GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS La mayoría de los problemas físicos tiene que ver con relaciones entre las cantidades variables en cuestión. Para resolver los problemas físicos o de la vida real en necesario formular el modelo matemático para el problema. Un modelo matemático debe ser tan simple, que se pueda resolver y además, debe representar la situación real de manera que la solución anuncia comportamiento del problema real con bastante exactitud. 1. Dinámica poblacional: Mientras más gente haya en el tiempo t, más gente habrá en el futuro. Enunciado de la ecuación: La rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento P(t) es la población respecto al tiempo k es una constante 2. Desintegración radiactiva: Los átomos se desintegran o transmutan en átomos de otras sustancias. Enunciado de la ecuación: La rapidez a la que se desintegran los nucleos de una sustancia es proporcional a la cantidad de la sustancia restante en el tiempo A(t) la cantidad de sustancia restante en el tiempo k es una constante de proporcionalidad, en este caso, es negativa, ya que, A va bajando. I.T.M Página 1
3. Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton: Enunciado de la ecuación: La rapidez a la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura circundante ( ) ( ) T(t) temperatura de un cuerpo en el tiempo t Ta temperatura del medio circundante k constante de proporcionalidad, k<0. 4. Propagación de una enfermedad: Una enfermedad contagiosa, se disemina en una comunidad por medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Enunciado de la ecuación: La rapidez a la que se disemina la enfermedad es proporcional al numero de encuentros o interacciones entre las personas que están contagiadas y las que no (tener en cuenta que el numero de interacciones es conjuntamente proporcional al número de personas que no se han contagiado y las que si, es decir proporcional al producto) x(t) es el numero de personas infectadas y(t) es el numero de personas que no se han contagiado k constante de proporcionalidad 5. Reacciones químicas de primer orden: Las moléculas de sustancia A se descomponen en moléculas más pequeñas Enunciado de la ecuación: la velocidad a la que toma lugar esta descomposición es proporcional a la cantidad de la primera sustancia que no ha experimentado conversión x(t) la sustancia en el tiempo k constante de proporcionalidad I.T.M Página 2
Reacciones químicas de segundo orden: Una molecula de la sustancia A se combina con una molécula de sustancia B, para formar una molecula de la sustancia C. Ecuación: ( )( ) x(t)la cantidad de sustancia C que se ha formado en el tiempo α La cantidad de la sustancia A que había al comienzo β La cantidad de la sustancia B que había al comienzo k constante de proporcionalidad 6. Mezclas: El mezclado de 2 soluciones de diferente concentración da a lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Problema ejemplo: Un tanque contiene 300 galones de salmuera (agua-sal), otra solución de salmuera se bombea hacia el tanque a una rapidez de 3 galones por minuto; la concentración de sal en este flujo de entrada es 2 libras por galón. - Enunciado de la ecuación: Cuando la solución en el tanque está bien agitada, se bombea a la misma rapidez que la solución entrante - Ecuación: ( ) ( ) Fe flujo de entrada (es el producto de la concentración de la sal y la rapidez de entrada del líquido) En el ejemplo sería: ( ) ( ) Fs flujo de salida (concentración de sal (la cantidad de sal en el tanque / el numero de galones constantes en el tanque) por la rapidez de salida del líquido) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 7. Drenado de un depósito: ley de Torricelli Enunciado de la ecuación: la velocidad del flujo de salida de agua por un agujero terminado en punta en el fondo de un depósito lleno hasta una profundidad h es la I.T.M Página 3
misma que la velocidad que adquiriría un cuerpo al caer libremente desde una altura h. Ecuación - Volumen de agua en el deposito en el instante t: - Altura del agua en el instante t: V(t) = Aw.h V(t) es el volumen de agua dentro del tanque en el instante t Ao Area del orificio por el que sale el agua Aw Es el area que mantiene la superficie del agua h(t) altura del agua en el instante t 8. Circuitos en serie: Segunda ley de Kirchhoff. Un circuito que tiene un inductor, un resistor y un capacitor. Enunciado de la ecuación: El voltaje impreso en un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas del voltaje. (i = dq/dt) Ecuación: i(t)la corriente en un circuito después que se cierra un conmutador I.T.M Página 4
q(t) la carga en un capacitor en el tiempo L inductancia Rresistencia C capacitancia 9. Caida libre: Segunda ley de newton. Enunciado de la ecuación: Cuando la fuerza neta que actúa en un cuerpo no es cero, entonces la fuerza neta es proporcional a la aceleración: F = ma (m masa del cuerpo) Cuál es la posición s(t) de una roca que es lanzada de un edificio, respecto al suelo? La aceleración es la segunda derivada de la posición. g gravedad 10. Caida de los cuerpos y resistencia del aire: F 1 +F 2 = mg kv (peso = F 1 y resistencia del aire = F 2 ) Enunciado de la ecuación: la aceleración es la derivada de la velocidad. v(t) velocidad en el tiempo (si se quiere poner en términos de la posición, la velocidad es la primera derivada de la posición) 11. Cadena corrediza: Enunciado de la ecuación: Peso de la cadena: ( ) ( ) Masa de la cadena: Fuerza neta: ( ) ( ) Puesto que a = d 2 x/dt 2 ma=f Ecuación: I.T.M Página 5
12. Cables colgantes: Se va a examinar la parte de un cable entre su punto mínimo y un punto arbitrario P 2. Tres fuerzas actúan sobre el cable: las tensiones T 1 y T 2 que son tangentes al cable en P 1, y P 2 y la porción W de la carga vertical total entre los puntos P 1 y P 2. Enunciado de la ecuación: dy/dx = tan θ Bibliografía. ZILL G. DENNIS. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera.. Sexta edición. Editorial CENGACE Learning. 2006. México, D.F. ZILL G. DENNIS. Ecuaciones diferenciales con problemas de modelado. Editorial. Octava edición. CENGACE Learning. 2006. México, D.F. TRENCH, William. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. Editorial THOMSON. 2002. I.T.M Página 6