ETUIO PELIINA TEOIO-EXPEIENTAL E LA AATEITIA AUTIA EL AJON PEUANO EFEENIA PA: 43.75.Hi Llimpe Quintanilla, elso Edga 1 ; oeno uiz, Joge Nesto 2 Laboatoio de Acústica, ección Física, epatamento de iencias Pontificia Univesidad atólica del Peú. Av. Univesitaia uada 18 s/n, an iguel Lima 32, Peú Tel: 51 1 46 287 Anexo 239 Fax: 51 1 463 5478 E-ail: cllimpe@pucp.edu.pe; jmoeno@pucp.edu.pe ABTAT The Peuvian musical box, called ajon iollo is a pecussion instument dated in olonial Age. It was ceated as expession of daily life the Peuvian mestiza population. In this wok a theoetical and expeimental esults ae pesented. A model has been developed in ode to have a tool to optimize the design of this instument, without using the tial eo method. EUEN El ajón Peuano, llamado también ajón iollo, es un instumento musical típico de pecusión que se oigina en la época colonial como pate de la necesidad de expesión de la vida cotidiana de la población mestiza del Peú. En este tabajo se pesentan esultados de un estudio teóico expeimental. Un modelo ha sido desaollado paa dispone de una heamienta que pemita optimiza el diseño de este instumento, sin necesidad de emplea el método de ensayo y eo. INTOUION El ajón Peuano posee inteesantes popiedades acústicas el cual es utilizado como acompañamiento paa música instumental y/o cantada de gan aaigo en el Peú. Este instumento actualmente se constuye en base al conocimiento adquiido en foma empíica, no siempe obteniéndose las caacteísticas deseadas. Hasta la fecha se han ealizado estudios del ajón Peuano desde el punto de vista de sus caacteísticas de ejecución. Los esultados del pesente tabajo demuestan claamente que este instumento puede se estudiado y que es posible soluciona en foma páctica algunos poblemas de diseño, ente ellos la minimización de la inteacción de las placas lateales con la placa fontal con lo que se loga un tono de mayo claidad, asi mismo es posible loga la afinación del instumento. EIPION EL INTUENTO Página 1 de 7
El ajón Peuano es pincipalmente utilizado en la ejecución de la música afopeuana, música ciolla. La foma del instumento conocido como ajón iollo es un paalelepípedo, cuya dimensión estánda es 48x3x3 mm cuyo volumen inteio se conecta al exteio mediante un ducto cicula. Esta confomado po 5 placas de madea de un espeso que vaía, ente 15 y 2 mm, y una delgada cuyo espeso vaía ente 4 y 5 mm (se ubica paalelamente a la placa que lleva la abetua) donde se ejecuta la combinación de los difeentes itmos. La Figua 1 muesta un esquema de este instumento, que po sus caacteísticas físicas se compota como un esonado de Helmholtz acoplado a una placa vibante, el cual se activa cuando se golpea con las palmas de las manos sobe la placa fontal, a la que designamos como placa fontal. ONEPION EL OELO El cajón peuano consiste básicamente en un esonado de Helmholtz activado po la enegía adiada dento de sí mismo debido a los impactos que se aplican sobe la placa fontal al momento de ejecuta. omo es conocido, dicha placa debe pesenta infinitos modos de vibación los mismos que influián en el timbe del instumento, sin embago sólo el pime modo de la placa fontal activa el esonado, el que se manifiesta como un pico de pesión acoplado a la esonancia del esonado (cajón - ducto) cuando se mide con un micófono en la boca del ducto. Este esultado es el espeado si toma en cuenta que el esonado po su natualeza pesenta un compotamiento de filto pasabanda que impide la adiación de los modos de oden supeio de la placa. ebido a este compotamiento del instumento es posible plantea un modelo eléctico disceto capaz de pedeci la adiación en la boca del ducto. ANALII E LA PLAA FONTAL La Figua 2 muesta la función de tansfeencia de la azón aceleación fueza (inetancia) de la placa fontal hasta 4Hz. En esta Figua se obseva claamente las amplitudes elativas y fecuencias de esonancia de los dos pimeos modos. La Figua 3 muesta una pespectiva de manea tidimensional de la foma de estos dos modos, obtenidas mediante análisis modal expeimental [1]. Placa lateal 4 3 3 odo 1 odo 2 ucto Placa fontal H(f) 2 2 1 1 Fig. 1. Esquema del ajón Peuano 1 1 2 2 3 3 4 Fecuencia (Hz) Fig. 2. agnitud de la función de tansfeencia (aceleación/fueza) de la placa fontal. Página 2 de 7
Z Z 8 8 6 6 4 4 2 2-2 -2-4 -6 X Y -4-6 X Y -8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 1 4 7-8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 12 13 14 4 7 (a) Pime modo. 216 Hz. La medición se llevó a cabo paa investiga el efecto de las condiciones de fontea e inteacción con los modos povenientes de las otas placas que confoman el instumento. e obsevó una inteacción débil cuyo efecto es despeciable cuando se compaan los esultados expeimentales con los analíticos. abe aclaa que, si bien es cieto no inteaccionan diectamente con los modos de la placa fontal modificando su foma, los modos de las placas lateales coloean el sonido del instumento. OELO ELETIO EQUIVALENTE ado que sólo el pime modo de la placa fontal activa el esonado, es posible epesenta en una pimea apoximación a la placa excitada en su pime modo po un pistón de áea, masa, compliancia y esistencia equivalente, capaz de adia la misma pesión sonoa que la placa eal. Los valoes se deteminan a pati de la función de impedancia mecánica. (b) egundo modo. 318 Hz. Fig. 3. Foma de los modos de vibación de la placa fontal (Ejes X e Y: divisiones cada.31m, Z: amplitud popocional a la aceleación) 1 9 8 7 6 4 uva edida uva imulada Al compaa el nivel de pesión sonoa simulado con aquél medido en la boca del ducto, se obseva como lo muesta la Figua 4, que el pico de meno fecuencia en el caso simulado excede en amplitud al medido. 3 1 1 1 2 1 3 Fecuencia (Hz) Fig. 4. ompaación de cuvas de Nivel de pesión sonoa en el ducto obtenidas po simulación y medición. odelo viscoso. Analizando el mateial de la placa fontal que genealmente es fabicado de contachapado de madea (tiplay) se llegó a la conclusión que el modelo viscoso debía eemplazase po un modelo viscoelástico [2]. La Figua 5 muesta el cicuito eléctico equivalente del ajón Peuano el cual incluye los efectos del cajón, sus pedidas así como el ducto. A2 AF A A A A B B A2 AF A AB P G AB Fig.5. icuito eléctico equivalente tipo impedancia del cajón peuano. E Página 3 de 7
P G = Pesión geneada po el ejecutante A = asa acústica de la placa fontal y A 2 = ompliancias acústicas de la placa fontal coespondientes al modelo de axwell [2] y A2 = esistencias acústicas de la placa fontal coespondientes al modelo de axwell [2] AF = eactancia de adiación fontal coespondiente al pime modo de la placa fontal AF = esistencia de adiación fontal coespondiente al pime modo de la placa fontal A = eactancia de adiación posteio coespondiente al pime modo de la placa fontal A = esistencia de adiación posteio coespondiente al pime modo de la placa fontal AB = ompliancia acústica coespondiente al volumen dento del cajón AB = esistencia acústica debido a las pédidas dento del cajón = asa acústica debido al aie dento del ducto = esistencia acústica debido a las pédidas dento del ducto = eactancia acústica de adiación del ducto, incluye la fontal y posteio = esistencia de adiación del ducto, incluye la fontal y posteio La ama AB incluye la masa acústica del pistón equivalente, sus impedancias de adiación fontal y posteio, así como el modelo viscoelástico de axwell [2]. La ama B epesenta la compliancia acústica del volumen de aie y una esistencia equivalente debida a pedidas. La ama E incluye la masa acústica del ducto, sus pedidas y la impedancia de adiación total del ducto. ETEINAION E LO PAAETO EL IUITO Aea del pistón equivalente: El áea del pistón equivalente coespondiente al pime modo se calcula esolviendo el caso de una membana ectangula de acuedo a [3] como: = Aea efectiva de la placa = Aea eal de la placa =, 41 (1) asa acústica del pistón equivalente: La masa acústica A [4] se calcula a pati de la magnitud de la impedancia mecánica, cuando se conoce el valo del facto de calidad Q 1 coespondiente al pime modo y la esistencia equivalente del modelo genealizado de axwell [2] a la fecuencia de esonancia. = esistencia acústica mecánica equivalente ente los puntos A B AV f 1 = Fecuencia de esonancia del pime modo de la placa ompliancia acústica del cajón: e calcula a pati de la ecuación [3]: Q 1 AV A = (2) 2πf 1 AB V = (3) A 2 oc Página 4 de 7
V c A o = Volumen del cajón = ensidad del aie = Velocidad del sonido Paámetos del odelo de axwell: Los valoes de, A 2, y A2 se deteminan a pati de la pate eal e imaginaia de la impedancia mecánica coespondiente al pime modo. Pedidas en la caja: e ha ajustado empíicamente, sin embago se puede medi de acuedo a [5]. Impedancia de adiación: Todas las impedancias de adiación se calculan según [4], excepto las ecuaciones (6) y (7) que son calculadas según [3]. Paa el pistón equivalente se tendá,459 c O AF 2 o AF,27 = (4) = (5) B = Función que depende de la geometía de la caja [6] = adio efectivo de la placa = Pofundidad de la caja d d B = asa acústica debido al aie dento del ducto: se calcula a pati de: π 3 A o B π 3/ 2 8 + 1 3π = (6) (7) L = Longitud del ducto = adio del ducto ( L +1,7 ) o = (8) esistencia acústica debido a las pedidas dento del ducto: e calcula según [4] como: w = 2πf = adio del ducto 1 L = 2 + 2 2 o w π µ µ = oeficiente cinemática de viscosidad paa el aie (9) eactancia acústica de adiación del ducto: e calcula a pati de [4] como. =, 27 + esistencia de adiación del ducto: e calcula de acuedo a [4] como: o o B (1) π O 2 c,918 = (11) Página 5 de 7
EULTAO El cajón peuano, como muchos instumentos de pecusión no poseen un caácte sostenido del tono, sin embago tiene un tono fundamental en baja fecuencia bien macado y tonos en media fecuencia dependiendo del punto donde es excitado. Estos tonos son combinados en la ejecución musical. Expeimentando con placas secundaias de mayo igidez en el ajón Peuano, se favoece que la placa fontal vibe de modo más polongado y minimice el acoplamiento. 9 8 uva edida uva imulada adio del ducto 4 mm 9 8 uva edida uva imulada adio del ducto 38 mm 7 7 6 6 4 4 3 3 2 1 1 1 2 1 3 Fecuencia (Hz) Fig. 6. ompaación de cuvas de nivel de pesión sonoa en el ducto obtenidas po simulación y medición. = 4mm. Las Figuas 6, 7 y 8 muestan compaaciones ente los esultados medidos y simulados paa el nivel de pesión sonoa en la boca de ductos con difeentes diámetos. Al optimiza las condiciones de fontea se minimiza la disipación de enegía en estas, favoeciendo la emisión de un tono con mayo claidad. En las figuas mencionadas el pico de la deecha coesponde apoximadamente a la fecuencia del pime modo de la placa fontal, mientas que el pico de la izquieda coesponde a la esonancia del esonado, la coespondencia no es exacta debido a la inteacción ente la placa y el esonado. Adicionalmente la Tabla 1 muesta valoes compaados paa las fecuencias de esonancia simuladas y medidas en el ducto y la placa, 2 1 1 1 2 1 3 Fig. 7. ompaación de cuvas de nivel de pesión sonoa en el ducto obtenidas po simulación y medición. = 38mm. 9 8 7 6 4 3 Fecuencia (Hz) 2 1 1 1 2 1 3 Fecuencia (Hz) uva edida uva imulada adio del ducto 28 mm Fig. 8. ompaación de cuvas de Nivel de pesión sonoa en el ducto obtenidas po simulación y medición = 28mm. f 1 f 1 f 1 f 1 = Fecuencia de esonancia simulada del pime modo coespondient e al esonado = Fecuencia de esonancia medida del pime modo coespondiente al esonado = Fecuencia de esonancia simulada del pime modo coespondiente a la placa = Fecuencia de esonancia medida del pime modo coespondiente a la placa Tabla 1. Valoes compaados de las fecuencias de esonancia simuladas y medidas. Figua (mm) f 1 (Hz) f 1 (Hz) f 1 (Hz) f 1 (Hz) 6 4 84 9 216 216 7 38 8 88 215 214 Página 6 de 7
8 28 66 71 25 25 ONLUIONE El ajuste ente las cuvas simuladas y medidas es bueno. A pati de este modelo y luego de consulta con ejecutantes expetos en este instumento seá posible popone una teoía de diseño sin ecui al método de ensayo y eo. Vaiando las dimensiones del ducto y el espeso de la placa fontal, es posible afina y sintoniza la placa y el ducto. e ha demostado que es posible desaolla un modelo eléctico disceto que pemite pedeci el nivel de pesión sonoa adiada po el ducto del ajón Peuano. AGAEIIENTO Al Pofeso Guillemo Baldwin, quién sugiió el tema de investigación y apotó sus opiniones y expeiencia en la ejecución del ajón Peuano. EFEENIA [1] Gatzwille K. y Helufsen H., How to detemine the odal Paametes of simple tuctues (Büel & Kjæ, enmak, Aplication Note ) pp. 1 5. [2] un. T. y Lu Y. P., Vibation amping of stuctual Elements. (Pentice Hall New jesey, 1995) pp. 11-19 [3] Kinsle L. E., Fey A.., oppens A. B. y andes J. V., Fundamentals of Acoustics, (Wiley, New Yok, 1982 ), pp. 85 87. [4] Beanek L. L, Acoustic (Acoustic ociety of Ameica, N.Y. 1986), pp. 129-131. [5] oeno J., Jønsson. y Bøg H., easuement of losed Box Loudspeake ystem Paametes Using a lase Velocity Tansduce and an audio Analyze. Pepint 3325 Audio Engineeing ociety. (ach 1992) [6] Leach W.., Electoacoustic Analogous icuit odels fo Filled Enclosues, J. Audio Eng. oc., vol. 37, pp. 586 592 (1989 July/August). Página 7 de 7