MATERIALES PARA 2º CURSO E.S.O. GEOMETRÍA Actividades para los alumnos y alumnas de Matemáticas AUTORES: SALVADOR CABALLERO RUBIO FRANCISCO J. GARCÍA GARCÍA JOSÉ A. MORA SÁNCHEZ PASCUAL PÉREZ CUENCA JULIO RODRIGO MARTÍNEZ DIBUJOS: JOAQUÍN BARRAGÁN IGLESIAS
COLECCIÓN: MATERIALES REFORMA. M - 10 TÍTULO: GEOMETRÍA EDITA: GENERALITAT VALENCIANA, CONS. CULTURA, EDUCACIÓN Y CIENCIA, D.G. ORD. E INNOVACIÓN EDUCATIVA, PROGRAMA II. Y REFORMAS EXPER. 1ª EDICIÓN DISEÑO COLECCIÓN: VOLÚMENES ALTERADOS S.A.L. I.S.B.N.: 84-7890-163-9 D.L.: V-1963-1990 PRINTED IN SPAIN - IMPRESO EN ESPAÑA Impreso por: GRÁFIC-3 Pol. Ind.Ciudad Mundeco. QUART DE POBLET - VALENCIA
ÍNDICE ÍNDICE AMPLIADO LÁMINAS INVESTIGACIONES Y PROYECTOS GEOMETRÍA A ESPACIO -----> PLANO SUPERFICIES PLANOS GEOMETRÍA B ESPACIO -----> PLANO SUPERFICIE PLANOS
ÍNDICE AMPLIADO LÁMINASLÁMINA 1... 7 LÁMINA 1... 8 LÁMINA 2... 9 LÁMINA 3...10 LÁMINA 4...11 LÁMINA 5...12 LÁMINA 6...13 LÁMINA 7 TRAMA ISOMÉTRICA DE OUNTOS...14 LÁMINA 8 EL METRO...15 LÁMINA 9. TRAMA CUADRADA DE 5 mm...16 LÁMINA 10. TRAMA CUADRADA DE 2.5 cm...17 LÁMINA 11. DOBLE TRAMA CUADRADA DE PUNTOS...18 LÁMINA 12. CUBOS...19 LÁMINA 13. LAS VISTAS DEL CUBO...20 LÁMINA 14. LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS...21 I N V E S T I G A C I O N E S Y P R O Y E C T O S...22 POLICUBOS...23 FIGURAS SOBRE PUNTOS...23 FIGURAS SOBRE PUNTOS...24 CERCAS...25 LADRILLOS PARA EL PATIO...27 ICOSAEDRO EN EL AIRE...28 CONSTRUCCION DE UN OMNIPOLIEDRO...29 PANTÓGRAFO...30 CONSTRUCCION DE TANGRAMS...31 GEOMETRÍA A...32 E S P A C I O P L A N O...32 LA CINTA DE MOEBIUS...33 PROYECCIONES...34 VISTAS I...34 VISTAS I...35 BOTELLAS...36 VISTAS II...37 VISTAS III...38 VISTAS IV...39 VISTAS V...40 CORTES I...42 TAPAR EL ROTO...43 CUERPOS DE REVOLUCIÓN...44 ÁNGULOS POLIÉDRICOS...44 ÁNGULOS POLIÉDRICOS...45 POLIEDROS REGULARES...46 FÓRMULA DE EULER...47 POLIEDROS SEMIRREGULARES...48 POLIEDROS Y CUBOS...49 PRISMAS. PARALELEPÍPEDOS...50 POLIMINÓS...50 POLIMINÓS...51 CORTANDO EL CUBO...51 CORTANDO EL CUBO...52 P L A N O S Y E S C A L A S...53 PLANOS 1...54 PLANOS 2...55 EL METRO...56 DESCUBRIR LAS CALLES...57
LA MEDIA MARATÓN...58 EL PLANO DE LA CIUDAD...59 TRIÁNGULOS...60 LA ALTURA DEL ÁRBOL...60 LA ALTURA DEL ÁRBOL...61 ESCALAS I...62 ESCALAS II...63 ESCALAS III...64 ESCALAS IV...65 IR DE UN PUNTO A OTRO DE LA CIUDAD...66 SUPERFICIES...67 CUADRO DE UNIDADES...68 MÁQUINAS DE CAMBIO DE UNIDADES...69 MÁQUINAS I...70 MÁQUINAS II...71 DIAGRAMAS I...71 DIAGRAMAS I...72 EL ÁREA DE LOS POLÍGONOS...73 Observa las siguiente figura:...74 ÁREA DE TRIÁNGULOS...74 ÁREA DE TRIÁNGULOS...75 ÁREAS DE FIGURAS...75 ÁREAS DE FIGURAS...76 POLÍGONOS DENTRO DE POLÍGONOS...77 LA SUPERFICIE DE LA HABITACIÓN Y LA LONGITUD DE SUS LADOS...77 LA SUPERFICIE DE LA HABITACIÓN Y LA LONGITUD DE SUS LADOS...78 ÁREAS SOBRE TRAMAS...79 ÁREA DEL CÍRCULO...79 ÁREA DEL CÍRCULO...80 ÁREA MÁXIMA...81 LA CIUDAD DE VALENCIA Y LAS ZONAS VERDES...82 ESTIMAR SUPERFICIES...83 GEOMETRÍA B...84 E S P A C I O P L A N O...84 VISTAS VI...85 Vistas VII...86 Vistas VIII...87 ROMPECABEZAS DEL CUBO I...88 CORTANDO EL CUADRADO...89 ROMPECABEZAS DEL CUBO II...90 PLIEGUES II...91 DIAMANTES...92 FIGURAS EN MOVIMIENTO...92 FIGURAS EN MOVIMIENTO...93 ROMPECABEZAS DEL CUBO III...94 NOMBRES EN EL CUBO...95 CARAS PINTADAS...95 CARAS PINTADAS...96 CUBO DE DOS COLORES...96 CUBO DE DOS COLORES...97 CUBOS DE COLORES...97 CUBOS DE COLORES...98 PLANOS Y ESCALAS...99 CAMINANDO POR LA CIUDAD...100 MOSAICO...101 DISTANCIAS EN EL METRO...102 PLANOS 3...103 PLANOS 4...104 SUPERFICIES...105
SUPERFICIES...105 DIAGRAMAS III...107 MÁQUINAS III...107 MÁQUINAS III...108 ÁREAS EN LA TRAMA DE PUNTOS...109 LOS INCENDIOS FORESTALES...110 EL DOCUMENTO NOTARIAL Y LOS TERRENOS...111 CAMBIOS EN EL TRIÁNGULO...112 UNIDAD TRIANGULAR...113 POLÍGONOS DENTRO DE POLÍGONOS...114
LÁMINAS
LÁMINA 1 U N I D A D E S D E S U P E R F I C I E ------------------ x 100 ------------> Km 2 Hm 2 Dm 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 <----------------- : 100 ------------ UNIDADES AGRARIAS DE SUPERFICIE Unidad Símbolo Equivalencia 1 centiárea ca 1 m 2 1 área a 100 m 2 1 hectárea ha 10.000 m 2 1 fanega valenciana 831,0964 m 2
LÁMINA 2
LÁMINA 3
LÁMINA 4
LÁMINA 5
LÁMINA 6
LÁMINA 7 TRAMA ISOMÉTRICA DE OUNTOS
LÁMINA 8 EL METRO
LÁMINA 9. TRAMA CUADRADA DE 5 mm
LÁMINA 10. TRAMA CUADRADA DE 2.5 cm
LÁMINA 11. DOBLE TRAMA CUADRADA DE PUNTOS
LÁMINA 12. CUBOS
LÁMINA 13. LAS VISTAS DEL CUBO
LÁMINA 14. LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
I N V E S T I G A C I O N E S Y P R O Y E C T O S
POLICUBOS Si unes dos cubos por caras completas obtienes un bicubo. Con tres cubos, obtienes tricubos, con cuatro tetracubos. Montar todos los tricubos y tetracubos. Dado un cubo formado por 27 cubos iguales (3x3x3), buscar alguna descomposición de este que este formada por tricubos y tetracubos. Podéis utilizar cada pieza una sola vez.
FIGURAS SOBRE PUNTOS Haz algunas figuras sin puntos interiores en una trama cuadrada de puntos. Encuentra el área de cada figura y el número de puntos sobre su perímetro. Haz lo mismo para figuras que tengan puntos interiores: primero uno, luego dos, y así sucesivamente. Busca alguna relación entre el número de puntos interiores, puntos del perímetro y el área de cualquier figura.
CERCAS El diagrama muestra como podemos usar 7 barras (5 cm) para encerrar un área de 28 cm 2. 28 cm 2 Cuál es el área máxima que podemos encerrar con estas barras?. (Nota: los lados de las barras deben unirse a lo largo de las líneas de papel cuadriculado y uniones como las de la figura no se permiten) X Investiga para distintas longitudes de las barras y distinto número de ellas.
HEXA-PUZLES Aquí tienes cuatro formas de cortar hexágonos para hacer hexágonos, paralelogramos, triángulos equiláteros, etc. Investiga otras formas de diseccionar hexágonos.
LADRILLOS PARA EL PATIO Cubre este patio con tejas como esta Qué pasa con éste? Ensaya con otras figuras que tengan 40 cuadrados de área.
ICOSAEDRO EN EL AIRE Observa la figura, serías capaz de encontrar un método para construirla?. Con la ayuda de tu profesor o profesora podrás construirlo.
CONSTRUCCION DE UN OMNIPOLIEDRO Cuando estudies los poliedros, llegarás ha construir los cinco poliedros regulares. Estos tienen una propiedad muy interesante, se pueden encajar unos en otros. La escultura que aparece después de montada y pintada (cada poliedro de un color), es de singular belleza. Con la ayuda de tu profesor/a, podrás construir esta escultura.
PANTÓGRAFO Un sencillo instrumento, llamado pantógrafo, permite obtener directamente figuras homotéticas y, por tanto, semejantes, por lo cual se utiliza para ampliar y reducir dibujos. El alumno puede construir un pantógrafo rudimentario del modo siguiente: Córtense cuatro tiras iguales de cartón, y márquense en cada una dos puntos extremos a igual distancia y otro situado en medio, por ejemplo situado a 1/3 de la distancia entre aquellos. Colóquense luego como indica la figura b, atravesando mediante alfileres o chinchetas dichos puntos, con objeto de permitir la articulación del paralelogramo MBNA así formado. Fíjese el punto O en la mesa mediante otra chincheta o alfiler. Pasando la punta de un lápiz por los orificios A y la de un estilete (o de otro lápiz por el orificio A', se observará que al mover el estilete A', el lápiz dibujará una figura homotética de la trazada por el estilete, con la razón 1/3. Prueba con otras distancias 2/4, 1/5, qué ocurre?.
CONSTRUCCION DE TANGRAMS Construye en cartón los tangrams que aparecen en los dibujos.
GEOMETRÍA A E S P A C I O P L A N O
LA CINTA DE MOEBIUS Recortar una cinta de papel de unos 30 cm. de largo por 3 de ancho. Coger sus extremos y unirlos formando un círculo, pero antes de pegarlos, darle una vuelta a uno de los extremos, de manera que quede torcido. Torcido, no doblado. Hacer lo mismo con otra cinta de papel igual y pegar sus extremos formando un círculo normal, sin torcer. Servirá para comparar. Qué sucede si trazamos una línea con lápiz justo por el centro de la cinta y seguimos hasta encontrarla de nuevo?. (O sea, si una hormiga se pasea por este camino de papel y va marcando su paso, dónde quedará la marca en ambos círculos?) Primera conjetura, después dibuja para comprobar tu conjetura. Qué sucederá en cada uno de los círculos si cortamos con unas tijeras por la líneas trazadas?. Qué sucederá si hacemos un nuevo corte por el centro de las cintas que tenemos ahora?.
PROYECCIONES Corta un cuadrado de cartón y obsérvalo desde diferentes ángulos, qué figuras puedes ver? Investiga las vistas de otras figuras de cartón: un triángulo equilátero, un círculo. Prueba con los poliedros regulares.
VISTAS I Las siguientes figuras se emparejan una a una para formar un cubo, pero son trece, hay una que sobra, cuál?.
BOTELLAS Las siguientes figuras representan botellas vistas desde distintas posiciones. Asociar las vistas que corresponden a una misma botella.
VISTAS II Cuántos cubos hay en los siguientes apilamientos?
VISTAS III Dado un cubo las aristas escondidas se dibujan de la siguiente forma: Dibuja de la misma manera las aristas escondidas de los siguientes sólidos:
VISTAS IV Supongamos que se observa la figura desde la dirección de la flecha. Entonces se percibirá la figura: Supongamos que se observan la siguientes figuras en el sentido de la flecha. Dibuja la figura que se percibe.
VISTAS V Los dibujos representan vistas de una misma figura, podrías reconstruir la figura?.
PLIEGUES I Supongamos que se dobla dos veces una hoja de papel rectangular y se corta a continuación un pequeño triángulo rectángulo en la hoja tal como se indica en la figura: Desplegamos el papel, cuál de las figuras A, B, C, D, E, se obtendrá?. Cómo hay que cortar la hoja para obtener el resto de las figuras?. Investiga otros tipos de cortes.
CORTES I Supongamos que se corta un cubo en dos trozos siguiendo las líneas marcadas. Cuál de las figuras A, B, C, D, E muestran los dos pedazos que se obtienen?.
TAPAR EL ROTO A la botella de la figura se le ha roto un trozo, cuál?.
CUERPOS DE REVOLUCIÓN Imagina que haces girar un rectángulo alrededor de un eje, la figura que aparece, será: Qué aparecerá al hacer girar las siguientes figuras con respecto a los ejes que se indican?.
ÁNGULOS POLIÉDRICOS Después de manipular el material troquelado, pensar en las siguientes preguntas: Cuál es el número mínimo de polígonos necesarios para formar un ángulo poliédrico?. Y el número máximo?. Generar y clasificar todos los ángulos poliédricos que se pueden generar con el material troquelado?. Con cualquier grupo de polígonos se puede formar un ángulo poliédrico?. Qué condición han de cumplir los polígonos para poder formar ángulo poliédrico?.
POLIEDROS REGULARES Con el material troquelado, construir poliedros formados por un solo tipo de polígono. Con el triángulo aparecen varios, con el cuadrado uno solo, y con pentágonos, hexágonos, etc. Encuentras alguna propiedad común a todos los poliedros?.
FÓRMULA DE EULER Cuenta las caras, vértices y aristas de varios poliedros, serías capaz de encontrar una fórmula que los relacione?.
POLIEDROS SEMIRREGULARES Llamaremos poliedro semirregular, a un poliedro construido con dos o más polígonos diferentes, que sea convexo (todas las caras se juntan formando ángulos hacia afuera, no tienen entrantes), y todos sus vértices son congruentes (todos los ángulos poliédricos tienen la misma configuración). El balón de fútbol, está formado sobre la base de un poliedro semirregular. Serías capaz de construir todos los poliedros semirregulares?. Anímate!!, son trece, podrías encontrar por qué solo son trece?.
POLIEDROS Y CUBOS Cuántos poliedros regulares y semirregulares diferentes se pueden obtener al cortar con cortes planos los vértices de un cubo?.
PRISMAS. PARALELEPÍPEDOS Cuántos prismas puedes formar con el material troquelado? Cortar un paralelepípedo por un plano paralelo a la arista, estudiar la variación de esta sección al moverse el plano paralelamente. Cómo hay que cortar un paralelepípedo por un plano de modo que resulte un hexágono?. Un prisma de base cuadrada tiene cuatro diagonales interiores, cuántos tiene un prisma de base hexagonal?, y de base hexagonal?, y de base "n"?.
POLIMINÓS Cuáles son los hexaminós que forman un cubo?. Cuál es el número mínimo de pestañas en cada desarrollo para poder montar un cubo?.
CORTANDO EL CUBO Utilizando un cubo de pórex, cómo hay que cortarlo para obtener 27 cubos iguales?. Si cortamos el cubo de negro, y después cortamos, cuántos cubos tendrán pintadas tres caras, dos caras, una cara?, hay algún cubo que no tenga pintada ninguna cara?. Cuántos cortes, y cómo hay que hacerlos, para obtener más cubos?.
P L A N O S Y E S C A L A S
PLANOS 1 El plano de la figura tiene escala 1/100. Cuántos metros cuadrados tiene el comedor?, y la cocina?, Calcula la superficie de todo el piso. Cuántas ventanas exteriores tiene el piso?, hay ventanas interiores?. Teniendo en cuenta que todas las ventanas tienen 153 cm. de alto, cuántos m 2 ocupan la superficie de las ventanas?.
PLANOS 2 Cuando observamos un plano de una vivienda pueden aparecer las figuras que te presentamos, qué son cada una de ellas?. Recorta y pega cada una de ellas en el plano de la lámina.
EL METRO Para este ejercicio necesitas la lámina número 8. El metro es un medio de transporte urbano que permite moverse por cualquier parte de la ciudad con un sólo billete, para ello, basta con cambiar de línea en la estación oportuna. El dibujo representa un esquema del metro de Madrid. De dónde a dónde va la línea 4?, y la 7?. Si tomo el metro en "Sol", en dirección "Ventas", bajo en "Príncipe de Vergara", tomo la línea 9 en dirección "Herrera Oria", y bajo en la sexta estación, dónde me encuentro?. Haz propuestas como la de la pregunta anterior a tu compañero/a. Indica cuatro caminos diferentes para ir desde "San Bernardo" (línea 4), hasta "República Argentina" (línea 6). Cuál crees que es el camino de mínima distancia?.
DESCUBRIR LAS CALLES Para la actividad necesitas los planos de las láminas 3 y 4. Un plano contiene el nombre de todas las calles, el otro es idénticamente igual pero sin nombres. Se colocan dos alumnos, uno con cada plano, de tal forma que no pueden ver la información que hay en el otro plano. El/la compañero/a que tiene los datos ha de idear un sistema para pasárselos al otro, sin que éste/a pueda verlo.
LA MEDIA MARATÓN La media maratón mas antigua de España, es la de Elche. Infórmate de los Km. que tiene una media maratón, y realiza su trazado sobre el plano de la lámina número 5. La escala de la lámina es 1:5000.
EL PLANO DE LA CIUDAD Observa el plano que aparece en la lámina 5 y contesta a las siguientes preguntas: a.- Si estás en la Plaza de Crevillente y tomas la calle Antonio Machado, antes de cruzarte con la calle Mariano Benlliure, cuántas calles has cruzado?, cómo se llaman?. b.- Partes de la Plaza de Crevillente en dirección Plaza Obispo Siur por la calle Antonio Mena, giras a la derecha por la cuarta calle, dónde te encuentras?. Continúas por esta calle y el sexto cruce de calles giras a la derecha, de nuevo el cuarto cruce a la izquierda, si continúas todo recto, indica en el plano dónde te encuentras. c.- Si partes del cruce de las calles Capitán Antonio Mena con Mariano Benlliure, y caminas en dirección al río, cómo se llama la quinta calle paralela a Antonio Mena que te encuentras en tu camino a tu derecha?. Si tomas esta calle, indica en el mapa las calles que quedan a tu derecha.
TRIÁNGULOS En la figura aparecen tres triángulos. Mide sus lados y sus hipotenusas. Serías capaz de encontrar alguna relación entre esas medidas?.
LA ALTURA DEL ÁRBOL Si has trabajado el problema anterior, no tendrás dificultad a la hora de solucionar este problema: El señor del dibujo mide 1.85 m., la distancia "a" es 6.5 m., y la distancia "b" es 11.3 m. Cuánto mide el árbol?.
ESCALAS I Calcula las distancias que hay entre los puntos A, B y C. La escala del plano es 1.2000.
ESCALAS II Sobre el mapa de Castellón, cuál es la superficie de la ciudad que se encuentra entre las líneas discontinuas?. La escala del mapa es 1:50000.
ESCALAS III Qué escala tendrá el plano si la distancia entre A y B es 160 m.?. Dado el recuadro de la figura, amplíalo calculando la nueva escala.
ESCALAS IV Calcular la superficie de la vivienda del plano teniendo en cuenta que la escala es 1:100.
IR DE UN PUNTO A OTRO DE LA CIUDAD Mi barrio está formado por manzanas cuadradas todas iguales. Consideramos la anchura de la calle y de las manzanas como una distancia 1. Dadas las dificultades del tráfico, sólo se puede cruzar las calles pasando por los semáforos que están situados en las esquinas, nunca se pasará una calle en diagonal. Indicar todos los puntos que están a distancia 3 del punto C. Dado un punto cualquiera del barrio, qué distintas formas pueden tomar los caminos de distancia 5?. Dados el punto A y el punto B, hallar el número de caminos de mínima distancia entre A y B. Ampliar a otras distancias.
SUPERFICIES
CUADRO DE UNIDADES Piensa en algún método para rellenar los huecos que aparecen en el siguiente cuadro: 1 Km 2 1 Hm 2 1 Dm 2 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2 1 Km 2 1 Hm 2 1 Dm 2 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2
MÁQUINAS DE CAMBIO DE UNIDADES Dada la siguiente máquina: 1 Dm 2 1000 m 2 Qué operación tendré que poner en el cuadrado para pasar de 1 Dm 2 a 1OOO m 2?. Las máquinas indican qué operaciones debo realizar para pasar de unas unidades a otras. Prueba con estas: 100 mm 2 1 Dm 2 1000 mm 2 10 m 2 Propón máquinas a tus compañeros.
MÁQUINAS I Teniendo en cuenta que los cuadrados representan operaciones de multiplicar, o dividir por potencias de 10, seguir las flechas y responder a los interrogantes en el siguiente diagrama:
MÁQUINAS II Rellena el cuadro teniendo en cuenta que cada círculo representa unidades, y cada cuadrado una operación de multiplicar o dividir por potencias de 10. No se puede repetir dos veces la misma unidad. 10 dm 2 10 6
DIAGRAMAS I Dados dos datos "a" y "b", calcular el resultado de las operaciones. DATOS OPERACIONES a b a + b 2a + b a + 3b 10 Dm 2 2 dm 2 1 m 2 2 cm 2 2 dm 2 3 Hm 2
EL ÁREA DE LOS POLÍGONOS Partiendo del área del rectángulo, serías capaz de saber el área de un triángulo rectángulo?. Cómo habría que hacerlo con un triángulo isósceles? Y con un escaleno?. Puedes escribir una fórmula para el área del triángulo. El área de cualquier paralelogramo, también se puede relacionar con el área del rectángulo, cómo?. Y el trapecio!, es posible obtener su área a través del rectángulo?.
Observa las siguiente figura: Cómo saber el área del rombo y la cometa sabiendo el área del rectángulo?. Cómo utilizar los datos anteriores para calcular el área de los polígonos irregulares?.
ÁREA DE TRIÁNGULOS Calcula el área de los triángulos ACB, ADB, AFB y AGB: C D E F A B
ÁREAS DE FIGURAS Calcula el área de la parte subrayada en las siguientes figuras:
POLÍGONOS DENTRO DE POLÍGONOS Dentro del triángulo equilátero hay un hexágono regular. Qué parte del área del triángulo cubre el hexágono?. Encuentra otro hexágono que sea 1/2 del área del triángulo. Investiga problemas similares con triángulos equiláteros dentro de hexágonos regulares, con cuadrados dentro de octógonos regulares y así sucesivamente.
LA SUPERFICIE DE LA HABITACIÓN Y LA LONGITUD DE SUS LADOS Una habitación tiene una superficie de 35 m 2. Cuánto miden sus lados?. Cuál de las medidas que has encontrado, hacen que el perímetro de la habitación sea mínimo?, y cuáles hacen que sea máximo?.
ÁREAS SOBRE TRAMAS Calcula el área de las siguientes figuras que aparecen sobre la trama de puntos.
ÁREA DEL CÍRCULO Observa el siguiente proceso: Podrías saber el área del círculo utilizando esa descomposición.
ÁREA MÁXIMA Cuál es el mayor área que puedes encerrar con un perímetro de 24 cm?.
LA CIUDAD DE VALENCIA Y LAS ZONAS VERDES Las dos zonas verdes de Valencia capital, son los Viveros Municipales y el Jardín Botánico. Cuántos miden estas dos zonas verdes, teniendo en cuenta que la escala del plano es 1/14.000?. Teniendo en cuenta que Valencia tenía en el padrón del 85, 787.278 habitantes, cuántos metros cuadrados corresponden a cada valenciano?. Si contamos como zona verde el cauce del río desde el Puente de Campanar hasta el Puente del Ángel Custodio, cuántos metros le corresponderían a cada valenciano?.
ESTIMAR SUPERFICIES Teniendo en cuenta que la superficie de la Comunidad Aragonesa es 47.669 Km 2. Estima sin hacer ningún cálculo la superficie de la Comunidad Valenciana. Haz una estimación con los métodos que consideres oportuno de la superficie de la Comunidad Valenciana.
GEOMETRÍA B E S P A C I O P L A N O
VISTAS VI Cuál de los cinco bloques es igual que el bloque A visto en otra posición?.
Vistas VII Qué figura de las de la derecha se corresponde con la figura de la izquierda del recuadro?.
Vistas VIII Qué figura de las de la derecha se corresponde con la figura de la izquierda del recuadro?.
ROMPECABEZAS DEL CUBO I Las figuras del problema se emparejan dos a dos para formar un cubo. Hay una que sobra, cuál?.
CORTANDO EL CUADRADO En cada recuadro aparece un cuadrado y varias piezas que se obtienen al cortarlo. Cómo hay que colocar las piezas para recomponer el cuadrado?.
ROMPECABEZAS DEL CUBO II Con las piezas del dibujo se puede montar un cubo, pero hay una que sobra, cuál es?.
PLIEGUES II Se pliega una hoja de papel rectangular y se corta tal y como aparece en la figura: Si se despliega la hoja, cuál de las figuras A, B, C, D se obtendrá?.
DIAMANTES Si juntas dos triángulos lado con lado, obtienes un diamante-2. Si juntas tres, obtienes un diamante-3. Los diamantes-5 están formados por 5 triángulos, hay alguno de ellos que cierre en el espacio formando un poliedro?.
FIGURAS EN MOVIMIENTO Qué porción del espacio engendran un círculo, un triángulo, un rectángulo al moverse?.
ROMPECABEZAS DEL CUBO III Construye en cartulina el siguiente rompecabezas del cubo:
NOMBRES EN EL CUBO Las figuras que aparecen abajo, son desarrollos planos del cubo. Dónde hay que poner el resto de las letras para que al montar el cubo, se pueda leer la palabra PEPE?. P E E E P P
CARAS PINTADAS Un cubo tiene pintadas sus caras de tres colores: rojo, azul y amarillo. Cada dos caras opuestas están pintadas del mismo color. Las figuras que aparecen abajo, son desarrollos planos del cubo. Si la cara roja está indicada, dónde deben ir el resto de los colores?. R R R R R R
CUBO DE DOS COLORES Un cubo se ha pintado una mitad roja y otra negra. Dibujar en los siguientes desarrollos planos del cubo, que parte ocuparía cada color, teniendo en cuenta que se indica la cara negra. N N N N N N
CUBOS DE COLORES Tengo ocho cubos. Dos de ellos están pintados de rojo, dos de blanco, dos de azul y dos de amarillo y son indistinguibles en cualquier otro aspecto. Quiero ensamblarlos para formar un cubo más grande, de forma que aparezcan en cada cara todos los colores. De cuántas formas distintas puedo colocar los cubos?.
PLANOS Y ESCALAS
CAMINANDO POR LA CIUDAD Coloca en cada frase la palabra derecha, izquierda que falta. Estoy en la Plaça de Baix, mirando hacia el Ayuntamiento, el sur se encuentra a mi... Desde el Puente de Altamira el Mercado queda a mi... Pasé el puente de Santa Teresa, dejando a mi izquierda la "Porta d'oriola", pensé que el río quedaba a mi...
MOSAICO El dibujo es un mosaico de La Alhambra. Haz una ampliación y coloréala.
DISTANCIAS EN EL METRO El cuadro que aparece abajo, refleja las distancias entre varias ciudades. Cómo funciona?. Con la unidad de medida que consideres más oportuna, haz el mismo cuadro tomando como referencia el plano del metro del ejercicio anterior. En lugar de ciudades considerarás las estaciones de metro: Nuevos Ministerios, A. Martínez, Ventas, Esperanza, Ópera. Considera la distancia entre dos estaciones como la distancia de mínimo recorrido.
PLANOS 3 Observa el plano. Cuánta gente puede sentarse cómodamente a ver la televisión?. Teniendo en cuenta que la escala es 1/50: Cuánto miden las camas de ancho y de largo?. Cuántas ventanas interiores tiene el piso?, cuántas exteriores?. La puerta de entrada al piso se abre hacia adentro, hacia dónde abren en resto de las puertas?, por qué motivo abren así las puertas?. Alguna puerta de tu colegio se abre hacia afuera?, sabrías explicar por qué?.
PLANOS 4 Si el dormitorio de la figura tiene una superficie de 9.62 m 2, qué escala tendrá el plano?, Amplía la habitación, calculando la nueva escala.
SUPERFICIES
DIAGRAMAS II Dados los datos "a" y "b", calcular el resultado de las operaciones. DATOS OPERACIONES a b c a - b 2a - c a: 3 + c 10 Hm 2 23 dm 2 8 m 2 8 m 2 6 cm 2 12 dm 2 13 Km 2 5 mm 2 8 Dm 2
DIAGRAMAS III El siguiente diagrama tiene como objetivo reducir todos los datos hasta llegar a obtener uno solo: 6 cm2 12 dm 2 8 m 2 10 Dm 2
MÁQUINAS III Utilizando las normas de MÁQUINAS II, rellena las máquinas que aparecen en las figuras.
ÁREAS EN LA TRAMA DE PUNTOS Dado un paralelogramo en la trama de puntos, construir paralelogramos diferentes que tengan la misma área. Buscar el que tenga perímetro máximo y perímetro mínimo. Construir rectángulos de igual perímetro, es posible encontrar el rectángulo de mayor área entre los de mayor perímetro?. Dado un triángulo en la trama, buscar triángulos que tengan la misma área. Estudiar los perímetros de los triángulos construidos.
LOS INCENDIOS FORESTALES En 1989 se quemaron en la Comunidad Valenciana 1651 hectáreas, en los diferentes incendios forestales. Cuántos metros cuadrados se quemaron?. Teniendo en cuenta que somos 3.732.682 habitantes en la Comunidad Valenciana, cuántos metros cuadrados se quemaron por habitante?, cuántos cm 2?. Si comparas la superficie de estos incendios con tu aula, cuántas veces es más grande la superficie quemada que tu aula?.
EL DOCUMENTO NOTARIAL Y LOS TERRENOS En el recuadro aparece una fotocopia de una escritura notarial donde se expresa la superficie en unidades agrarias. cuántos metros cuadrados tiene el terreno?. I. Que Doña María Guzmán Madrid es dueña a título privativo, de la siguiente finca: Un resto de Quince áreas, veintiocho centiáreas o lo que haya dentro de los linderos, de tierra secano algarrobos, en término de CHIVA, partida del CERRITO. Linda: Norte, Helga Rödig; Sur, Pascual Genovés Tarín; Este,... Teniendo en cuenta que la escala del plano es 1/40000, elegir tres terrenos y medir la superficie en unidades agrarias.
CAMBIOS EN EL TRIÁNGULO En un triángulo, qué le sucederá a: a) El área, si su base se duplica y su altura no varía?. b) El área, si su base se duplica y su altura se reduce a la mitad?. c) El área, si la base y la altura se duplican?. d) La altura, si el área se duplica y la base no varía?. e) La altura, si el área se duplica y la base se reduce a la mitad?.
UNIDAD TRIANGULAR Supón que medimos el área en unidades triangulares en lugar de unidades cuadradas. Definimos una unidad triangular para el área de un triángulo equilátero, cada uno de cuyos lados mide una unidad de longitud. De esta manera, por ejemplo, un triángulo que mida dos unidades de lado, tendrá un área de 4 unidades triangulares. a) Te atreverías a decir que una unidad triangular es más o menos de la mitad de una unidad cuadrada?. b) Cuál es el área, en unidades triangulares, de los triángulos equiláteros cuyos lados miden 3,4,5 y n unidades, respectivamente?. c) Cuál es el área, en unidades cuadradas, de un triángulo equilátero cuyo lado mide una unidad?. d) Cuál es el área, en unidades triangulares, de un cuadrado cuyos lados miden una unidad?.
POLÍGONOS DENTRO DE POLÍGONOS Encuentra el mayor triángulo equilátero dentro de un hexágono regular, el mayor cuadrado dentro de un hexágono. Investiga otros problemas similares. Extiende la situación a polígonos dentro de poliedros, por ej. encuentra el mayor cuadrado y el mayor hexágono dentro del cubo.