Procesamieno Digial de Señal Análisis de Fourier en iempo coninuo eorema de Fourier Serie de Fourier ransormada de Fourier Fórmulas de análisis y de sínesis Respuesa en recuencia de sisemas LI Dominio de Frecuencia Meodología: Señales elemenales a parir de las cuales se puede consruir por combinación lineal cualquier señal. Consruir la respuesa al sisema a parir de su respuesa a la señal elemenal. Se inroducen los siguienes concepos: Eponenciales complejas como señal básica. Dualidad enre dominios de iempo y de recuencia Respuesa en recuencia de sisemas LI. Las señales armónicas son auounciones Relación enre la serie y la ransormada de Fourier
Represenación de señales Formas de especiicar una señal Uno de los méodos de represenar la señal es bajo la orma de suma de componenes de disinas recuencias, cada una de ellas con una ampliud y una ase inicial Especro de una señal Represenación de señales Si se analiza la señal en el dominio de las recuencias, la unción represena el especro de la señal. Un especro debe incluir para poder represenar unívocamene la señal no sólo la magniud sino ambién la ase inicial
Uilizando la órmula de Euler, Fórmula de Euler A ep jw A cosw ja sinw podemos epresar cualquier unción de ipo seno o coseno real como combinación de eponenciales complejas periódicas. Por ejemplo, A ACosw e jω A e jω A Ree jw ; ASenw A Imge jw ; Aj e jω A j e jω Represenación de señales Especro de una señal sinusoidal : represenación real A cosω o Φ A o Φ o Represenación mediane asores complejos A/ e jωo Φ A/ e -jωo Φ En ambos casos se dan dos represenaciones Ampliud y ase vs recuencia A - o Φ o A/ - o Φ o A/
Eponenciales complejas Asociado a cada eponencial compleja eise su conjuno de señales relacionadas armónicamene: Conjuno de señales periódicas eponenciales cuyas recuencias undamenales son odas múliplos eneros de una única recuencia posiiva w : φ e jw,, ±, ±, donde, para, φ es una ce. y para <>, φ es una unción periódica con periodo undamenal ó recuencia undamenal w. Son unciones orogonales. Eponenciales complejas Una combinación lineal de dichas señales, ep jw ambién es periódica con periodo y se conoce como la represenación por Series de Fourier de ó ecuación de Sínesis ya que epresa la descomposición de la señal como combinación lineal de eponenciales complejas: Con ampliudes el conjuno discreo { } y, Para un conjuno discreo de recuencias w,, ±, ±,..., relacionadas armónicamene.
Análisis : epansión rigonomérica A ep jw A cosw ja sinw / w π ep jw / ep jw d / A { A epjw } A cosw Re { } Asinw Im A epjw ep jnw ep jnw cosnw ep jnw ep jnw sinnw j Análisis de Fourier El análisis de unciones periódicas como epresión de series armónicas emporales iene su origen a ines del siglo 8 y comienzos del siglo 9 En 8 Jean Bapise Fourier airmó que cualquier unción periódica puede ser represenada mediane una suma ininia de senos y cosenos n A n cos nα B n sin nα La deerminación de A n y B n es llamada análisis armónico
eorema de Fourier oda curva periódica* puede reproducirse eacamene superponiendo un número suiciene de curvas armónicas simples Una unción periódica en el iempo con recuencia, puede epresarse como una superposición de componenes sinusoidales de recuencias,, 3,, *. Las componenes sinusoidales que se suman son denominados COMPONENES de FOURIER El componene de Fourier con el mismo periodo que la unción original se denomina FUNDAMENAL. Los componenes con recuencias superiores y múliplos de la recuencia undamenal se denominan ARMONICOS * cumpliendo las condiciones de Dirichle..- Inegrable en el periodo.- con un numero inio de máimos o mínimos en el periodo 3.- con un numero inio de disconinuidades Serie de Fourier: : epansión rigonomérica Serie de Fourier: Una señal periódica de poencia inia se puede descomponer igualmene en una suma de senos y cosenos. a a cos w b sin w Los coeicienes se calculan: a b / / / /.cos w d,,,....sin w d,,3... a n a b 4/π a b a 3 b 3 4/3π a 4 b 4 a 5 b 5 4/5π a 6 b 6 a 7 b 7 4/7π
Series de Fourier La anerior epresión puede darse ambién en orma polar: A A cos ω θ Y en orma eponencial: ep j ω Cálculo de los coeicienes Relaciones enre coeicienes: a jb Donde A es al que Se demuesra que A θ A a jb θ j d ep ω A A asedeθ asede Series de Fourier Especro de señales periódicas : Los coeicienes [] son los coeicienes especrales de la señal. La gráica de esos coeicienes en unción del índice armónico ó de las recuencias ω, se denomina especro. Hay dos gráicos, uno de magniud con los coeicienes [] y oro de la ase de []. La unción [] así como la ase de [] son unciones discreas de la recuencia. Es imporane saber cuanos armónicos serán necesarios para reconsruir una señal dada. Para ello uilizaremos la relación de Parseval. Relación de Parseval P d La poencia conenida en una señal puede evaluarse a parir de los coeicienes de su correspondiene serie de Fourier.
El número, audibilidad y conormación de los armónicos da como resulado el imbre del sonido. Series de Fourier Series de Fourier Propiedades [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ] { } { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Y y Y y n Convolucio m m m Modulacion j C j d Inegral j Y y S * cos cos en armonicos Escalado ep Reraso Derivada ion Superposic * α π α α π α α α π α π π β α β α
Ejemplos de series de FOURIER: ren de pulsos Una señal muy uilizada * es un ren de pulsos recangulares, de duración d y que se repien con período Los coeicienes valen: Ad sin c d / donde sinc z sinπ.z/π.z * es imporane porque al muesrear una señal en el mundo real el ren de impulsos de muesreo en realidad ísicamene es un ren de pulsos. A Ad/ / / 3/... /d /d 3/d... π -π d Ejemplo de serie de FOURIER: onda cuadrada Dada onda cuadrada sq de período, deinida en [-/,/] por: sq - si -/ > > sq si > >/ Los coeicienes a n resulan odos nulos, y la epresión de sq como serie de Fourier queda: sq 4 sin ω 3 sin 3ω 5 sin 5ω 7 sin 7ω π er.armónica 3er.armónica 5a armónica 7ma armónica... -/ / sq er.armónica er3er.armónicas er3er5a armónicas
Ejercicios Esudiar la relación enre señales periodicas en dominio de iempos y señales discreas en el dominio de recuencias. Caracerísicas del especro de una señal periodica real. Analizar la propiedad de convolución de las series de Fourier desde un puno de visa inuiivo. Qué signiica n*yn De igual modo raar de jusiicar inuiivamene las propiedades de muliplicación y de desplazamieno en el iempo Serie de Fourier de un ren de pulsos: qué sucede si los pulsos se espacian cada vez más crece? Series de Fourier Eeco Gibbs Para señales disconinuas, su reconsrucción a parir de las series de Fourier produce el llamado eeco Gibbs, que consise en la aparición de un pico del 9% en el puno de disconinuidad. Ese eeco se da incluso cuando se emplea un número grande de armónicos para la reconsrucción. Si queremos aproimar una unción periódica con disconinuidades que iene ininios armónicos, endremos que runcar la unción hasa el armónico N. Eso nos va a producir el eeco Gibbs. Para eliminarlo se uilizan las llamadas venanas especrales que suavizan la reconsrucción de la unción.
Análisis de Fourier ransormada de FOURIER direca e inversa En iempo coninuo ransormada de Fourier Se eniende por ransormada de Fourier a la represenación de señales arbirarias a parir de eponenciales complejas. La idea es: Una señal aperiódica es el límie de una señal periódica cuando su periodo iende a ininio. - - - Si analizamos ahora la represenación por series de Fourier de, endremos: Σ -.. e jω / / e jω d Cuando -> y ->
ransormada de Fourier Queremos ampliar el concepo de series de Fourier a señales no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódica como una señal coninua de periodo ininio : El espaciado enre recuencias se aproima a y es por ano una unción coninua. La señal pasa a ser de poencia a señal de energía. Los coeicienes [] pasan a ser un coninuo de valores. Se deine la ransormada de Fourier de como lim S[ ] ep jπ d ransormada de Fourier jω ω e dω π jω ω e d Ecuación de Sínesis o ransormada Inversa de Fourier Ecuación de Análisis o ransormada de Fourier de Al igual que en el caso de periódica, la ecuación de Análisis epresa la descomposición de la señal como combinación lineal de eponenciales complejas. En el caso periódico dichas eponenciales ienen como ampliudes el conjuno discreo { } y se dan para un conjuno discreo de recuencias ω,, ±, ±,..., relacionadas armónicamene.
ransormada de Fourier En el caso de señales no periódicas:. dichas eponenciales se dan en un coninuo de recuencias y,. su ampliud es ωdω/π, de acuerdo con la ecuación de Sínesis o ransormada de Fourier de. Por analogía con el caso periódico, la ransormada ω de se conoce como el especro de y epresa cómo esá compuesa por dierenes sinusoides a dierenes recuencias. De nuevo recuérdese que ω oma en general valores complejos, de orma que su represenación gráica supone la represenación ano de su magniud ω, Re ω Img ω como de su ase ω Img ω arcg Re ω La ransormada de FOURIER La ransormada de FOURIER sobre señales coninuas y reales permie converir una señal no necesariamene periódica del dominio emporal al dominio especral de las recuencias. Genera una unción compleja que en sus pares real e imaginaria ranspora inormación de ampliud y ase de las disinas componenes de la señal analizada Usando la igualdad de Euler e jπ cosπ j.senπ, para cada valor de la inegral calcula dos érminos: uno real con la correlación enre h y cosπ y oro imaginario con la correlación enre h y senπ ransormada ransormada de de Fourier Fourier H h. e j. π.. d ransormada ransormada inversa inversa de de Fourier Fourier h π H. e j.π. d Esa ransormación y su inversa son llamadas Fourier ransorm pair, y permien pasar de los dominios del iempo a las recuencias y viceversa
Propiedades de la ransormada de FOURIER SIMERÍA:. Si h es una unción par, H es real y par. En conraposición, si h es una unción impar, H es imaginaria e impar. Si h es una señal real, la magniud de H es una unción par, y la ase de H una unción impar. Noas: para la propiedad, recordar los asores conjugados para la propiedad, cuano vale la ase inicial de cada componene de Fourier si la unción es par? Y si es impar? Propiedades de la ransormada de FOURIER ENERGÍA Y DENSIDAD ESPECRAL DE ENERGÍA: La energía que ranspora una señal puede ser evaluada inegrando la energía insanánea de la señal a lo largo del iempo inegrando la energía ransporada por cada una de las componenes de recuencia, a lo largo del especro Como ambos valores deben ser idénicos surge: E [ h ] d [ H ] d esa igualdad es llamada eorema de Parseval, y H es llamada la densidad especral de energía de h.
Propiedades de la ransormada de FOURIER SUPERPOSICION: F[ a a ] a [ ] a [ ] el especro de la suma de dos señales es igual a la suma de los especros individuales. Enonces, una señal compleja puede separarse en pares más simples y su especro ser calculado por separado CAMBIO DE ESCALA DE IEMPO: F[ a ] a -.[ /a ] si la escala de iempo de una señal es modiicada por un acor a los ejes de recuencias y ampliud del especro ambién cambian con la inversa de dicho acor INVERSION EMPORAL: F[ - ] [ - ] *[ ] si el eje del iempo se inviere lo mismo pasa con los ejes de recuencias en el especro. Es un caso del cambio de escala de iempo con a- Propiedades de la ransormada de FOURIER DEMORA IME DELAY: F[ - ] [ ].ep-jπ demorar una señal en el iempo equivale a modiicar la ase de las componenes del especro un angulo proporcional al iempo de demora y a la recuencia de la componene NOA: en conraparida, si el reardo de ase no se hace proporcional a la recuencia de la componene, las demoras de las disinas componenes son ambién disinas, y la señal se deorma
Propiedades de la ransormada de FOURIER RASLACION DE FRECUENCIA: F[.epjπ ][ - ] si una señal es muliplicada por una sinusoide compleja de recuencia, el especro original se desplaza ese valor en el eje de recuencias MODULACION: F[.cos π ] ½[- ]½[ ] esa propiedad surge de las de raslación de recuencia y de simería. En el especro aparecen las dos bandas laerales. NOA: si la señal se muliplica por una sinosoide compleja no aparecen bandas laerales sino solo un desplazamieno en recuencia!!! Eso es de suma imporancia en comunicaciones por BLU Banda Laeral Única. ransormada de Fourier Mas propiedades de la ransormada de Fourier Superposicion Derivada Inegral Escalado jωα F { a by } a ω by ω Desplazami eno F{ α } e ω j πα F{ } jω ω F{ e } α n n F{ } jω ω Convolucio n F{ y } ω Y ω F{ jπ } π ω F{ y } [ ω Y ω ] n n n π { jπ } F π ω F d ω π δ w jω ω F{ α } α α Parseval eorema del valorinici al π d ω lim[ jω ω ] ω dω
Eejmplos de especros Un impulso: si δ enonces ω Un impulso posee conribuciones de igual magniud en odas las recuencias - - Un pulso recangular: si para < y en odos los oros casos, enonces ω.senω/ω el especro es nulo en odos los casos en que ωπ/ y posee la orma de una cosinusoide amoriguada - - - π/ π/ 3π/ ransormada de Fourier Relación enre las Series y la ransormada de Fourier: ω es la unción envolvene de []. Si muesreamos ω a inervalos, la unción resulane es el especro de una señal periódica de periodo /. Es decir, muesrear en el dominio de recuencia se corresponde con señales periódicas en el dominio emporal.
ransormada de Fourier Podemos uilizar la ransormada de Fourier para analizar la respuesa a sisemas LI, valiéndonos del hecho de que convolución en el iempo equivale al produco en el dominio de recuencia. Si la respuesa y a un sisema con una respuesa a impulso h y enrada con condiciones iniciales cero es y h Aplicando la ransormada de Fourier a ambos miembros, Y w ω H ω HωYω/ω es la unción de ranserencia del sisema. Esa nos permie analizar la respuesa en recuencia del sisema. Como se vió en las Series de Fourier, se puede analizar la respuesa en el esado esacionario del sisema a parir de Hω. Respuesa del sisema Respuesa de un sisema a enradas periódicas enemos un sisema cuya respuesa a impulso es h. Si someemos ese sisema a una enrada armónica epjω, la respuesa y será la convolución de h con : { jω λ } dλ ep jω h λep jωλ dλ H y h λep ω Como oda señal p puede ser epresada como una suma ininia de armónicos y aplicando el principio de superposición: p S [ ] ep jω yp S [ ] H[ ω ] ep jω La respuesa del sisema a una señal periódica es ambién una señal periódica de la misma recuencia que la señal de enrada, pero con dierenes magniudes y ases. La respuesa de un sisema a enradas armónicas nos da la respuesa esacionaria del sisema.
Aspecos prácicos del análisis de Fourier Con esa herramiena podemos analizar una señal periódica en érminos de su conenido en recuencias o especro. Se esablece la dualidad enre iempo y recuencia, de orma que operaciones realizadas en el dominio emporal ienen su dual en el dominio de recuencia. En sisemas LI los componenes de Fourier son las AUOFUNCIONES del sisema jw e enonces jw y H w e y H w es una auounción con auovalor H w ransormada de Fourier Limiaciones de la ransormada de Fourier El sisema debe ener condiciones iniciales cero. Enradas que no son señales de energía requieren el uso de impulsos. En la siuación anerior se puede uilizar la ransormada de Laplace.