C A P Í T U L O 5 Láser 5.1. ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 1. Calcule el coeficiente de ganancia y la diferencia de población umbrales para el láser de He-Ne a 400 K. La transición láser se produce a la longitud de onda λ mn = 632.8 nm y el coeficiente de Einstein de emisión espontanea vale A mn = 1.4 10 6 s 1. La cavidad tiene una longitud de 50 cm y los coeficientes de reflexión de los espejos son r 1 = 0.998 y r 2 = 0.980. El ensanchamiento predominante se debe al efecto Doppler. Calcule también la densidad de átomos de Ne para una presión parcial de Ne de 0.2 torr. α g umbral = 2, 2 10 4 cm 1 n umbral = 1, 6 10 9 átomos cm 3 15 átomos n Ne = 4, 8 10 m 3 2. Obtenga la expresión para el coeficiente de ganancia a la frecuencia de transición cuando el ensanchamiento predominante de las líneas espectrales es de tipo lorentziano. Obtenga también la expresión para la diferencia de población umbral. α g umbral = λ2 mn Amn 4π 2 ν 1/2 n ( n umbral = 2π 2 ν 1/2 1 λ 2 mn Amn l ln ) 1 r 1r 2
2 Capítulo 5 Láser 3. Calcule la diferencia de población umbral de un láser de rubí cuya varilla tiene 1 cm de diámetro y mide 10 cm de largo. La transición láser se produce a la longitud de onda λ mn = 694.3 nm, tiene una anchura lorentziana de 3.3 10 11 Hz y el coeficiente de Einstein de emisión espontánea vale 333 Hz. Los coeficientes de reflexión de los espejos valen r 1 = 1.00 y r 2 = 0.96, el coeficiente de pérdidas por dispersión en el medio activo es γ = 3 10 3 cm 1 y el índice de refracción del rubí vale 1.76. Calcule también la densidad de átomos de cromo sabiendo que la concentración de los mismos es del 0.05 % en peso y que la densidad del rubí vale 4 gr/cm 3. 17 átomos n umbral = 2, 11 10 cm 3 n Cr 3+ 19 átomos = 2, 3 10 cm 3 4. El láser de rubí del problema anterior emite un pulso luminoso de 100 ps de duración. Calcule la potencia del pulso suponiendo que todos los átomos de cromo están en el nivel láser superior y se desactivan en su totalidad. P pulso = 5, 1 10 11 w 5. La concentración de átomos de Nd en un láser Nd-YAG es de 1.5 10 26 átomos/cm 3. Calcule la potencia radiativa media por metro cúbico de láser si todos estos átomos son bombeados repentinamente al nivel superior y comienzan a radiar. La longitud de onda de la emisión vale 1064 nm y el tiempo de vida media del nivel láser superior es de 230 µs. Si toda la potencia radiada por 1 cm 3 del láser se pudiese concentrar en un punto de 1 mm de diámetro, cuál sería la intensidad de la radiación que incidiría sobre dicho punto? P radiativa/m 3 = 1, 2 10 11 w m 3 I = 1, 55 10 11 w m 2 6. Un láser de Nd-YAG pulsado opera bombeado por una lámpara de flash a una velocidad de 10 pulsos por segundo. Si la potencia radiante promedio de la lámpara es de 100 W, calcule el número máximo de fotones que contiene cada pulso láser usando esta fuente de bombeo. Determine la eficiencia del láser si el número real de fotones que emite cada pulso es de 6.96 10 17. La longitud de onda de la transición láser vale 1064 nm. n = 5, 36 10 19 fotones Eficiencia = 0, 0129 1, 29 %
Sección 5.1 Enunciados y soluciones de los Problemas 3 7. Considere el efecto del índice de refracción del medio activo sobre la frecuencia de los modos de la cavidad láser. Obtenga la expresión para dichas frecuencias cuando el medio activo ocupa toda la cavidad (l = L) y cuando queda cierto espacio entre el mismo y los espejos de la cavidad (l < L). Para l = L ν = m c 2Ln Para l > L ν = m c 2 1 [nl+n (L l)] 8. Obtenga una expresión para el tiempo de vida media que permanece un fotón en el interior de una cavidad resonante y calcule dicho tiempo para una cavidad de 50 cm de longitud cuyos espejos tienen unos coeficientes de reflexión r 1 = 1.00 y r 2 = 0.98. t c = 2L c 1 1 r 1r 2 Para c = c t c = 16, 7 µs 9. Obtenga las soluciones para las poblaciones N m (t) y N n (t) de un sistema de dos niveles sujeto a las condiciones iniciales N m (0) = 0 y N n (0) = N T. Escriba la ecuación diferencial para N m (t) y pruebe una solución del tipo N m (t) = c 1 e st + c 2, donde c 1, c 2 y s son constantes a determinar. N m(t) = [γ mn + 2B mn ρ]n m (t) + B mn ρn T s = (δ mn + 2B mn ρ)) c 2 = c 1 = N m (t) = BmnρN T γ mn+2b mnρ Bmnρ γ N mn+2b mnρ T BmnρN [ ] T γ mn+2b mnρ 1 e (γ mn+2b mnρ)t N T N n (t) = γmn+bmnρ[1+e(γmn+2bmnρ)t ] γ mn+2b mn N T
4 Capítulo 5 Láser 10. Deduzca las expresiones para las poblaciones estacionarias de un sistema de dos niveles incluyendo la degeneración de los mismos. Considere la posibilidad de conseguir en este caso la inversión de población y si es posible entonces inducir la emisión láser. Nm est (t) = γm B mnρ γ n [γ mn+(1+ gm )Bmnρ]N T gn Nn est γ (t) = mn+b mnρ [γ mn+(1+ gm )Bmnρ]N T gn N = m gm g n Nn est = gm gn γmn [γ mn+(1+ gm )Bmnρ]N T < 0 gn 11. Calcule la potencia mínima que hay que suministrar al láser de rubí del problema 3 mediante una lámpara de flas para bombear todos los átomos de cromo desde el nivel láser inferior al nivel auxiliar. Suponga que la longitud de onda de los fotones de la lámpara vale 550 nm. P min = 21, 6 kw 12. Obtenga las expresiones para las poblaciones estacionarias de los niveles de energía del láser de tres niveles. m (t) = n (t) = i (t) = R pγ im γ mn(γ im+γ in)+r p(γ im+γ mn) N T γ mn(γ im+γ in) γ mn(γ im+γ in)+r p(γ im+γ mn) N T R pγ mn γ mn(γ im+γ in)+r p(γ im+γ mn) N T 13. Deduzca la condición para la inversión de población del sistema láser de tres niveles cuando se tienen en cuenta las transiciones radiativas que se producen entre los niveles que generan la radiación láser. Compruebe el efecto que tienen estas transiciones sobre la velocidad de bombeo necesaria para invertir la población. m N = γim(rp+bmnρ)+γinbmnρ n est (γ mn+b mnρ)(γ im+γ in) > 1 R p > γmn(γim+γin) γ im
Sección 5.1 Enunciados y soluciones de los Problemas 5 14. Suponga que el bombeo desde el nivel n hasta el nivel i en el láser de tres niveles se hace de forma óptica. Analice como afecta este tipo de bombeo a la condición para la inversión de la población. ρ > γmn(γim+γin) B in(γ im γ mn) es preciso que se cumpla que: γ im > γ mn 15. Considere un sistema láser de tres niveles en el que el nivel auxiliar E 0 está situado debajo de los niveles láser E n y E m. Obtenga la condición para la inversión de población teniendo en cuenta las transiciones radiativas que se producen entre los niveles láser. γ n0+b mnρ γ mn+b mnρ > 1 es preciso que se cumpla que: γ n0 > γ mn 16. Sea un sistema láser de cuatro niveles en el que los niveles auxiliares E i y E 0 están, respectivamente, por encima y por debajo de los niveles láser. Escriba las ecuaciones de velocidad para los cuatro niveles y deduzca la condición para la inversión de población. dn i = R p N n (γ i0 + γ im + γ in )N i dn m = γ im N i γ mn N m dn n = γ in N i + γ mn N m γ n0 N n dn 0 = R p N 0 + γ i0 N i + γ n0 N n γ n0 γ mn (1+ γ in γ im ) = > 1 γ im γ in 17. La apertura de salida de un láser de He-Ne (λ mn = 632.8 nm) tiene un diámetro de 4 mm. Calcule la desviación del haz después de recorrer 1 km de distancia. h = 19 cm
6 Capítulo 5 Láser 18. Calcule el tiempo y la longitud de coherencia de la luz blanca suponiendo que contiene todas las longitudes de onda del espectro visible. τ c = 2, 6 10 15 s l c = 7, 7 10 7 m = 770 nm 19. Calcule la radiancia de la luz de un láser de He-Ne que emite a una potencia de 1 nw. Suponga que Ω θ 2 y que la apertura de salida es circular. B = 2, 6 10 5 w cm 2 srad 20. Una lente convexa enfoca un haz de radiación que incide sobre ella en la zona situada en el punto focal de la lente. Para un haz de luz láser, el radio de la zona enfocada viene dado por w 0 = λ/(πθ), donde θ es el ángulo de convergencia. Calcule w 0 para un haz procedente de un láser de He-Ne de 0.5 mm de radio que atraviesa una lente convexa cuya distancia focal vale 20 mm. w 0 = 8 µm