Álgebra de BOOLE Tema 4 1. Definición formal del álgebra de Boole. 2. Leyes y reglas del álgebra de Boole. 3. Operaciones y expresiones booleanas. 4. Formas canónicas de las expresiones booleanas. 5. Expresiones booleanas, tablas de verdad y formas estándar. 6. Teoremas de DeMorgan. 7. Minimización lógica algebraica. 8. Minimización lógica mediante mapas de Karnaugh. 9. Mapa de Karnaugh de cinco variables
Definición del Álgebra de BOOLE Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 2
Definición del Álgebra de BOOLE Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 3
Definición formal de operaciones básicas Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 4
Leyes y Reglas del Algebra de BOOLE Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 5
Teoremas de DeMORGAN Primer teorema: el complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. Segundo teorema: el complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. NOTA: Cada variable puede representar una combinación de variables (e.g. X puede ser = AB+C) Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 6
Principio de dualidad I A toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con los de producto, y de los 1s con los 0s. Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 7
Principio de dualidad II (a) X Y type 2 Z (b) X Y Z = X + Y type 2 type 2 (c) X Y Z = X Y X Y Z X Y Z X Y Z LOW LOW LOW 0 0 0 1 1 1 LOW HIGH HIGH 0 1 1 1 0 0 HIGH LOW HIGH 1 0 1 0 1 0 HIGH HIGH HIGH 1 1 1 0 0 0 Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 8
Principio de dualidad III X 1 X 2 X 3 type 1 type 2 type 2 X 4 type 1 type 2 X 5 type 1 type 1 F(X 1, X 2,..., X n ) X n type 1 type 2 Copyright 2000 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e X 1 X 2 X 3 type 1 type 2 type 2 X 4 type 1 X 5 type 2 type 1 type 1 F D (X 1, X 2,..., X n ) X n type 1 type 2 Copyright 2000 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 9
Operaciones y expresiones booleanas I Mediante el Álgebra Booleana buscamos un método sistemático y versátil para la implementación de circuitos combinacionales. El Álgebra Booleana utiliza variables y operadores para obtener expresiones lógicas que representan un circuito combinacional. Luego describe una serie de teoremas que utilizaremos para manipular las expresiones lógicas. Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 10
Operaciones y expresiones booleanas II Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 11
Operaciones y expresiones booleanas III Ejemplo: Construcción de la Tabla de Verdad a partir de la expresión booleana Un circuito lógico puede describirse mediante una tabla de verdad. Evaluar la expresión booleana para todas las posibles combinaciones de valores de las variables de entrada X Y Z Y X X + Y (X + Y ) Z F = ((X + Y ) Z) + (X Y Z ) X Y Z Z Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 12
Operaciones y expresiones booleanas III Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 13
Formas normalizadas de las expresiones booleanas Existen dos formas de representar expresiones booleanas: Suma de Productos AND-OR Producto de Sumas OR-AND Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 14
Expresiones booleanas, tablas de verdad y formas canónicas Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de miniterminos (minterms) o como producto de maxiterminos (maxterms) y a estas formas se les dice que están en forma estándar o canónica (el conjunto completo de variables del dominio está representado en cada término ). F=Σ A,B,C (1, 4, 7) = A B C + AB C + ABC F= Π A,B,C (0, 2, 3, 5, 6) = (A+B+C)(A+B +C)(A+B +C )(A +B+C )(A +B +C) Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 15
Operaciones y expresiones booleanas II Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 16
Propiedad universal de las puertas NAND Las puerta NAND es una puerta universal porque puede emplearse para generar cualquier función lógica inversor AND OR Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 17
Propiedad universal de las puertas NOR Las puerta NOR es una puerta universal porque puede emplearse para generar cualquier función lógica INVERSOR AND OR Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 18
Ejecución con puertas NAND y NOR Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 19
Ejemplo de ejecución con puertas NAND y NOR Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 20
Ejemplo de ejecución con puertas NAND y NOR Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 21
Ejemplo de propiedad universal de las puertas NAND Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 22
Ejemplo de propiedad universal de las puertas NOR Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 23
Simplificación mediante el álgebra de BOOLE El propósito de la minimización lógica es tomar una expresión algebraica y reducirla a una forma que sea más fácil de realizar Simplificación algebraica Mapas de Karnaugh Simplificación Algebraica A partir de una expresión Booleana en su forma suma de productos se combinan los términos, reduciendo la complejidad, mediante las reglas, leyes y teoremas del álgebra de Boole. ESCASA SISTEMATIZACIÓN. Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 24
Forma canónica y normalizada Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma de literales en los cuales aparecen todas la variables en su forma directa o complementada. Los términos canónicos producto reciben el nombre de minitérminos Los términos canónicos suma reciben el nombre de maxitérminos Una función de BOOLE está en forma canónica cuando se expresa como suma de minitérminos o producto de maxotérminos. Dos funciones lógicas son equivalentes si, y solo si, sus formas canónicas son idénticas. La expresión algebraica en suma de productos o productos de sumas en la que no todos los términos son canónicos recibe el nombre de normalizada Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 25
Forma canónica de la suma de productos La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a su forma canónica se basa en la regla 6, que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son los siguientes: Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un término formado por dicha variable más el complemento de la misma (regla 6). Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos. Ejemplo Convertir la expresión booleana ABC' + BC + A' a su forma canónica. El dominio de la expresión es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato estándar para el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento, para luego volver a agrupar toda la expresión: Término BC Término A BC = BC (A+A') = ABC + A'BC A' = A'(C+C') = A'C+A'C' ; la expresión aún no tiene el formato canónico, entonces multiplicamos cada término por (B+B') A'C(B+B') +A'C'(B+B') = A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C' ABC' + BC + A' = ABC + A'BC + A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 26
Forma canónica del producto de sumas La metodología empleada en la transformación de un producto de sumas a su forma canónica se basa en la regla 8, que establece que una variable multiplicada por su complemento es siempre igual a 0; AA' = 0. Los pasos son los siguientes: Los términos suma que no contengan la(s) variable(s) del dominio, sumarlos un término formado por dicha variable y su complemento según regla 8. Aplicar la regla 12: A + BC = (A+B)(A+C) Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Ejemplo Convertir la expresión booleana (A+B +C)(B +C+D )(A+B +C+D ) a su forma canónica. Término A+B +C A+B +C = A+B +C+DD = (A+B +C+D)(A+B +C+D ) Término B +C+D B +C+D = B +C+D +AA =(A+ B +C+D )(A + B +C+D ) (A+B +C)(B +C+D )(A+B +C+D ) = = (A+B +C+D)(A+B +C+D ) (A+ B +C+D )(A + B +C+D ) (A+B +C+D ) Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 27
Conversión entre formas canónicas Ejemplo: A B C +A BC +A BC+AB C+ABC Solución: (A+B+C )(A +B+C)(A +B +C) Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 28
Mapas de Karnaugh Proporciona un método sistemático de simplificación de sentencias booleanas generando expresiones mínimas ( receta de simplificación ) CARACTERÍSTICAS Útiles para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables Es una matriz de 2 n celdas en la que cada una representa un valor binario de las variables de entrada. El orden de los valores en filas y columnas es tal que celdas adyacentes difieren únicamente en una varible La simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas Un número mayor de variables exige el uso de un método llamado Quine-McClusky PASOS A SEGUIR Obtener la función lógica en suma de productos canónica Representar en el mapa de Karnaugh la función algebraica o tabla de verdad que se desee representar Agrupar unos (maximizar el tamaño de los grupos minimizando el número es estos): Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas Cada celda del grupo tiene que ser adyacente a una o mas celdas del grupo sin necesidad de que todas las celdas del grupo sean adyacentes entre sí. Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de 1s Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes. Simplificar: Eliminar variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 29
Ejemplos agrupación & simplificación Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 30
Ejemplos de agrupamientos NO permitidos Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 31
Agrupamientos alternativos Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 32
Simplificación de 2 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 33
Simplificación 3 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 34
Simplificación 3 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 35
Simplificación 3 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 36
Simplificación 4 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 37
Simplificación 4 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 38
Simplificación 4 variables Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 39
Simplificación 5 variables Mapa con A=0 colocarlo encima del mapa A=1. Cada celda del mapa A=0 es adyacente con la celda que está justo debajo en el mapa A=1 Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 40
Condiciones indiferentes Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 41
Condiciones indiferentes Dr. Oscar Ruano - 2011-2012 42