Capítulo 8 Funciones de Costo 1
Dos supuestos simplificadores: Solo existen dos factores productivos Trabajo (l), medido en horas Capital (k), medido en horas máquinas Muchos otros costos, como otros insumos que se requieren también se incluyen aquí Los insumos son contratados en mercados perfectamente competitivos Las firmas son tomadoras de precios en el mercado de los insumos 2
Beneficios Económicos Los costos totales de la firma están dados por: Costo Total = C = wl + vk El Ingreso Total de la Firma está dado por: Ingreso Total = pq = pf(k,l) El beneficio Económico ( ) está dado por: = Ingreso Total - Costo Total = pq - wl - vk = pf(k,l) - wl - vk 3
Beneficios Económicos El beneficio económico está en función del monto de capital y trabajo empleados Así que podemos examinar específicamente cómo una firma escoge k y l para maximizar el beneficio Esto se conoce como la teoría de las demandas derivadas, contingentes, o condicionadas Por el momento asumiremos que la firma ya ha escogido su nivel de producción (q 0 ) y 4 que quiere minimizar sus costos
Dos vías para el análisis 1. Maximizar el beneficio: Analizar específicamente cómo una firma escoge k y l 2. Minimizar el Costo: asumir que la firma ya ha escogido su nivel de producción (q 0 ) y que quiere minimizar sus costos De momento, usaremos el segundo método 5
Elección de insumos que minimizan los costos Para minimizar los costos de producir un nivel determinado de producto, una firma debe seleccionar un punto en la isocuanta al cual su TMST sea igual al cociente w/v Deberá igualar la tasa a la que k puede ser intercambiado por l en el proceso productivo a la tasa a la que puede intercambiar dichos factores productivos en el mercado de insumos 6
Elección de insumos que minimizan los costos Matemáticamente, queremos minimizar el costo total dado por q = f(k,l) = q 0 Escribiendo el Langrageano: L = wl + vk + [q 0 - f(k,l)] Las condiciones de primer orden son: L/ l = w - ( f/ l) = 0 L/ k = v - ( f/ k) = 0 L/ = q 0 - f(k,l) = 0 7
Elección de insumos que minimizan los costos Dividiendo las dos primeras condiciones: w v f f / / l k RTS ( l for k) Entonces, una firma que busca minimizar el costo deberá igualar su TMST al cociente de sus precios 8
Elección de insumos que minimizan los costos Arreglando, tenemos: f k v Si queremos minimizar los costos, el producto marginal por dólar gastado debe ser igual para todos los insumos f l w 9
Elección de insumos que minimizan los costos Note lo que significa la inversa de esta función: w fl v f k El multiplicador Langrangeano muestra en cuanto se incrementará nuestro costo si decidimos incrementar marginalmente el producto (ya sea usando más capital o más trabajo) 10
Elección de insumos que minimizan Dado el producto q 0, queremos encontrar el punto menos costoso en una isocuanta: k por período C 1 los costos C 3 Los costos están representados por las líneas paralelas de pendiente -w/v C 2 C 1 < C 2 < C 3 q 0 l por período 11
Elección de insumos que minimizan los costos El costo mínimo para producir q 0 es C 2 k por período C 1 C 3 Esto ocurre en la tangencia entre la isocuanta y la expresión de costo total C 2 k* q 0 La elección óptima es l*, k* l* l por período 12
Demanda condicionada Esto es bastante familiar para nosotros. Recuerdo que antes desarrollamos un mecanismo para que un consumidor minimizara sus costos totales En esa ocasión, usamos dicho proceso de minimización para encontrar una demanda compensada (Hicksiana) por los bienes Podremos usar esa misma tecnología para encontrar las demandas de una firma por insumos? 13
Demanda condicionada La consecuencia de usar el segundo camino (minimización de costos) nos conduce igualmente a unas demandas por capital y trabajo que son contingentes al nivel de producto que se produce (igual que antes las Hicksianas eran contingentes a la utilidad) Esta demanda por insumos son llamadas demandas condicionadas o derivadas Y dependen del nivel de producción escogido por la firma 14
Senda de Expansión de la firma La firma puede determinar las combinaciones minimizadoras de costo de k y l para cada nivel particular de producto que desee producir Si los costos de los insumos permanecen constantes para todo nivel de k y l que la firma pueda demandar, entonces podemos dibujar dichas elecciones que minimizan el costo Esto es llamado el sendero de expansión 15
Senda de Expansión de la firma El sendero de expansión es la combinación de todas las tangencias que minimizan costos k por período E q 1 La curva muestra cómo los requerimientos de insumos crecen a medida que el producto aumenta q 0 q 00 l por período 16
Senda de Expansión de la firma La senda de expansión no tiene necesariamente que ser una línea recta El uso de algunos insumos puede incrementarse más rápido que otros a medida que el producto se incrementa Y esto depende de la curvatura de la Isocuanta La senda de expansión no tiene necesariamente que tener pendiente positiva Si el uso de un bien cae a medida que el producto se expande, llamamos a dicho insumo un inferior 17
Minimización de Costos Suponga la función de producción Cobb-Douglas: q = k El Langrangeano si deseamos minimizar costos en la producción de q 0 es L = vk + wl + (q 0 - k l ) l 18
Minimización de Costos Las condiciones de primer orden para un mínimo son: L/ k = v - k -1 l = 0 L/ l = w - k l -1 = 0 L/ = q 0 - k l = 0 19
Minimización de Costos Dividiendo las dos primeras expresiones tenemos que: 1 w k l k v k 1 l TMST Esta función de producción es homotética La TMST depende sólo del cociente de los dos insumos La senda de expansión es una línea recta l 20
Minimización de Costos Suponga ahora que la función de producción es la CES: q = (k + l ) / El Langrangeano para minimizar costos en la producción de q 0 es L = vk + wl + [q 0 - (k + l ) / ] 21
Minimización de Costos Las condiciones de primer orden son: L/ k = v - ( / )(k + l ) ( - )/ ( )k -1 = 0 L/ l = w - ( / )(k + l ) ( - )/ ( )l -1 = 0 L/ = q 0 - (k + l ) / = 0 22
Minimización de Costos Dividiendo las primeras dos ecuaciones tenemos: w v 1 k 1 k l 1 k l 1/ Esta función de producción también es homotética 23
Función de Costos Totales La Función de Costos Totales muestra que para un conjunto cualesquiera de costos de los insumos y nivel de producción, el costo mínimo en el cual podría incurrir la firma es: C = C(v,w,q) A medida que la producción (q) se incrementa, los costos totales también se incrementan 24
Función de Costos Medios A la Función de Costo Promedio (AC) la encontramos calculando los costos totales por unidad de producto costo promedio AC( v, w, q) C( v, w, q) q 25
Función de Costos Marginales A la Función de Costos Marginales (MC) la encontramos derivando el cambio en los costos totales ante cambio en el producto Costo Marginal MC( v, w, q) C( v, w, q) q 26
Análisis Gráfico de los Costos Totales Suponga que se necesitan k 1 unidades de capital y l 1 unidades de trabajo para producir una unidad de producto: C(q=1) = vk 1 + wl 1 Para producir m unidades de producto (y asumiendo Retornos Constantes a Escala) C(q=m) = vmk 1 + wml 1 = m(vk 1 + wl 1 ) C(q=m) = m C(q=1) 27
Análisis Gráfico de los Costos Totales Costo Total Con retornos constantes a escala, los costos totales son proporcionales al producto AC = MC C Tanto AC como MC serán constantes Producto 28
Análisis Gráfico de los Costos Totales Ahora, suponga que los costos totales comienzan siendo cóncavos y que después se tornan convexos a medida que el producto crece Una posible explicación para que esto ocurra es que existe un tercer factor de producción que se encuentra fijo a medida que K y L se incrementan Los costos totales comienzan a incrementarse rápidamente justo después de la sección de retornos decrecientes 29
Análisis Gráfico de los Costos Totales Costo Total C El costo total sube dramáticamente a medida que sube el producto justo después de los retornos decrecientes Producto 30
Análisis Gráfico de los Costos Totales Costos Medio y Marginal MC es la pendiente de la curva C MC AC Si AC > MC, AC debe estar cayendo min AC Si AC < MC, AC debe estar subiendo Producto 31
Desplazamientos de las curvas de costos Las curvas de costos se dibujan bajo el supuesto de que tanto los precios como los niveles de tecnología se mantienen constantes Cualquier cambio en dichos factores causará un desplazamiento de las curvas de costos 32
Ejemplos de Funciones de Costo Suponga que tenemos una tecnología de proporciones fijas como q = f(k,l) = min(ak,bl) La producción ocurrirá en el vórtice de las isocuantas, que tienen forma de L (En particular, q = ak = bl) C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b) v w C ( w, v, q) a a b 33
Ejemplos de Funciones de Costo Suponga ahora que tenemos una tecnología de producción Cobb Douglas q = f(k,l) = k l La minimización de costos requiere que: w v k l k w v l 34
Ejemplos de Funciones de Costo Si sustituimos dicha condición en la función de producción y despejamos l, tenemos: l q 1/ / w / v / De la misma forma tenemos para k: k q 1/ / w / v / 35
Ejemplos de Funciones de Costo Ahora nos encontramos en condiciones de derivar la función de costo total como: C 1/ / ( v, w, q) vk wl q Bv w Donde / B ( ) / / es una constante compuesta únicamente de los parámetros y 36
Ejemplos de Funciones de Costo Suponga que tenemos una tecnología CES tal que: q = f(k,l) = (k + l ) / Para derivar la función de costos totales, usamos el mismo método para (eventualmente) obtener: C 1/ / 1 ( v, w, q) vk wl q ( v w / 1 ) ( 1) / C v 1/ 1 1 (, w, q) q ( v w ) 1/1 37
Propiedades de las Funciones de Costo Las funciones de costo son: 1. Homogéneas Las funciones de costo son homogéneas de grado 1 en los precios de los insumos La minimización de costos requiere que el cociente de los precios de los insumos sea igual a la TMST, por lo que doblar todos los precios de los insumos no cambiará los niveles comprados de dichos insumos Una inflación pura y uniforme no cambiará las decisiones de consumo de insumos de la firma, pero incrementará sí las funciones de costos 38
Propiedades de las Funciones de Costo Las funciones de costo son: 2. No decrecientes en q, v, y w Las funciones de costo son derivadas de un proceso de minimización de costos Cualquier disminución en los costos que provenga de un incremento en alguno de los factores productivos significaría una contradicción 39
Propiedades de las Funciones de Costo Las funciones de costo son: 3. Cóncavas en los precios de los insumos Los costos serán menores si una firma enfrenta precios de insumos que fluctúan alrededor de un nivel dado, que cuando permanecen constantes en dicho nivel Intuición: la firma puede adaptar la mezcla de sus insumos para tomar ventaja de dichas fluctuaciones 40
Concavidad de las Funciones de Costos En w 1, los costos de la firma son C(v,w 1,q 1 ) Costos C pseudo C(v,w,q 1 ) Si la firma continua comprando los mismos insumos a medida que w cambia, su función de costos será C pseudo C(v,w 1,q 1 ) w 1 w Dado que la mezcla de insumos de la firma muy seguramente cambiará, los costos serán menores que C pseudo, por ejemplo, C(v,w,q 1 ) 41
Propiedades de las Funciones de Costo Algunas de estas propiedades son llevadas a las curvas de costo promedio y marginal. Por ejemplo: Homogeneidad 42
Sustitución de Insumos Un cambio en el precio de un insumo ocasionará que la firma altere su mezcla de insumos seleccionada Desearíamos ver como k/l cambia en respuesta a un cambio en w/v, mientras dejamos q constante: k l w v? 43
Sustitución de Insumos Dejando la expresión anterior en términos proporcionales (elasticidades) tenemos que: ( k / l) w / v ln( k / l) s ( w / v) k / l ln( w / v) nos da una definición alternativa de la elasticidad de sustitución Para el caso de dos insumos, s debe ser no negativa Valores relativamente altos de s indican que las firmas cambian su mezcla de insumos significativamente a medida que los precios de los insumos varían 44
Tamaño de los Cambios de las Funciones de Costo El incremento en costos será influenciado en gran medida por la significancia relativa del insumo en el proceso productivo Si las firmas pueden sustituirlo fácilmente cuando sube su precio, el incremento en los costos puede ser pequeño 45
Progreso Tecnológico Mejoras tecnológicas también disminuyen las curvas de costos Suponga que el costo total (con retornos constantes a escala) es C 0 = C 0 (q,v,w) = qc 0 (v,w,1) Ahora suponga que el producto también depende del tiempo (o, más específicamente, como evoluciona la tecnología en el tiempo) 46
Progreso Tecnológico Ahora, los mismos insumos que produjeron una unidad de producto en el período 0 producirán A(t) unidades en el período t C t (v,w,a(t)) = A(t)C t (v,w,1)= C 0 (v,w,1) Los costos totales están dados por: C t (v,w,q) = qc t (v,w,1) = qc 0 (v,w,1)/a(t) = C 0 (v,w,q)/a(t) 47
Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas La función de Costos Cobb-Douglas es: C 1/ / ( v, w, q) vk wl q Bv w Donde B ( ) Si asumimos que = = 0.5, la curva de costo total se simplifica a: / / / C 0.5 0.5 ( v, w, q) vk wl 2qv w 48
Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas Si v = 3 y w = 12, la relación es: C(3,12, q) 2q 36 12q C = 480 para producir q =40 AC = C/q = 12 MC = C/ q = 12 49
Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas Si v = 3 y w = 27, la relación es: C(3,27, q) 2q 81 18q C = 720 para producir q =40 AC = C/q = 18 MC = C/ q = 18 50
Demanda Condicionada por Insumos Las demandas contingentes o condicionadas por insumos para todos los insumos que una firma emplea pueden ser derivadas de la función de costos Hay que usar el Lemma de Shephard La demanda condicionada por insumos está dada por la derivada parcial de la función de costos con respecto al precio del insumo que nos interesa 51
Demanda Condicionada por Insumos Suponga que tenemos una tecnología de proporciones fijas La función de costos es: C ( w, v, q) a v a w b 52
Demanda Condicionada por Insumos Para esta función de costos, las demandas condicionadas son bastante simples: C( v, w, q) k c ( v, w, q) v q a l ( v, w, q) C( v, w, q w c ) q b 53
Demanda Condicionada por Insumos Ahora suponga que tenemos una tecnología Cobb-Douglas La función de costos es: C 1/ / ( v, w, q) vk wl q Bv w / 54
Demanda Condicionada por Insumos Para esta función de costos, la derivación es más compleja: k c ( v, w, q) C v q 1/ Bv / w / q 1/ B w v / 55
Demanda Condicionada por Insumos c l ( v, w, q) C w q 1/ q B 1/ w v Bv / / w / En este caso, la demanda compensada por los insumos depende de ambos precios de los insumos 56
Distinción entre Corto y Largo Plazo En el corto plazo, los agentes económicos gozan de una flexibilidad limitada en sus acciones Ahora asuma que el capital se mantiene constante en k 1 y que la firma sólo es libre de elegir cuanto trabajo contratará La función de producción bajo estas condiciones se transforma a: q = f(k 1,l) 57
Costo Total a Corto Plazo Los costos totales a corto plazo para la firma son ahora: SC = vk 1 + wl Existen dos tipos de costos a corto plazo: Costos fijos a corto plazo, asociados con insumos fijos (vk 1 ) Costos variables a corto plazo son costos asociados con los insumos variables (wl) 58
Costo Total a Corto Plazo Los costos a corto plazo no son los costos mínimos para la producción de un determinado nivel de producto La firma no tiene la flexibilidad de seleccionar los insumos como quisiera Para variar su producción en el corto plazo, la firma debe utilizar combinaciones de insumos sub óptimas En este caso, la TMST no será igual al cociente de los precios de los insumos 59
Costo Total a Corto Plazo k por período Debido a que el capital es fijo en k 1, la firma no puede igualar su TMST con el cociente del precio de los insumos. k 1 q 1 q 2 q 0 l por período l 1 l 2 l 3 60
Costo Marginal y Medio a Corto Plazo La función de Costo Total Promedio a corto plazo (SAC) es: SAC = Costo Total/Producto Total = SC/q La función de Costo Marginal a corto plazo (SMC) es: SMC = cambio en SC/cambio en producto = SC/ q 61
Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo Costos Totales SC (k 1 ) SC (k 2 ) C SC (k 0 ) La curva C a largo plazo puede ser derivada variando los niveles de k q 0 q 1 q 2 Producto 62
Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo Costos SMC (k 0 ) SAC (k 0 ) SMC (k 1 ) MC SAC (k 1 ) AC Aquí se muestra la relación geométrica que guardan a corto y largo plazo las curvas AC y MC q 0 q 1 Producto 63
Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo En el punto mínimo de la curva AC ocurre: Que la curva MC intercepta la curva AC MC = AC solo en este punto Que la curva SAC es tangente a la curva AC SAC (para este nivel de k) se minimiza al mismo nivel de producto que AC SMC interseca SAC también en este punto AC = MC = SAC = SMC 64
Puntos Importantes! Una firma que desee minimizar los costos económicos de producir un nivel particular de producto deberá escoger la combinación de insumos a la cual la Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) es igual al cociente de los precios de los insumos 65
Puntos Importantes! Si aplicamos repetidamente este proceso de minimización obtendremos la senda de expansión de la firma La senda de expansión muestra como el uso de un insumo se expande con los niveles de producción También muestra la relación entre los niveles de producción y los costos totales Esta relación se sumariza en la función de costos totales, C(v,w,q) 66
Puntos Importantes! El costo promedio de la firma (AC = C/q) y el costo marginal (MC = C/ q) pueden ser derivados directamente de la función de costo total Si la curva de costos totales tiene una forma cúbica, tanto la curva AC como la curva MC tendrán forma de U 67
Puntos Importantes! Todas las curvas de costos son dibujadas bajo el supuesto de que los precios de los insumos permanecen constantes Cuando el precio de un insumo cambia, las curvas de costo se desplazan El tamaño de dichos cambios estará determinado por la importancia de dicho insumo en la función de producción, específicamente por la capacidad de la firma de sustituirlo El progreso técnico también desplaza a las curvas de costos 68
Puntos Importantes! Pueden obtenerse funciones de demanda por insumos a partir de la función de costo total de la firma usando el lemma de Shephard Estas demandas dependerán de la cantidad de producto seleccionado por la empresa Son llamadas Demandas contingentes o Demandas condicionadas (al nivel de producción) 69
Puntos Importantes! En el corto plazo, es posible que la firma se vea imposibilitada a variar el nivel de cierto insumo Entonces, solo puede alterar su nivel de producción únicamente a través de cambios en el uso de los otros factores productivos Puede tener que utilizar combinaciones más costosas y sub óptimas de insumos 70