COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 2012 - Prof. Cecilia Galimberti MATEMÁTICA FINANCIERA 4 AÑO A GUÍA N 1 - INTERÉS SIMPLE La Matemática Financiera es la aplicación de la matemática a las finanzas. Es la rama de la Matemática aplicada que estudia el valor de un capital en el tiempo, para conseguir un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permitan tomar decisiones de Inversión. La Matemática Financiera se relaciona con la contabilidad, ya que se basa en información generada por los registros contables, permitiendo tomar la decisión más acertada en el momento de hacer una inversión. La Matemática Financiera es una herramienta auxiliar de la ciencia política, ya que está ligada al estudio y resolución de problemas económicos que tienen que ver con la toma de decisiones de Inversión, presupuesto, ajustes económicos. De la misma manera, la matemática financiera se ha transformado una herramienta importante a la hora de tomar decisiones en otras disciplinas como la informática, la ingeniería y la sociología. La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que le permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo. La matemática financiera es de aplicación eminentemente práctica, su estudio esta íntimamente ligado a la solución de problemas de la vida cotidiana en el área de negocios. Sobre los inicios de la matemática financiera se sabe que ha existido desde tiempo inmemorial. La aritmética comercial estaba bien desarrollada para el 1500 a.c., como un complemento de las transacciones comerciales Revisión: PORCENTAJE Se llama porcentaje de una cantidad con respecto a otra, a la razón entre la primera y la segunda, multiplicado por cien. 300 Qué porcentaje es 300 con respecto a 400?.100 75% 400 Ejercicio 1: Una inversión de $ 4.000 en una empresa, le produce al Sr. M un rendimiento de $ 240. Qué porcentaje representa? Qué rendimiento obtendría el Sr N con una inversión de $ 7.000 en la misma empresa? Cuánto debe invertir el Sr T para obtener un rendimiento de $ 600? 1
Ejercicio 2: Un abogado recupera el 90 % de una demanda de $ 3.000 y cobra en concepto de servicios el 15 % de la suma recuperada. Qué cantidad recibirá su cliente? BONIFICACION: Se denomina bonificación o rebaja a un cierto porcentaje que se deduce de una determinada cantidad. - La bonificación, en el comercio, tiene lugar cuando: el volumen de venta es significativo, se tiene en cuenta la calidad del cliente, etc. - La bonificación siempre se expresa como un porcentaje del precio de lista. Precio de lista bonificación = precio de venta Ejercicio 3: Por un artículo cuyo precio de venta es $ 73.500 se otorga una bonificación del 8 %. Cuánto se abona por dicho artículo? Ejercicio 4: El precio de lista de una máquina es de $ 750, pero su precio de venta es de $697.50 Qué bonificación recibió el cliente? RECARGO: Es un porcentaje que se le suma a una determinada cantidad. En el comercio, el recargo tiene lugar generalmente en las ventas a plazos. Precio de lista + recargo = precio de venta Ejercicio 5: a) Un artículo cuyo precio de venta al contado es de $ 6.300, sufre un recargo del 12 % si se lo vende a plazos. Cuál es su precio final? Ejercicio 6: a) Una maquinaria adquirida en cuotas tiene un precio total de $ 4.882,50. Si se sabe que sufrió un recargo del 5 % Cuál era su precio de lista? 2
PRORRATEO: Se denomina prorrateo al reparto de una cantidad entre otras, en forma proporcional. Se pueden señalar múltiples aplicaciones prácticas del prorrateo: a) en Sociedades Comerciales: distribución de utilidades o absorción de pérdidas en proporción al aporte de cada socio: b) en Cooperativas: distribución de los excedentes en función del uso de los servicios efectuados por cada socio; c) Liquidación de expensas: La administración de un edificio liquida en forma mensual las expensas, teniendo como datos: el gasto total efectuado en ese edificio durante un mes determinado, y el porcentaje que cada departamento tiene asignado, en función de su superficie en m². CAPITALIZACIÓN: El objetivo básico de la Matemática Financiera es estudiar la variación de un capital durante un plazo, por la realización de una operación financiera, en la cual una de las partes provee los fondos (en general, dinero en efectivo), y la otra, los toma. La operación financiera más simple es aquella en la alguien le cede a un tercero una suma de dinero, que éste debe devolver, pagando una diferencia de valor, por el uso de ella durante el plazo de la operación, al final del tiempo convenido. Este concepto lo encontramos en: un depósito bancario a plazo fijo, un préstamo, etc. Por lo tanto, si se tiene un determinado capital y se desea saber qué valor adquirirá dentro de un cierto tiempo, debemos tener en cuenta: - el tiempo durante el cual dicho capital se encuentra colocado - la tasa de interés que nos pagan por facilitar dicho capital a terceros ( Bancos, particulares, entidades financieras, etc) El valor que dicho capital adquiere luego del tiempo transcurrido, y a una tasa determinada, recibe el nombre de CAPITAL FINAL o MONTO, y es el capital inicialmente colocado más los intereses que el mismo produjo. Capitalización Cn = C₀ + I C₀ Cn Capital Inicial n Capital final o Monto Esta operación, que consiste en modificar una suma inicial de dinero debido a la acción del tiempo y de la tasa de interés, recibe el nombre de CAPITALIZACION. Los intereses producidos por un capital pueden calcularse de dos maneras diferentes: Sobre el capital inicialmente invertido (Interés simple) Sobre el monto al final de cada período, o sea sobre el capital formado por la suma inicial depositada, más los intereses que produjo dicha suma (Interés compuesto) INTERÉS SIMPLE: En una operación comercial, se denomina Interés al beneficio que recibe una de las partes por haber dado en préstamo a la otra una determinada suma de dinero, durante un cierto tiempo, y una tasa de interés dada. Abreviaturas: C 0 = Capital inicial C n = Capital final o Monto I = Interés t = tiempo durante el cual se presta C 3
r = razón ó % Fórmula de Interés Simple: r Reemplazando i y 100 t ut ut = unidad de tiempo (360, 12, etc.) C0 r. t I. 100. ut n, resulta: I = C 0. i. n (Recordar: el plazo de la operación ( t ), la tasa ( anual, mensual, etc.) y la unidad de tiempo, deben coincidir) Ejemplo 1 : Calcular el interés producido por un capital de $100.000 que estuvo colocado durante 8 meses al 2 % mensual. C. 0 r. t 100000.2.8 I 16000$ 100. ut 100.1 ó I = C 0. i. n = 100.000. 0,02. 8 = 16.000 $ Ejemplo 2: Se realiza un depósito a plazo fijo de $1.000 por un plazo de 30 días, a una tasa del 10 % anual. Calcular el monto obtenido. C 0 = $1.000 Cn = C 0 + C 0. i. n i = 0,10 Cn = 1.000 + 1.000. 0,10. 0,083 n = 30/360 = 0,083 Cn = 1.000 + 8,3 Cn = 1.008,3 Ejercicio 8: Cuál es el interés que producen $ 14.500 en 3 meses al 20 % anual? Ejercicio 9: Cuál es el interés de $ 34.000, colocados 15 meses al 12 % semestral? Ejercicio 10: Cuál es el interés producido por un Capital de $14.800 en 7 meses y 10 días al 18 % anual? Ejercicio 11: Realizamos un depósito a plazo fijo de $ 5.000 por un plazo de 30 días a una tasa de interés del 12 % anual, y reinvertimos el capital por otro período y luego por otro más, totalizando 90 días. cuál será el interés total? Fórmulas derivadas de la fórmula de Interés: Capital inicial: I ut C..100 0 r. t ó I C 0 i. n Razón: Tiempo: I. ut.100 r ó C. t 0 I. ut.100 t ó C. r 0 i n I C 0. I C n 0. i Ejercicio 12: Cuál será el capital que colocado al 5 % anual produjo al cabo de 6 meses, $135,40 de interés? 4
Ejercicio 13: Calcular en cuánto tiempo se gana un interés de $ 36.000, con un capital inicial de $ 75.000, que gana intereses del 8 % cuatrimestral. Ejercicio 14: A qué tasa semestral de interés se colocó un capital de $ 67.500, que en 3 añosa se incrementó en $40.500? Ejercicio 15: Calcular el capital que en 5 meses y 20 días produce $1.020 de interés al 18 % anual. Ejercicio 16: A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $46.885 que en 7 meses y 15 días se incrementó en $7.032,75? Ejercicio 17: Cuánto tiempo debe permanecer depositado un capital de $30.000 colocado al 24 % anual para ganar $8.400 de interés? TASAS PROPORCIONALES: En el interés simple, se llaman tasas proporcionales aquellas que expresadas en tiempos distintos, producen igual interés: Ejemplo: Calcular el interés que producen $70.000 durante 6 meses a) al 12 % semestral b) al 6% trimestral c) al 24 % anual Ejemplos de tasas proporcionales: *30 % anual, 15 % semestral, 10 % cuatrimestral, 7,5 % trimestral, 5 % bimestral, 2,5 % mensual *24 % anual, 12 % semestral, 8 % cuatrimestral, 6 % trimestral, 4 % bimestral, 2 % mensual. MONTO A INTERES SIMPLE: Monto es la suma del capital inicial más los intereses producidos por el mismo: C n = C 0 + I C n = C 0 + C 0. i. n C n = C 0 ( 1 + i. n ) Ejercicio 18: El 15 de abril se colocan $32.000 al 21 % anual. Determinar el total retirado el 15 de diciembre. Ejercicio 19: Cuál es la tasa semestral de interés que en 15 meses transforma $36.000 en $46.800? Ejercicio 20: En cuánto tiempo un capital de $30.000 se convierte en $40.800 si se coloca al 12 % semestral? Ejercicio 21: Se tiene un capital de $8.000 y otro de $12.000 que se colocan en distintos lugares. El primer capital gana el 20 % anual, permaneciendo colocado durante 9 meses. Cuántos meses debe estar colocado el segundo capital para que, en conjunto, se obtenga un monto de $23.840? Ejercicio 22: Cuál es el capital que dio origen a $100.000 en 4 meses y 20 días, ganando el 5
20 % anual de interés? Ejercicio 23: El 20 de mayo se efectuó un depósito de $ 25.000 en una institución de crédito que paga el 24 % anual de intereses. El día 28 de octubre se retira el capital depositado con sus respectivos intereses. A cuánto asciende esa suma? Ejercicio 24: A qué tasa anual de interés fue necesario colocar $42.000 para que en 15 meses se convirtieran en $53.287,50? Ejercicio 25: En cuánto tiempo se duplican $28.000 que se colocaron al 22 % anual? Ejercicio 26: Un capital colocado al 20 % anual produce en 9 meses, $600 más de monto que si se lo coloca al 24 % anual durante 180 días. Determinar ese capital. Ejercicio 27: Una persona posee $ 27.000. Las 2/3 partes de ese capital consigue colocarlas al 24 % anual durante 6 meses, mientras que el resto lo coloca al 20 % anual durante un período de tiempo tal que, finalizado el mismo, se obtiene una ganancia total de $ 3.510. Cuál es el tiempo de colocación del tercio del capital inicial? Ejercicio 28: Se tienen dos capitales de $ 10.000 y $ 15.000 respectivamente; el primero se coloca durante 9 meses al 18 % anual, mientras que el segundo se coloca durante medio año a una tasa de interés tal que, al final del plazo, el interés ganado asciende en total a $ 2.850. Cuál es la tasa de interés a la que se colocó el segundo capital? 6
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