Capítulo 7. Funciones de Producción

Transcripción

1 Capítulo 7 Funciones de Producción 1

2 La Función de Producción La función de producción de una firma para un bien (q) muestra el máximo monto de ese bien que puede ser producido usando combinaciones alternativas de (k) y trabajo (l) q = f(k,l) 2

3 Producto Marginal Físico Para estudiar las variaciones en un sólo insumo, definimos al producto marginal físico como el producto adicional que puede ser producido si empleamos una unidad más del insumo manteniendo los otros insumos constantes q Producto Marginal Físico del Capital MPk fk k q Producto Marginal Físico del Trabajo MPl fl l 3

4 Productividad Marginal Decreciente El producto marginal físico de un insumo depende de cuánto de ese insumo se ha utilizado En general, asumiremos una productividad marginal decreciente: 2 2 MPk f MPl f f f kk f ll f k k l l 4

5 Productividad Marginal Decreciente Debido al fenómeno de la Productividad Marginal Decreciente, un economista del siglo XIX llamado Thomas Malthus se preocupó del efecto del crecimiento poblacional sobre la productividad del trabajo Pero los cambios en la productividad marginal del trabajo a través del tiempo también dependen de cambios en otros factores productivos, como el capital Así, sucede que muchas veces f lk > 0 5

6 Producto Físico Promedio La productividad del trabajo es medida muchas veces a través de la productividad media (AP): AP l producto q f ( k, l) trabajo l l Note como AP l depende del monto del capital usado 6

7 Una función de producción con dos insumos Suponga que la función de producción puede ser representada por: q = f(k,l) = 600k 2 l 2 - k 3 l 3 Para construir MP l y AP l, debemos asumir algún valor para k Suponga que k = 10 Entonces, la función se transforma a: q = 60,000l l 3 7

8 Una función de producción con dos insumos La función de productividad marginal es: MP l = q/ l = 120,000l l 2 la cual decrece cuando l crece Ello implica que q alcanza un máximo: 120,000l l 2 = 0 40l = l 2 l = 40 Para ése monto de k! Así, agregar trabajo más allá de l = 40 reducirá el producto total 8

9 Una función de producción con dos insumos Para encontrar la productividad promedio, asignamos k=10 y dividimos: AP l = q/l = 60,000l l 2 AP l alcanza su máximo en: AP l / l = 60, l = 0 l = 30 9

10 Una función de producción con dos insumos De hecho, cuando l = 30, tanto AP l como MP l son iguales a 900,000 Así, cuando AP l se encuentra en su máximo, tanto AP l como MP l son iguales 10

11 Mapas de Isocuantas Para ilustrar la posibilidad de sustituir un insumo por otro, es útil usar un mapa de isocuantas Una isocuanta muestra combinaciones de k y l que producen cierto nivel de producto (q 0 ) f(k,l) = q 0 11

12 Mapas de Isocuantas Cada isocuanta representa un nivel diferente de producción El producto crece cuando nos movemos al noreste k por período q = 30 q = 20 l por período 12

13 Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) La pendiente de una isocuanta muestra la tasa a la cual l puede sustituirse por k k por período k A A - pendiente = Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) B TMST > 0 y decreciente al incrementarse el trabajo usado k B q = 20 l A l B l por período 13

14 Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST) muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser sustituido por capital mientras mantenemos constante el producto en una isocuanta dada: TMST ( l por k) dk dl q q 0 14

15 TMST y las Productividades Marginales Tomemos el diferencial total de la función de producción: dq f l dl f k dk MP l dl MP Sobre una isocuanta dq = 0, así que: MP l dl MP k dk k dk TMST ( l por k) dk dl q q 0 MP l MP k 15

16 TMST y las Productividades Marginales Debido a que MP l y MP k serán ambas no negativas, la TMST será positiva (o cero) Sin embargo, en general no es posible derivar una TMST decreciente partiendo únicamente del supuesto de productividad marginal decreciente 16

17 TMST y las Productividades Marginales Para demostrar que las isocuantas son convexas, nos gustaría demostrar que d(tmst)/dl < 0 Dado que TMST = f l /f k d( f / f ) dtmst dl l dl k dtmst dl [ f ( f f dk / dl) f ( f f dk / dl)] k ll lk l kl kk 2 ( fk ) 17

18 TMST y las Productividades Marginales Usando el hecho de que dk/dl = -f l /f k en una isocuanta, y por el teorema de Young (f kl = f lk ) dtmst dl 2 2 ( fk fll 2 fk fl fkl fl fkk ) 3 ( fk ) Dado que asumimos que f k > 0, el denominador es positivo Dado que asumimos que f ll y f kk son negativos, el cociente será negativo si f kl es positivo 18

19 TMST y las Productividades Marginales Intuitivamente, parece razonable que f kl = f lk debe ser positivo Si más trabajadores tienen más capital, serán más productivos Pero ocurre que algunas funciones de producción tienen f kl < 0 en algunos rangos de insumos Cuando asumimos una TMST decreciente estamos asumiendo que MP l y MP k disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar cualquier posible efecto de productividad cruzada negativo 19

20 Una TMST decreciente Suponga que la función de producción es: Para ésta función: q = f(k,l) = 600k 2 l 2 - k 3 l 3 MP l = f l = 1200k 2 l - 3k 3 l 2 MP k = f k = 1200kl 2-3k 2 l 3 Estas productividades marginales serán positivas para valores de k y l para los cuales kl <

21 Una TMST decreciente Esto es así debido a qué: f ll = 1200k 2-6k 3 l f kk = 1200l 2-6kl 3 Esta función de producción muestra productividades marginales decrecientes para valores los suficientemente altos de k y l f ll y f kk < 0 si kl >

22 Una TMST decreciente Una diferenciación cruzada de cualquiera de las productividades marginales significa: f kl = f lk = 2400kl - 9k 2 l 2 La cual es positiva únicamente para kl <

23 Una TMST decreciente Así, para ésta función de producción, la TMST es decreciente en todo el rango de k y l en donde las productividades marginales son positivas Para valores elevados de k y l, las productividades marginales decrecientes son suficientes para anular la influencia de un valor negativo de f kl y asegurar la convexidad de las isocuantas 23

24 Retornos a Escala Cómo responde el producto a incrementos de todos los insumos conjuntamente? Suponga que todos los insumos se doblas Conseguirá ello doblar el producto? Retornos a escala han sido de interés a los economistas desde los tiempos de Adam Smith! 24

25 Retornos a Escala Smith identificó dos fuerzas que entran en juego cuando los insumos son duplicados: Una división del trabajo y una mayor especialización (efecto positivo) Una pérdida de eficiencia debido a que la administración se torna más difícil dado el mayor tamaño de la firma 25

26 Retornos a Escala Si la función de producción está dada por q = f(k,l) y todos los factores son multiplicados por la misma constante positiva (t >1), Entonces: Efecto en el Producto f(tk,tl) = tf(k,l) f(tk,tl) < tf(k,l) f(tk,tl) > tf(k,l) Retornos a Escala Constantes Decrecientes Crecientes 26

27 Retornos a Escala Es posible que una función de producción exhiba retornos constantes a escala para algunos niveles de utilización de insumos, y retornos decrecientes o crecientes para otros niveles Los economistas nos referimos al grado de los retornos a escala con la noción implícita de que solo estamos considerando un rango de variación (relativamente pequeño) en el uso de insumos 27

28 Retornos Constante a Escala Funciones de producción con retornos constantes a escala son homogéneas de grado 1 en insumos: f(tk,tl) = t 1 f(k,l) = tq Esto implica que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado 0 Si una función es homogénea de grado k, sus derivadas son homogéneas de grado k-1 28

29 Retornos Constante a Escala La productividad marginal de cada insumo depende del cociente de capital y trabajo (y no así de los niveles absolutos de los insumos) La TMST entre k y l depende únicamente del cociente de k a l, y no de la escala de operaciones 29

30 Retornos Constante a Escala La función de producción será homotética Geométricamente, todas las isocuantas son una expansión radial unas de las otras 30

31 Retornos Constante a Escala A partir de un rayo desde el origen (un cociente k/l constante), la TMST será igual en todas las isocuantas k por periodo q = 1 q = 2 Las isocuantas se encuentran igualmente espaciadas mientras crece el producto q = 3 l por periodo 31

32 Retornos a Escala Los retornos a escala pueden ser generalizados a una función de producción con n insumos q = f(x 1,x 2,,x n ) Si todos los factores son multiplicados por una constante positiva t, tenemos: f(tx 1,tx 2,,tx n ) = t k f(x 1,x 2,,x n )=t k q Si k = 1, tenemos retornos constantes a escala Si k < 1, tenemos retornos decrecientes a escala Si k > 1, tenemos retornos crecientes a escala 32

33 Elasticidad de Sustitución La elasticidad de sustitución ( ) mide el cambio proporcional en k/l relativo al cambio proporcional de la TMST en una isocuanta dada % ( k / l) d( k / l) TMST ln( k / l) % TMST dtmst k / l lntmst El valor de siempre será positivo debido a que k/l y TMST se mueven en la misma dirección siempre 33

34 Elasticidad de Sustitución Tanto la TMST como k/l cambiarán al movernos del punto A al punto B k por periodo es el cociente de estos cambios proporcionales A TMST A TMST B mide la curvatura de la isocuanta (k/l) A B q = q 0 (k/l) B l por periodo 34

35 Elasticidad de Sustitución Si es alta, la TMST no cambiará mucho en relación a k/l Las isocuantas serán relativamente planas Si es baja, la TMST cambiará en un monto sustancial cuando k/l cambia Las isocuantas serán fuertemente curvadas Es posible que cambie sobre una isocuanta o a medida que la escala de la producción cambia 35

36 Elasticidad de Sustitución Generalizar la elasticidad de sustitución a muchos insumos genera diversas complicaciones Si definimos la elasticidad de sustitución entre dos insumos como el cambio proporcional en el cociente de los dos insumos en relación al cambio proporcional en la TMST, necesitamos mantener constante tanto el producto como los niveles de los otros insumos (esto no es necesariamente realista en procesos productivos del mundo real!) 36

37 Función de Producción Lineal Suponga que la función de producción es: q = f(k,l) = ak + bl Esta función de producción muestra retornos constantes a escala f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) Todas las isocuantas son líneas rectas La TMST es constante = 37

38 Función de Producción Lineal El trabajo y el capital son sustitutos perfectos k por periodo TMST es constante a medida que k/l cambia pendiente = -b/a = q 1 q 2 q 3 l por periodo 38

39 Proporciones Fijas Suponga que la función de producción es: q = min (ak,bl) a,b > 0 El trabajo y el capital siempre tienen que ser utilizados en una proporción fija La firma siempre operará en un rayo donde el cociente k/l es constante Dado que k/l es constante, = 0 39

40 Proporciones Fijas No es posible ningún tipo de sustitución entre el trabajo y el capital k por periodo k/l está fijo en b/a q 3 /a q 3 = 0 q 2 q 1 q 3 /b l por periodo 40

41 Función de Producción Cobb- Douglas Suponga que la función de producción es q = f(k,l) = Ak a l b A,a,b > 0 Esta función de producción puede mostrar cualquier tipo de retornos a escala f(tk,tl) = A(tk) a (tl) b = At a+b k a l b = t a+b f(k,l) Si a + b = 1 Retornos constantes a escala Si a + b > 1 Retornos crecientes a escala Si a + b < 1 Retornos decrecientes a escala 41

42 Función de Producción Cobb- Douglas La función de producción Cobb-Douglas es lineal en logaritmos ln q = ln A + a ln k + b ln l a es la elasticidad de producción con respecto a k b es la elasticidad de producción con respecto a l 42

43 Función de Producción CES Suponga que la función de producción es q = f(k,l) = [k + l ] / 1, 0, > 0 > 1 Retornos crecientes a escala < 1 Retornos decrecientes a escala Para esta función de producción = 1/(1- ) = 1 Función de producción lineal = - Función de producción de proporciones fijas = 0 Función de producción Cobb-Douglas 43

44 Función de Producción Leontief Generalizada Suponga que la función de producción es q = f(k,l) = k + l + 2(kl) 0.5 Las productividades marginales son Por lo tanto, TMST f k = 1 + (k/l) -0.5 f l = 1 + (k/l) 0.5 fl 1 ( k/ l) f 1 ( k / l) k Cómo son los retornos a escala? 44

45 Progreso Técnico Los métodos de producción cambian con el tiempo Después del desarrollo de técnicas de producción superiores, los mismos niveles de producción podrán ser alcanzados con menos factores Las isocuantas se desplazan hacia adentro 45

46 Progreso Técnico Suponga que la función de producción es q = A(t)f(k,l) Donde A(t) representa a todas las influencias que determinan a q (distintas de k y l ) Cambios en A sobre el tiempo significan progreso técnico A se muestra como una función del tiempo (t) da/dt > 0 46