3. Ecuaciones de conservación

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 1 3. Ecuaciones de conservación El comportamiento de la atmósfera se estudia considerando la evolución de su masa, su momento y su energía. Para ello es necesario derivar ecuaciones de conservación de estas cantidades. 3.1 Distribución de masa en la atmósfera La atmósfera de la Tierra tiene una masa de 5.265x10 18 kg. La presión ejercida disminuye con la altura a medida que existe menos masa por encima de un cierto nivel. Por lo tanto existe una fuerza de gradiente de presión vertical dada por que induce un movimiento desde la alta presión a la baja presión, o sea hacia arriba. Este movimiento es contrarestado por la fuerza de la gravedad actuando sobre cada parcela de fluído Para una atmósfera en reposo estas dos fuerzas deben ser iguales y opuestas por lo que en la dirección vertical vale Este balance se denomina balance hidrostático y, si bien se cumple exactamente sólo en el caso de una atmósfera en reposo, es el balance de primer órden en casi toda la atmósfera real. Consideremos ahora una columna de atmósfera de area unidad contenida entre los niveles de presión de 1000mb y 500mb (figura 3.1). Como la presión se define como fuerza por unidad de área, hemos aislado en esa columna una masa de atmósfera suficiente como para ejercer 500 hpa de presión. La masa de esa columna es la misma de otra columna que se extendiera entre los niveles de 710mb y 210mb. La masa de la columna es

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 2 Masa= Fuerza g = Presión Área g = 500 100 N /m2 1 m 2 =5102.04 kg 9.8m 2 / s Figura 3.1 Columna de atmósfera entre los niveles de 1000 y 500 hpa. Mientras que la masa entre los niveles de 1000 y 500 hpa es la misma, el ancho de la capa varía de un día a otro. Por lo tanto, el volumen y la densidad de la capa también varíarán día a día. Por la ley de gases ideales, a aire menos (mas) denso corresponde una temperatura virtual promedio en la capa, T v, mayor (menor). (Recordemos que T v =T(1+0.61w) y es la temperatura que debería tener el aire seco para tener la misma presión y densidad que la muestra de aire húmedo a temperatura T.) Por lo tanto debe ser posible relacionar la temperatura virtual con el ancho de la capa. Para ello combinamos la ley del gas ideal (p=ρr d T v ) y la ecuación hidrostática: ó

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 3 Integrando esta ecuación entre los niveles p1 y p2 (p1>p2) a alturas z1 y z2 (z1<z2) donde es la temperatura virtual promediada en la capa. La ecuación anterior se denomina ecuación hipsométrica y cuantifica la relación entre el ancho de la capa de atmósfera entre presiones p1 y p2 dado por Δz y la temperatura media virtual. La ecuación hipsométrica también puede expresarse en términos del geopotencial Φ. (Φ es el trabajo requerido para elevar una unidad de masa una distancia dz por encima del nivel del mar; cuantifica el trabajo realizado en contra la gravedad.) Puesto que dφ=gdz, podemos escribir y la ecuación hipsométrica queda Recordemos que la altura del geopotencial Z se define como Z=Φ/g0, donde g0 es la gravedad promedio a nivel del mar (g0=9.81 m/s 2 ). La altura geométrica (z) y la altura

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 4 del geopotencial (Z) son casi iguales en la tropósfera. La ecuación hipsométrica tiene múltiples aplicaciones en meteorología. Por ejemplo, es posible utilizarla para hallar la presión a nivel del mar que corresponde a la ubicación de una estación meteorológica situada en una montaña. Asimismo, en los países donde nieva se utiliza el ancho de la capa entre 500 y 1000mb como indicador de precipitación sólida. Por otro lado, la ecuación hipsométrica da información sobre la estructura vertical de los sistemas meteorológicos de gran escala en latitudes medias. Por ejemplo, consideremos el ancho de la capa entre 500 y 1000 mb en una estación dada. Entonces nos queda y por lo tanto un cambio de 60 m en el ancho de la capa corresponde a un cambio promedio en la temperatura de 2.96 C. Esto implica que la presión disminuye más rápidamente con la altura en una columna fría que en una columna cálida. Las consecuencias de este hecho se ilustran en la figura 3.2 que muestra un corte vertical a través de un ciclón de núcleo frío. Como la columna en el medio del ciclón es mas frío relativo a su entorno en todos los niveles su espesor es menor que en cualquier otro lugar. Por lo tanto la fuerza de gradiente de presión, dirigida hacia el centro del ciclón aumenta en magnitud con la altura. Así, los ciclones de núcleo frío, los mas usuales en latitudes medias, intensifican con la altura lo cual es una característica muy importante en la dinámica de estos ciclones.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 5 Figura 3.2 Corte vertical a través de un ciclón de núcleo frío. Líneas sólidas son isóbaras, líneas finas son los niveles de 0.5 km y 5 km. Las flechas indican la fuerza del gradiente de presión. 3.2 Derivada total en un sistema rotante Como se mencionó anteriormente en meteorología se describe el movimiento de la atmósfera con respecto a un sistema que rota con la Tierra. Por lo tanto para escribir la ecuación de Newton es necesario hallar la relación entre la derivada total de un vector en un sistema de coordenadas inercial y la derivada total en un sistema rotante. Sea A un vector arbitrario cuyos componentes en el sistema inercial son y sus componentes en un sistema que rota a velocidad angular Ώ son Sea d a A/dt la derivada total en el sistema inercial (absoluto), entonces

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 6 La misma derivada en el sistema rotante es o donde da/dt es la derivada siguiendo el movimiento relativo de A. Los últimos tres términos aparecen pues los versores cambian de orientación con la rotación de la Tierra. Consideremos el versor en la dirección zonal (i'); su cambio está dado por Para una rotación de cuerpo sólido i' = i ' i ' i ' z z por lo que i ' t = i ' y tomando el límite δt -> 0 se obtiene De la figura 3.3 vale que d i' d t = i ' i = j ' sin k ' cos pero como (ver figura 3.4) = 0, cos, sin

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 7 se obtiene d i' dt = i '. Figura 3.3 Descomposicion de δi' en sus componentes horizontal, meridional y vertical. Análogamente, d j' = j ' dt d k ' = k ' dt por lo que y se obtiene la siguiente expresion que relaciona las derivadas totales en los sistemas inercial y rotante

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 8 3.3 Ecuación de conservación de momento en un sistema rotante Aplicando la relación anterior al vector posición r (r es el vector perpendicular al eje de rotación de magnitud igual a la distancia entre el eje de rotación y la superficie terrestre) obtenemos que la velocidad absoluta es igual a la velocidad relativa mas la velocidad de rotación de la Tierra. Si aplicamos la relación de transformacion de coordenadas a la velocidad absoluta obtenemos ya que x x r= 2 r. La última ecuación establece que la aceleración lagrangiana en un sistema inercial es igual a la suma de (1) la aceleración lagrangiana relativa al sistema rotante, (2) la aceleración de Coriolis, y (3) la aceleración centrípeta.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 9 De acuerdo a la 2da ley de Newton y recordando que las fuerzas fundamentales que consideraremos son el gradiente de presión, la gravedad y la fricción se obtiene o alternativamente donde la aceleración centrípeta ha sido combinada con la gravedad en una gravedad efectiva (sección 2.2). 3.3.1 Coordenadas esféricas A los efectos meterológicos es posible considerar a la Tierra como una esfera perfecta. Por lo tanto consideraremos un sistema de coordenadas esférico de forma que la superficie coincida con una superficie de las coordenadas. Los ejes de coordenadas son entonces,, z =(longitud, latitud, altura). Es usual definir x e y como las distancias hacia el este y hacia el norte, respectivamente. Por lo tanto dx=acos d, dy=ad donde a es el radio terrestre y se desprecia la distancia desde la superficie hasta la altura de la parcela por ser muchisimo menor que a. La velocidad relativa se puede escribir como V=ui+vj+wk, donde los componentes están definidos por Notemos que este sistema de coordenadas no es cartesiano pues la dirección de versores cambia con la posición en la superficie (por ej., todos los meridianos convergen en los polos). Esta dependencia en la posición debe tomarse en cuenta cuando el vector aceleración se expande en sus componentes

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 10 Por ejemplo, consideremos el versor i. Expandimos la derivada total y como i es solo función de x se tiene di i =u dt x De acuerdo a la figura 3.3 por similaridad de triángulos se tiene y Tomando el límite δx -> 0 Por similares argumentos geométricos es posible derivar las siguientes expresiones para los cambios de los versores j y k Por lo tanto, combinando las expresiones derivadas anteriormente obtenemos

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 11 que describe las componentes en el sistema de coordenadas esférico de la derivada total del movimiento relativo. Consideremos ahora la fuerza de Coriolis. Dado que Ώ solo tiene componentes vertical y meridional (figura 3.4), el término de Coriolis queda de la forma Figura 3.4 Componentes de la velocidad angular Ώ.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 12 Los componentes de la fuerza de gradiente de presión son mientras que la gravedad es y la fricción se representa como Combinando todas las expresiones anteriores y separando por componente se encuentra que en un sistema rotante con la Tierra las ecuaciones de conservación de momento son las siguientes Los términos que involucran 1/a son resultado de la esfericidad terrestre y por lo tanto se denominan términos de curvatura. Estos términos son cuadráticos en las variables (u,v,w) y por lo tanto su no-linealidad dificulta el análisis. Por suerte, como se mostrará mas abajo, los términos de curvatura no juegan ningún papel en la dinámica de los sistemas meteorológicos en latitudes medias. No obstante, aún en ausencia de esos términos, las ecuaciones anteriores son no lineales debido a la presencia de los términos advectivos.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 13 3.3.2 Análisis de escala Las ecuaciones de movimiento describen todos los tipos y escalas de movimientos atmosféricos. Incluyen, por ejemplo, las ondas de sonido que son, no obstante, de importancia menor en meteorología dinámica. El análisis de escala es una técnica que permite estimar el orden de magnitud de los términos que componen la ecuación de movimiento para el tipo de movimiento que nos interesa y retener sólo aquellos que sean significativos. En esta sección realizaremos un análisis de escala que tiene como objetivo describir los sistemas sinópticos y que filtra aquellas soluciones, como las ondas sonoras, que no juegan un papel importante en la dinámica de estos sistemas. Las caracteristicas del movimiento atmosférico dependen en gran medida de la escala horizontal por lo que su consideracion es un método conveniente para clasificar distintos sistemas de movimiento. La tabla 3.1 muestra algunos tipos de movimientos comunes en la atmósfera. Tabla 3.1 Escalas horizontales caracteristicas de movimientos atmosfericos. En forma general es posible definir rangos de variaciones espaciales con límites aproximados, que se muestran en la tabla 3.2.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 14 Tabla 3.2 Escalas de movimiento atmosferico. Notar la gran diferencia en escalas horizontal y vertical dado por las extensiones horizontal y vertical de la troposfera. Para escalas sinópticas los sistemas en latitudes medias tienen las siguientes características: La escala para las fluctuaciones horizontales de presión está normalizada por la densidad para que produzca una estimación que sea válida en todas las alturas de la tropósfera a pesar de que δp y ρ decrecen exponencialmente con la altura. Esta escala indica que la diferencia de presión entre altas o bajas adyacentes es del órden de 10 mb. La escala temporal es una escala advectiva apropiada para sistemas que se mueve aproximadamente a la misma velocidad que el viento horizontal, lo cual se observa a escala sinóptica. Por lo tanto L/U es el tiempo requerido para recorrer una distancia L a

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 15 velocidad U y la derivada total escala d/dt ~ U/L para estos movimientos. Asumiendo una latitud media de 45 el parámetro de Coriolis es del órden de 10-4 s -1, y podemos calcular los órdenes de magnitud de todos los términos involucrados en las ecuaciones de conservación de momento (ver figura 3.5). Notar que el término de fricción molecular es tan pequeño que puede despreciarse en todos los casos excepto cerca del suelo. Figura 3.5 Escalas de los términos en las ecuaciones horizontales de conservación de momento. De este análisis se desprende claramente que a primer órden el balance de momento se realiza entre la fuerza del gradiente de presión horizontal y la fuerza de Coriolis. Este balance se conoce como balance geostrófico y representa la relación de diagnóstico fundamental para el flujo de latitudes medias. Esta aproximación de las ecuaciones no tiene referencia al tiempo y por lo tanto no puede ser usada para predecir la evolución del campo de velocidades. Para determinar el tipo de flujo que describe el balance geostrófico es necesario considerar el balance de las fuerzas que actúan. La fuerza del gradiente de presión está dirigida siempre de alta a baja presión en forma perpendicular a las isóbaras. Para que la fuerza de Coriolis balancee esa fuerza debe estar dirigida en forma perpendicular a la dirección del movimiento de la parcela de aire y hacia la derecha (izquierda) en el H.N. (H.S.) (figura 3.6). Por lo tanto el movimiento de la parcela será a lo largo de las isóbaras y el sentido estará dado por f.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 16 La expresión del viento geostrófico es Figura 3.6 Viento geostrófico. En forma vectorial lo cual muestra claramente que el viento geostrófico debe ser siempre paralelo a las isóbaras y de magnitud proporcional al gradiente de presión e inversamente proporcional a la densidad y al parámetro de Coriolis. Para latitudes medias el viento geostrófico es muy cercano al observado, quizas dentro de un márgen del 10-15%, mientras que cerca del Ecuador el balance no es válido ya que f 0 y el viento geostrófico no se parece en nada al real.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 17 Dado que el balance geostrófico no hace referencia a derivadas temporales el viento geostrófico es estrictamente válido solamente en regiones de aceleración nula, lo cual implica que ni la magnitud ni la dirección del viento pueden cambiar. La figura 3.7 muestra la situación sinóptica en 250 mb para el 15 de febrero de 2011 incluyendo las isotacas. Como se observa en la mayor parte de la región la magnitud y/o la dirección de la velocidad cambia. Figura 3.7 Situación sinóptica en 250 mb para el 15/02/2011. Se muestran los contornos de altura (blanco, dam) y en verde las isotacas mayores a 70 nudos. Los cambios en la magnitud del viento son mas prominentes en la vecindad de máximos de vientos llamados jet streaks, mientras que cambios en la dirección del viento (máximos de curvatura) son claros cerca de las vaguadas y cuñas que se distinguen en el campo de presión. El grado de alejamiento del balance geostrófico que caracteriza estas regiones puede ser determinado considerando la diferencia entre el viento real y el geostrófico calculado en el mismo punto. Esta diferencia se conoce como viento

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 18 ageostrófico V ag y se define matemáticamente como El valor de esta definición proviene del hecho que es posible introducir la posibilidad de pronóstico. Para ello consideremos los términos mayores o iguales a 10-4 de las ecuaciones de momento. Entonces, Sustituyendo el balance geostrófico en estas ecuaciones lo cual puede ser escrito como lo cual indica que el viento ageostrófico está asociado a regiones de aceleración Lagrangiana del viento, y predice la evolución temporal del viento total. Notemos que la aceleración está siempre a 90 de Vag. Asimismo, en un jet streak la ecuación anterior indica que a la entrada el flujo debe desviarse hacia alturas de geopotencial mas bajas, mientras que a la salida debe desviarse hacia alturas de geopotencial mas altas. Mas adelante veremos la gran importancia del viento ageostrófico en la comprensión de la dinámica de la atmósfera de latitudes medias.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 19 Por lo que vimos mas arriba, para determinar si un flujo estará cercano al balance geostrófico es necesario comparar el término de aceleración lagrangiano con el término de Coriolis. Recordando que el término de aceleración escala como U 2 /L y el de Coriolis como f 0 U entonces el cociente entre estas aceleraciones es Este cociente es adimensional y se denomina número de Rossby (Ro). Para valores de Ro < 0.1 la aceleracion lagrangiana es despreciable frente a la de Coriolis y el flujo es aproximadamente geostrófico. La figura 3.8 muestra un análisis de escala para la componente vertical de las ecuaciones de movimiento. En este caso está muy claro que el balance predominante es entre la gravedad y la componente vertical del gradiente de presión, o sea domina el balance hidrostático. Figura 3.8 Escalas de los términos de la componente vertical de la ecuación de conservación de momento. Por todo lo anterior se desprende que a primer orden la atmósfera en latitudes medias se encuentra en balance hidrostático y geostrófico. 3.4 Ecuación de conservación de masa La conservación de la masa de un fluido en su movimiento está dado por la ecuación de continuidad. El flujo de masa que entra y que sale de un elemento de volumen δxδyδz

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 20 en la dirección x puede escribirse como Figura 3.6- Balance de masa de un elemento de volumen. Flujo de masa que entra u z y Flujo de masa que sale x x u u x z y x El flujo de masa neto (sale-entra) es entonces u x u x x x u x x z y, Cuando δx -> 0, el segundo término es despreciable comparado con los otros dos y obtenemos En tres dimensiones u x u u x z y= x x x y z. u x v y w z x y z

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 21 El flujo de masa debe estar balanceado por el cambio de masa en el elemento de volumen t x y z y por lo tanto la ecuacion de conservacion de masa queda t u x v y w z =0. Esta ecuación fue derivada por primera vez por L. Euler (1707-1783). Es posible también escribir esta ecuación de la siguiente forma Un fluido cuyas parcelas individuales no experimenten un cambio en su densidad siguiendo el movimiento (dρ/dt=0) se conoce como fluído incompresible. Es claro que la atmósfera es un fluído compresible. No obstante para muchos procesos atmosféricos la compresibilidad no juega un papel importante. En estos casos la ecuación de continuidad simplemente establece que la divergencia del campo de velocidades es nula. 3.5 Ecuación de conservación de energía La atmósfera puede guardar energía en forma de calor latente, energía cinética, energía interna y energía potencial. Uno de los mayores problemas en el estudio de los procesos atmosféricos es determinar cómo es la conversión entre las diferentes formas de energía. Para derivar la ecuación de conservación de la energía comenzamos multiplicando las ecuaciones de momento por la velocidad, y obtenemos

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 22 Sumando estas tres ecuaciones y notando que los términos de Coriolis y de curvatura suman cero (recordemos que Coriolis no realiza trabajo) resulta El término de la izquierda representa la razón de cambio de la energía cinética total del flujo. El primer término de la derecha representa el trabajo realizado por la velocidad ageostrófica contra el gradiente de presión. Cuando la velocidad está dirigida a través de las isóbaras de alta a baja (de baja a alta) presión se produce (consume) energía cinética. Notar que en el caso de un flujo exactamente geostrófico V es paralelo al gradiente de la presión y el término se anula. Por definición w=dz/dt y -gw puede escribirse como donde es el geopotencial, una medida del trabajo necesario para elevar una unidad de masa una distancia z por encima del nivel del mar. Entonces vale donde el lado izquierdo representa la suma de la energia cinética y potencial por unidad de masa de una parcela de atmósfera. El último término a la derecha representa la energía disipada por la fricción. Notar que como V y F son en general opuestas el producto V.F será negativo y la energía de la parcela decrecerá en presencia de fricción como es esperable.

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 23 Como la ecuación anterior se derivó de las ecuaciones de movimiento relaciona únicamente formas de energía mećanicas y se denomina ecuación de energía mecánica. Para incluir las otras formas de energía en la atmósfera es necesario considerar la primera ley de la termodinámica que relaciona la razón del calentamiento con cambios en la energía interna y el trabajo de expansión. Cv es el calor específico del aire seco a volumen constante (717 J/kg/K) y α es el volumen específico. Reordenando la ecuación de energía mecánica y sumándosela a la 1a ley obtenemos Notando que y que 1 V. p= dp dt p t es posible reagrupar los términos de la forma

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 24 que se conoce como la ecuación de conservación de la energía. Esta ecuación implica que para un flujo adiabático, estacionario y sin fricción se conserva la siguiente cantidad la cual es similar a la ecuación de Bernoulli para un fluído incompresible Esta relación sugiere que para una atmósfera en reposo un incremento en la elevación resulta en una disminución de la presión hidrostática (obvio!). Si la atmósfera, por el contrario, está en movimiento aparece una mayor diferencia de presión aún considerando el mismo incremento de elevación pues en este caso es una diferencia en presion dinámica. Por ejemplo, para un flujo sobre una montaña, a medida que el aire sube la velocidad del viento aumenta. Por lo tanto la diferencia de presión entre el pico y la base de la montaña (p2-p1) debe ser mayor que su diferencia hidrostática pues la velocidad del viento es mayor en el pico que en la base (u2>u1). 3.5.1 Temperatura potencial y estabilidad estática Consideremos nuevamente la 1a ley de la termodinamica y sustituyamos el termino de trabajo usando una versión diferencial de la ley de gases ideales y donde también usamos cp=cv+r. Dividiendo pot T y recordando que α/t=r/p donde el término de la derecha es la entropía. Consideremos un proceso isentrópico donde una parcela se mueve desde una presión p y temperatura T a un nivel de presión p0 de referencia con una temperatura de referencia. Este proceso define la temperatura potencial ; integrando

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 25 Esta última se denomina ecuación de Poisson. Físicamente es la temperatura que tendría una parcela de aire si fuera comprimida (o expandida) adiabáticamente desde su presión original p (altura) hasta una presión (altura) de referencia p0 (en general 1000mb). Líneas de constante se denominan isentrópicas. La temperatura potencial permite estudiar la estabilidad vertical de la atmósfera. Tomando el diferencial del logaritmo de Sustituyendo dp/dz con la ecuación hidrostática y usando ley gases ideales Si la temperatura potencial es constante con la altura se halla una expresión para el lapse rate seco d = T z = g c p =9.8C / km

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 26 en otro caso ( = T z ) = d T z Esta expresión permite estudiar la estabilidad de parcelas de aire no saturadas frente a perturbaciones verticales. Si > 0 entonces Γ < Γd y corresponde a una z estratificación estable. En este caso una parcela de aire seco (que debe enfriarse a 9.8 C/km) que ascienda se enfriará a una razón mayor que el entorno. Dado que la parcela se ajusta inmediatamente a la presión del entorno, de la ecuación de estado está claro que la parcela será mas densa que el aire a su alrededor y tenderá a bajar. Si = 0, z Γ = Γd, corresponde a una estratificación neutra y la temperatura de la parcela tendrá siempre la misma temperatura que el entorno. Finalmente, si < 0, Γ > Γd, z corresponde a una estratificación inestable y la parcela estará siempre mas cálida que el entorno por lo que podrá realizar convección libre. Esta situación no es muy común pues la atmósfera tenderá a mezclarse rápidamente hacia una condición de estabilidad neutra. En el caso estable una parcela que es elevada a cierta altitud será forzada a volver a su posición original y, despreciando la fricción, tenderá a oscilar alrededor de su posición de equilibrio original. La frecuencia de oscilación dependera de la fuerza restitutiva, que será la gravedad multiplicada por la diferencia de densidades de la parcela y el entorno. La expresión para la frecuencia es y se conoce como frecuencia de Brunt-Vaisala. Referencias An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004. Mid-Latitude Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.