Caso Giapetto Inc. Objetivo del caso: Explicar los componentes de la programación lineal a través de la modelación de un ejemplo. La compañía Giapetto fabrica 2 tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Los precios de ventas son $27.00 y $21.00 respectivamente. Los costos de materiales (materia prima) son de $10.00 y $9.00 respectivamente. Los costos de mano de obra y otros variables de fabricación son $14.00 y $10.00 respectivamente. La elaboración de estos juguetes requiere de dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y pintura. Un soldado requiere de 1 hora de carpintería y 2 de pintura. Un tren por su parte requiere 1 hora en cada departamento. Cada semana Giapetto puede obtener toda la materia prima que desee, pero solo cuenta con 80 horas para carpintería y 120 horas para pintura. La demanda semanal de trenes es prácticamente ilimitada, sin embargo, la demanda semanal de soldados no es mayor de 40 unidades. Giapetto desea maximizar su ganancia semanal (Venta Costo de lo vendido). Se pide formular un modelo matemático para la situación de la compañía Giepetto que puede ser usado para maximizar la ganancia semanal. Variables de Decisión (V.D.) Las V. de D. deben describir clara y completamente la decisión a ser tomada. En este caso Giapetto debe decidir cuantos trenes y soldados deben de fabricar cada semana. Sean: X1: el número de soldados fabricados por semana. X2: el número de trenes fabricados por semana. Función Objetivo El que toma las decisiones generalmente desea: Maximizar (usualmente ingresos o ganancias) o Minimizar (usualmente costos), para ello requiere alguna función de las variables de decisión. Esta función es llamada Función Objetivo. Para este ejemplo los costos fijos (tales como renta, seguros, etc.) no dependen de X, o X,. Por lo tanto, Giapetto puede concentrarse en maximizar (Ventas semanales) (costos por compra de materiales) (otros costo variables). Ventas semanales = 27*X 1 + 21*X 2 Costos de materiales = 10*X 1 + 9*X 2 Otros costos variables = 14*X 1 + 10*X 2 Entonces la Función Objetivo es igual a: [27*X 1 + 21*X 2 ] [10*X 1 + 9X 2 ] [14*X 1 + 10*X 2 ] = 3*X 1 + 2*X 2 Es decir, se desea Max. Z = 3*X 1 + 2*X 2 Los coeficientes de las variables en la función objetivo son llamados coeficiente de la función objetivo. Restricciones. A medida que se incrementan los valores de X 1 y X 2 las ganancias de Giapetto serán mayores y mayores, sin embargo éstas no pueden crecer ilimitadamente. Los valores X 1 y X 2 están limitados por ciertas restricciones. Restricciones de tiempo (capacidad por semana) #1. El tiempo disponible en carpintería está limitado a 80 horas por semana. #2. El tiempo disponible en pintura está limitado a 120 horas por semana. 10
Restricciones de mercado. #3. No tiene sentido producir más de 40 soldados por semana debido a la limitante de mercado. No hay limitante respecto a la obtención de materia prima, por lo que no existe restricción al respecto. El siguiente paso es expresar las restricciones en términos de X 1 y X 2. El total de horas utilizadas en carpintería es igual a la cantidad de horas dedicadas a fabricar soldados más la cantidad de horas dedicadas a fabricar trenes, y la suma de estos debe de ser inferior o igual a 80. Las Restricciones #1 puede expresarse así: 1*X 1 + 1*X 2 < 80 En forma similar la segunda restricción se expresa así: 2*X 1 + 1*X 2 < 120 Finalmente la restricción 3: 1*X 1 < 40 Los coeficientes de las variables de decisión en las restricciones son llamados coeficientes tecnológicos. Esto porque éstos a menudo reflejan el uso de la cantidad de recurso utilizada para producir una unidad de producto. Así el coeficiente tecnológico de X1 en la primera restricción indica que se requiere de una unidad (hora) de carpintería para producir un soldado. cantidades de recursos disponibles, sin embargo éstas también podrían representar las metas de la organización. Restricciones de no-negatividad. Las variables de decisión deben tomar valores no-negativos, puesto que no podemos producir un número de juguetes negativo (salvo que se acepten ordenes sin inventario). Por tanto, cada variable tiene asignada una restricción de no-negatividad. Modelo Maximizar Z = 3*X 1 + 2*X 2 Restringido a: 1*X 1 + 1*X 2 < 80 2*X 1 + 1*X 2 < 120 1*X 1 < 40 No negatividad X 1 > 0 X 2 > 0 Resumen: Todo problema de programación lineal tiene dos rasgos en común: 1. Un función objetivo a ser maximizada o minimizada. 2. Un conjunto de restricciones (al menos una) La problemática en general consiste en asignar recursos limitados (B i ) de modo que se optimicé un objetivo de interés. Las cantidades a la derecha de las restricciones representan generalmente las 11
A continuación se muestra de manera esquemática el detalle de la formulación del Caso: 12
Solución al Modelo del Caso Giapetto Maximizar Z = 3*X1 + 2*X2 Restringido a: 1*X1 + 1*X2 < 80 2*X1 * 1*X2 < 120 1*X1 < 40 No negatividad X1 > 0; X2 > 0 Optimal Solution - Detailed Report Variable Value Cost Red. cost Status 1 Soldados 40.0000 3.0000 0.0000 Basic 2 Trenes 40.0000 2.0000 0.0000 Basic Slack Variables 3 Carpintería 0.0000 0.0000-2.0000 Lower bound 4 Pintura 0.0000 0.0000 0.0000 Basic 5 Mercadeo 0.0000 0.0000-1.0000 Lower bound Constraint Type RHS Slack Shadow price 1 Carpintería < 80.0000 0.0000 2.0000 2 Pintura < 120.0000 0.0000 0.0000 3 Mercadeo < 40.0000 0.0000 1.0000 Objective Function Value = 200 Sensitivity Analysis Of Cost Coefficients Variable Current Allowable Allowable Coeff. Minimun Maximun 1 Soldados 3.0000 2.0000 Infinity 2 Trenes 2.0000 0.0000 3.0000 Sensitivity Analysis Of Right Hand Side Values Constraint Type Current Value Allowable Minimun Allowable Maximun 1 Carpintería < 80.0000 40.0000 80.0000 2 Pintura < 120.0000 120.0000 Infinito 3 Mercadeo < 40.0000 0.0000 40.0000 13
Caso. Compañía Estrella La AFP Estrella está considerando 5 diferentes oportunidades de inversión. El flujo de efectivo neto se muestra en la tabla a continuación: Flujos de efectivos alternativa 1 2 3 4 5 Inicio año 1 11 53 5 5 29 Inicio año 2 3 6 5 1 34 Valor presente neto de la utilidad de la inversión 3 16 4 1 16 La compañía tiene actualmente (inicio del año 1) 40 millones disponibles para inversión y estima que en un año (inicio del año 2) contará con otros 20 millones disponibles para inversión. La compañía podría comprar una fracción en cualquier proyecto. En este caso, tanto la cantidad invertida como el retorno será ajustado proporcionalmente. Así, si la compañía Estrella compra una quinta parte del plan de inversión #1, deberá de desembolsar 1/5(11) = 2.2 millones en el tiempo 0 y otro desembolso de 1/5(3) = 0.6 millones en el período 1, y por tanto el retorno al final del primer año sería de 1/5(3) = 0.6 millones. La compañía estrella desea maximizar el valor presente neto de las diversas alternativas (1-5) al final del segundo año. Formule un modelo de programación lineal. Asuma que cualquier cantidad no usada al inicio del año 1 no puede ser invertida al inicio del año 2. En la compañía Estrella se debe determinar que fracción de cada inversión debe comprar. Solución Variables de Decisión Sea X 1 = fracción del plan 1 comprado por Estrella Sea X 2 = fracción del plan 2 comprado por estrella. Sea X 3 = fracción del plan 3 comprado por Estrella. Sea X 4 = fracción del plan 4 comprado por Estrella. Sea X 5 = fracción del plan 5 comprado por Estrella. Función Objetivo El objetivo es maximizar el VPN provenientes de las inversiones. F.O. Max Z = 3*X 1 + 16*X 2 + 4*X 3 + 1*X 4 + 16*X 5 Restricciones 1. Estrella no puede invertir más de 40 millones al inicio del año 1 (inicio) 2. Estrella no puede invertir más de 20 millones al inicio del año 2 (un año después) 3. Estrella no puede comprar más del 100% de una inversión. Restricción 1 11*X 1 + 53*X 2 + 5*X 3 + 5*X 4 + 29*X 5 < 40 Restricción 2 3*X 1 + 6*X 2 + 5*X 3 + 1*X 4 + 34*X 5 < 20 Restricción 3 X 1 < 1 X 2 < 1 X 3 < 1 X 4 < 1 X 5 < 1 No negatividad X1 > 0; para i = 1, 2, 3, 4 y 5. 14
Solución Analítica del Modelo: Análisis de Sensibilidad de los Coeficientes de la Función Objetivo Análisis de Sensibilidad de los Recursos del lado derecho (RHS) 15
Caso Plan Financiero a corto Plazo. Compañía Estéreo Estéreo es una pequeña compañía que produce grabadoras y radios. El costo unitario de mano de obra y materiales, así como el precio de venta se presentan en la tabla 1. El primero de diciembre 1998, Semicond dispone de suficiente materia para fabricar 100 grabadoras y 100 radios. El mismo día, el balance de la compañía muestra los resultados expuestos en la tabla 2, donde se aprecia que la tasa (razón) de liquidez es de 20,000/10,000 =2. Grabadora Radio Precio de venta $100.00 $90.00 Mano de Obra 50.00 35.00 Materiales 30.00 40.00 Tabla # 1 Balance al 10 de diciembre Activos Pasivos Efectivo $10,000.00 C x C 3,000.00 Inventario 7,000.00 Préstamo $10,000.00 Tabla # 2 La compañía Estéreo debe determinar cuantas grabadoras y radios producir durante el mes de diciembre de 1998. La demanda es lo suficientemente grande para asegurar que todos los artículos producidos en un mes serán vendidos en el mismo mes. Todas las ventas son al crédito y por lo tanto los pagos (hechos por los clientes) de los artículos producidos en diciembre serán recibidos hasta el 1 de febrero de 1999. Durante diciembre de 1998, Estéreo recolectará $2,000.00 en cuentas por cobrar (C x C), y deberá pagar $1,000.00 de su préstamo bancario y $1,000.00 de su renta mensual (alquiler del edificio). El 31 de diciembre de 1998 en la mañana, Estéreo recibirá un cargamento de materia prima valorada en $2,000.00, el cual será pagado el 31 de enero de 1999. La administración de Estéreo ha decidido que en el balance para el cierre en la mañana del 1 de enero de 1999 debe mostrar que el efectivo debe ser al menos de $4,000.00. Así mismo el préstamo del banco requiere que la razón de liquidez (Activo circulante/pasivo circulante) al inicio de enero (1 de enero) debe ser al menos de 2.0. Qué productos debería producir Estéreo para maximizar la ganancia de la producción de artículos (Ventas a ser cobradas) (costos variables) 16
Solución al caso Compañía Estéreo Variables de Decisión Sean: X 1 = número de grabadoras producidas en diciembre. X 2 = número de radios producidos en diciembre. Función Objetivo Margen de contribución de una grabadora = 100 (50 + 30) = $20.00 Margen de contribución de un radio = 90 (35 + 40) = $15.00 F.O. = Max 20*X 1 + 15*X 2 Restricciones 1. Por limitantes en la materia prima la cantidad de grabadoras ha ser producidas en diciembre debe ser < 100 2. Por limitantes en la materia prima la cantidad de radios ha ser producida en diciembre debe ser < 100. 3. El efectivo al 1 de enero de 1999 debe ser 4,000.00 4. La razón de liquidez al 1 de enero de 1999 debe ser > 2 Restricción # 1 X 1 < 100 (i) Restricción # 2 X 2 < 100 (ii) Restricción # 3 Efectivo al 1 de enero de 1999 = Efectivo (1 de dic. De 1998) + CxC hechas efectivas en diciembre 1998 Pago para préstamo banco en diciembre 1998 Pago renta mes de diciembre 1998 Pago de mano de obra de dic. 1998. = 10,000 + 2,000 1,000 1,000 50*X 1 35*X 2 La restricción 3 se puede escribir entonces: 10,000 50*X 1-35*X 2 > 4,000 Operando tenemos (no puede haber signos negativos en el lado derecho) 50*X 1 + 35*X 2 < 6,000 (iii) Para expresar la restricción 4 es necesario determinar la posición de Estéreo el 1 de enero 1999 en las siguientes cuentas: Efectivo, CxC, Posición del inventario y pasivos, todos ellos en función X1 y X2. a. Ya se calculó el valor del efectivo al 1 de enero de 1999. Efectivo = 10,000 50*X 1 35*X 2. b. CxC al 1 de enero 1999 = CxC (1 de diciembre 1998) + CxC debido a ventas en dic. 1998 CxC cobradas en dic. 1998. = 3,000 +100*X 1 + 90*X 2 2,000 = 1,000 + 100*X 1 + 90*X 2 c. Inventario a enero 1 de 1999 = Valor inventario 1 de dic. 1998 Valor inventario (materiales) usado diciembre 1998 + Valor inventario recibido el 31 de dic. 1998. = 7,000 (30*X 1 + 40*X 2 ) + 2,000 = 9,000 30*X 1-40*X 2 d. Posición del activo circulante al 1 de enero = Efectivo al 1 de enero + CxC al 1 de enero + Inventario al de enero = 10,000 50*X 1 35*X 2 + 1,000 + 100*X 1 + 90*X 2 + 9,000 30*X 1 40*X 2 = 20,000 + 20*X 1 + 15*X 2 Finalmente CxP (pasivo circulante) = CxP al 1 de diciembre Pago de préstamo en diciembre + Deuda por inventario recibido el 31 de dic./98 = 10,000 1,000 + 2,000 = 11,000 La restricción 4 puede escribirse como: 20,000 + 20*X 1 + 15*X 2 > 2 11,000 20,000 + 20*X 1 + 15*X 2 > 22,000 20*X 1 + 15*X 2 > 2,000 (iv) 17
Caso Proyectos Sociales La toma de decisiones asociadas a la selección de proyectos, no se restringen a las empresas privadas. El gobierno central enfrenta las mismas tomas de decisiones sobre los proyectos invertir y su monto. Ejemplos de ellos son el Ministerio de Salud y el Ministerio de Educación. Entonces la pregunta es que proyectos seleccionar de tal manera que los beneficios globales sean máximos y satisfagan las restricciones presupuestales y de otro tipo. Como en todas las decisiones del sector público (sobre la base de Costo Beneficio), la parte más difícil de la formulación de la situación real es definir y determinar los beneficios sociales. Estos beneficios se pueden clasificar de manera general como directos e indirectos. Por ejemplo, los proyectos contra los focos de infección pueden tener beneficios directos en términos de ahorros de costos a la sociedad, pudiendo ser reducidos los gastos de tratamientos médicos originados por la población enferma (infectada por el foco) y beneficios indirectos reflejados en una mejor calidad de vida. Basándose en estos comentarios y haciendo una buena reflexión, uno puede apreciar la complejidad de los análisis y los juicios de valor inherentes a los problemas del bienestar público. Para ilustrar, Supóngase que un equipo de administradores científicos, economistas, sociólogos, políticos, etc. han analizado los proyectos que han presentado siete ministerios (Ver tabla # 1). Se desea formular un modelo que logre maximizar la suma de los retornos sobre la inversión de todos los proyectos. Note que: -El retorno sobre la inversión de un proyecto es igual a la razón costo-beneficio menos uno. Por ejemplo, el retorno para el proyecto 1 es: (1.10-1.00) = 0.1. El retorno es por cada dólar invertido. Supongamos que hay 2,000 millones de dólares para llevar a invertir en los diferentes ministerios. La cantidad máxima a asignar a cada ministerio se muestra en la tabla # 1. Así mismo, deben incluirse las siguientes consideraciones: - El valor combinado de lo asignado en los ministerios #1 y #7 debe sobrepasar los $300 millones. - El valor de la asignación combinada en los ministerios #3 y #4 debe ser menor de $700 millones. - El valor de la asignación en el ministerio #7 debe ser exactamente el 40% de la asignación en el ministerio #3. - Por cada unidad monetaria asignado en el ministerio #1 se debe invertir al menos el doble de unidades monetarias en el ministerio #5 - Por cada unidad monetaria asignada al ministerio #5 se debe asignar al menos 1/3 de unidades monetarias al ministerio #6. Nota trate: El ministerio #6 debe recibir al menos 1/3 de lo que recibe el ministerio #5. - La inversión en el ministerio #3 no puede ser menos al 35% del ministerio #4. - Se debe asignar al menos el 60% del monto solicitado por cada ministerio. Ministerio 1 2 3 4 5 6 7 Razón costo - beneficio 1.10 1.25 1.40 1.30 1.15 0.90 1.05 Tabla # 1 Monto de lo solicitado (millones) 250 400 750 500 450 300 200 18
EJEMPLOS DE FORMULACION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL Ejemplo Nº 1 Una fábrica ha descontinuado la producción de una línea de productos no rentable. Esto ha creado un considerable exceso de capacidad de producción. La Gerencia está considerando utilizar este exceso de capacidad para fabricar uno o más productos de los tres productos llamados producto 1, producto 2 y producto 3. La capacidad disponible en las máquinas que podrían limitar la producción es la siguiente: Máquina Tiempo Disponible (Hrs./semana) Máquina 1 150 Máquina 2 100 Máquina 3 50 El número de horas-máquina requerido por unidad de producto es la siguiente: Máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3 Máquina 1 8 2 3 Máquina 2 4 3 - Máquina 3 2-1 El Departamento de Ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 son superiores a la máxima producción obtenible y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unidades por semana. Las utilidades unitarias serían de $20.00, $6.00 y $8.00 para los productos 1,2 y 3 respectivamente. Formule el modelo de programación lineal para determinar cuantas unidades de cada artículo debe producir la firma, a fin de maximizar sus beneficios. FORMULACION: Variables de Decisión: Sea: Xj (j=1,2,3) = # de unidades a producir de producto j. Función Objetivo: Maximizar la Función de utilidad expresada por la ecuación siguiente MAX Z = 20 X 1 + 6 X 2 + 8 X 3 19
Restricciones: A) Tiempo requerido para fabricar los productos 1,2 y 3 Utilizando Máquina 1: 8 X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 150 Utilización Disponibilidad Utilizando Máquina 2: 4 X 1 + 3 X 2 + 0 X 3 100 Utilizando Máquina 3: 3 X 1 + 0 X 2 + X 3 50 B) Ventas Potenciales: X 3 20 C) No Negatividad: X 1, X 2, X 3 0 Ejemplo Nº 2 Uno de los problemas típicos de la programación lineal es el problema de la dieta. El objetivo es determinar las cantidades de ciertos alimentos que deben ser ingeridos para satisfacer ciertos requerimientos nutricionales a un costo mínimo. Suponga que sólo se considera la leche, la carne y los huevos y las vitaminas A, C y D. Asuma que la cantidad de miligramos de cada una de estas vitaminas, contenida en una unidad de cada alimento es la siguiente: Vitamina Botella de leche Libra de carne Docena de huevos Requerimientos mínimos diarios A 1 Mg. 1 Mg. 10 Mg. 1 mg. C 100 Mg. 10 Mg. 10 Mg. 50 mg. D 10 Mg. 100 Mg 10 Mg. 10 mg. Costo $1.00 $1.10 $0.50 - Formule el modelo de Programación Lineal para este problema. 20
FORMULACION: Variables de Decisión: Sea: X L = Cantidad de leche en botellas a ingerir. X C = Cantidad de Carne en libras a ingerir. X H = Cantidad de Huevos en docenas a ingerir. Función Objetivo: Minimizar la Función de costo expresada por la ecuación siguiente MIN Z = 1.0 X L + 1.1 X C + 0.5 X H Restricciones: Cantidad de Vitaminas: Vitamina A : 1 X L + 1 X C + 10 X H 1 Vitamina C : 100 X L + 10 X C + 10 X H 50 Vitamina D : 10 X L + 100 X C + 10 X H 10 No Negatividad: X L, X C, X H 0 Ejemplo Nº 3 Suponga que una refinería simplificada desea mezclar 4 componentes para obtener tres grados de gasolina A, B y C. El problema es determinar la mezcla de los cuatro componentes que maximice el beneficio total. La disponibilidad y el costo de los cuatro componentes, se plantea en la tabla siguiente: Componente Máxima cantidad disponible de barriles por día Costo por Barril 1 3,000 $3.00 2 2,000 $6.00 3 4,000 $4.00 4 1,000 $5.00 Para mantener la calidad requerida para cada grado de gasolina es necesario especificar un cierto porcentaje máximo o mínimo de los componentes en cada mezcla. Esos datos se muestran en el siguiente cuadro, junto con el precio de venta para cada grado de gasolina. 21
Grado de Gasolina A Especificaciones de la Mezcla No más de 30% de comp. 1 No menos de 40% de comp. 2 No más de 50% de comp. 3 Precio de venta por Barril $5.50 B No más de 50% de comp. 1 $4.50 No menos de 10% de comp.. 2 C No más de 70% de comp. 1 $3.50 Asuma que todos los otros flujos de fondos son fijos, así que el Beneficio a ser maximizado es el ingreso total por ventas menos el costo total de los componentes. Formule el modelo de programación lineal para determinar la cantidad y mezcla de cada grado de gasolina a preparar. ESQUEMAS: Componente 1 3,000 barriles $3.00/barril Componente 2 2,000 barriles $6.00/barril Componente 3 4,000 barriles $4.00/barril Componente 4 Tipo gasol. A 1 30% 2 40% 3 50% $5.5 0/barril Tipo gasol. B 1 50% 2 10% $4.50/barril Tipo gasol. C 1 70% $3.50/barril 1,000 barriles $5.00/barril 22
FORMULACION: Variables de Decisión: Sean: X ij = Cantidad (en # de barriles) del componente j a ser utilizado en la gasolina grado i ( i = A, B, C ; j = 1,2,3,4) Cantidad de gasolina grado i producida por día: : X i1 + X i2 + X i3 + X i4 Cantidad de gasolina grado A producida por día: : X A1 + X A2 + X A3 + X A4 Proporción del Componente j en la gasolina grado i : X ij X i1 + X i2 + X i3 + X i4 Proporción del Componente 1 en la gasolina grado A : X A1 X A1 + X A2 + X A3 + X A4 Función Objetivo: Maximizar la Función de Beneficio expresada por la ecuación siguiente: MAX Z = (Ingreso total por ventas) - (Costo total de los componentes) A) Ingreso Total Por Ventas: Ingreso por venta de gasolina Grado A Ingreso por venta de gasolina Grado B = 5.50 (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) = 4.50 (X B1 + X B2 + X B3 + X B4 ) Ingreso por venta de gasolina Grado C = 3.50 (X C1 + X C2 + X C3 + X C4 ) Total de Ingresos = 5.50 (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) + 4.50 (X B1 + X B2 + X B3 + X B4 ) + 3.50 (X C1 + X C2 + X C3 + X C4 ) 23
B) Costo Total de los Componentes: Costo de Componente 1 en gasolina Grado A,B,C Costo de Componente 2 en gasolina Grado A,B,C Costo de Componente 3 en gasolina Grado A,B,C = 3.0 (X A1 + X B1 + X C1 ) = 6.0 (X A2 + X B2 + X C2 ) = 4.0 (X A3 + X B3 + X C3 ) Costo de Componente 4 en gasolina Grado A,B,C = 5.0 (X A4 + X B4 + X C4 ) Total de Costos = 3.0 (X A1 + X B1 + X C1 ) + 6.0 (X A2 + X B2 + X C2 ) + 4.0 (X A3 + X B3 + X C3 ) + 5.0 (X A4 + X B4 + X C4 ) MAX Z = 5.50 (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) + 4.50 (X B1 + X B2 + X B3 + X B4 ) + 3.50 (X C1 + X C2 + X C3 + X C4 ) - 3.0 (X A1 + X B1 + X C1 ) - 6.0 (X A2 + X B2 + X C2 ) - 4.0 (X A3 + X B3 + X C3 ) - 5.0 (X A4 + X B4 + X C4 ) Restricciones: a) Disponibilidad de Componentes: X A1 + X B1 + X C1 3,000 Componente 1 X A2 + X B2 + X C2 2,000 Componente 2 X A3 + X B3 + X C3 4,000 Componente 3 X A4 + X B4 + X C4 1,000 Componente 4 b) De las especificaciones de la Mezcla: X A1 / (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) Gasolina Tipo A: X A1 0.30 (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) X A2 0.40 (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) X A3 0.50 (X A1 + X A2 + X A3 + X A4 ) Operando, tenemos: 24
0.7 X A1 0.3 X A2 0.3 X A3-0.3 X A4 0 0.4 X A1 + 0.6 X A2 0.4 X A3-0.4 X A4 0 0.5 X A1 0.5 X A2 + 0.5 X A3-0.5 X A4 0 Gasolina Tipo B: 0.5 X B1-0.5 X B2 0.5 X B3-0.5 X B4 0-0.1 X B1 + 0.9 X B2 0.1 X B3-0.1 X B4 0 Gasolina Tipo C: 0.3 X C1 0.7 X C2 0.7 X C3-0.7 X C4 0 c) De No Negatividad: Xij 0 Ejemplo Nº 4 Un manufacturero produce una línea de productos para el hogar fabricados de lámina de metal. Para ilustrar su problema de planificación de la producción, suponga que fabrica únicamente cuatro productos y que su sistema de producción consiste de cinco centros de producción: trazado, troquelado, ensamble, acabado (impresión y pintura) y empaque. Para un determinado mes, se desea decidir que cantidad de cada producto debe ser manufacturado y para auxiliarse en esta decisión se han obtenido los datos mostrados en las tablas 1 y 2. Por otro lado, se conoce que solamente se tendrá disponible 2,000 pies 2 de lámina de metal para ser utilizados en la fabricación de los productos 2 y 4 durante el mes. El producto 2 requiere de 2.0 pies 2 por unidad y el producto 4 requiere 1.2 pies 2 por unidad. Formule este problema como un problema de programación lineal, a fin de maximizar la contribución del beneficio total. TABLA N 1 Departa- Tasas de Producción en horas por unidad Horas Prod. Mento Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Disponibles Trazado 0.03 0.15 0.05 0.10 400 Troquelado 0.06 0.12-0.10 400 Ensamble 0.05 0.10 0.05 0.12 500 Acabado 0.04 0.20 0.03 0.12 450 Empaque 0.02 0.06 0.02 0.05 400 25
TABLA N 2 Producto Precio Neto de Costo Variable Potencial de Ventas Venta / Unidad por Unidad Mínimo Máximo 1 $10.00 $6.00 1,000 6,000 2 $25.00 $15.00-500 3 $16.00 $11.00 500 3,000 4 $20.00 $14.00 100 1,000 FORMULACION: Variables de Decisión: Sean: X i = Número de Unidades de producto i a producir durante el mes (i = 1, 2, 3) Función Objetivo: Maximizar la Función de Beneficio expresada por la ecuación siguiente: MAX Z = (10 6) X 1 + (25 15) X 2 + (16 11) X 3 + (20 14) X 4 MAX Z = 4 X 1 + 10 X 2 + 5 X 3 + 6 X 4 Restricciones: a) En tiempo de producción (horas máquina) 0.03 X 1 + 0.15 X 2 + 0.05 X 3 + 0.10 X 4 400 (Trazado) 0.06 X 1 + 0.12 X 2 + 0.00 X 3 + 0.10 X 4 400 (Troquelado) 0.05 X 1 + 0.10 X 2 + 0.05 X 3 + 0.12 X 4 500 (Ensamble) 0.04 X 1 + 0.20 X 2 + 0.03 X 3 + 0.12 X 4 450 (Acabado) 0.02 X 1 + 0.06 X 2 + 0.02 X 3 + 0.05 X 4 400 (Empaque) b) En disponibilidad de hojas de metal: 2.0 X 2 + 1.2 X 4 2,000 26
c) Restricción de mínimo de producción y máximas ventas: 1,000 X 1 6,000 0 X 2 500 500 X 3 3,000 100 X 4 1,000 d) No Negatividad: X i 0 Ejemplo Nº 5 El Departamento de publicidad de Almacenes Hawai y Cia (AHC) tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una nueva línea de televisores a color. La meta de la AHC es llegar al menos al 40% de las familias de ingresos medios. Para esto, tiene en consideración dos medios diferentes: Anunciarse en la cadena de T.V. Honolulú TV Anunciarse en el periódico Honolulú Times. La publicidad por T.V. llega al 2% de las familias de ingresos altos y al 3% de las familias de ingresos medios (por comercial). La publicidad en el periódico llega al 3% de las familias de ingresos altos y al 6% de las familias de ingresos medios (por anuncio). La publicidad en el periódico tiene un costo de $500.00 por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de $2,000.00 por comercial. La meta de la AAHC es obtener al menos una presentación como mínimo al 36% de las familias de ingresos altos y al 60% de las familias de ingresos medios, minimizando los costos de publicidad. Asumiendo que una persona que está considerando el anuncio y el comercial como una exposición doble (una exposición mayor que el 100% es posible) construya un modelo de Programación Lineal para el problema de la AHC: 27
FORMULACION: Variables de Decisión: Sean: X N = Número de Anuncios en el periódico X T = Número de Anuncios en Televisión Función Objetivo: MIN Z = 500 X N + X T 2000 Restricciones: X N 0.03 + X T 0.02 0.36 X N 0.06 + X T 0.03 0.60 X i 0 (i = N, T) Ejemplo Nº 6 Un gerente de personal debe elaborar un programa de vigilancia para la empresa, de modo que satisfaga los requerimientos de vigilantes que se muestran en la tabla N 1. Tabla N 1 Requerimientos de Vigilantes HORARIO DE COBERTURA # MINIMO DE VIGILANTES REQUERIDOS Medianoche 4:00 a.m. 5 4:00 a.m. - 8:00 a.m. 7 8:00 a.m. - 12:00 m. 15 12: 00 m - 4:00 p.m. 7 4:00 p.m. - 8:00 p.m. 12 8:00 p.m. - medianoche 9 Los guardias de seguridad trabajan turnos de 8 horas; y todos los días hay 6 turnos, en la Tabla N 2 se dan los horarios de entrada y salida de cada turno. El gerente de personal quiere determinar 28
cuántos guardias deberán trabajar en cada turno, con el objetivo de minimizar el # total de guardias que satisfagan los requerimientos de vigilancia. Tabla N 2 Horarios de entrada y salida Turno Hora Entrada Hora Salida 1 Medianoche 8:00 a.m. 2 4:00 a.m. Mediodía 3 8:00 a.m. 4:00 p.m. 4 Mediodía 8:00 p.m. 5 4:00 p.m. Medianoche 6 8:00 p.m. 4:00 a.m. FORMULACION: TABLA DE TURNOS / INTERVALOS Turno Medianoche 4:00 a.m. 8:00 a.m. Medio día 4:00 p.m. 4:00 a.m. 8:00 a.m. Medio día 4:00 p.m. 8:00 p.m. 1 X 1 X 1 2 X 2 X 2 3 X 3 X 3 4 X 4 X 4 5 X 5 X 5 6 X 6 X 6 # mínimo de vigilantes requeridos 8:00 p.m. - medianoche 5 7 15 7 12 9 Donde: X 1 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 1 X 2 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 2 X 3 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 3 X 4 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 4 X 5 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 5 X 6 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 6 29
Tal que: MIN Z = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 Sujeto a: X 6 + X 1 5 X 1 + X 2 7 X 2 + X 3 15 X 3 + X 4 7 X 4 + X 5 12 X 5 + X 6 9 X i 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) 30
Solución de los Modelos de Programación Lineal Solución Gráfica y Solución Analítica 1. Dibujar el gráfico de coordenadas, seleccionar los ejes de coordenadas para cada una de de las variables. 2. Convertir las desigualdades en igualdades y graficar las rectas que representan dichas restricciones. 3. Escoger un punto de ensayo. 4. Evaluar la restricción. 5. Determinar si el punto de ensayo satisface la desigualdad, y seleccionar el área (desigualdad) o línea (igualdad) que satisfaga la desigualdad o igualdad. 6. Determinar cual es el polígono de Soluciones factibles. 7. Evaluar los puntos extremos (Vértices del polígono) 8. Seleccionar la alternativa y solución óptima- Procedimiento de Solución por Método Gráfico: Programación Lineal: El Método Simplex : Entendemos que un modelo es lineal cuando las variables, tanto de la Función Objetivo como de las restricciones son lineales, es decir tiene exponente igual a uno, es decir que no existen variables con exponente dos o mayor. Definición: El modelo Simplex es un método algebraico sistemático e iterativo utilizado para resolver modelos de Programación Lineal, que examinan los vértices de un conjunto convexo, hasta encontrar la alternativa óptima que resuelve el modelo. Procedimiento: Todas las restricciones del modelo deben ser transformadas a igualdades, para poder establecer una solución básica factible inicial, y así poder resolver un sistema de ecuaciones simultáneas utilizando la Función Objetivo como la referencia para establecer la solución óptima. El espacio dentro del cual se encuentra delimitada el área definida por todas las restricciones define lo que se conoce como <polígono de Soluciones Factibles. Cada vértice de dicho Polígono corresponde a una alternativa que resuelve el sistema stema de ecuaciones y variables, y la Solución óptima del mismo estará localizada en uno de sus vértices. 31