El dibujo G eométrico
Una definición y un poco de historia. Geometría. (Del lat. geometrĭa, y este del gr. γεωμετρία). 1. f. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. La necesidad de representar los conocimientos geométricos nace de tiempos remotos. Podemos situar de manera clara su nacimiento práctico en el ntiguo Egipto donde se hacía necesario realizar mediciones agrarias o de construcción. Estos conocimientos pasaron a los griegos. Fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría del espacio. Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días. Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella". Mujer enseñando geometría. Ilustración del libro Los elementos. 1309-1316
Operaciones básicas Para dibujar rectas paralelas y perpendiculares sobre un papel utilizaremos la escuadra Paralelas y perpendiculares (tiene forma de triángulo isósceles) y el cartabón (triángulo escaleno) Ejercicio: Divide El siguiente espacio en cuadrículas de 0 5 cm. La mediatriz de un segmento 1. Se le da al compás una abertura aproximada mayor que la mitad del segmento B y haciendo centro en B se traza un arco. 2. Sin cambiar la abertura del compás se repite la operación haciendo centro en. 3. La recta que une los puntos C y D es la mediatriz. B La bisectriz de un ángulo 1. Se le da al compás una abertura cualquiera y se traza un arco con centro en que corte a las semirectas r y s en los puntos R y S. 2. Con la misma abertura se trazan dos arcos de centros R y S de manera que se corten en un punto B. 3. La recta t que pasa por y B es la bisectriz. s r
División de un segmento en partes iguales TEOREM DE THLES: Tales de Mileto (en la actual Turquía) vivió entre los años 624 y 547 C, aproximadamente. Obtuvo importantes resultados en el estudio de la geometría. Varios de estos resultados son conocidos con el nombre de Teorema de Tales. Una aplicación de este teorema sirve para dividir un segmento en partes iguales. Para ellos seguiremos los siguientes pasos: 1º Dibujar el segmento B que se quiere dividir. 2º partir de dibujar una recta cualquiera. 3º Sobre la recta anterior dibujar tantas partes iguales como divisiones queremos hacer en el segmento. P.ej.: dividir el segmento B en 5 partes iguales. 4º Unir la última división (5) con el extremo B del segmento, y por las demás divisiones trazar paralelas a la recta anterior. hora te toca a ti, aplicar el Teorema de Thales, así que divide los siguientes segmentos en 7partes iguales.
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS DDO EL LDO. TRIÁNGULO EQUILÁTERO. 1º Sobre una recta dibujar el lado B del triángulo equilátero. B 2º Con centro en y radio B traza un arco de circunferencia. B 3º Con centro en B repetir el paso anterior. El punto de corte entre los dos arcos anterior es el vértice C del triángulo equilátero BC. C B hora te toca a ti: Dibuja un triángulo equilátero de 5 cm. de lado
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS DDO EL LDO. CUDRDO 1º Sobre una recta dibujar el lado B del cuadrado B 2º Por el extremo B trazar una perpendicular al lado B. 3º Sobre la perpendicular anterior llevar la medida del lado B y obtenemos el vértice C. C B B 4º Por el vértice C trazar una paralela al lado B 5º Por el vértice trazar una paralela al lado BC: C D C B B hora te toca a ti: Dibuja un cuadrado de 5 cm. de lado
1. Polígonos regulares. Consideraciones generales Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados del mismo. Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono. Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º. En un polígono regular convexo, se denomina apotema a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado. En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos sus lados. El área de un polígono regular convexo, es igual al producto del semiperímetro por la apotema. 2. Construcción de polígonos regulares dada la circunferencia circunscrita La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número de partes iguales. En ocasiones, el trazado pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras ocasiones pasa por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente. Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento. 2.1. Triángulo, hexágono y dodecágono (construcción exacta) Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos -B y 1-4 respectivamente. continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada. Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo inscrito. Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono inscrito; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces sobre la circunferencia. NOT: Todas las construcciones de este ejercicio se realizan con una misma abertura del compás, igual al radio de la circunferencia dada. De los tres polígonos, solo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí 60º.
2.2. Cuadrado y octógono (construcción exacta) Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente. continuación, trazaremos las bisectrices de los cuatro ángulos de 90º, formados por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos determinarán sobre la circunferencia los puntos 2, 4, 6 y 8. Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos el octógono inscrito. El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí 45º. NOT: De esta construcción podemos deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y estas nos determinarán, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción. 2.3. Pentágono y decágono (construcción exacta) Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos - B y 1-C respectivamente. Con el mismo radio de la circunferencia dada trazaremos un arco de centro en, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto medio del radio -O. Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal -B. La distancia 1- G es el lado de pentágono inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado del decágono inscrito. Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia. Nota: El pentágono tiene estrellado de 2. El decágono tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados girados entre sí 36º. 2.4. Heptágono (construcción aproximada) Comenzaremos trazando una diagonal de la circunferencia dada, que nos determinará sobre ella puntos y B. continuación, con centro en, trazaremos el arco de radio -O, que nos determinará, sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio del radio -O. En 1-D habremos obtenido el lado del heptágono inscrito. Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia, para obtener el heptágono buscado. Como se indicaba al principio de este tema, partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en cada sentido de la circunferencia, para minimizar los errores de construcción. El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2
2.5. Eneágono (construcción aproximada) Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos -B y 1-C respectivamente. Con centro en, trazaremos un arco de radio -O, que nos determinará, sobre la circunferencia dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos un arco de circunferencia, que nos determinará el punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-, trazaremos un arco de circunferencia que nos determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos obtenido el lado del eneágono inscrito en la circunferencia. Procediendo como en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado 9 veces sobre la circunferencia, para obtener el eneágono buscado. El eneágono tiene estrellado de 4 y de 2. También presenta un falso estrellado, formado por 3 triángulos girados entre sí 40º. 2.6. Decágono (construcción exacta) Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos -B y 1-6 respectivamente. Con centro, y radio -O, trazaremos un arco que nos determinará los puntos C y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos, obtendremos el punto E, punto medio del radio -O. continuación trazaremos la circunferencia de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado del decágono inscrito. Procediendo con en el caso del heptágono, llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia, para obtener el decágono buscado. El decágono como se indicó anteriormente presenta estrellado de 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados, girados entre sí 36º. En página web: http://www.educacionplastica.net/ podrás encontrar múltiples recursos para poder consultar. Te recomiendo para este tema las siguientes: Si tienes alguna duda para construir los polígonos puedes consultar las siguientes páginas: http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm Si quieres practicar con una aplicación para realizar polígonos estrellados, accede a la siguiente dirección http://www.educacionplastica.net/polest0.htm Otras páginas interesantes: http://www.mallorcaweb.net/ffoaloke/aula/tgeo.htm
Polígonos estrellados Si unimos los vértices de un polígono saltando rítmicamente un número dado de vértices hasta volver al primero conseguiremos un polígono estrellado. Dependiendo del número de vértices podremos conseguir más o menos polígonos estrellados a partir de un polígono. continuación explicamos cómo calcularlo y te ponemos ejemplos. Un polígono regular estrellado puede construirse a partir del regular convexo uniendo vértices no consecutivos de forma continua. Se denotan por N/M siendo N el numero de vértices = N del regular convexo y M el salto entre vértices. N/M ha de ser fracción irreducible, de lo contrario no se genera el polígono estrellado que indica la fracción. Es fácil ver que N/M es el mismo polígono que N/(N-M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo. Comportamiento similar a números combinatorios. Para encontrar todos los polígonos regulares estrellados que se generan de un regular de N lados, basta con considerar M entero entre 2 y (N/2) con la condición de que la fracción que le denota sea irreducible. Es fácil ver que no se genera ningún polígono estrellado a partir del triangulo equilátero. 3/1 = 3 numero entero... No polígono estrellado. 3/2=3/1 Tampoco el cuadrado genera polígonos estrellados regulares. 4/1 entero. 4/2 entero. Polígono regular 5/2. Es claro que no puede haber más. El hexágono regular no genera polígonos estrellados. 6/1 es el polígono convexo. 6/2 =entero. 6/3 entero El heptágono regular genera dos estrellados, 7/2 y 7/3 7/3 8/3 es el único estrellado que se genera partiendo del octógono regular. 8/3 El eneágono genera dos estrellados, 9/2 y 9/4 9/2 9/4 No hay más, ya que 10/4 = 5/2. 10/3 11/2 11/3 11/4 11/5
lgunos ejemplos