Física Experimental II Curso 07 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP Laboratorio Laboratorio 0: Ondas estacionarias en una cuerda. Determinación de la elocidad de propagación.. Introducción. Pulso de Ondas. Cuando a una cuerda estirada o tensa se le aplica una perturbación, como se e en la figura su forma ariará con el tiempo de forma regular. La perturbación que se produce en el origen se muee a lo largo de la cuerda en forma de pulso de onda. Éste recorre la cuerda a una elocidad definida por la tensión de la cuerda y de su densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud). El destino del pulso en el otro extremo de la cuerda dependerá de la forma en que está sujeta allí. Si está fija a un soporte rígido como se e en la figura, el pulso se reflejará y regresará inertido. Esto puede ser interpretado pensando en que cuando el pulso llega a un soporte rígido ejerce una fuerza hacia arriba sobre el mismo, por lo tanto el soporte rígido ejerce sobre la cuerda una fuerza hacia abajo igual y opuesta, haciendo que el pulso se inierta en la reflexión. En el caso que se muestra en la figura, la cuerda está sujeta a un aro (masa y rozamiento despreciables) que permite el libre moimiento de este extremo. Al llegar el pulso ejerce una fuerza hacia arriba sobre el anillo lo que produce una aceleración hacia arriba que no es contrarrestada por ninguna otra fuerza. En este estado el anillo alcanza la altura del pulso, originando un pulso reflejado que no está inertido. Velocidad de onda Como se mencionó en la sección anterior la elocidad de propagación de pulsos en una cuerda tensa depende de las propiedades del medio (tensión y densidad lineal de masa). Además se puede mostrar que es independiente del moimiento de la fuente donde se propaga. Si eniamos pulsos de onda a lo largo de una cuerda tensa, se puede obserar que la
Física Experimental II Curso 07 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP Laboratorio elocidad de propagación de los pulsos de onda aumenta al crecer la tensión de la cuerda y podemos obserar que si tenemos dos cuerdas, una más pesada que la otra, la elocidad de propagación del pulso es menor en la más pesada. Así pues, la elocidad de propagación de pulsos sobre una cuerda o hilo está relacionada con la tensión y con la masa por unidad de longitud. En el caso en el que el pulso es pequeño en comparación con su longitud, se puede considerar que la tensión es constante en la cuerda y tiene el mismo alor que en ausencia del pulso. Es coneniente considerar el pulso en un sistema de referencia que se muee con elocidad hacia la derecha; en este sistema el pulso permanece estacionario, mientras que la cuerda se muee hacia la izquierda con elocidad. En la figura 3 se muestra un pequeño segmento de la cuerda, de longitud. Si este segmento es lo suficientemente pequeño, podemos considerarlo como parte de un arco circular de radio. Por lo tanto, el segmento se está moiendo en una circunferencia de radio con una elocidad y tiene una aceleración centrípeta a c s. El ángulo suspendido por el segmento s es: s. Las fuerzas que actúan sobre el segmento son las tensiones en cada extremo. Las componentes horizontales de esas fuerzas son iguales y opuestas y por lo tanto se equilibran. Las componentes erticales (recordar que es pequeño) señalan hacia el centro del arco circular (son radiales) y la suma de esas fuerzas radiales proporcionan la aceleración centrípeta. En la figura 4 la suma da la fuerza radial neta que es: r.. sen ( es losuficientemente pequeño como para que sea s.... () sen ) Si es la masa por unidad de longitud de la cuerda, la masa del segmento m μ s μ.. () s es: Aplicando la segunda ley de Newton a la fuerza que actúa sobre la cuerda tenemos, para la componente radial o normal: mac m (3) y eemplazando las expresiones () y () en (3), se obtiene:
Física Experimental II Curso 07 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP Laboratorio θ μ θ μ Y despejando la elocidad: (4) Como en esta expresión la elocidad es independiente del radio y del ángulo, este resultado es álido para todos los segmentos de la cuerda, pero sólo es álida si el ángulo es pequeño lo cual será cierto sólo si la altura del pulso es pequeña comparada con la longitud del pulso. En el sistema de referencia original, la cuerda está fija y el pulso se muee con elocidad de propagación = μ Ondas Armónicas Si al extremo de una cuerda lo desplazamos hacia arriba y hacia abajo siguiendo un moimiento armónico simple (como si estuiera atado a un diapasón que se hace ibrar), se produce un tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en un instante es la de una función sinusoidal y la distancia entre dos crestas sucesias recibe el nombre de longitud de onda (). Cuando la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma se muee hacia arriba y hacia abajo, realizando un moimiento armónico simple, cuya frecuencia (f) es la del agente que muee el extremo de la cuerda. Existe una relación entre la frecuencia (f); la longitud de onda () y la elocidad de propagación (): f, y se puede aplicar a todos los tipos de ondas armónicas. Como la elocidad queda determinada por las propiedades del medio, la longitud de onda queda determinada por la frecuencia del foco emisor. - Ondas estacionarias en una cuerda Para una cuerda determinada, existen ciertas frecuencias para las cuales la superposición de ondas da un esquema ibratorio estacionario. Si fijamos los dos extremos de una cuerda larga y moemos una parte de la misma arriba y abajo con un moimiento armónico simple, resulta que a cierta frecuencia se obtiene un esquema de onda estacionaria como aparece en la figura 4. Las frecuencias que producen estos esquemas se denominan frecuencias de resonancia del sistema. La frecuencia de resonancia más baja se denomina frecuencia fundamental (f), y produce el esquema de onda estacionaria indicada en la figura 4.a. Éste recibe el nombre de modo fundamental de ibración o primer armónico. La segunda frecuencia más baja (f) produce el esquema indicado en la figura 4.b. Este modo de ibración tiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia fundamental y se denomina segundo armónico. La tercera frecuencia más baja (f3), es tres eces la fundamental y produce el esquema del tercer armónico (figura 4.c). Hay ciertos puntos sobre la cuerda que no se mueen, estos puntos se denomina nodos. Podemos relacionar la frecuencia de resonancia con la elocidad de la onda en la cuerda y la longitud de la misma. Se puede er en la figura 4.a que la longitud de la cuerda es igual a la mitad de la longitud de onda del primer armónico L = λ. Para el segundo armónico (4.b) se cumple que L = λ. 3
Física Experimental II Curso 07 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP Laboratorio a n= b n= c n=3 d n=4 Figura 4. Esquema de una cuerda con los dos extremos fijos sometida a una excitación armónica con las frecuencias para las cuales se obtienen ondas estacionarias. Se muestran los 4 primeros armónicos. Para el tercer armónico (4.c), L = 3 λ 3. En general, para el armónico enésimo, se tiene que: L = n λ n, con n =,,3, (5) Este resultado se conoce como condición de onda estacionaria con ambos extremos fijos y podemos hallar la frecuencia del armónico a partir del hecho de que la elocidad de la onda es igual a la frecuencia por la longitud de onda, λn = /fn donde fn es la frecuencia del armónico enésimo. eemplazando λn en la ecuación (5) tenemos: L = n.. f n fn = n. Como la elocidad de propagación de la onda es, entonces, la frecuencia fundamental es f L. L (6) 3- Determinación de la elocidad de propagacion de pulsos en una cuerda. El montaje experimental propuesto para la realización de esta experiencia se muestra en la Figura 5. Además de la obseración directa del fenómeno de las ondas estacionarias en una dimensión, este montaje permite realizar medidas cuantitatias. Para ello se utiliza un generador de funciones el cual muee un drier mecánico unido a la cuerda a una frecuencia determinada generando la perturbación. Eligiendo el peso con el que se tensa la cuerda se fijan las condiciones mecánicas de la cuerda, y así la elocidad de propagación de pulsos en la cuerda, según la ecuación 4. Variando la frecuencia de oscilación del generador, se pueden sintonizar los diferentes armónicos de ondas estacionarias en la cuerda como las mostradas en la figura 4. Las longitudes de onda asociadas a cada frecuencia estarán dadas por la ecuación (5) y se relacionan con la elocidad de propagación en la cuerda y las frecuencias según: 4
Física Experimental II Curso 07 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP Laboratorio λ n =. f n De esta manera, graficando λ n en función de /f n es posible obtener la elocidad de propagación de las ondas en la cuerda realizando un ajuste lineal de los datos. Este resultado puede compararse con el obtenido al aplicar la ecuación 4. Figura 5. Esquema del montaje experimental utilizado compuesto de un generador de frecuencias () alimentando a un oscilador (), una cuerda elástica (3) y un sistema de polea (4) y soporte para pesas que permite ajustar la tensión de la cuerda (5) Bibliografía: Material didáctico preparado para la materia Física Experimental II por los Dr. L. Gioanetti y J. M. amallo López.. A. Serway, J. W. Jewet Jr. Física, omo, hompson. 5