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Ciencias Plan Común Física LIBCES001FS-A10V1
Han colaborado en esta edición: Subdirectora Académica Paulina Núñez Lagos Directora PSU y Programas Consolidados Patricia Valdés Arroyo Equipo Editorial Mauricio Romero Leamann Antonio Quinchanao Ortega Diseño Gráfico y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Diseño de Portada Vania Muñoz Díaz Autor : Preuniversitarios Cpech. N de Inscripción : 238.243 del 31 de Enero de 2014. Derechos exclusivos : Cpech S.A. Cpech Preuniversitarios 4 PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Año Impresión 2014 Impreso en QUADGRAPHICS CHILE S.A.
Índice Capítulo1: Introducción a la Física 13 1. Magnitudes físicas fundamentales y derivadas... 14 2. Sistemas de unidades... 15 3. Análisis dimensional... 16 4. Análisis vectorial... 20 4.1 Vector... 20 4.1.1 Características de un vector... 21 4.1.2 Representación de un vector en un sistema de coordenadas... 21 4.1.3 Vectores unitarios... 22 4.1.4 Operaciones entre vectores... 23 Capítulo 2: El movimiento 31 1. Descripción del movimiento... 32 1.1 Velocidad y rapidez... 35 1.2 Aceleración... 37 1.2.1 Aceleración media... 37 1.3 Clasificación de los movimientos... 39 1.3.1 Movimiento rectilíneo... 39 1.4 Movimientos verticales... 45 1.4.1 Caída libre... 45 1.4.2 Lanzamiento hacia arriba... 46 1.5 Movimiento relativo... 48 2. Fuerza y movimiento... 50 2.1 Fuerza y masa... 51 2.2 Leyes de Newton... 51 2.2.1 Sistema de referencia... 54 2.3 Diagrama de cuerpo libre... 54 2.4 Fuerzas mecánicas... 55 2.4.1 Peso... 55 2.4.2 Fuerza normal... 57 2.4.3 Tensión... 58 2.4.4 Fuerza de roce... 59 2.4.5 Fuerza elástica... 62 2.5 Torque... 65 Cpech Preuniversitarios 5
2.6 Estática y equilibrio... 67 2.7 Impulso y cantidad de movimiento... 68 2.7.1 El momentum y su conservación... 69 2.8 Choques... 71 2.8.1 Tipos de choques... 72 Capítulo 3: La energía 81 1. Trabajo mecánico... 82 2. Potencia mecánica... 87 2.1 Relación entre potencia y velocidad... 88 3. Teorema trabajo energía... 91 4. Energía cinética... 92 5. Energía potencial... 93 5.1 Energía potencial gravitatoria... 94 5.1.1 Trabajo realizado por la energía potencial gravitatoria... 94 5.2 Energía potencial elástica... 96 5.2.1 Trabajo realizado por la energía potencial elástica... 96 6. Energía mecánica... 97 6.1 Conservación de la energía mecánica... 97 6.1.1 Principio de conservación de la energía mecánica... 98 6.1.2 Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas... 99 Capítulo 4: El sonido y la luz 111 1. Vibración y sonido... 112 1.1 Oscilaciones... 112 1.2 Ondas... 114 1.2.1 Clasificación de las ondas... 114 1.2.2 Representación gráfica de una onda... 117 1.2.3 Velocidad de propagación... 117 1.3 Fenómenos ondulatorios... 118 Cpech Preuniversitarios 6 2. Ondas y sonido... 121 2.1 Características del sonido... 122 2.2 Fenómenos ondulatorios asociados al sonido... 124 2.3 El oído... 128 2.3.1 Recepción del sonido... 128 2.3.2 Estructura del oído... 128 2.3.3 Transmisión de ondas sonoras... 129
3. La luz... 130 3.1 Propagación de la luz... 130 3.2 Velocidad de la luz... 131 3.3 Transmisión de la luz... 132 3.4 Reflexión de la luz... 132 3.5 Rayos principales para los espejos esféricos... 135 3.6 Formación de imágenes en espejos esféricos... 135 3.6.1 Espejo concavo... 135 3.6.2 Espejo convexo... 136 3.7 Refracción de la luz... 137 3.8 Lentes esféricas... 138 3.9 Recepción de imágenes por el ojo humano... 139 3.10 Reflexión interna total de la luz... 140 3.11 Absorción de la luz... 140 3.12 Difracción... 141 3.13 Interferencia... 142 4. Naturaleza de la luz ondulatoria o corpuscular?... 142 4.1 Por qué percibimos los objetos de diferentes colores?... 143 4.2 Qué es un rayo láser?... 144 4.3 Instrumentos ópticos... 144 Capítulo 5: La electricidad 157 1. Electrostática... 158 1.1 Carga eléctrica... 158 1.2 Materiales eléctricos... 160 1.3 Métodos de carga eléctrica... 160 1.4 Condensadores... 164 2. Electrodinámica... 164 2.1 Corriente eléctrica... 165 2.2 Ley de Ohm... 165 2.2.1 Resistencia eléctrica... 166 2.2.2 Resistencia y temperatura... 167 2.2.3 El significado energético de la Ley de Ohm... 168 2.3 Circuitos de corriente continua... 169 2.3.1 Disposición de resistencias... 169 2.4 Elementos de un circuito... 172 2.4.1 Fuerza electromotriz de un generador... 172 2.5 Potencia eléctrica... 173 2.6 Energía eléctrica... 173 2.7 Ley de Joule... 174 3. Generación de energía eléctrica... 175 3.1 Centrales Hidroeléctricas... 176 3.2 Centrales Termoeléctricas... 177 3.3 Centrales Eólicas... 178 Cpech Preuniversitarios 7
3.4 Centrales Nucleares... 179 3.5 Centrales Fotovoltaicas... 180 3.6 Centrales Solares... 181 3.7 Centrales Geotérmicas... 181 3.8 Centrales Maremotrices... 183 Capítulo 6: magnetismo 189 1. Polos magnéticos... 191 1.1 Funcionamiento de los imanes... 191 1.2 Materiales magnéticos... 191 2. Campo magnético... 192 2.1 Campo magnético terrestre... 192 2.2 La brújula... 193 2.3 Campo magnético generado por una corriente eléctrica... 193 2.4 Relación entre intensidad de campo y corriente eléctrica... 194 2.5 Corriente eléctrica producida por un campo magnético variable... 195 Capítulo 7: El calor 201 1. El calor y la temperatura... 202 1.1 Medición de la temperatura... 203 1.2 Escalas termométricas... 205 1.3 Dilatación térmica... 208 2. Materiales y calor... 209 2.1 Capacidad calórica y calor específico... 210 2.2 Principio de Regnault... 211 2.3 Transmisión del calor... 212 2.4 Cambios de estado (Fase)... 215 2.4.1 Estados de la materia... 215 2.4.2 Calor latente de cambio de fase... 216 2.4.3 Leyes del cambio de fase... 217 2.5 Equivalente mecánico del calor... 223 2.6 Transformaciones de energía y su conservación... 225 2.7 Los recursos energéticos... 226 2.8 Roce y calor... 226 Cpech Preuniversitarios 8
Capítulo 8: La tierra y su entorno 231 1. Morfología de la Tierra... 232 1.1 Nacimiento de la Tierra... 232 1.2 Estructura de la Tierra... 234 1.3 Características de la Tierra... 234 1.4 Imán terrestre... 234 1.5 Composición de la Tierra... 235 1.6 Estructura de la Tierra... 236 1.7 La atmósfera... 237 1.8 La hidrosfera... 238 1.9 Ciclo del agua... 239 1.10 Formación de los continentes... 240 2. El dinamismo del planeta... 241 2.1 Interacción entre las placas... 241 2.2 Procesos modeladores del relieve terrestre... 242 2.3 Los sismos... 245 2.3.1 Magnitud de Escala Richter... 247 2.3.2 Intensidad en Escala de Mercalli... 248 2.3.3 Comportamiento de las ondas sísmicas en las rocas... 250 2.3.4 Actividad sísmica en Chile... 251 2.4 Clasificación de edificios y estructuras... 251 3. Contaminación... 253 3.1 Un ser enfermo Cómo cuidar La Tierra?... 253 3.2 Identificando el virus... 253 3.3 Lluvia ácida... 255 3.4 Existe remedio para esta enfermedad?... 256 Capítulo 9: La vía láctea y el sistema solar 261 1. El origen del universo... 262 2. Las estrellas... 264 2.1 El Sol... 265 3. Las galaxias... 266 4. La Vía Láctea... 267 5. El sistema solar... 268 5.1 Desarrollo histórico del conocimiento del sistema solar... 268 5.2 Características del sistema solar... 269 5.3 Los planetas y sus características... 270 5.3.1 Nuevos y viejos planetas... 272 5.4 Leyes que rigen el sistema solar... 273 Cpech Preuniversitarios 9
5.4.1 Leyes de Kepler... 273 5.4.2 Ley de gravitación universal de Newton... 274 5.5 Los movimientos de la Tierra... 274 6. La Luna, nuestro satélite natural... 275 6.1 Las fases de la Luna... 275 6.2 Los eclipses... 276 6.3 Las mareas... 277 6.4 El origen de la Luna... 277 SIMBOLOGÍA DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS 283 Cpech Preuniversitarios 10
PRESENTACIÓN Con el propósito de ayudarte en la adecuada preparación de la PSU de Ciencias Básicas Física, te invitamos a iniciar un recorrido por las páginas de este libro. En sus capítulos, encontrarás el desarrollo de los contenidos establecidos por el DEMRE Departamento de Evaluación, Medición y Registro Estudiantil para el currículo de esta área. Con el fin de complementar tu proceso de aprendizaje, este libro contiene una serie de iconos didácticos que te indicarán distintas estrategias para optimizar tu modelo de lectura y análisis de los temas que se incluyen. Finalmente encontrarás resolución detallada de algunos problemas, actividades adicionales para resolver y ejercitación PSU en cada capítulo. Es importante que recuerdes que la Prueba de Selección Universitaria (PSU) mide, además, la integración de los contenidos dentro de la transversalidad del conocimiento, es decir, evalúa ciertas destrezas cognitivas (habilidades), necesarias para resolver cada problema. Con el propósito de orientarte en los procesos cognitivos que se evalúan, en la página siguiente te presentamos las habilidades consideradas en la PSU, de modo que durante la ejercitación de cada capítulo identifiques qué habilidad se desarrolla y potencies así tu capacidad de resolución. Cpech Preuniversitarios 11
Cpech Preuniversitarios Física Plan Común 12 Habilidades evaluadas Reconocimiento: Reconocer información explícita que no implica un mayor manejo de contenidos, sólo recordar información específica, definiciones, hechos. Comprensión: Además del conocimiento explícito de la información, ésta debe ser relacionada para manejar el contenido evaluado, interpretando información en un contexto distinto al que se aprendió. Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los contenidos asimilados a la resolución de problemas. En ciencias permite llevar el conocimiento científico a la vida diaria. ASE (Análisis, Síntesis y Evaluación): Es la más compleja de las habilidades evaluadas. Implica reconocer, comprender, interpretar e inferir información a partir de datos que no necesariamente son de conocimiento directo, y que exige reconocer las partes que forman un todo y las relaciones de causalidad entre ellas. Íconos didácticos Conceptos fundamentales Actividades Sabías que... Ojo con Ejercicios PSU Síntesis de contenidos Indica aquellos conceptos importantes referidos al capítulo, que no debes olvidar ni confundir. Indica recursos didácticos que con una estructura distinta a un ejercicio PSU te ayudarán a aplicar los conceptos. Indica relaciones importantes respecto a la aplicación real de contenidos, con la finalidad de que los asocies de manera didáctica. Indica datos relevantes que debes manejar respecto a un contenido. Indica, aquellos ejercicios que reproducen la misma estructura de una pregunta PSU. Encontrarás la habilidad evaluada en cada ejercicio. Indica el desarrollo de un esquema de contenido a través del cual se sintetizan los contenidos más relevantes de uno o más temas y/o de un capítulo.
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA Aprendizajes Esperados APRENDIZAJES ESPERADOS Al completar la unidad, alumnos y alumnas podrán: Relacionar magnitudes físicas con sus respectivas unidades de medida. Transformar unidades.
1 capítulo Sabías que... En el año 1960, durante la undécima conferencia general de pesos y medidas, se creó el Sistema Internacional de Unidades (S.I.). La Física se encuentra entre las llamadas ciencias naturales, porque comprende el estudio de los diferentes procesos y comportamientos que se dan en la naturaleza y que no implican reacciones químicas. Introducción a la física Etimológicamente, la palabra física proviene de Physis, que significa naturaleza. La Física es la ciencia dedicada al estudio de los componentes de la materia y sus interacciones mutuas, con el objetivo de predecir los fenómenos naturales. Uno de los primeros científicos europeos en expresar públicamente que el conocimiento debe basarse en la observación y el experimento, en vez de los antiguos escritos, fue Galileo Galilei (1564-1642). Él tenía dudas de la física de Aristóteles, especialmente sobre la idea de que los objetos con mayor masa caen más rápidamente que los de menor masa. Para demostrar su punto de vista, Galileo utilizó un método sistemático: el método científico. Este método se basa en la experimentación sistemática, incluyendo la medición cuidadosa y el análisis de los resultados. De este análisis se derivan, entonces, las conclusiones, que se someten a pruebas adicionales para determinar si son válidas o no, proceso que nos permite acumular información que será utilizada para formular una ley física o proponer una teoría. Desde la época de Galileo, los científicos de todo el mundo han utilizado este método para entender mejor el Universo. 1. Magnitudes físicas: fundamentales y derivadas Magnitudes físicas: Es todo aquello que se puede medir. Magnitudes fundamentales: Son aquellas que no pueden ser definidas o expresadas a partir de otras, tales como longitud, masa y tiempo. Magnitudes derivadas: Son aquellas magnitudes que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales, por ejemplo, velocidad, fuerza, aceleración, etc. Nacen de la combinación de una o más magnitudes fundamentales. 14 Ejemplo Superficie = Longitud Longitud Longitud Velocidad = Tiempo
Capítulo 1 Introducción a la física Fuerza = Masa Frecuencia = Longitud (Tiempo) 2 1 Tiempo 2. Sistema de unidades Es un conjunto mínimo de magnitudes fundamentales y derivadas, cuya unidad o patrón es arbitraria pero invariable, con las cuales se puede dar una descripción cuantitativa consistente y precisa de todas las magnitudes de la física. En cada sistema de unidades el valor numérico de la magnitud será diferente, pues las unidades elegidas son distintas. Es importante notar que la elección es arbitraria. a. Sistemas más usados - Sistema Internacional (S.I.) - Sistema cegesimal (C.G.S.) Sabías que... El primer patrón de medida de longitud lo estableció Enrique de Inglaterra, quien llamó yarda a la distancia entre su nariz y el dedo pulgar. En el Reino Unido y en las antiguas colonias británicas, se utiliza el sistema inglés, cuyas unidades básicas son: el pie para la longitud, la libra para la masa y el segundo para el tiempo. b. Definición de las unidades fundamentales del Sistema Internacional. Longitud: Se mide en metros, y se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1 de un segundo. 299.792.458 Otras unidades de longitud que no corresponden al S.I. son: 1 milla marina = 1.852 [m] 1 milla terrestre = 1.609 [m] 1 kilómetro = 1.000 [m] 1 pie = 30,48 [cm] 1 yarda = 91,44 [cm] 1 micrón =1[µ] = 10 6 [m] 1 pulgada = 2,54 [cm] 1 angstrom =1[Å] = 10 10 [m] Masa: Se mide en kilogramo, y se define como la masa de un cilindro compuesto de una aleación de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas cerca de París. Equivale a la masa de 1 [dm 3 ] de agua destilada, a 4 C. Otras unidades de masa que no corresponden al S.I. son: 1 libra = 454 [g] 1 onza = 28,35 [g] 1 slug = 14,59 [kg] 1 tonelada = 1.000 [kg] 1 u.t.m. = unidad técnica de masa = 9,8 [kg] 15
1 capítulo 16 En cualquier ecuación física las dimensiones de todos los términos que se igualan, suman o restan deben ser iguales. Temperatura: Se mide en Kelvin, y se define como la fracción 1 de la temperatura correspondiente al triple punto del 273,16 agua. Cantidad de Sustancia: Se mide en Mol, y se define como la cantidad de sustancia que contiene el Número de Avogadro, N A, de moléculas. El número de Avogadro se define de manera que una mole de átomo de Carbono 12 tenga una masa exactamente de 12[g]. Se ha determinado que 23 moléculas N A = 6,02 10 mol. Tiempo: Se mide en Segundo, y se define como el tiempo ocupado por 9.192.641.770 vibraciones de la radiación de una longitud de onda específica emitida por un átomo de Cesio 133. 1 minuto = 60 [s] 1 hora = 3.600 [s] 1 día = 86.400 [s] Intensidad luminosa: Se mide en Candela, y se define como la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 10 12 Hertz y que tenga una intensidad radiante de 1 Watt por 683 estereoradián. Intensidad de corriente: Se mide en Ampere, y se define como la intensidad de corriente que circula por dos conductores paralelos infinitamente largos y muy delgados, separados por un metro entre sí y que produce entre ellos una fuerza de 2 10 7 Newton por unidad de longitud. 3. Análisis dimensional El análisis dimensional está asociado a la naturaleza de una magnitud derivada. La dimensión de esta magnitud física derivada puede expresarse siempre como una combinación algebraica de las magnitudes fundamentales de las cuales deriva. Los símbolos empleados en este libro para especificar longitud, masa y tiempo son L, M y T, respectivamente. A menudo se emplean corchetes [ ] para indicar las dimensiones de la cantidad física analizada. Ejemplo Energía = Fuerza = [M] [L]2 [T] 2 = [M] [L] 2 [T] 2 [M] [L] [T] 2 = [M] [L] [T] 2
Capítulo 1 Introducción a la física Magnitudes fundamentales y sus unidades en el S.I. Magnitud Unidad Símbolo Longitud Masa Tiempo Temperatura termodinámica Intensidad de corriente eléctrica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa metro kilogramo segundo kelvin ampere mol candela [m] [kg] [s] [K] [A] [mol] [Cd] Algunas magnitudes derivadas y sus unidades en el sistema S.I Magnitud Símbolo Nombre Equivalencia/Obs Área [m 2 ] Metro cuadrado Múltiplos y submúltiplos varían de 100 en 100. Área (Agricultura) Volumen [ha] [m 3 ] Hectárea Metro Cúbico (100 100) [m 2 ] múltiplo y submúltiplo varían de 1.000 en 1.000. Capacidad (volumen) [L] 1 Litro 1 [L] = 1[dm 3 ] 1 [L] = 1.000 [cm 3 ] (c.c.) 1 [m 3 ] = 1.000 [L] 1 [galón] = 4,546 [L] 1 [pie 3 ] = 0,028316 [m 3 ] Densidad [ kg m ] 3 D = m V = masa volumen g Es más usual [ cm ] 3 Rapidez Media [ m s ] V = x t = dist. recorrida tiempo empleado Aceleración [ m s 2 ] a = v t = velocidad tiempo Otras unidades. Se supone un movimiento uniforme con rapidez constante.= [ km h ] ; [ m h ] Otras unidades [ cm s 2 ] ; [ m min 2] 17
1 capítulo 18 Fuerza Energía, trabajo y calor Potencia Presión Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Capacitancia Flujo magnético Frecuencia [km] [hm] [dam] [m] [dm] [cm] [mm] [kg] [hg] [dag] [g] [dg] [cg] [mg] Magnitudes derivadas con nombres especiales Magnitud Unidad Símbolo newton joule watt pascal coulomb volt ohm farad weber hertz Equivalencias entre unidades de longitud [N] = [kg m/s 2 ] [J] = [N m] [W] = [J/s] [Pa] = [N/m 2 ] [C] = [A s] [V] = [W/A] [Ω] = [V/A] [F] = [A s/v] [Wb] = [V s] [Hz] = [1/s] [km] [hm] [dam] [m] [dm] [cm] [mm] 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 2 10 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 3 10 2 10 1 10 1 10 2 10 3 Equivalencias entre unidades de masa [kg] [hg] [dag] [g] [dg] [cg] [mg] 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 2 10 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 3 10 2 10 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 3 10 2 10 1 10 1 10 2 10 4 10 3 10 2 10 1 10 1 10 2 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 1 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 1 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1
Capítulo 1 Introducción a la física Equivalencias entre unidades de tiempo [h] [min] [s] [h] 1 60 3.600 [min] 1/60 1 60 [s] 1/3600 1/60 1 Ejemplo Un cohete demora 3 días exactos en llegar a la Luna. Si la distancia recorrida es de 384.000 [km], calcular la rapidez en unidades del sistema S.I., C.G.S., y en [km/h]. Nota: Rapidez = Distancia Tiempo Solución: El problema se reduce en hacer la transformación de unidades para la rapidez del cohete que, en este caso, vale: 384.000 [km] V c = = 128.000 3[dia] [ km dia ] - Sistema internacional 128.000 [km] 128.000.000 [m] 1[día] 86.400 [s] V c = 128 106 86.400 [ m s ] = 1.481,5 [ m s ] - Sistema C.G.S. En [ km h ] 1 [día] = 24 [h] 1 [km] =100.000 [cm] 128.000 [km] 128.000 100.000 [cm] 128.000 [km] 128 10 3 10 5 =128 10 8 [cm] V c = 128 108 [cm] 86.400 [s] = 148.148,1 [ cm s ] V c = 128.000 24 [ km h ] = 5.333,3 [ km h ] 19
1 capítulo 20 4. Análisis vectorial Hasta el siglo XIX los matemáticos no conocían los vectores. Fueron los físicos quienes los necesitaron primero. En efecto, algunas magnitudes físicas son cercanas a la noción del vector. Una velocidad, por ejemplo, se define por su dirección, su sentido y su magnitud (su intensidad). Ahora bien, cómo hacer cálculos sin una teoría matemática que los respalde? Los físicos descubrieron algunas reglas esenciales, como la suma, resta, multiplicación, entre otras que consideraremos a continuación. a. Magnitudes escalares Son aquellas que sólo tienen módulo más la unidad de medida. Por ejemplo: longitud, tiempo, densidad, área y energía. b. Magnitudes vectoriales Son aquellas que, además de módulo y unidad de medida, poseen dirección y sentido. Por ejemplo: desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza. De esta forma, se habla entonces de que un auto viaja a 100 [km/h] en dirección Norte Sur, sentido Sur, por ejemplo. 4.1 Vector Un vector está representado por un segmento de recta orientada, es decir, posee un sentido señalado mediante una flecha. Un vector está definido por su dirección, su sentido y su extensión. A corresponde el origen del vector y B a su extremo. Ejemplo y 2 y 1 y El cambio de posición de una partícula en el plano representa el vector desplazamiento. y 2 y 1 y A A d x 1 (x 2 x 1 ) B x 2 B x (y 2 y 1 ) x x 1 x 2
Capítulo 1 Introducción a la física Aplicando el Teorema de Pitágoras, se puede calcular la magnitud del vector. d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 4.1.1 Características de un vector - La longitud de la flecha representa el módulo o magnitud del vector - La línea sobre la que se encuentra es la dirección del vector. - El sentido es el indicado por la flecha. Punto de aplicación sentido Dirección Módulo o magnitud 4.1.2 Representación de un vector en un sistema de coordenadas Las magnitudes vectoriales se designan normalmente mediante una letra con una pequeña flecha sobre ellas (ejemplo: a ) Los vectores se representan uniendo el origen del sistema con un punto en el plano, por lo que podemos establecer una asociación entre los pares ordenados y los vectores. y a = (x0, y 0 ) y 0 a a x x 0 En este caso, podemos verificar: - Magnitud del vector (o módulo) a = x 0 2 + y 0 2 = a Ejemplo a = ( 2,3) a = ( 2) 2 + 3 2 = 13 21
1 capítulo 22 - La dirección del vector corresponde al ángulo α entre el vector a y el eje x. y a - El sentido del vector queda definido por la punta de flecha (hacia donde apunta la flecha). 4.1.3 Vectores unitarios Consideremos un vector cualquiera a = (x 0, y 0 ). Éste se puede descomponer como sigue: a = (x0, y 0 ) = (x 0, 0) + (0, y ) 0 = x 0 (1, 0) + y (0, 1) 0 Donde x 0 e y 0 son escalares que multiplican a los vectores (1,0) y (0,1), si llamamos i^= (1,0) j^= (0,1) entonces: a = x0 i^+ Y 0 j^ Se ve que: i^ = (1,0) = 1 2 + 0 2 =1 j^ = (0,1) = 0 2 + 1 2 =1 α Por esta razón a i^ y j^ se denominan vectores unitarios. La representación gráfica de esto es: y 0 j^ y 1 i^ a 1 x 0 x x Formas de escribir un vector: a = a x i^+ a y j^ a = (a x, a y )
Capítulo 1 Introducción a la física 4.1.4 Operaciones entre vectores a. Igualdad de dos vectores y Dos vectores son iguales si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. Dos vectores con todas sus características iguales son iguales a pesar de no ser coincidentes, ya que al trasladarlos al origen sus extremos corresponden al mismo par ordenado. F E B O b P P O P = OP si y sólo si: a = b OA = CD OB = EF α O C A D x b. Multiplicación por un escalar (ponderación) Sea a = (x 0,y 0 ) un vector y K un escalar, su ponderación es K a = K (x 0, y 0 ) = (K x 0, K y 0 ) El producto de un escalar (K) por un vector da como resultado: Para K > 0, el vector K a tiene la misma dirección y sentido que el vector a. Decimos que K a es paralelo con a. Por lo tanto se observan las figuras 1 y 2. Si K < 0, el vector K a tiene misma dirección pero sentido opuesto al vector a, ver figura 3. y 1 K > 1 y 2 0 < K < 1 K y 0 P y 0 (x 0, y 0 ) K a a y 0 a (x 0, y 0 ) K y 0 K a 0 x 0 K x 0 x 0 K x 0 x 0 x y y 0 K x 0 0 K a 3 K < 0 a x 0 (x 0, y 0 ) x Conceptos fundamentales K > 1 Mismo sentido y dirección. 0 < K < 1 Mismo sentido y dirección. K < 0 Misma dirección, cambia sentido. 23 (K x 0, K y 0 ) K y 0
1 capítulo 24 c. Suma de vectores La suma de dos o más vectores da como resultado otro vector llamado vector suma o resultante. Existen distintos métodos para realizar esta suma: Método del polígono: Las flechas que representan a los vectores se colocan de modo que sus orígenes coincidan con el extremo del vector anterior. El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último. Ejemplo a d b r = a + b + c + d c Método del paralelógramo: Dados dos vectores, se forma un paralelogramo que tenga por lados adyacentes los vectores a sumar. El vector resultante corresponde a la diagonal que parte del origen común. Ejemplo a b a b a b a + b Método analítico: Si se conocen los pares ordenados de los distintos vectores por sumar, el par ordenado del vector resultante se obtiene sumando las abscisas y ordenadas respectivas de cada vector. y 1 + y 2 y 1 y 2 0 y a a + b b x 1 x 2 x 1 + x 2 r x c d
Capítulo 1 Introducción a la física Sea: a = (x 1, y 1 ) b = (x 2, y 2 ) Entonces: a + b = (x1 + x 2, y 1 + y 2 ) d. Resta de vectores Para restar un vector con otro, al primero se le suma el opuesto del segundo. c = a - b = a + (- b ) Para restar el vector a con el vector b se utiliza el método del triángulo o del paralelógramo. a b Método del triángulo Se invierte el sentido b obteniéndose el vector - b = (opuesto de b ) - b a a + b Método del paralelógramo a a + b - b e. Producto de vectores Producto punto ( a b ) : El producto punto interno o escalar entre a y b se obtiene de: a b = a b cos a Una característica importante de esta operación es que al efectuar el producto punto entre los vectores a y b, el resultado es siempre un escalar. 25
1 capítulo 26 Otra manera de efectuar la misma operación es la siguiente: Si a = (x 1, y 1 ) y b = (x 2, y 2 ), entonces a b = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Ejemplo 1: a b = x1 x 2 + y 1 y 2 Para los vectores a = (1,1) y b = (2,0) encontrar a b Solución a b = (1,1) (2,0) = 1 2 + 1 0 = 2 + 0 = 2 Se llega al mismo resultado si se hace por medio de la expresión inicial Pues a = 45 cos a = 1 2 a = 1 2 + 1 2 = 2 b = 2 2 + 0 2 = 2 a b = 2 2 1 2 = 2 1 0 a b = a b cos a y 45º a b 1 2 x
Capítulo 1 Introducción a la física Ejemplo 2: Sean los siguientes vectores a = (4,3) b =(8,6) Determinar: a. La suma de ellos b. El módulo de la suma c. Producto punto entre a y b Aplicación Física del Producto Punto Se define trabajo (W) como el producto punto entre la Fuerza y el desplazamiento. W = F d = F d cos a F a m d A B Solución a. a + b = (12,9) b. a + b = 144 + 81 = 15 c. a b = (4,3) (8,6) = 4 8 + 3 6 = 32 + 18 = 50 Conceptos fundamentales 1. Escalar: Es una magnitud que sólo tiene módulo (más la unidad de medida). 2. Vector: Es una magnitud que tiene módulo (más la unidad de medida), dirección y sentido. 27
1 capítulo Síntesis de contenidos Magnitudes físicas Sistema de unidades Fundamentales Más utilizadas en movimiento Menos utilizadas Derivadas dependen de las fundamentales por ejemplo... Sistema internacional (SI) Sistema cegesimal (CGS) Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T) Cantidad de sustancia Corriente eléctrica Intensidad lumínica Temperatura Velocidad Longitud Masa Tiempo m kg s Magnitudes Longitud Masa Tiempo cm g s Escalares (Número + unidad) Vectoriales (Módulo + dirección + sentido) Operaciones con vectores Posición Desplazamiento Velocidad Aceleración Fuerza Torque Momentum Impulso Suma Resta Ponderación Aceleración Módulo Producto punto Producto cruz (electivo) 28
Capítulo 1 Introducción a la física Ejercicios 1. 35 [ m g2 s ] Expresados en el Sistema Internacional es A) 3,5 10 5 [ m kg2 s ] B) 3,5 10 [ 3 m kg2 s ] C) 3,5 10 2 [ m kg2 s ] D) 3,5 10 3 [ m kg2 s ] E) 3,5 10 5 [ m kg2 s ] 2. 0,042 [ kg h cm ] Expresados en el sistema C.G.S. 2 es A) 15,12 [ g s cm 2 ] B) 151,2 [ g s cm 2 ] C) 1.512 [ g s cm 2 ] D) 15.120 [ g s cm 2 ] E) 151.200 [ g s cm 2 ] 3. Mediante análisis dimensional, determine las magnitudes físicas fundamentales que forman la expresión F D, donde F es fuerza, D es t distancia y t es tiempo A) [M] [L] [T] 2 B) [M] [L] 3 [T] 2 C) [M] [L] 2 [T] 3 D) [M] [L] 2 [T] 2 E) [M] [L] 3 [T] 3 4. Si [ ton2 h m [ 3 ]= x 80.000 kg2 s cm 3 ], entonces el valor de x es A) B) C) 8 5 9 200 1 100 D) 100 E) 1.000 5. Si a = (2,1); b = (0, 3) y c = (1,1) a + b 2 c = A) (0, 4) B) (3, 1) C) (1, 3) D) (0,4) E) (4,0) 6. Si a = 3 i^+ 4 j^; b = 2 j^y c = 3 i^ a + 2 b c = A) 6 i^+ 8 j^ B) 6 i^ 8 j^ C) 6 i^ D) 8 j^ E) - 8 j^ 29
1 capítulo 30 Ejercicios 7. Si a = 3 i^+ 6 j^ ; b = i^+ 2 j^ a b = A) 10 5 B) 5 5 C) 2 5 D) 5 E) 5 8. El módulo del vector representado en el gráfico es y A) 5 B) 4 3 C) 3 D) 4 4 x E) 5 9. El valor de k para que u = (k 5,1) y v = (3,1) sean iguales es A) 8 B) 5 C) 1 D) 3 E) 8 10. Si u = 1 m i^+ 3 2 j^, entonces el valor de m, para que u sea unitario (módulo 1) es A) ± 1 B) 0 C) ± 2 D) ± 1 2 E) ± 1 3 Respuestas correctas 10 C Aplicación 9 A Aplicación 8 E Aplicación 7 C Aplicación 6 D Aplicación 5 A Aplicación 4 B Aplicación 3 C Análisis 2 E Aplicación 1 A Aplicación Número Alternativa Habilidad
Capítulo 2 el movimiento Aprendizajes Esperados APRENDIZAJES ESPERADOS Al completar la unidad, alumnos y alumnas podrán: Describir el movimiento de un objeto en término de los conceptos físicos relevantes como velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, torque, energía, etc. Aplicar estos conceptos a situaciones de la vida cotidiana en que se manifiestan. Reconocer que con ayuda de unos pocos conceptos se pueden describir y entender realidades aparentemente complicadas (cómo y por qué se mueve un cuerpo, por ejemplo). Relacionar cualitativa y cuantitativamente efectos con causas (aceleración con fuerza, etc.).
2 En nuestras investigaciones del movimiento natural nos conduce, casi de la mano, la advertencia de la costumbre de la naturaleza que se sirve en todas las operaciones de los medios más primordiales y más sencillos. capítulo El movimiento 1. Descripción del movimiento Galileo Galilei Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones no influyen en el comportamiento del fenómeno que se quiere predecir. El comportamiento de todo lo que observamos en la naturaleza, incluso aquello que se encuentra fuera de nuestro planeta, tiene asociado algún tipo de movimiento. Así como el desplazamiento de las aves en el cielo o la carrera de un jaguar para cazar su presa, cada una de nuestras actividades, hasta la más cotidiana, tiene alguna connotación física con nuestro entorno. El estudio del movimiento, de sus causas y efectos es lo que hace a la física uno de los mejores puntos de vista científicos para analizar y predecir cada uno de estos fenómenos. Cinemática: La cinemática es aquella parte de la física que estudia los movimientos, sin atender a las causas que lo originan. Para abordar los conceptos cinemáticos generales, se hace necesario definir una serie de elementos físicos fundamentales. Se denomina posición de un punto P con respecto a algún sistema de referencia específico, al vector que abarca desde el origen de ese sistema de coordenadas hasta el punto P. Se denota generalmente como: r La posición de un determinado punto P dependerá del sistema de referencia elegido; es decir, del punto arbitrario a partir del cual tracemos nuestro sistema de coordenadas. y y P 0 r 1 0 r 2 x x 32 Normalmente, ante cualquier situación de análisis cinemático se define primero un sistema de referencia adecuado, el cual se mantiene fijo e invariable. A partir de esto, se dice que las posiciones quedan definidas de forma precisa respecto a ese sistema de referencia en particular. En otras palabras, el vector posición es un vector relativo al origen del sistema de coordenadas elegido. Para la figura, como 0 0 r 1 r2
Capítulo 2 El movimiento Un cuerpo corresponde a una partícula o punto material cuando sus dimensiones y orientación en el espacio son despreciables para la descripción particular del fenómeno que se analizará. Si un cuerpo o partícula varía su posición respecto a un mismo sistema de referencia arbitrario, se dice que éste ha efectuado un movimiento y, por lo tanto, que el cuerpo adquiere las características cinemáticas de un móvil. La curva que une las sucesivas posiciones instantáneas ocupadas por un móvil corresponde a su trayectoria. Todo cuerpo que manifiesta movimiento, independiente del sistema de referencia utilizado, describe una trayectoria. La distancia total recorrida por el móvil a lo largo de su trayectoria se refiere al camino recorrido o longitud de la trayectoria, desde el punto inicial al punto final. Corresponde a una magnitud escalar. Normalmente se denota por la letra S. Itinerario: Es la descripción del movimiento, que indica la posición de un móvil respecto al tiempo. Desde el punto de vista cinemático, se define como ecuación de itinerario a la expresión matemática que representa la posición instantánea del móvil. Posición Inicial: Corresponde al vector comprendido entre el origen del sistema de referencia y el punto de partida de un móvil. La posición inicial es el vector que indica el punto donde se inició el movimiento. Normalmente se denota por r i Posición Final: Es el vector comprendido entre el origen de un sistema de coordenadas y el punto de llegada del móvil. La posición final es el vector que indica el punto hasta el cual llegó el móvil. Normalmente se denota por r f El vector que abarca desde el punto de partida del móvil a su punto de llegada corresponde al desplazamiento. Este vector indica el cambio de posición del móvil entre los puntos inicial y final de su movimiento, independiente de la trayectoria utilizada. Normalmente se denota como d Analíticamente corresponde a d = r f ri = Δ r El vector posición inicial (como todos los vectores que se verán en cinemática) está referido a un sistema de coordenadas relativo, elegido previamente, por lo que, en general, para sistemas de referencia diferentes se tendrán vectores posición diferentes. A esto se refiere que al vector posición se lo caracterice como un vector relativo, pues depende del sistema de referencia elegido. Desplazamiento y distancia recorrida Cuando una partícula se mueve en una dirección, el desplazamiento puede resultar positivo, negativo o nulo. La distancia recorrida, en cambio, siempre es positiva y no necesariamente coincide con el desplazamiento de la partícula. x 0 Conceptos fundamentales distancia recorrida trayectoria desplazamiento El vector desplazamiento corresponde a un vector invariante del sistema de referencia. Por lo tanto, no depende del sistema de coordenadas utilizado, así como tampoco de la trayectoria descrita. x f 33
2 capítulo 34 Sabías que... Unidades de desplazamiento y de camino recorrido Pese a diferenciarse entre sí por ser una de magnitud vectorial y la otra escalar, dimensionalmente tanto el desplazamiento como el camino recorrido se representan en unidades de longitud. Esto es: S. I. : metro Sistema C.G.S. : centímetro Sabías que... El desplazamiento de un móvil corresponde al camino más corto entre dos puntos, no necesariamente al más rápido. Ya que cualquier vector puede ser representado analíticamente como par ordenado: r f = (bx, b y ) ; r i = (ax, a y ) Despejando d Es decir: r A + d = rb d = r B ra d = rf ri Por lo tanto, el vector desplazamiento corresponde a la diferencia vectorial entre la posición final e inicial de un móvil. b y a y y r i A a x d r f B b x d = (bx a x, b y a y ) Aplicando Pitágoras para determinar su módulo d : d = (b x a x ) 2 + (b y a y ) 2 El desplazamiento siempre está asociado a la trayectoria más corta entre dos puntos, por lo tanto, siempre es menor o igual en magnitud a la longitud de cualquier trayectoria elegida. Es decir: Ejemplo X d S Un cuerpo se mueve sobre un plano según lo muestra la figura. Parte del punto A desplazándose hasta el punto E, pasando por los puntos B, C y D. Se pide determinar el vector desplazamiento y el camino recorrido. y[m] 5 4 3 2 1 B C A 1 2 3 4 5 D E x[m]
Capítulo 2 El movimiento Solución Para el camino recorrido se tiene S = AB + BC + CD + DE = 2 + 3 + 5 + 3 S = 8 + 5 [m] Para el desplazamiento r f = (5,2) ri = (1,1) Evaluando d = (5,2) (1,1) = (4,1) [m] 1.1 Velocidad y rapidez Se define como velocidad media al cuociente entre el desplazamiento efectuado por un móvil y el tiempo empleado en realizarlo. v m = d t = r t Donde d = r B ra = Δ r La velocidad media es un vector, pues proviene de la división del vector d por el escalar Δt. Por lo tanto, su dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Se entiende por rapidez media al cuociente entre el camino S recorrido por un móvil y el intervalo de tiempo empleado en efectuarlo. Corresponde, por lo tanto, a un elemento escalar. Esto es: v = S t Donde: S = camino recorrido Δt = t f t i Desde el punto de vista físico entendemos que no es lo mismo hablar de velocidad que de rapidez, ya que: d S /: t d t S Δt v m v m Es decir, la rapidez media siempre es mayor o igual que el módulo de la velocidad media. Por otro lado, un móvil puede desplazarse desde un punto A a un punto B a una velocidad media determinada, pero no necesariamente lo hará todo el tiempo con la misma velocidad. La velocidad instantánea corresponde a la velocidad cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño; esto significa saber la velocidad del móvil en cualquier instante t a lo largo de su trayectoria (ya sea rectilínea o curvilínea). Del mismo modo, entendemos por rapidez instantánea a la rapidez del móvil a lo largo de su trayectoria para un intervalo t muy pequeño; esto significa saber la rapidez del móvil en cualquier instante de su trayectoria. De acuerdo con el diagrama, al considerar intervalos de tiempo muy pequeños la trayectoria parcial del móvil se hace rectilínea y, por lo tanto, coincide en módulo con el camino recorrido en ese intervalo de tiempo. De esto se desprende que la rapidez instantánea coincida con el módulo de la velocidad instantánea, independientemente de la trayectoria descrita. v i A r i d o S r f B v f o: origen arbitrario 35
2 capítulo 36 Sabías que... Unidades de Velocidad y Rapidez Dimensionalmente, tanto la velocidad como la rapidez se representan como: Longitud Tiempo Luego, las unidades de velocidad y rapidez son: S. I. : 1 [ m s ] Sistema C.G.S. : 1 [ cm s ] Ejemplos 1. El gráfico describe el movimiento de un punto material en el intervalo [0,5] [h]. Calcular: a. Distancia total recorrida. b. Desplazamiento total. c. Rapidez media. d. Velocidad media. Solución x[km] 200 100 50 0 a. x t = 300 [km] 1 3 4 5 b. x = x(5) x(0) = 100 0 = 100 [km] i^ c. v = x t = 300 5 [ = 60 km h ] = 100 5 [ = 20 km h ] i^ d. v = x t t[h] 2. Una persona debe recorrer una distancia de 100 [km] entre dos ciudades. Si lo hace a una rapidez media de 50 [km/h] llega puntualmente a la cita. Por razones ajenas a su voluntad, recorre la mitad del camino a 40 [ km h ]. Con qué rapidez media debe recorrer la otra mitad del camino para llegar a la cita puntualmente? Solución x AC = 100 [km] v AC = 50 [ km h ] x AB = 50 [km] v AB = 40 [ km h ] x BC = 50 [km] t BC = t AC t AB = 0,75 [h] A B C t AC = x v = 100 50 = 2 [h] t AB = 50 40 = 5 4 [h] v BC = 50 0,75 = 66,6 [ km h ]
Capítulo 2 El movimiento 3. Un automóvil parte desde el origen realizando un movimiento rectilíneo, según muestra el gráfico. Calcular la distancia recorrida entre 0 y 5[s]; y la rapidez media del movimiento. V[ m s ] 20 15 S 2 Sabías que... Si un móvil va y vuelve en línea recta con la misma rapidez de m 1 en un segundo, entonces s la magnitud de su aceleración m fue de 2. Por qué? s 2 10 5 S 1 S 3 3 Solución S 4 1 2 2,5 3 4 5 t[s] Por tratarse de un gráfico v vs t la distancia recorrida está representada por el área bajo la curva: Sabías que... Luego: S 0 5 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 S 0 5 = 2,5 15 + 2,5 5 + 2 Por definición: v m = S 0 5 t = 56,5 5 1,5 15 2 + 1 3 2 = 11,3 [ m s ] = 56,5 [m] La aceleración describe el cambio de velocidad a través del tiempo ya sea en magnitud, dirección o en sentido. 1.2 Aceleración Se entiende como aceleración a una magnitud vectorial que indica la variación de la velocidad de un móvil en el tiempo; esta variación puede ser en magnitud, dirección y/o sentido. Unidades de Aceleración Dimensionalmente: Velocidad Tiempo = Longitud/Tiempo = L Tiempo T 2 1.2.1 Aceleración media S.I. : 1 m / s s = 1 m s 2 Es el cuociente entre la variación del vector velocidad y el tiempo que el móvil emplea en ello. Equivalentemente corresponde al cambio de velocidad experimentado por unidad de tiempo. a media = v f v i t Sistema C.G.S. 1 cm / s s = 1 cm s 2 37
2 capítulo 38 Ejemplos 1. Un automóvil se mueve a 90[ km ]. Repentinamente se ve obligado a frenar bruscamente hasta detenerse. h Si emplea 5 [s] en hacerlo, cuál fue su aceleración media? Solución Suponiendo el movimiento como rectilíneo, se cumple: a m = v t t = 5[s] v i = 90 [ km h ] = 25 [ m s ] v f = 0 (automóvil se detiene) 0 25 Luego: a = 5 = 5 [ m s 2 ] = v f v i t 2. Un cuerpo se mueve sobre una línea recta, según lo indica el siguiente gráfico velocidad v/s tiempo: V[ m s ] 20 10 10 20 S 1 S2 1 2 3 3,5 4 5 6 6,5 7 8 9 10 S 3 a. Indicar en el gráfico en qué intervalo de tiempo el cuerpo retrocede. b. Si el cuerpo parte del origen, determinar la distancia que recorre cuando retrocede y la distancia total recorrida. c. Cuál es el desplazamiento total, la velocidad y aceleración media? Solución a. Por tratarse de un gráfico v vs t el móvil retrocede en el intervalo en que la velocidad se hace negativa. Esto es: 3,5 y 6,5 segundos. b. Calculando área entre la curva y la abscisa: S retroceso = (6,5 3,5) 20 2 S total = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 S total = 2 10 + 1,5 10 2 = 30 [m] + 3 20 2 + 1,5 20 2 S 4 + 2 20 = 112,5 [m] S 5 t[s]
Capítulo 2 El movimiento c. La magnitud del desplazamiento se determina mediante la diferencia entre el avance y el retroceso. d = S1 + S 2 S 3 + S 4 + S 5 d = 20 + 7,5 30 + 15 + 40 = 52,5 [m] i^ v Media = d t [ = 5,25 m s ] i^ a Media = v f v i t = 1 [ m s 2 ] i^ 1.3 Clasificación de los movimientos Los diferentes movimientos se pueden clasificar según su: Trayectoria Rapidez Rectilíneo: La trayectoria del movimiento es una línea recta. Curvilíneo: Se produce cuando el movimiento no es rectilíneo. Uniforme: La rapidez del móvil es constante. Variado: La rapidez del móvil no es constante. En estricto rigor, no existen movimientos absolutos. En el Universo todos los puntos se mueven respecto a otros. Sistema de referencia Absoluto: El origen del sistema de referencia utilizado se encuentra en reposo. Relativo: Origen del sistema de referencia se encuentra en movimiento. 1.3.1 Movimiento rectilíneo Ocurre cuando un móvil se mueve a lo largo de una línea recta. Movimiento unidimensional. a. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) El movimiento rectilíneo que se desarrolla con su velocidad constante (tanto en magnitud como en dirección y sentido) se denomina movimiento rectilíneo uniforme (MRU), con lo cual la aceleración es nula. Los movimientos rectilíneos en la realidad sólo pueden lograrse en pequeños tramos. En la práctica todos los movimientos son curvilíneos. Por qué? Ecuaciones: Si suponemos que el móvil parte en el instante t = t 0 desde la posición x 0, y llamando x a su posición en el instante t, se tiene: Δx = x x 0 x 0 : posición en t = t 0 Δt = t t 0; t 0: instante inicial del movimiento Luego: v = x x 0 t t 0 = cte. (1) Se obtiene: x = x 0 + v (t t 0 ) (2) 39
2 capítulo 40 Si no existen restricciones, se puede elegir t 0 = 0, con lo cual las ecuaciones se simplifican: v = x x 0 t = cte. (3) x = v t + x 0 (4) La ecuación (4) se puede escribir como: x(t) = x 0 + v t Esta ecuación representa la posición de un móvil que describe un movimiento rectilíneo uniforme en cualquier instante, respecto a un sistema de referencia determinado. Se denomina ecuación itinerario del MRU. Para el MRU y según el sistema de referencia, se tienen los gráficos: Ejemplos a) d y v positivos, a = 0 x x 0 V x V a v t = s 0 t t RECUERDA LA PENDIENTE ES d v = RECUERDA LA PENDIENTE ES a = v t [ m s 2 ] v = cte. a = 0 t t t [ m s ] 1. Si la ecuación de posición de un cuerpo es x(t) = 4 + 6t [m] a. Cuál es la posición inicial del cuerpo? b. La distancia que logra recorrer al cabo de 5 [s]. t t b) d y v negativos, a = 0 0 x 0 x 0 V x V a v t = s 0 t t t t Recuerda que por tratarse de movimientos unidimensionales d = x.
Capítulo 2 El movimiento Solución a. La posición inicial se obtiene evaluando en x(t) para t = 0. Esto es: x(0) = 4 + 6 0 = 4 [m] b. Para: x(0) = 4 [m] x(5) = 4 + 6 5 = 34 [m] Luego: S = x(5) x(0) = 34 4 = 30 [m] 2. La distancia entre Santiago y Valparaíso es de 150 [km]. Desde ambas ciudades parten simultáneamente dos automovilistas, uno al encuentro del otro. El automovilista A se mueve con una rapidez constante de 100 [ km h ] y el móvil B lo hace con una rapidez constante de 50 [ km h ]. a. Cuánto tiempo después de partir se encuentran los automóviles? b. A qué distancia de Santiago y de Valparaíso se encuentra, respectivamente, cada automóvil? c. Cuál es el tiempo total empleado por los automovilistas en cubrir la ruta Santiago - Valparaíso? Solución Hay que considerar arbitrariamente el origen del sistema de referencia en el punto de partida del móvil A. En los deportes, como en toda actividad física, la combinación de diferentes tipos de movimiento es necesaria para lograr el efecto deseado. V A V B 0 X Por tratarse de dos móviles desplazándose con MRU, se plantean dos ecuaciones de movimiento, una para cada móvil. Por tratarse de M.R.U. en ambos móviles: Móvil A: xa (t) = x 0A + v A t Donde: x 0A = 0 (móvil A se encuentra en x = 0 [km] en t = 0) v A = 100[ km h ], reemplazando: x (t) = 100 t A Móvil B: x B (t) = x 0B + v B t x 0B = 150 (móvil B se encuentra x = 150 [km] en t = 0) v B = 50[ km h ] (pues v B tiene sentido contrario al sentido positivo del sistema de referencia asignado). Reemplazando: x B (t) = 150 50 t 41
2 capítulo 42 a. Siendo coherentes con el sistema de referencia utilizado, ambos móviles se encontrarán cuando ocupen la misma posición, es decir: x A (t) = x B (t) 100 t = 150 50 t t = 1 [h] b. Evaluando el tiempo en que se encuentran ambos móviles: x A (t = 1) = x B (t = 1) = 100 [km] Por lo tanto, se encuentran a 100 [km] de Santiago (50 km de Valparaíso). c. v = x t t = x v t A = 150 100 = 1,5 [h], t B = 150 50 = 3 [h] Sabías que... Movimiento variado Supongamos que un móvil se mueve entre los puntos A y B. A v vi v D C Un cuerpo tiene un movimiento variado cuando su vector velocidad cambia a medida que se va desplazando. Por tratarse de un vector, este cambio puede manifestarse en su magnitud, dirección o sentido. b. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) Si un móvil describe una trayectoria rectilínea y va aumentando uniformemente, su velocidad en el tiempo se dice que manifiesta un movimiento uniformemente acelerado. Su aceleración es constante en magnitud y sentido (mismo signo). Por lo tanto, tiene igual sentido y dirección que su vector velocidad. Ecuaciones: x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t2 (1) v(t) = a t + v 0 (2) v 2 (t) = v 2 0 + 2 a d (3) Por tratarse de magnitudes vectoriales, la posición, velocidad y aceleración están asociadas a sistemas de referencia arbitrarios, lo que genera la adopción de signos para estas magnitudes, dependiendo de la dirección y sentido del sistema de coordenadas al cual estarán referidas. vf B
Capítulo 2 El movimiento a) d, v y a positivos b) d, v y a negativos x x SIEMPRE d SE COMPORTA COMO PARÁBOLA EN MRUA x 0 x x 0 x 1 v v v 0 v Δt = Δx t t LA PENDIENTE REPRESENTA LA ACELERACIÓN a = v t [ m s 2 ] 0 t v 0 v 0 t 0 t v Δt = Δx a t 0 t t v a a a Δt = Δv 0 t 0 a Δt = Δv t t 0 t 0 t t a En un gráfico a v/s t, el área bajo la curva entre los tiempos (t - t 0 ) representa la variación de velocidad (v - v 0 ) experimentada por el móvil. En un gráfico v v/s t, el área bajo la curva entre los tiempos (t - t 0 ) representa la distancia recorrida por el móvil. c. Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR) Un móvil con movimiento rectilíneo tiene movimiento uniformemente retardado si su aceleración es constante y de sentido contrario (distinto signo) al vector velocidad. Esta aceleración también se llama desaceleración o retardación. Esto implica que la velocidad del móvil va disminuyendo a medida que se desplaza (o a medida que transcurre el tiempo). Como en el MRUR la velocidad va disminuyendo uniformemente, llegará un momento en que se hará cero, es decir, el móvil se detiene. Para esta situación particular, puede calcularse el tiempo que tarda el móvil en detenerse y la distancia recorrida hasta el punto de detención. De las ecuaciones (3) y (2) del MRUA respectivamente y haciendo v f = 0: d max = v2 0 2 a t max = v 0 a La característica principal de un MRUR se refiere a que la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos. Por lo tanto, rigen las mismas tres ecuaciones del MRUA con la salvedad de que al adoptar la velocidad valor positivo, según sistema de referencia utilizado, la aceleración adoptará signo contrario (por ser sentido contrario) y viceversa. x(t) v(t) a(t) x(t) v(t) a(t) Los sentidos de V 0 y a son contrarios en MRUR. 43
2 capítulo 44 Cerca de la superficie de la Tierra, cuando un cuerpo desciende en caída libre, su velocidad aumenta 9,8 [ m s ] en cada segundo. Observa que la distancia que recorre aumenta cuadráticamente respecto al tiempo por qué? 9.8 19.6 29.4 Conceptos fundamentales 0 Velocidad en m/s Tiempo en segundos Compara los gráfico MRUA y MRUR, verás que los únicos que cambian son los gráficos velocidad v/s tiempo. En MRUA la velocidad aumenta en el tiempo. En MRUR la velocidad disminuye en el tiempo hasta ser igual a cero. 0 1 2 3 Gráficos para el MRUR según sistema de referencia: a. d y v positivos y a negativa x v a x 0 0 t v v 0 0 t 0 v Δt=Δx b. d y v negativos y a positiva x 0 0 x Ejemplo t 0 v 0 v v t 0 t v t= x t t t 0 a a t 0 a Δt= v a a t= v 0 t t 0 Un automovilista que se mueve a 90 [ km h ] repentinamente ve un gato en medio del camino 50 [m] delante de él. Éste acciona inmediatamente los frenos logrando una desaceleración de 5[ m s 2 ]. a. Cuánto demora en quedar totalmente detenido? b. Cuánto recorre antes de detenerse? c. Qué le pasó al gato? Solución Definiendo el sistema de referencia en el punto donde el conductor empieza a aplicar los frenos, se cumple Con v(t) = v 0 + a t x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t2 v 0 = 90 [ km h ] = 25 [ m s ] x 0 = 0 (móvil se encuentra en x = 0 cuando t = 0) a = 5 [ m s 2 ] t