Notas de Clase: Microeconomía II El objetivo de Microeconomía I es introducir a los estudiantes a los conceptos básicos de la microeconomía sin profundizar en formalizaciones matemáticas Sin embargo, la microeconomía se basa en un instrumental matemático sólido que día a día se refina más Entender la teoría microeconómica su instrumental matemático es el objetivo de Microeconomía II Los temas centrales de este curso: (i) teoría del consumidor (ii) teoría de la firma; (iii) estructuras de mercado; (iv) teoría de juegos; (v) oligopolio La microeconomía formaliza, a través de modelos, el comportamiento las decisiones de los agentes económicos sus reacciones al entorno económico Los modelos que eaminaremos en este curso tienen como fin entender el proceso que genera la definición del sistema de precios para los bienes servicios La microeconomía eplica, por ejemplo, como se genera la demanda por arroz como los consumidores reaccionan a cambios en los precios; o la microeconomía también eamina el proceso que conlleva a la oferta laboral por parte de los hogares Sin embargo, la microeconomía provee herramientas poderosas para analizar otro tipo de decisiones or ejemplo, la microeconomía permite entender porque una persona decide participar en actividades criminales, invertir en la educación de sus hijos cooperar en la protección del medio ambiente, entre muchas otras Los modelos, cuo objetivo es construir abstracciones de los fenómenos sociales, son una herramienta básica de la microeconomía Un modelo es una representación simplificada de la realidad como tal se debe entender La fortaleza de un modelo es su capacidad por detallar las características relevantes del proceso económico suprimir las características irrelevantes para el análisis que se está realizando, es decir un modelo se concentra en las características esenciales del proceso Los supuestos características comunes de todos los modelos económicos son: El supuesto de ceteris paribus: los modelos se concentran en establecer el efecto de ciertas variables económicas sobre otras variables económicas or ejemplo, los modelos de oferta laboral intentan eplicar el impacto de un cambio en el salario sobre la oferta de trabajo Aunque ha otros factores que pueden afectar la oferta de trabajo, como los factores idiosincrásicos que impulsaron la entrada de la mujer a la fuerza laboral, los modelos solo se concentran en algunos factores No incluir estos factores no significa que no son también determinantes de la oferta laboral El supuesto implícito en la supresión de dichos factores es que se mantienen constantes en el periodo de análisis Este supuesto de ceteris paribus (los otros factores constantes) es común en todos los modelos económicos El supuesto de optimización (decisiones racionales): la gran maoría de los modelos económicos asumen que los agentes económicos, a sea firmas, individuos u hogares, son racionales buscan alcanzar un objetivo Las firmas buscan maimizar sus beneficios, los individuos su función de utilidad los hogares la función de utilidad del hogar or lo tanto, la estructura de los modelos en microeconomía es similar: el agente económico maimiza o minimiza una función objetivo sujeto a algún tipo de restricción (p ej el presupuesto, la tecnología de la firma)
3 La distinción entre preguntas normativas positivas: los modelos económicos buscan contestar preguntas positivas normativas El objetivo de la economía positiva es entender como los recursos se asignan en la realidad en la economía La economía normativa va un paso adelante al intentar determinar que se debe hacer no solo al comprender la realidad Esta rama de la economía busca entonces determinar como deberían asignarse los recursos de una economía El curso de Microeconomía II se basa entonces en modelos acerca del comportamiento de los hogares de las firmas Dichos modelos tienen los supuestos características enumeradas anteriormente I Teoría de los hogares El objetivo de esta sección es eaminar el proceso de decisión de los individuos En una economía, los individuos deben decidir su consumo de bienes dados unos precios una restricción presupuestaria Esta sección analizara todos los componentes del proceso de decisión del individuo: las preferencias, la función de utilidad, la restricción de presupuesto la función de demanda Las preferencias ara elegir una canasta de consumo, los individuos se basan en un objetivo implícito no observable para el resto de la población Este objetivo implícito ha sido denominado por los economistas como las preferencias de los consumidores El consumidor elige, de una manera racional, una canasta de bienes para satisfacer sus preferencias Así, si un individuo tiene una fuerte preferencia por los chocolotes poco le gustan las comidas sanas, en su canasta de bienes seguramente habrá más chocolates que comidas sanas Las preferencias están determinadas también por el lugar el momento en el cual se está eligiendo ara un naufrago, una balsa resulta un elemento mu útil mientras que para alguien perdido en el desierto del Sahara la balsa puede ser un elemento completamente inútil Las preferencias permiten a los individuos ordenar canastas de bienes según su atractivo Suponga dos canastas de consumo (, ) (, ) El individuo puede ordenar estas dos canastas de bienes según su atractivo, es decir sus preferencias, de tal manera que la primera canasta puede ser estrictamente mejor que la segunda; la segunda puede ser estrictamente mejor que la primera; o las dos canastas son idénticas Si la primera canasta se prefiere a la segunda esto se formaliza como (, ) (, ) donde significa que una canasta se prefiere estrictamente a [ ] El comportamiento del consumidor refleja, por lo tanto, las preferencias El hecho que el consumidor prefiera la primera canasta a la segunda significa que, si tiene la capacidad para hacerlo, el consumidor elegirá la primera canasta no la segunda La preferencia estricta implica que si el individuo se enfrenta varias veces a la misma decisión no tiene restricciones para la adquisición del bien elige siempre la primera canasta Cuando las dos canastas de bienes brindan al consumidor la misma satisfacción, esto significa que el consumidor es indiferente entre las dos canastas La definición formal de indiferencia es
(, ) ~ (, ) or último, el individuo puede preferir débilmente la primera canasta de bienes a la segunda (, ) (, ) Las anteriores definiciones asumen que los individuos son racionales, cuando es posible, eligen la canasta de bienes que les brinda más satisfacción Además, los modelos asumen que las preferencias son estables Tres aiomas son utilizados en economía para definir la decisión racional de un consumidor Las preferencias son completas En el momento de tomar una decisión, el individuo siempre es capaz de ordenar las alternativas que se le presentan Ello implica que los individuos siempre entienden la decisión que toman son capaces, por ende, de establecer el grado de satisfacción que le produce cada alternativa or lo tanto, los consumidores siempre pueden comparar ordenar dos canastas de bienes de la siguiente manera: a La primera canasta se prefiere a la segunda,, ) (, ) ( b La segunda canasta se prefiere a la primera,, ) (, ) ( c Ha indiferencia entre ambas canastas,, ) ~ (, ) ( Dado que el consumidor puede establecer de manera eacta la preferencia por las dos canastas de bienes, no se presenta nunca de manera simultánea que el consumidor prefiere la primera canasta a la segunda (, ) (, ) la segunda canasta a la primera, ) (, ) ( El aioma de las preferencias completas se cumple en un porcentaje significativo de las decisiones económicas or lo general, los consumidores saben cuales bienes de mercado prefieren pueden ordenar las preferencias por dichos bienes Sin embargo, ha situaciones donde el cumplimiento del aioma es difícil Cuando las decisiones son de vida o muerte, el aioma puede no cumplirse Un ejemplo es el caso del desplazamiento forzado en Colombia Un hogar en un municipio colombiano con presencia de grupos armados ilegales puede recibir una amenaza de muerte El hogar debe entonces decir entre: (i) quedarse enfrentar probablemente la muerte de algún miembro de la familia; o (ii) migrar a otro municipio, perder todos sus bienes llegar a un lugar etraño En este caso, el hogar no necesariamente entiende la decisión que está tomando mucho menos deriva satisfacción de las dos acciones or 3
consiguiente, el hogar está eligiendo entre dos males Esta decisión de vida o muerte Sen la denomina como la decisión de Sophie Transitividad Suponga que un individuo debe elegir entre tres canastas de bienes: (, ), (, ) ( z, z ) Si el consumidor prefiere la primera canasta a la segunda canasta (, ) (, ) la segunda canasta a la tercera (, ) ( z, z), entonces debe preferir la primera canasta a la tercera,, ) ( z, ) ( z El aioma de transitividad significa que los individuos deciden de manera consistente Esto es un supuesto restrictivo de la definición de las preferencias La economía eperimental ha demostrado que en algunos casos es posible que la transitividad no se cumpla or ejemplo, es posible que un individuo con la estructura de preferencias del párrafo anterior también prefiera la tercera canasta a la primera, es decir ( z, z) (, ) La estructura de preferencias sería entonces circular ( z, z) (, ) (, ) ( z, z) Aunque esta estructura de preferencias es etraña, pueden eistir casos donde se presenta Si es así, sería imposible ordenar las canastas de bienes porque cualquier canasta de bienes que elija siempre preferirá otra Esta estructura de preferencias complicaría el análisis económico or lo tanto, el aioma de transitividad es necesario para asegurarnos que el consumidor tome sus decisiones de la mejor manera posible 3 Continuidad Si un consumidor prefiere la primera canasta a la segunda canasta de bienes (, ) (, ), entonces situaciones similares a la anterior deben derivar en una elección donde la primera canasta es preferida a la segunda (, ) (, ) Este aioma es un supuesto técnico que permite derivar funciones de utilidad continuas Los aiomas anteriores permiten formalizar las preferencias de un individuo agruparlas en una función matemática denominada la función de utilidad Si estos supuestos no se cumplen, no se podrían epresar las decisiones con el instrumental matemático que se ha desarrollado La eistencia de una función de utilidad permite ordenar todas las canastas de bienes desde la menos deseada hasta la más deseada La función de utilidad La función de utilidad permite contener el concepto de preferencias eplicado en la sección anterior en una función que traduce la preferencia a una función En el ejemplo de la sección anterior donde el consumidor prefiere la primera canasta de bienes a la segunda [ (, ) (, ) ], la función de utilidad permite traducir esto a una regla ordinal cardinal de tal manera que Sophie es la protagonista de una película Su historia sucede en un campo de concentración Nazi Un día sus carcelarios la obligan a escoger cual de sus dos hijos debe ir a la cámara de gases morir 4
U, ) U(, ) ( Esta desigualdad significa que dado que el consumidor prefiere la primera canasta de bienes a la segunda canasta, la utilidad que deriva del consumo de la primera canasta es maor a la utilidad que deriva del consumo de la segunda canasta La función de utilidad permite entonces ordenar las preferencias, por lo tanto, es considerada una medida ordinal La utilidad es, además, una herramienta necesaria cuando los individuos derivan utilidad de más de dos bienes, que es lo que sucede en el mundo real En el ejemplo anterior, usar la utilidad no es tan importante pues son dos bienes es fácil ordenarlos Cuando son varios bienes, ordenar las posibles canastas de bienes es imposible La función de utilidad permite, asimismo, realizar un ordenamiento cardinal de las preferencias de un consumidor Esto significa que es posible asignar números a la utilidad que deriva un individuo del consumo de un bien Es importante, sin embargo, que al asignar números a las funciones de utilidad se preserve el ordenamiento de preferencias original or lo tanto, no es importante la magnitud del número que se asigna sino la preservación del ordenamiento de las preferencias or ejemplo, si U (, ) 5 U (, ) 4, esto implica que la primera canasta se prefiere a la segunda canasta de bienes Asignar otros números a la función de utilidad denota el mismo ordenamiento: U, ) 000 000 U, ) 0 5 ( ( Esta propiedad de la función de utilidad se denomina como monotónica La formalización matemática de dicha propiedad es la siguiente Sea U una función de utilidad que provee un ordenamiento numérico de las preferencias Esta función puede ser transformada en otro conjunto de números que conserve el ordenamiento original de las preferencias F(U) Dicha función debe cumplir con la condición F '( U ) 0 La función de utilidad se puede definir entonces como la representación de las preferencias de los consumidores de la siguiente manera U,,, donde,,, n es la cantidad consumida de cada uno de los n bienes en un periodo de tiempo determinado 3 Las curvas de indiferencia Las curvas de indiferencia son un concepto esencial para entender le proceso de elección de los consumidores entre distintas canastas de bienes Estas reflejan los tradeoffs o sacrificios que deben llevar a cabo los consumidores al tomar decisiones Esto es fundamental porque cuando un consumidor elige entre canasta de bienes cantidades de bienes, no puede escoger un consumo ilimitado de bienes; la cantidad de ingreso disponible determina la canasta de bienes que el individuo puede escoger Más aún, así el consumidor tuviera la capacidad económica para comprar una cantidad ilimitada de bienes no tendría el tiempo suficiente para consumirlos Dado que el individuo está restringido por su ingreso tiempo disponibles, debe sacrificar el consumo de unos bienes para incrementar el consumo de sus bienes preferidos or ejemplo, cuando un individuo decide comprar canciones de i-tunes es probable que deba sacrificar la compra de otros bienes Incluso debe intercambiar las canciones de i-tunes por dinero, n 5
por lo tanto, está sacrificando voluntariamente su dinero (pej ser menos rico para poder adquirir las canciones de i-tunes) La representación teórica de cómo se realiza el intercambio voluntario entre canciones de i-tunes otros bienes se denomina como las curvas de indiferencia de un individuo Las curvas de indiferencia muestran la cantidad de otros bienes que el consumidor está dispuesto a ceder por adquirir las canciones de i-tunes Las curvas de indiferencia denotan las combinaciones de canciones de i-tunes otros bienes que mantienen constante la utilidad de un individuo Las curvas de indiferencia tienen cuatro propiedades que se eplican a continuación: el principio de no saciedad, la pendiente negativa, la transitividad la conveidad Muchas de estas propiedades se pueden eplicar con la tasa marginal de sustitución cua definición se presentará en los próimos párrafos La gráfica ilustra una propiedad de las curvas de indiferencia: la no saciedad (consumir más se prefiere a consumir menos) El área punteada de la gráfica representa todas las combinaciones de canciones de i-tunes otros bienes que son estrictamente preferidos a la combinación *,Z* Esto quiere decir que el individuo prefiere consumir la canasta de bienes, Z a la canasta de bienes *,Z* De otro lado, el área sombreada representa todas las combinaciones de canciones de i-tunes otros bienes que son menos preferidos estrictamente a la combinación, *,Z* or lo tanto, el individuo prefiere consumir la canasta de bienes *,Z* a la canasta de bienes, Z Esto implica que los individuos siempre van a preferir consumir más bienes que menos bienes, es decir siempre van a estar más satisfechos consumiendo más canciones de i-tunes más de los otros bienes que menos de canciones de i-tunes menos de los otros bienes Esta propiedad se llama la no saciedad or último, las áreas con signo de interrogación no permiten establecer cual combinación de bienes es más preferida a que en las dos áreas siempre se tendrá un consumo superior a *,Z* para cualquiera de los dos bienes En estas áreas, si se quiere aumentar el consumo de uno de los dos bienes, se debe disminuir el consumo del otro bien 6
Gráfica No saciedad Cantidad de otros bienes *?? Z Z* Z Cantidad de canciones de itunes Las curvas de indiferencia denotan las combinaciones de canciones de i-tunes otros bienes que mantienen constante la utilidad de un individuo (grado de satisfacción), es decir todas las combinaciones ubicadas en las regiones de signos de interrogación de la gráfica La gráfica muestra un ejemplo de una curva de indiferencia El individuo es indiferente entre consumir la canasta de bienes, Z, Z El consumo de ambas canasta de bienes produce la misma utilidad U A lo largo de toda la curva de indiferencia la función de utilidad se mantiene constante 7
Gráfica Una curva de indiferencia Cantidad de otros bienes?? U Z Z Cantidad canciones I -tunes La pendiente negativa de la curva de indiferencia denota como se intercambian los bienes or ejemplo, para adquirir más canciones de i-tunes el consumidor está dispuesto a sacrificar el consumo de otros bienes Dado que es necesario disminuir el consumo de otros bienes para comprar más canciones de i-tunes, la pendiente de la curva de indiferencia es negativa La gráfica 3 presenta un ejemplo de cómo se produciría el intercambio entre canciones de i-tunes otros bienes para mantener la función de utilidad constante Asuma que en la situación inicial el consumidor tiene una canasta de bienes con una gran cantidad de otros bienes con pocos canciones de i- tunes Esta canasta de bienes está representada por, Z El individuo decide que quiere adquirir más canciones de i-tunes pero desea mantener su utilidad constante Este objetivo se logra con un movimiento a lo largo de la curva de indiferencia de modo que se disminue el consumo de otros bienes, se incrementa la cantidad de canciones de i- tunes se mantiene la utilidad constante En la nueva canasta de consumo, Z, se cumple esta condición La curva de indiferencia muestra como para adquirir Z canciones de i-tunes es necesario reducir el consumo de otros bienes en - 8
Gráfica 3 La pendiente negativa Cantidad de otros bienes U Z Z Cantidacanciones i-tunes La disponibilidad a ceder otros bienes por comprar más canciones de i-tunes varía a lo largo de la curva de indiferencia Cuando el individuo tiene la canasta de bienes, Z, es decir cuando el consumo de otros bienes es alto el consumo de canciones de i-tunes es bajo, el individuo está dispuesto a ceder una cantidad grande de los otros bienes para aumentar un poco el consumo de canciones de i-tunes Como lo ilustra la gráfica 4, cuando el individuo está en la canasta de bienes, Z, debe disminuir el consumo de otros bienes en para incrementar en una unidad el consumo de canciones de i- tunes ( ) Z A A De otro lado, si el individuo está ubicado en una canasta de bienes donde la cantidad de canciones de i-tunes es alta el consumo de otros bienes es pequeño ( 3, Z 3 ), la disponibilidad a ceder otros bienes para comprar más canciones de i-tunes es reducida frente al caso anterior Asuma que el consumidor desea de nuevo aumentar el consumo de canciones de i-tunes en una unidad, es decir trasladarse de la canasta de consumo ( 3, Z 3 ) a la canasta de consumo ( 4, Z 4 ) ara ello, deberá ceder b para obtener un incremento en Zb La cantidad que está dispuesto a ceder en el consumo en otros bienes mantener la utilidad constante b es menor que el caso anterior: A > b Esta disponibilidad a ceder otros bienes por de canciones de i-tunes se denomina Z la Tasa Marginal de Sustitución Tal como se aprecia en el ejemplo anterior la Tasa Marginal de Sustitución disminue entre ( A, Z A ) ( b, Zb ) 9
Gráfica 4 Cambios en la Tasa Marginal de Sustitución Cantidad de otros bienes 3 4 U Z Z Z 3 Z 4 Cantidad canciones i-tunes Z A Zb La cantidad de canciones de i-tunes que se transan por otros bienes se denomina la tasa marginal de sustitución La derivación de la tasa marginal de sustitución es la siguiente Asuma que la función de utilidad de canciones de i-tunes (Z) otros bienes () se representa como U(Z,) Al realizar la diferencial total de la función de utilidad se obtiene U U du dz d Z La diferencia total epresa cómo cambios en afectan el nivel de utilidad Dado que la curva de indiferencia mantiene el nivel de utilidad constante, du=0 or lo tanto la diferencia total se reescribe como U U dz d 0 Z Cómo se debe mantener la utilidad constante, un incremento en el consumo de Z necesariamente debe ser compensado por una caída en La TMS muestra la magnitud de esa caída Si se despeja la diferencial total, U U dz d Z U U Z d dz 0
d dz U Z U La tasa marginal de sustitución se define como TMS d U Z U U dz U La tasa marginal de sustitución es equivalente entonces a la pendiente de las curvas de indiferencia Esta pendiente difiere, por lo general, en cada punto de la curva de indiferencia como se demostró en la gráfica 4 La curva de indiferencia solo representa uno de los infinitos niveles de utilidad que puede alcanzar un individuo dadas las infinitas combinaciones de canasta de bienes En un gráfico se pueden representar los distintos niveles de utilidad que puede alcanzar un individuo ordenar dichos niveles de utilidad Un ejemplo se presenta en la gráfica 5 Tal como lo ilustra la gráfica, U 3 >U >U Gráfica 5 El mapa de curvas de indiferencia Cantidad de otros bienes U 3 U U Cantidad de canciones de i- tunes Las curvas de indiferencia tienen dos propiedades adicionales: la transitividad la conveidad Como se eplicó en secciones anteriores, las preferencias son transitivas Ello implica que las curvas de indiferencia nunca se deben cruzar, por lo tanto, se pueden ordenar las canastas de bienes de acuerdo a las preferencias or la condición de la transitividad, si la canasta de bienes A es preferida a la canasta de bienes B; la canasta de bienes C es preferida a la canasta de bienes D; el individuo es indiferente entre la canasta de bienes B C; entonces la canasta de bienes A es preferida a la canasta de bienes D Esto permite ordenar las canastas de bienes Cuando las curvas de indiferencia se cruzan, la propiedad de transitividad no se cumple La gráfica 6 presenta un ejemplo or la propiedad de la no saciedad, la canasta de bienes A se prefiere a la canasta de bienes B la canasta de bienes C se prefiere a la canasta de bienes D Dado que B C se encuentran en la misma curva de indiferencia,
el individuo es indiferente entre consumir B o consumir C or transitividad, la canasta de bienes A debería ser preferida a la canasta de bienes D Sin embargo, la canasta de bienes A la canasta de bienes D se ubican en la misma curva de indiferencia; por lo tanto, A no es preferido a D la propiedad de transitividad no se cumple or lo tanto, no se pueden ordenar las canastas de bienes de acuerdo a las preferencias Esto se presenta porque las curvas de indiferencia se cruzan lo cual implica que las curvas de indiferencia deben ser siempre paralelas en cada punto Gráfica 6 La transitividad Cantidad de otros bienes C D E A U B U Cantidad canciones de itunes La Tasa Marginal de Sustitución decreciente se representa matemáticamente con la conveidad de las curvas de indiferencia Un conjunto es conveo cuando dos puntos al interior o en la frontera del conjunto se pueden unir con una línea recta que está contenida completamente en el conjunto La conveidad de las curvas de indiferencia se ilustra en la gráfica 7
Gráfica 7 Conveidad de las curvas de indiferencia Cantidad de otros bienes * * U Z* Z Z* Z Conjunto Conveo Conjunto No Conveo Una implicación adicional de la conveidad de las curvas de indiferencia es que los consumidores prefieren tener una canasta de bienes balanceada no una canasta de bienes con una cantidad ecesiva de uno de los dos bienes Un ejemplo de la preferencia por canastas balanceadas de bienes se presenta en la gráfica 8 Las canastas de bienes (,Z ) (,Z ) tiene una alta cantidad de otros bienes una alta cantidad de pares de canciones de i-tunes respectivamente Las dos canastas le producen al consumidor una utilidad de U Debido a la condición de conveidad, el consumidor prefiere una canasta más balanceada que le brinda una utilidad de U 3
Gráfica 8 referencia por canasta de bienes balanceadas Cantidad de otros bienes Z Z U U Cantidad canciones i-tunes 4 Ejemplos de preferencias Las preferencias de los consumidores determinan las formas funcionales de las curvas de indiferencia Las preferencias determinan la tasa a la cual está dispuesto un individuo a sacrificar el consumo de un bien por incrementar el consumo de un bien Esta sección da ejemplos de distintos tipos de curvas de indiferencia calcula la tasa marginal de sustitución para cada ejemplo Los bienes pueden ser sustitutos perfectos cuando el individuo está dispuesto a sustituir el bien por el bien a una tasa constante Un ejemplo clásico de sustitutos perfectos son la margarina la mantequilla Dado que los dos bienes son tan similares, el consumidor podría estar dispuesto a reducir su consumo en margarina en 00 gramos aumentar su consumo de mantequilla en 00 gramos mantener su utilidad constante Un ejemplo de una función de utilidad para bienes que son sustitutos perfectos es U ara calcular la tasa marginal de sustitución de esta función es necesario calcular las dos utilidades marginales U U or lo tanto, la tasa marginal de sustitución es igual a d U TMS U U d U 4
La tasa marginal de sustitución representa la pendiente de la curva de indiferencia Con esta información, se traza la curva de indiferencia en la Gráfica 9 La tasa marginal de sustitución es idéntica en todos los puntos de la curva de indiferencia Esto significa que el individuo está dispuesto a ceder siempre la misma cantidad de para obtener una unidad adicional de pues el consumidor no encuentra diferencia entre los dos bienes or ejemplo, para el consumidor puede ser lo mismo consumir margarina que mantequilla, por lo tanto, no es importante la cantidad de cada uno de los dos productos que consume sino la cantidad total de los dos Cuando los bienes son sustitutos perfectos, la propiedad de tasa marginales de sustitución decrecientes no se cumple Gráfica 9 Bienes sustitutos perfectos U Otro tipo de bienes son los complementos perfectos Los complementos perfectos son bienes que deben ser consumidos de manera paralela para brindar bienestar Las raquetas de tenis las bolas de tenis son un ejemplo Una persona con una raqueta de tenis sin bolas de tenis poco puede hacer viceversa Otro ejemplo de complementos perfectos son las canciones de i-tunes del pie izquierdo el pie derecho El uso de los dos se da de manera simultánea las proporciones en el uso de los dos bienes son por lo general fijas (pej por cada zapato del pie izquierdo se necesita tener un zapato del pie derecho) La gráfica 0 ilustra un ejemplo de curvas de indiferencia para complementos perfectos Si por cada zapato izquierdo es necesario un zapato derecho, los consumidores siempre demandarán canciones de i-tunes en proporciones fijas or ejemplo, para alcanzar la función de utilidad U, el consumidor utiliza 4 canciones de i- tunes izquierdos 4 canciones de i-tunes derechos Si el consumidor compra 9 zapatos derechos no se incrementa la utilidad a que los cinco zapatos adicionales no le sirven para nada si no tiene los zapatos correspondientes al pie derecho Ello implica curvas de indiferencia como las curvas de la gráfica 0 donde el vértice de la curva de encuentra en el punto en el que el número de zapatos del pie derecho es igual al número de zapatos del pie izquierdo 5
or lo tanto, los bienes se consumen en proporciones fijas tal como se muestra a continuación 4 4 9 9 La función de utilidad de bienes que son complementos perfectos es igual a U (, ) min, Gráfica 0 Bienes complementos perfectos U 3 9 U 4 U 4 9 En el caso de complementos perfectos, el consumidor no puede reducir el consumo del bien, incrementar el consumo del bien mantener la utilidad constante or lo tanto, la tasa marginal de sustitución de los complementos perfectos es igual a cero La función Cobb-Douglas, comúnmente utilizada, es otro ejemplo de función de utilidad La función de Cobb-Douglas permite la sustitución entre los bienes, pero dicha sustitución no es perfecta varía a lo largo de la curva de indiferencia Esta función está representada por la siguiente ecuación / / U (, ) La utilidad marginal para de este ejemplo particular de función Cobb-Douglas es igual a U / U La tasa marginal de sustitución de la función de utilidad Cobb-Douglas es, por lo tanto, igual a / 6
U TMS U ( ( ) ) / / TMS TMS TMS Tal como muestra la ecuación anterior, la tasa marginal de sustitución varia a lo largo de la curva de indiferencia or ejemplo, si = =6, la tasa marginal de sustitución es igual a 6/=3 Ello significa que el consumidor estaría dispuesto a ceder 3 unidades de por incrementar el consumo de en una unidad De otro lado, si =4 =, la tasa marginal de sustitución es igual a /4=/, es decir el consumidor está dispuesto a ceder ½ unidad del bien para incrementar el consumo de en una unidad La curva de indiferencia de una función de utilidad Cobb-Douglas se presenta en la gráfica Gráfica Función Cobb-Douglas / / U 5 La restricción de presupuesto Las secciones anteriores muestran como las preferencias de los individuos permiten ordenar las distintas canastas de bienes de tal manera que el consumidor sabe cual es su canasta más preferida su canasta menos preferida Sin embargo, los elementos anteriores no son suficientes para el proceso de elección del consumidor a que este está restringido por la cantidad de ingreso que puede gastar en el consumo de bienes or lo tanto, el consumidor no solo debe tener en cuenta la canasta más preferida de bienes también debe tener en cuenta si es posible adquirir dicha canasta dado su ingreso los 7
precios de los bienes Esta restricción se denomina la restricción presupuestaria combina el ingreso del individuo, los precios de los bienes las cantidades consumidas Al igual que en la sección anterior, se asume que el individuo puede consumir dos tipos de bienes: el bien el bien El precio del bien es igual a el precio del bien es igual a El ingreso disponible del individuo está representado por I La restricción presupuestaria del individuo está representada por I Donde representa el gasto total del consumidor en el bien el gasto total en el bien El consumidor elige entonces cuanto consume de los dos bienes de modo que el gasto de los dos bienes no eceda el ingreso disponible or lo tanto, las canastas de consumo a las cuales accede el individuo son aquellas que pueden adquirir dada la restricción de ingresos no necesariamente las canastas preferidas de bienes Dicho de otra manera, el consumidor logra acceder a su canasta preferida dada la restricción de presupuesto El conjunto de canastas de consumo que se pueden adquirir dados unos precios (, ) un ingreso I se denomina el conjunto presupuestario La recta presupuestaria denota entonces el conjunto de canastas de bienes que cuestan eactamente el ingreso disponible, es decir I La Gráfica presenta un ejemplo de un conjunto presupuestario una recta presupuestaria Suponga que el individuo tiene disponibles $000 para gastar en su consumo de bienes El precio del bien es igual a $5 el precio del bien es igual a 4 Esto quiere decir que el consumidor podrá elegir todas las canastas de bienes con costo total igual o menor a 000 La restricción presupuestaria se define como 5 4 000 La recta prespuestaria se puede reescribir como 5 4 000 4 000 5 000 5 4 Los puntos de corte de la restricción presupuestaria representan cuanto se puede comprar del bien (bien ) cuando todo el ingreso se destina al consumo del bien (bien ) ara encontrar los puntos de corte de la recta presupuestaria, se realiza el procedimiento siguiente Cuando el individuo no consume (=0) destina todo su ingreso al consumo del bien, la recta presupuestaria se define como 000 5 0 4 0 000 5 5 000 8
000 00 5 De otro lado, cuando el individuo no consume (=0) destina todo su presupuesto al consumo del bien, la recta presupuestaria se define como 000 50 4 La pendiente de la recta presupuestaria es igual a 5 4 Cuando el individuo escoge una canasta de bienes tal que agota la cantidad total de ingreso disponible, se ubica en la recta presupuestaria De otro lado, si el individuo escoge una canasta de bienes que no agota el ingreso total disponible, se ubica al interior del conjunto prespuestario representado por el área punteada Gráfica La recta presupuestaria: un ejemplo =000/4 Conjunto presupuestario =000/5 La generalización del ejemplo anterior se presenta a continuación Suponga que el individuo enfrenta unos precios, un ingreso I La restricción presupuestaria se representa como La recta presupuestaria está definida por I I 9
se puede reescribir como I I Los puntos de corte en el eje en el eje se definen a continuación ara definir el punto de corte en el eje se asume =0, 0 I 0 I I I ara definir el punto de corte en el eje se asume =0, La pendiente de la recta presupuestaria es igual a I La gráfica 3 muestra esta restricción prespuestaria 0
Gráfica 3 La recta presupuestaria Conjunto presupuestario La pendiente de la restricción presupuestaria representa la relación en la que el mercado está dispuesto a sustituir el bien por el bien Suponga que el consumidor desea aumentar su consumo del bien en En cuanto debe reducir el consumo del bien para satisfacer su restricción presupuestaria? Suponga que representa el cambio en el bien, es decir, representa el cambio que se debe dar en el bien para lograr el aumento deseado en el consumo del bien satisfacer su restricción de presupuesto Si antes de realizar el cambio en consumo el individuo satisfacía su restricción presupuestaria, esto significa que I Ahora suponga que el consumidor incrementa su consumo de, para continuar satisfaciendo su restricción presupuestaria, disminue el consumo de La restricción presupuestaria con la nueva canasta de bienes se representa como I Donde para este ejemplo particular 0 0 Si se resta la primera ecuación de la segunda, I I I 0 0
Si se despeja está ecuación para que representa la cantidad del bien que se puede sustituir por el bien para mantener constante la restricción de presupuesto, se obtiene Esta relación es la pendiente de la recta presupuestaria Cambios en los precios en el ingreso del consumidor modifican la restricción de presupuesto Suponga que en el ejemplo anterior el consumidor recibe una herencia su ingreso se aumenta de $000 a $000 Los precios de los dos bienes permanecen constantes La nueva restricción presupuestaria se define como 5 4 000 La recta prespuestaria se puede reescribir como 000 5 4 Los puntos de corte de los dos ejes se van a modificar de la manera siguiente Cuando el individuo no consume (=0), la recta presupuestaria se define como 000 5 0 4 400 De otro lado, cuando el individuo no consume (=0), la recta presupuestaria se define como 000 500 4 La pendiente de la recta presupuestaria continúa siendo la misma, es decir 5 4 or lo tanto, un incremento en el ingreso disponible del individuo epande la recta prespuestaria mantiene constante la pendiente de la recta tal como se ilustra en la gráfica 4
Gráfica 4 Un incremento en el ingreso Ahora suponga que en el ejemplo anterior, el ingreso del individuo ($000) el precio del bien se mantienen constantes mientras que el precio del bien se aumenta de $5 a $0 La nueva restricción presupuestaria se define como 0 4 000 La recta prespuestaria se puede reescribir como 000 0 4 Los puntos de corte de los dos ejes se van a modificar de la manera siguiente Cuando el individuo no consume (=0), la recta presupuestaria se define como 000 0 0 4 00 De otro lado, cuando el individuo no consume (=0), la recta presupuestaria se define como 000 50 4 or lo tanto, el punto de corte del se modifica el punto de corte del eje permanece igual Como resultado, la pendiente de la recta presupuestaria se modifica a 0 4 3
Gráfica 4 Un incremento en el precio 6 La elección óptima: maimización de la función de utilidad Las secciones anteriores definen los dos elementos esenciales para el proceso de elección óptima del consumidor: la función de utilidad la restricción de presupuesto En el proceso de elección óptima, el consumidor elige su canasta de bienes preferida dentro del conjunto de canasta de bienes que puede elegir dada su restricción de presupuesto El individuo maimiza entonces su función de utilidad, es decir alcanza el máimo nivel de utilidad dada una restricción presupuestaria, cuando escoge una canasta de bienes que agota su restricción de presupuesto Esto ocurre cuando la tasa marginal de sustitución (la disponibilidad a ceder bien por incrementar el consumo del bien ) se iguala a la pendiente de la recta presupuestaria (la relación en la que el mercado permite sustituir el bien por el bien ) Un ejemplo gráfico de la maimización de la función de utilidad se presenta en la gráfica 5 Si el individuo escoge el punto A en la función de utilidad U, el consumo se ubica en el conjunto prespuestario, por lo tanto, el consumo es posible dado que no se agota todo el ingreso disponible para consumo Dado el supuesto de no saciedad, el consumidor siempre prefiere consumir más a consumir menos Este punto no es racional porque el individuo podría incrementar el consumo de los dos bienes derivar una maor utilidad aún cumpliendo con la restricción presupuestaria El consumidor podría entonces ubicarse en un punto como B, donde agota la restricción de presupuesto Sin embargo, el individuo puede buscar otro punto donde se agote la restricción de presupuesto se alcance un maor nivel de utilidad En el punto C, se cumple con esta restricción: se agota el ingreso disponible se alcanza el maor nivel de utilidad posible Ello sucede cuando la pendiente de la restricción de presupuesto se iguala a la tasa marginal de sustitución 4
Gráfica 5 La maimización de la función de utilidad B C A U U En el punto C, se cumple entonces con dos condiciones: se gasta un presupuesto igual a I se alcanza el máimo nivel de utilidad posible Esto sucede en el punto de tangencia entre la restricción de presupuesto la curva de indiferencia, es decir donde se igualan las dos pendientes d d U cons tan te U U La conveidad de las curvas de indiferencia permite que solo eista una canasta de bienes que maimice la función de utilidad La derivación gráfica anterior se deriva a continuación formalmente Suponga un individuo que consume dos bienes (,), enfrenta unos precios de (, ) tiene un ingreso de I El individuo escoge, para maimizar su función de utilidad Ma, U (, ) sujeto a la restricción de presupuesto I El lagrangiano de este problema de maimización está definido por L U (, ) I Las condiciones de primer orden para obtener una maimización de la función de utilidad son: 5
L U 0 L U 0 L 3 I 0 Cómo se interpretan las condiciones de primer orden? Las dos primeras condiciones de primer orden se interpretan de manera mu similar El primer término U representa el beneficio para el individuo de consumir una unidad adicional del bien El segundo término representa el costo para el individuo de incrementar el consumo de en una unidad Un incremento en una unidad del bien tiene dos efectos or un lado, se aumenta el gasto en el bien en or otro lado, se reduce el ingreso disponible para consumir en otros bienes El costo por dicha reducción está representado por que representa la utilidad marginal del ingreso La utilidad marginal del ingreso, es decir cuánto aumenta la utilidad cuando el individuo obtiene más ingreso Esto se deriva formalmente a continuación Dado que el lagrangiano representa la función de utilidad una vez se maimiza, el término representa la utilidad marginal del ingreso or el teorema de la envolvente, U L I I or lo tanto, un incremento en el gasto del bien reduce el ingreso disponible para otros bienes la utilidad por vía de un menor ingreso Esta condición de primer orden muestra entonces que el individuo aumenta su consumo de hasta el punto donde se igualan los beneficios marginales con los costos marginales, es decir U La segundo condición de primer orden se interpreta de una manera mu similar La tercera condición de primer orden significa que el individuo consume hasta agotar su presupuesto I Las condiciones de primer orden se pueden reescribir de diferentes formas La primera condición se puede escribir como U U La segunda condición se puede escribir como U 6
U Al igualar las dos condiciones, se obtiene U U U U U U U U Tal como se demostró gráficamente, el individuo maimiza su función de utilidad en el punto donde se iguala la pendiente de la restricción de presupuesto con la tasa marginal de sustitución Otra forma de escribir las condiciones de primer orden es la siguiente U U Esta ecuación muestra que en el punto de maimización de utilidad cada bien debe proveer la misma utilidad marginal por peso gastado en el bien Esta relación debe ser igual a la utilidad marginal del ingreso, Una última forma de interpretar las condiciones de primer orden es la siguiente La condición de primer orden del bien se puede reescribir como U Esta ecuación significa que el precio representa la utilidad por la última unidad consumida del bien, es decir representa la disponibilidad a pagar por el consumo de la última unidad consumida del bien Una vez se ha realizado el proceso de maimización de la función de utilidad, se obtiene la cantidad de óptima como función de los precios el ingreso del individuo Esta cantidad óptima de se llaman funciones de demanda se epresan de la manera siguiente * * * *,, I,, I Todos los puntos de la función de demanda representan un punto óptimo, es decir un punto en el cual el consumidor maimiza su función de utilidad sujeto a una restricción de presupuesto 7
8 Un ejemplo de una función de utilidad se presenta a continuación Asuma que el proceso de maimización del individuo está representado por, Ma sujeto a I El lagrangiano de este problema de maimización está representado por I L Las condiciones de primer orden son 0 L 0 L 3 0 I L De la condición, se obtiene De la condición, se obtiene Si se igualan la condición la condición se obtiene Al despejar, se obtiene
Esta igualdad se remplaza en la tercera condición de primer orden se despeja I I * I or el mismo procedimiento, * I Estas demandas representan las cantidades óptimas del consumidor Si asumimos que I, 0 5 se remplazan los valores en las demandas *05 * 4 * * Ello significa que la cantidad óptima para el proceso de maimización de utilidad anterior, dado el ingreso los precios, es (,)=(4,) 7 La función de utilidad indirecta El proceso de maimización de utilidad del individuo sujeto a una restricción de presupuesto genera las funciones de utilidad óptimas del individuo Si un individuo escoge, para maimizar su función de utilidad sujeto a la restricción de presupuesto Ma, genera las siguientes funciones de demanda 4 U (, ) I, *(,, I ) *(,, I) Dichas funciones representan las cantidades óptimas de,, es decir las cantidades que maimizan la función de utilidad, para distintas combinaciones de precios e ingresos 9
Cuando se remplazan las funciones de demanda en la función de utilidad, se obtiene la función de utilidad indirecta Ma U (, ) U *,, I, *, I, Ma U (, ) V, I, La función de utilidad indirecta permite establecer el efecto de cambios en los precios en el ingreso sobre la función de utilidad óptima del individuo, es decir permite evaluar como cambios en el ingreso los precios afectan el bienestar del consumidor Ello debido a que la función de utilidad indirecta reflejará como un cambio en los precios o el ingreso genera un cambio en la utilidad del individuo, por ende, en el bienestar Un incremento en el ingreso aumenta la función de utilidad del individuo a que puede epandir su consumo de bienes or lo tanto, V I 0 De otro lado, un incremento en el precio de cualquiera de los dos bienes reduce la utilidad al restringir el conjunto de las canastas de bienes disponibles para el consumidor V 0 Un ejemplo de la función de utilidad indirecta se deriva a continuación Dado el siguiente problema de maimización de utilidad, Ma, sujeto a I la demanda por bienes es respectivamente * * I I Si se remplazan estas demandas en la función de utilidad, se obtiene la función de utilidad indirecta I I I V (,, I ) Si se asumen los precios e ingreso del ejercicio anterior, la utilidad indirecta sería * 4 30
* La función de utilidad indirecta se deriva remplazando ambas cantidades en la función de utilidad 8 La minimización del gasto V (,, I) 4 * El proceso de elección del consumidor se puede analizar desde otra perspectiva: la minimización del gasto Al elegir su canasta de consumo, el individuo puede escoger la cantidad de bienes que maimizan su función de utilidad dada una restricción presupuestaria o, por otro lado, escoger la cantidad de bienes que minimizan el gasto para alcanzar un nivel dado de utilidad Los dos problemas son idénticos llevan a la misma solución En términos matemáticos, esto significa que los problemas son duales, es decir la minimización del gasto es el problema dual de la maimización de utilidad viceversa La Gráfica 6 presenta un problema de minimización de gastos un problema análogo de maimización de utilidad ara el problema de minimización de gastos, asuma que el individuo debe escoger una canasta de bienes tal que minimice su nivel de gastos alcance el nivel de utilidad U Si el individuo escoge gastar E para alcanzar el nivel de utilidad U, el gasto será insuficiente por lo tanto no podrá alcanzar la meta establecida De otro lado, cuando el individuo escoge gastar E, el gasto será ecesivo para alcanzar el nivel de utilidad U Aunque este nivel de gasto corta la curva de indiferencia en dos puntos de U, el individuo podría disminuir su nivel de gasto alcanzar todavía la utilidad U or último, elegir un nivel de gasto E 3 le permite al individuo alcanzar los dos objetivos: minimizar el gasto llegar al nivel de utilidad previsto El proceso de la maimización de utilidad fija el nivel de ingresos escoge una canasta de bienes que maimice la función de utilidad En este caso, el individuo toma el ingreso como dado escoge la función de utilidad Suponga que el ingreso equivale a un nivel de gasto E 3 El individuo no puede ubicarse en el nivel de utilidad U 3 porque su ingreso disponible no se lo permite De otro lado, cuando el individuo decide ubicarse en una canasta de bienes que le genera una utilidad equivalente a U no agotaría su ingreso disponible Esta elección no cumple con la condición de no saciedad El individuo puede consumir más aún cumplir con su restricción de presupuesto or lo tanto, puede incrementar su consumo para alcanzar el nivel de utilidad U ara maimizar su nivel de utilidad, el individuo escoge entonces la canasta de bienes, elige una cantidad óptima Dicha canasta de bienes es idéntica a la canasta de bienes elegida a través de la minimización de gastos or lo tanto, los dos problemas son duales son simplemente diferentes alternativas para analizar el mismo proceso: el proceso de elección óptima de un consumidor Sin embargo, mientras el gasto de un individuo es observable la función de utilidad no lo es 3
Gráfica 6 El problema dual: la minimización de gastos la maimización de la función de utilidad E E 3 U E Minimización de gasto U U 3 E U Maimización de utilidad La definición formal de la minimización de gastos se describe a continuación Asuma que un individuo escoge, para minimizar su gasto de modo que puede alcanzar un nivel de utilidad igual a U El problema de minimización de gastos se define como Min, E sujeto a U U (, ) El lagrangiano de este problema está dado por 3
Las condiciones de primer orden son L U 0 L U 0 L U U (, ) L 3 U U (, ) 0 La interpretación de las dos primeras condiciones de primer orden es idéntica a aquellas del problema de maimización de utilidad El individuo consume hasta el punto en el cual el beneficio por consumir una unidad adicional de (el incremento en la utilidad) es igual al costo de consumir una unidad adicional de (la reducción en el gasto disponible para otros bienes) Si se despejan la primera segunda condición, se obtiene U U U Al igualar las dos ecuaciones, U U U U U U U U Ello implica que el individuo minimiza su nivel de gastos cuando la tasa marginal de sustitución iguala a la pendiente de la restricción presupuestaria, es decir se alcanza la misma solución que en el proceso de la maimización de la función de utilidad Del proceso de minimización de gastos, también se obtiene la cantidad demandada de Sin embargo, en este caso, la cantidad demandada depende de los precios de la 33
34 función de utilidad no de los precios el ingreso como en el problema de la maimización de utilidad ),, ( * U ),, ( * U Estas demandas representan la cantidad óptima de * * después del proceso de minimización de gastos en el cual están dados los precios la función de utilidad El problema con las demandas generadas por el proceso de minimización de gastos es que no son observables debido a que uno de sus argumentos es la función de utilidad El ejemplo siguiente muestra un problema de minimización de gastos con la misma función de utilidad Cobb-Douglas que hemos utilizado hasta el momento E, Min sujeto a U El lagrangiano está definido por / / U L Las condiciones de primer orden son 0 / L 0 / L 0 / / U L Si se divide la primera segunda condición de primer orden, / / / / / /
Si se remplaza en la tercera condición de primer orden, U / / 0 U / U / Si se remplazada por los mismos parámetros de los ejemplos anteriores, U, 05, se obtiene * 4 * Se llega entonces a la misma solución del problema de maimización 9 La función de demanda: el efecto ingreso efecto sustitución Una vez se han derivado las funciones de demanda, que representan la cantidad óptima demandada por el individuo, dada una combinación de precios e ingreso, se puede establecer los efectos de cambios en el entorno económico sobre el proceso de elección del individuo, por ende, en el equilibrio de mercado La herramienta para estudiar el impacto de cambios en variables eógenas (pej los precios el ingreso) sobre variables endógenas (p ej Cantidad demandada) es la estática comparativa La estática comparativa compara dos situaciones: antes después de un cambio en el entorno económico or ejemplo, la estática comparativa permite establecer como cambia la demanda por automóviles cuando caen los aranceles a los carros etranjeros o cómo reducciones en los impuestos laborales reducen la tasa de desempleo En los análisis de estática comparativa sólo se compara como era la demanda antes como es ahora Nunca se analiza el proceso que llevó a dicho cambio Antes de realizar los ejercicios de estática comparativa para cambios en los precios en el ingreso es necesario analizar una propiedad de la función de demanda: la homogeneidad ara analizar la homogeneidad, se establece cómo el efecto de cambios idénticos en los precios el ingreso afectan la cantidad demandad Según la propiedad de homogeneidad, si se incrementan los precios el ingreso por una misma proporción de manera simultánea, las cantidades demandadas no varían or ejemplo, si los precios el ingreso se duplican, la cantidad demandada continúa siendo igual La gráfica 7 presenta un ejemplo de la homogeneidad de la demanda Asuma que en el momento inicial la restricción de presupuesto es igual a 35