DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE FORMA (FACTOR DE LEWIS) EN ENGRANAJES CON GEOMETRÍA ESPECIAL. Moya Rodríguez J. L. *, Velázquez Pérez J. A., Goytisolo Espinosa R. A., Machado Rodríguez A. S.* * Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas. Cuba, Facultad de Ingeniería Mecánica-Eléctrica, Universidad Veracruzana. México, Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Carlos Rafael Rodríguez de Cienfuegos. Cuba. Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas. Carretera a Camajuaní, Km, CP 480, Santa Clara, Villa Clara, Cuba. Email: jorgemoyar@gmail.com Área Temática: Diseño de Elementos de Máquinas. Trabajo 19 RESUMEN El factor de forma es un parámetro determinante en el cálculo de la resistencia a la fractura de los dientes de las transmisiones por engranajes. Este factor depende solamente de la geometría del diente, y no está relacionado con ninguna de las propiedades del material del que se fabriquen las ruedas dentadas. Los valores de este parámetro aparecen en los diferentes textos y manuales para el cálculo de engranajes de acuerdo al número de dientes de la rueda, y al ángulo del perfil. Sin embargo estos valores están elaborados solamente para engranajes de perfil evolvente. En la industria azucarera de Cuba, y de gran parte del mundo, se utilizan, para accionar los molinos, engranajes cuyos dientes tienen una geometría especial (con una evolvente aproximada más alargada). Los valores del factor de LEWIS para estos engranajes no aparecen en la literatura específica sobre transmisiones por engranajes. En el trabajo se muestra un ingenioso procedimiento para calcular el factor de LEWIS en engranajes cuyos dientes no sean exactamente de perfil evolvente; ofreciéndose además un Software para la determinación de este parámetro. Se anexan además tablas y nomogramas para el cálculo del mismo. PALABRAS CLAVE: Engranajes, Lewis, evolvente Código 19
INTRODUCCION Uno de los parámetros que mas influencia tiene en la resistencia a la fractura en los dientes de las transmisiones por engranajes es el factor de forma o factor de Lewis [1]. Este parámetro depende únicamente de la geometría del diente [], y existen numerosas formas de determinarlos de acuerdo a diferentes autores; no obstante todos tienen en cuenta tres aspectos básicos: la altura de aplicación de la carga, el ángulo de aplicación de la carga, y el espesor del diente en su base []. Para el caso particular de los engranajes de perfil especial, los cuales trabajan con valores apreciables de variación de la distancia entre centros [4]; este parámetro no aparece en la literatura técnica. En el presente trabajo se expone la metodología desarrollada por los autores para determinar el factor de Lewis y los valores obtenidos para diferentes números de dientes y ángulos del perfil. DETERMINACIÓN DE LA SECCIÓN MÁS DÉBIL DEL DIENTE En los dientes de las coronas de molinos de caña de azúcar que son engranajes de geometría especial la sección más débil a flexión no se halla precisamente en la zona del pie, sino algo por encima de ella. Para poder determinar el valor exacto del factor de forma se utilizó una base de conocimiento, y el Sistema Inteligente de Ayuda al Diseñador [], estableciéndose cual era la zona más peligrosa del diente. Esta zona se encuentra entre los limites que van desde la parte donde el diente se hace más estrecho, que se corresponde a un radio que fue designado RSup, y el factor de forma en esta sección YSup; hasta el punto de intersección del radio de fondo del pie R4 con el radio del flanco en la zona del pie R. Este último radio fue designado por RInf, y su factor de forma en esta zona por YInf. Para cualquier radio superior a RSup el espesor del diente S es mayor y el brazo del momento h es menor, por lo que el factor de forma Y es mayor. Para cualquier radio por debajo RInf el brazo del momento aumenta, pero el espesor S aumenta más rápidamente, de aquí que el factor de forma también es mayor (ver figura 1). El valor de Risup se calcula por la siguiente expresión: do R i sup = cos β (1) Pn Sa ho δ hi R4 Ysup Ymin Yinf R Rsup Rymin Rinf Ro Rp Figura 1. Determinación del factor de forma Y en los dientes de las coronas de molinos de caña de azúcar. El ángulo β puede determinarse por la expresión: Bo + B. β = () d o
Bo- Ancho del diente por la circunferencia básica. B- Distancia entre el centro de trazado del radio R y el diente. El valor del radio inferior Rinf se calcula por la expresión siguiente (ver figura ) R inf = Ri sup R.sin θ () S φ β γa Bo B HK S4 Rinf Rsup Rtf Ro Rp Figura : Parámetros que intervienen en el cálculo del factor de forma. d d o tf φ. cos β cos 1 = θ tan (4) S S4 La altura de aplicación de la carga hi se halla a través de la expresión siguiente: da- Diámetro exterior de la corona. ho- Altura desde la cabeza del diente hasta el punto de aplicación de la carga. Ri- Radio variable entre Risup y Riinf. El espesor cordal del diente por cada Ri se determina por la expresión (ver figura ) h S i d a i = ho Ri () ( R HK ) = S (6). S- Distancia cordal entre los centros desde donde se trazan los radios R R- Radio que conforma el flanco del pie del diente. HK- distancia variable entre Risup y el punto donde se esta calculando el factor de forma.
HK d o cos β R = i (7) En la tabla 1 se muestran los valores del factor de forma para los dientes de coronas de molino que se fabrican actualmente en Cuba. Tabla 1: Valores del factor de forma del diente según la metodología propuesta por los autores para diferentes números de dientes y ángulos del perfil (para las dimensiones exteriores del perfil A). Numero de dientes Angulo del perfil en grados Z 10. 1. 14. 17. 0 1 0.09 0.047 0.07 0.09 0.098 1 0.08 0.004 0.0 0.098 0.0477 14 0.08 0.049 0.08 0.046 0.04 1 0.09 0.08 0.041 0.00 0.0601 16 0.08 0.041 0.04 0.041 0.0649 17 0.0406 0.044 0.0476 0.071 0.0688 18 0.0419 0.0449 0.049 0.097 0.07 19 0.047 0.0461 0.009 0.0617 0.07 0 0.04 0.0469 0.0 0.06 0.0774 Para poder precisar mejor la resistencia de los dientes de las coronas, manteniendo constante las dimensiones exteriores, se creó el concepto de factor de resistencia a la fractura; que es el producto del factor de forma por el módulo, es decir: F = r Y m (8) En la figura se muestra como varía el factor de resistencia volumétrica en función del número de dientes conservando las dimensiones exteriores. fr.4...1.0 1.9 1.8 11 1 1 14 1 16 17 18 19 0 Z Figura. Variación del factor de resistencia en función del número de dientes de la corona. Los resultados de los cálculos de resistencia de los dientes de las coronas; así como la zona donde el diente tenía su sección más peligrosa fueron corroborados a través del método de los elementos finitos utilizando el software profesional COSMOS. En la figura 4 se muestra a manera de ejemplo como varían las tensiones principales en X para un perfil determinado.
PRINCX 1 4 7 0 1 = -0.0000 = 7.798 = 1.96 4 =.94 = 1.19 6 = 8.991 7 = 46.789 4 4 4 8 41 44 4 6 4 7 40 4 6 4 6 7 6 6 9 4 4 47 0 4 6 46 49 48 1 4 MIN = -0.0000 NOD = 17 MAX = 46.789 NOD = Tensiones y Principales en x para el nuevo perfil E. z x Figura 4: Tensiones principales en X para el nuevo perfil E CONCLUSIONES El factor de forma de los dientes de las coronas difiere del factor de forma de los dientes de evolvente. Por ejemplo para las dimensiones del perfil A según AGMA es de 0.061, según LEWIS es de 0.0; y su valor real es de 0.0476. Los valores óptimos de resistencia a la flexión se obtienen (para iguales dimensiones exteriores de la rueda) con números de dientes que oscilan entre 14 y 18. Sí se aumenta el factor de altura de la cabeza del diente, el factor de forma disminuye, disminuyendo la resistencia de los dientes a la flexión; por lo que sí se desean dientes más largos, deben tener un mayor valor del módulo. REFERENCIAS 1. A.G.M.A. "Normas para el cálculo de transmisiones por engranajes 199".. Spotts M.F. "Proyecto de Elementos de máquinas". Editorial Reverté S.A. Argentina 198.. Merrit H. "Gear Engineering". Pitman Publishing. England 1990. 4. Moya R.J. Goytisolo E.R. "Análisis cinemático y dinámico de transmisiones por engranajes que trabajan con variación de la distancia entre centros." Actas del Primer Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica. Madrid Setiembre de 199.. Bello R. Galvez D, y otros. "An intelligent System to help designer". Conferencia Internacional sobre Transferencia de Tecnología CAD-CAM para América Latina. Ciudad México, 1988. UNIDADES Y NOMENCLATURA Bo B da ho Ri Risup Riinf. S R HK Fr Ancho del diente por la circunferencia básica (mm) Distancia entre el centro de trazado del radio R y el diente (mm) Diámetro exterior de la corona (mm) Altura desde la cabeza del diente hasta el punto de aplicación de la carga (mm) Radio variable entre Risup y Riinf (mm) Radio superior (mm) Radio inferior (mm) Distancia cordal entre los centros desde donde se trazan los radios R (mm) Radio que conforma el flanco del pie del diente (mm) Distancia variable entre Risup y el punto donde se esta calculando el factor de forma (mm) Factor de resistencia (mm)