. PRÁCTICA : MODELADO DE SISTEMAS. INTRODUCCIÓN Esta práctica está dedicada al modelado de sistemas. En primer lugar se describen las técnicas de representación basadas en el modelo de estado y posteriormente se decribe la representación mediante la función de transferencia.. SIMULINK Además del entorno de comandos, MATLAB se puede suplementar con una interfaz gráfica de usuario basada en ventanas, conocida como Simulink, en la cual se puede describir gráficamente un sistema dibujando diagramas de bloques. Esto es especialmente conveniente para la simulación de sistemas dinámicos. Dibujar un diagrama de bloques requiere la utilización de un ratón con operaciones de pulsar, arrastrar y dibujar. Para comenzar hay que abrir la biblioteca de bloques de Simulink. Escriba simulink (en la ventana de comandos de MATLAB) o seleccione con el ratón, en la parte superior de la ventana de comandos, el icono. La biblioteca contiene todos los bloques de construcción utilizados normalmente para dibujar diagramas de bloques. Estos bloques están organizados en grupos (o sublibrería de acuerdo con su comportamiento. Una doble pulsación sobre el nombre de una sublibrería abrirá una nueva ventana que muestra el contenido del grupo. Por ejemplo, dentro de la Linear Library o dentro de la librería Simulink/Continous pueden encontarse los bloques de función de transferencia, integrador, modelo de estado etc... Un diagrama de bloques se dibuja copiando bloques de la librería. El diagrama de bloques se construye con los pasos siguientes: Crear una ventana de trabajo seleccionando New del menú File de cualquier ventana de librería. Copiar un bloque de la Linear Library en la ventana de trabajo arrastrándolo hasta la ventana de trabajo y moviéndolo a una posición deseada. Hacer una doble pulsación sobre el bloque y configurar el elemento rellenando los distintos campos. Dos bloques cualesquiera se pueden conectar dibujando una línea o algunos segmentos de líneas conectados desde el puerto de salida de un bloque (con > apuntando hacia fuera del bloque) al puerto de entrada del otro bloque (con > apuntando hacia el bloque). Se puede añadir una línea de bifurcación iniciándola cerca de la salida de un bloque o pulsando la tecla control cuando comienza la bifurcación.
. Las operaciones pueden variar ligeramente en plataformas diferentes y el lector debería consultar el manual de usuario de Simulink..3 Gestión de los modelos de estados con Matlab y Simulink Un modelo de estado lineal representado por las matrices A, B, C y D es un formato común para introducir modelos en las órdenes de Matlab. Los algoritmos numéricos se preparan de forma muy rápida y eficiente si el modelo se introduce en el formato modelo de estado. Los sistemas modelados según esta estructura responden a la ecuación diferencial matricial: x&= A x + B u y = C x + D u Para crear en Matlab un modelo de estado de utiliza el comando ss: sistema = ss(a, B, C, D) Cuando se crea un modelo, hay que tener especial cuidado al introducir las matrices A,B,C y D teniendo en cuenta que las filas de la matrices deben estar separadas por ; El comando anterior crea un objeto con el nombre sistema sobre el que se puede obtener la respuesta temporal de la variable de salida del modelo a diferentes tipos de entrada: step (sistema): respuesta al escalón con condiciones iniciales nulas. impulse(sistema): respuesta a la señal impulso. Si se desea simular el comportamiento del sistema para una entrada arbitraria y condiciones iniciales no nulas se utilizará el comando: lsim(sistema,u,t,x) Donde el vector t consiste en instantes de tiempo regularmente espaciados, x es una matriz de valores iniciales, con tantas filas como variables de estado haya, u es una matriz con tantas columnas como entradas tenga el modelo, de forma que cada fila especifica el valor de las entradas en un instante de tiempo, es decir, la iésima fila especifica el valor de la entrada en el tiempo t(i).
.3 Alternativamente, un modelo de estado se puede describir también mediante diagramas de bloques de Simulink, ver la figura.3. El modelo de estado se puede especificar escogiendo el bloque State-Space, haciendo una doble pulsación sobre él y a continuación introduciendo las correspondientes matrices A, B, C y D; la condición inicial del vector de estado de cada bloque se puede fijar también desde ese mismo interfaz gráfico, ver la figura.4 figura. figura. En esta figura se muestra un ejemplo donde se ha definido un modelo de estado en el que las matrices tomam los valores: A=, B=; C= y D=; Por tanto, se está representando un modelo con una sola variable de estado una variable de entrada y una salida.
.4.4 LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La función de trasferencia se obtiene directamente de las ecuaciones diferenciales que definen el sistema. Una vez obtenida, es posible trabajar sobre ella con el entorno que proporcionan MATLAB y la herramientas Simulink. Para trabajar con funciones de transferencia en Simulink simplemente es necesario escoger el bloque correspondiente. Este módulo se encuentra en la librería Continuous y se llama Transfer Fcn. La forma de este bloque una vez colocado en simulink es la siguiente: Los parámetros a configurar en este bloque son los siguientes: Coeficientes del numerador y Coeficientes del denominador. Ambos datos han de escribirse en forma matricial, escribiéndose de mayor a menor grado de derecha a izquierda, ver figura.3 figura.3 Configuración de un bloque para una función de tranferencia Con los parámetros mostrados anteriormente quedaría la función de transferencia anterior. El numerador sería y el denominador sería s+. Por otra parte, MATLAB también ofrece la posibilidad de realizar tareas de modelado y manipulación de funciones de transferencia desde el interfaz de comandos. Para asociar un
.5 sistema con una función de transferencia se utiliza la sentencia tf. Por ejemplo, el siguiente código crea un sistema llamado sis, al que se le asocia la función de transferencia : 5 s + s + 4 s + Los coeficientes del numerador se encuentran en la matriz n y los coeficientes del denominador se encuentran en la matriz d. n=[ 5 ]; %Vector fila para definir coeficientes del numerador d=[ 4 ]; %Vector fila para definir coeficientes del denominador sis = tf(n,d); En ocasiones, puede ser útil especificar la función de transferencia por los polos y ceros que lo componen. En este caso se utiliza la sentencia zpk. Por ejemplo, el siguiente código asocia el sistema sis con la función de transferencia: 5( s + 4) ( s + )( s ) z = [-4]; % Matriz de ceros p = [- ]; %Matriz de polos k=5 %Valor de la constante sis=zpk(z,p,k) Aunque la conversión entre los dos formatos no es una tarea difícil con funciones de transferencia simples, el cambio puede llegar a ser tedioso con funciones de elevado orden y la consideración de raíces complejas. Las órdenes de conversión en MATLAB son tfzp (función de transferencia a ceros y polo o zpt(ceros y polos a función transferencia). Por ejemplo, el siguiente programa convierte la primera función de transferencia, introducida al principio de esta página, a la nueva forma: 5( s + 4) ( s + 4 j)( s + + 4 j) n=[ 5 ]; d=[ 4 ]; %Vector fila para definir coeficientes del numerador %Vector fila para definir coeficientes del denominador
.6 [z, p, k] = tfzp(n,d) %Convertir a formato polo-cero Como resultado se obtiene la matriz z que contiene los ceros del sitema, y la matriz d que contiene los polos del sistema. Si lo que se desea es establecer los ceros y polos del sistema, y obtener la función de transferencia como cociente de polinomios en s, puede utilizarse el siguiente código: k = 5; z = -4; p = [-+j*4-4*j] ; [n, d] = zptf (z, p, k) %Definir el factor de ganancia %Especificar el cero %Vector columna para definir los polos %Convertir a una razón de polinomios Observe que el apóstrofo (que sigue al vector p) traspone el vector. Aunque la notación utilizada para identificar los diferentes datos (n, d, p, etc) es arbitraria, la secuencia en la cual de introducen los datos en cada orden de conversión debe corresponder a un formato que es específico de la función. El siguiente programa describe un modelo de estado, obtiene una función de transferencia equivalente y a continuación lo convierte otra vez a un modelo de estado en forma canónica de control a = [ ; -4 4; - ]; %Definir la matriz A b = [ 4 ] ; %Definir la matriz B c = [/ ]; %Definir la matriz C d = ; %Definir la matriz D [n, d] = sstf (a, b, c, d) %Convertir el modelo de estado en F.T. [aa,bb,cc,dd]=tfss(n,d) %Convertir F.T. a modelo de estado Observe que la conversión de una función de transferencia en un modelo de estado no proporciona una solución única y la orden tfss produce una solución que es una variación de la forma canónica de control, donde las variables de estado se relacionan en orden inverso. Para el estudio de la respuesta temporal de los sistemas definidos mediante funciones de transferencia, MATLAB utiliza los comandos: step, impulse. Adicionalmente, MATLAB incorpora una serie de funciones que permiten el análisis de sistemas modelados mediante funciones de transferencia:
.7 El comando bode(si dibuja los diagramas de bode del sistema. El comando evalfr(sis, j*w ) Genera el valor de G(j w) en formato parte real y parte imaginaria. El comando pole(si devuelve los polos del sistema. El comand tzero(si devuelve los ceros del sistema El comando pzmap(si muestra en pantalla el diagrama de polos y ceros del sistema. El comando rlocus(si dibuja la evolución de los polos del sistema, para cualquiera de las dos estructuras que se muestran en la figura.4, cuando k varía entre e infinito. figura.4 El comando rlocfind(sy permite obtener el valor que hay que darle a la ganancia k para que el sistema tenga unos determinados polos. Esto se consigue pinchando con el ratón sobre la figura obtenida con el comando rlocus(si.
.8.5 EJERCICIO RESUELTO Nº Se pretende simular las distintas posibilidades de movimiento de una masa que se mueve bajo la acción de la gravedad. Se considera que la masa tiene un valor de kg, la constante de rozamiento viscoso del aire es de.kg/s, y que la aceleración de caída en el campo gravitatorio es de 9.8m/s. La descripción del movimiento se realiza en un plano determinado por un sistema de referencia cuyo eje X es paralelo al suelo, cuyo eje Y es perpendicular al mismo y cuyo origen está situado al nivel del suelo. a) Programe un script en Matlab para simular el movimiento de la masa considerando que es lanzada desde el origen de coordenadas con una velocidad de m/s, formando un ángulo con la horizontal de 3º..6 SOLUCIÓN a) En este apartado se consideran como salidas: la evolución de las coordenadas espaciales x e y ; y las velocidades v x y v y. Por tanto el modelo de estado es el siguiente: ( ) g + =.. 4 3 4 3 ( ) g v x v y x y + = 4 3 Las condiciones iniciales son [;*sin(3*pi/8) ; *cos(3*pi/8)], la gráfica que muestra la evolución el en plano X-Y se muestra en la figura.7
.9 5 4 3-5 5 5 3 35 figura.7 Trayectoria en el plano X-Y Finalmente se resuelve este último apartado mediante un script: %introducción de las matrices A=[ ; -. ; ; -.]; B=[;-; ; ]; C=[ ; ; ; ]; D=[;;;]; %generación del sistema masa=ss(a,b,c,d); %condiciones iniciales x=[;*sin(3*pi/8); ; *cos(3*pi/8)]; %vector tiempo t = :.:; %vector de entrada u = 9.8*ones(size(t)); %integración del sistema x=lsim(masa,u,t,x); %representación de la trayectoria en el plano X-Y plot(x(:,3),x(:,)).7 EJERCICIO PROPUESTO Nº.- Simule el sistema del ejercicio anterior usando un script en Matlab para los siguientes casos: a) Altura inicial h, velocidad inicial v, y ángulo inicial del movimiento?=. b) Altura inicial h, velocidad inicial v, y ángulo inicial del movimiento?. c) Altura inicial h, velocidad inicial v, y ángulo inicial del movimiento?=p/..- Modifique el modelo anterior para incluir el efecto de la fuerza del viento. Considere que las componentes del viento son [-5 N, N] cuando t >.5 s; y [,] cuando t <.5 s. Simule el modelo en MATLAB para los siguientes valores de los parámetros: h= m, v= m/s, y?= p/4.
..8 EJERCICIO RESUELTO Nº Considerando el siguiente esquema: Donde la longitud del muelle en reposo es d= m., K representa la constante de elasticidad del resorte, cuyo valor es N/m, µ la constante de rozamiento viscoso, cuyo valor es Kg/s y M la masa tiene un valor de Kg. Consideramos como variable de entrada del sistema la posición del extremo libre de resorte x (t), como salida y la posición x de la masa M, y como salida y la distancia entre el punto x el x. Obtenga las funciones de transferencia Y (/X ( e Y (/X (, simule en SIMULINK las siguientes situaciones: a) El punto se desplaza con una velocidad constante x = m/s. b) El punto se desplaza instantáneamente de x= a x=. c) Dibuje los polos y ceros de la función de transferencia Y (/X (, analice mediante el lugar de las raices el efecto la constante k sobre los polos de dicha función de transferencia..9 Solución Ecuación del movimiento de la masa Para la salida y : dx d x k( x x ) µ = m dt dt k x ( = m s x ( + µ s x ( + k x ( k x ( = x ( [m s + µ s + k]
. Funcion de transferencia: x ( x ( = y( x ( = m s k + µ s + k Para el caso de la salida y : y = x x x = y +x dy dx d y d x k ( y ) µ ( + ) = m( + dt dt dt dt ) - µ sx (S) m s x (= m s y ( + k y ( + µ s y ( x ( [- µ s m s ] = m s y ( + k y ( + µ S y ( Función de transferencia: y ( x ( = µ s m s m s + µ s + k a) La situación en la que el punto x se mueve con una velocidad constante x = se simula suponiendo que la entrada es una señal rampa de valor. Representando las las funciones de tranferencia en simulink queda el siguiente diagrama de bloques: figura.8
. Observe cómo la condición inicial para la posición de la masa y la longitud del muelle se ha modelado mediante la suma, a la salida de los bloques de las funciones de transferencia, de un valor constante e igual a. Con este diagrama obtenemos la siguiente gráficas: a) b) figura.9 En la figura.9-a), la línea amarilla (más clara) representa el desplazamiento del extremo libre del muelle (x ) cuya velocidad se mantiene constante, la línea morada (más oscura) representa el movimiento de la masa (x ). Puede observarse cómo, al principio, la masa comienza desplazándose mas lentamente que el extremo libre del muelle, hasta que la fuerza que ha ejercido el muelle sobre ella es suficientemente grande como para acelerarla y que alcance la velocidad de x. En la figura figura.9-b) se representa la evolución de la salida y. Se observa cómo la longitud del muelle aumenta hasta alcanzar un valor máximo. Finalmente, tras un pequeño tiempo transitorio la longitud del muelle se estabiliza, coincidiendo con el momento en que la masa alcanza la misma velocidad que el extremo libre del muelle. b) Para simular la situación propuesta en este apartado se sustituye la señal rampa por una señal escalón, Las gráficas obtenidas son las representadas en la figura.. En la figura.-a), la línea amarilla (más clara) representa el desplazamiento instantáneo del extremo libre del muelle, la línea morada (más oscura) representa el movimiento de la masa. Nótese cómo éste se desplaza más lentamente hasta que se estabiliza su posición tras una pequeña oscilación. Por otra parte, En la figura figura.-b) se representa la evolución de la salida y ; se ilustra claramente cómo la longitud del muelle disminuye bruscamente. Por último, tras un pequeño tiempo transitorio el muelle alcanza su longitud inicial.
.3 a) b) figura. c) >>pzmap(si Pole-zero map.8.6 Imag Axis.4. -. Polos -.4 Ceros -.6 -.8 - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Real Axis La función de transferencia puede rescribirse de la forma: y ( x ( = m s + µ s + k m s + µ s = + k m s + µ s Lo cual responde a un sistema en bucle cerrado del tipo
.4 Para ver la influencia del parámetro k se utiliza la técnica del lugar de las raices:» n=[];» d=[ ];» sys=tf(n,d);» rlocus(sy Puede observarse cómo la gráfica tiene dos ramas que se corresponden con los dos polos del sistema. Cada una de las ramas comienza en el valor correspondiente a k = ; ambas ramas representan la ubicación de los polos conforme k varia desde hasta tomar un valor infinito. Las raíces que hacen que el sistema responda de forma críticamente amortiguada son dos raíces múltiples que delimitan la frontera entra raíces reales y raíces con parte imaginaria distinta de cero.
.5. EJERCICIO PROPUESTO Nº ) Realice los apartados a) y b) de la práctica anterior programando un script en Matlab. ) Utilizando el lugar de las raíces obtenido en el apartado c) de la práctica anterior, y aplicando el comando rlocfind, determine el valor de k que hace que el sistema presente los polos en: [-.5+.4 j; -.5-.4j]; [-.5+.8 j; -.5-.8j]; [-.3; -.7].