma endija en dos diecciones que foman un ángulo θ, figua 7.4, los diagamas de difacción están supepuestos y se pueden comenza a distingui cuando el máximo cental de uno cae en el pime ceo del oto, citeio de esolución de Rayleigh, y esto ocue a pati de un ángulo θ c θ c = [7.4] b que da el pode de esolución de la endija, es deci, da la sepaación angula mínima ente dos puntos de un objeto paa que se pueden econoce como difeentes al obseva el objeto a tavés de la endija. En caso de que la abetua sea cicula, en luga de una endija ectangula, se obtiene un diagama de difacción consistente en un disco billante odeado de anillos altenativamente oscuos y billantes tal y como se muesta en la figua 7.5. Omitiendo el análisis matemático se llega a que el ángulo θ coespondiente al pime disco oscuo está dado po la condición πrsenθ = 3,837 [7.4] ó 7-4

θ senθ =, =, [7.43] R D siendo D=R el diámeto de la abetua y θ expesado en adianes. Está ecuación da a su vez el pode de esolución de una abetua cicula. Una lente es en ealidad una abetua cicula, po lo que la imagen de un punto, que se supuso que ea oto punto en el capítulo 6, es en ealidad un diagama de difacción. Po tanto el pode de esolución de un instumento óptico basado en lentes, po ejemplo micoscopios y telescopios, vendá dado po la ecuación [7.43] y lo aumentaemos incementando el diámeto de las lentes ó disminuyendo la longitud de onda empleada. Sin embago, el adio de una lente es en geneal tan gande especto a la de la luz que en la mayoía de los casos se pueden ignoa los efectos de la difacción. Figua 7.4. Pode de esolución de una endija ectangula siguiendo el citeio de Rayleigh; dos objetos con una sepaación angula θ son distinguibles a pati de que el pime ceo del diagama de difacción de uno caiga sobe el máximo cental del oto Figua 7.5.Pode de esolución de una apetua cicula 7-5

7.7 Difacción de Faunhofe po dos endijas paalelas Consideemos ahoa dos endijas, ambas de ancho b, sepaadas una distancia a, figua 7.6. Figua 7.6. Difacción de Faunhofe po dos endijas paalelas Figua 7.7. Suma de vectoes otantes en el poceso de difacción Paa la diección coespondiente al ángulo θ, tenemos ahoa dos conjuntos de ondas difactadas povenientes de cada endija, es deci tendemos una combinación de difacción e intefeencia. Utilizando la suma de vectoes otatoios, figua 7.7, tenemos paa la amplitud A esultante de la endija πbsenθ sen A A = [7.44] πbsenθ Como las dos endijas tienen el mismo ancho, la amplitud esultante paa la endija tiene el mismo valo A peo su fase es difeente. En la figua 7.6 obsevamos que ente los ayos coespondientes de las endijas y hay una difeencia de fase constante dada po β π πasenθ = CE = [7.45] y en consecuencia las amplitudes ó vectoes coespondientes de las dos endijas foman un ángulo igual a β. De acuedo con esto, la línea OQ=A coespondiente a la endija se obtiene otando en un ángulo β la línea OP=A coespondiente a la endija. La amplitud A esultante de ambas es entonces 7-6

A = A + A + A cos β [7.46] A y haciendo A =A y utilizando la identidad las ecuaciones anteioes ( + cos β ) = cos β obtenemos junto a πbsenθ sen πasenθ A = A cos [7.47] πbsenθ y paa la intensidad I πbsenθ sen πasenθ = 4I cos [7.48] πbsenθ Si compaamos esta ecuación con las obtenidas anteiomente paa los fenómenos de intefeencia y difacción obsevamos como el diagama de difacción total de dos endijas es la expesión que descibe el diagama de intefeencia de dos fuentes modulado po la expesión del diagama de difacción de una sola endija tal y como se muesta en la figua 7.8 y en la fotogafía 7.9. Nótese que los máximos del diagama de intefeencia se dan paa senθ = n a mientas que los ceos del diagama de difacción son senθ = n b. Como a>b, los ceos del diagama de difacción están más espaciados que los máximos del diagama de intefeencia. En consecuencia, cuando hay dos endijas, las fanjas billantes son mucho más estechas y están más juntas que las poducidas po una sola endija. Figua 7.8. Diagama de intensidades en un poceso de intefeencia-difacción en doble endija 7-7

Figua 7.9. Intensidad en pantalla en un poceso de intefeencia-difacción en doble endija 7.8 Redes de difacción El paso siguiente consiste en considea el diagama de difacción poducida po N endijas paalelas de igual ancho b y espaciadas egulamente una distancia a, sistema conocido como ed de difacción y esquematizado en la figua 7.. Figua 7.. Vista fontal (a) y en cote de una ed de difacción (b) Po analogía con lo analizado hasta ahoa, la distibución de intensidades en la diección θ vendá dada po la ecuación del diagama de intefeencia poducida po N fuentes modulada po el diagama de difacción de una sola endija πbsenθ Nπasenθ sen sen I = I [7.49] πbsenθ πasenθ sen 7-8

Si el númeo N de endijas es muy gande, el diagama consistiá en una seie de fanjas billantes angostas coespondientes a los máximos pincipales del diagama de intefeencia dados po n senθ = n =, ±, ±,... [7.5] a con una intensidades moduladas po el diagama de difacción tal y como se muesta en la figua 7. paa el caso de 8 endijas. Según el valo de n, los máximos pincipales eciben el nombe de º, º, oden de difacción. Se demuesta que la anchua angula de cada fanja pesente en el diagama de difacción es igual a d ϑ = [7.5] Nd cosϑ y po tanto es invesamente popocional al númeo de endijas N. Esto implica que cuanto mayo sea el númeo de endijas N de la ed de difacción, más agudos son los máximos de difacción obtenidos y con mayo exactitud se podá detemina su posición. Figua 7.. Diagama de intefeencia-difacción paa 8 endijas Las edes de difacción son muy utilizadas como espectoscopios paa analiza las longitudes de onda que componen un haz de luz poveniente de un foco que pasa a tavés de una endija colimadoa, figua 7.. En la diección θ= se obsevaá el máximo cental coespondiente a todas las longitudes de onda que compongan el haz, oden ceo. Paa difeentes ángulos, cada longitud de onda poduciá una imagen dada po [7.5], con n= paa el º oden de difacción, pemitiéndonos conoce el especto, longitudes de onda, de la adiación incidente. 7-9

Una caacteística impotante de un espectoscopio es su capacidad paa medi longitudes de onda muy póximas. Paa ello se define el pode de esolución R de una ed de difacción como R = en donde es la difeencia más pequeña ente dos longitudes de onda en tono a que pueden se esueltas. Se demuesta que el pode de esolución es igual a R = = nn [7.5] siendo n el oden de difacción y N el númeo de endijas. Po tanto un aumento del númeo de endijas incementa el pode de esolución de una ed de difacción. Valoes ente. y. endijas po cm son habituales en las edes de los espectoscopios. 7.9 Difacción de Fesnel Figua 7.. Espectoscopio basado en una ed de difacción Cuando el diagama de difacción se obseva ceca de la abetua ú obstáculo se denomina difacción de Fesnel. Debido a que los ayos pocedentes de la abetua no pueden considease ya paalelos, este fenómeno es más difícil de analiza matemáticamente y nos ceñiemos a aspectos meamente cualitativos del mismo. La figua 7.3 ilusta la difeencia existente ente los diagamas de Fesnel y de Faunhofe en el caso de una sola endija. En la figua 7.4 se muestan los diagamas de difacción de Fesnel de un disco opaco y de una abetua cicula iluminados po luz pocedente de un foco puntual situado sobe sus ejes pudiéndose ve como ambos diagamas son complementaios ente si. Obsévese el punto billante en el cento del diagama del disco opaco causado po la intefeencia constuctiva de las ondas luminosas difactadas desde el bode del disco. Este hecho, desde el punto de vista 7-

copuscula paa la popagación de la luz totalmente contadictoio, sivió de fuete apoyo paa la teoía ondulatoia de la luz. La figua 7.5 muesta el diagama de difacción de Fesnel de un bode ectilíneo iluminado po luz pocedente de un foco puntual y el gáfico de intensidades en función de la distancia según una línea pependicula al bode. La intensidad de la luz no cae abuptamente a ceo en la somba geomética sino que disminuye ápidamente y es despeciable al cabo de unas pocas longitudes de onda del bode. Figua 7.3. Paso del diagama de Faunhofe al de Fesnel al aceca la pantalla Figua 7.4. Difacción de Fesnel de a) un disco opaco y b) una abetua cicula Figua 7.5. Difacción de Fesnel de un bode ectilíneo 7-

7- Poblemas. Dos endijas estechas distantes ente si,5 mm se iluminan con la luz amailla de una lámpaa de sodio de 589 nm de longitud de onda. Las fanjas de intefeencia se obsevan sobe una pantalla situada a 3 m de distancia. Halla la sepaación de las fanjas sobe la pantalla. Repeti los cálculos si la distancia ente endijas es de,8 mm, =59 nm y la pantalla está a,5 m.. Discuti el diagama de intefeencia poducido po dos fuentes no coheentes de la misma fecuencia. 3. Con el objetivo de detemina la longitud de onda de una fuente desconocida se ealiza un expeimento de intefeencia de Young con una sepaación ente endijas de mm y la pantalla situada a m. Sobe la pantalla se foman fanjas billantes consecutivas que distan,546 mm. Cuál es la longitud de onda? 4. Halla la distibución angula de intensidad emitida po una bateía lineal de 4 antenas sepaadas una distancia igual a la mitad de la longitud de onda de emisión. 5. Se utiliza una capa muy fina de un mateial tanspaente con un índice de efacción n =,3 como ecubimiento antieflectante sobe la supeficie de un vidio de índice de efacción n =,5. Cuál debeá se el espeso mínimo de la película paa que ésta no efleje la luz de 6 nm de longitud de onda (en el aie) que incide casi nomalmente sobe el sistema? 6. Las placas solaes se suelen ecubi con una delgada película tanspaente de óxido de silicio (n =,45) paa evita la eflexión de la luz sola en su supeficie. Una placa sola de Si (n = 3,5) se cube con una película de óxido con este fin. Detemínese, paa adiación de longitud de onda = 55 nm, el espeso mínimo de la película de óxido de manea que los ayos eflejados sufan intefeencia destuctiva. Es el óxido de silicio el mateial ideal paa actua como ecubimiento antieflectante ó se podía utiliza oto mateial con mejoes esultados? 7. Calcula el espeso de una película de jabón que al se iluminada po luz natual se ve oja po eflexión y vede po tansmisión cuando se mia nomal a la supeficie. Toma como índice de efacción del agua jabonosa n=4/3, longitud de onda del ojo =667 nm y longitud de onda del vede =5 nm. 8. Obtenemos una película de aie en foma de cuña situando un pequeño tozo de papel ente los bodes de dos piezas planas de vidio. Se hace incidi luz de 5 nm nomalmente a las supeficies de vidio y se obsevan las fanjas de intefeencia po eflexión. Si el ángulo que foman las dos supeficies es de θ=3x -4 ad, cuántas fanjas de intefeencia se obsevan po unidad de longitud? 9. Una lente plano-convexa de dioptías y n=,5 se sitúa sobe una lámina de vidio plana apoyándola sobe su caa convexa. El conjunto se ilumina po encima de la caa plana con luz de 7 nm. Calcula el adio de la séptima cicunfeencia que pesenta máximo de intefeencia consideando que se obseva po eflexión.

. Se hace pasa el haz de un láse de 7 nm de longitud de onda a tavés de una endija vetical de, mm de ancho que luego incide sobe una pantalla a 6 m de distancia. Halla la anchua del máximo de difacción cental sobe la pantalla.. Estima la magnitud de los máximos sucesivos en el diagama de difacción de una endija.. Una lente de cm de diámeto tiene una distancia focal de 4 cm. Está iluminada con un haz paalelo de luz monocomática de 59 nm. Halla el adio del disco cental del patón de difacción obsevado en un plano que pasa po el foco y el pode de esolución de la lente. 3. Dos endijas de anchua a=,5 mm están sepaadas po una distancia d=,6 mm y se encuentan iluminadas po luz de longitud de onda =65 nm. Cuántas fanjas billantes se ven en el máximo cental de difacción? 4. Qué sepaación angula mínima deben tene dos objetos puntuales si han de se esueltos justamente po el ojo? A qué distancia mutua deben esta si se encuentan alejados ambos m? Supone que el diámeto de la pupila del ojo es 5 mm y que la longitud de onda es de 6 nm 5. Una ed de difacción de. líneas tiene una longitud de 5 cm. Halla la sepaación angula de todo el especto visible, desde 39 nm (violeta) hasta 77 nm (ojo), paa el pimeo y segundo oden. 6. Sobe una ed de difacción de. ayas po cm incide luz de una lámpaa de sodio A qué ángulos se veán las dos líneas amaillas de longitudes de onda de 589 nm y 589,59 nm en el pime oden? 7. Consideemos una ed de difacción de. líneas y longitud 4 cm. Es capaz esta ed de esolve las dos líneas amaillas del sodio dadas en el poblema anteio? 8. Demosta que el pode de esolución de una ed de difacción de N endijas viene dado po la ecuación [7.49]. 7-3