El problema de optimización dinámica: Consumo Intertemporal

Transcripción

1 El problema de optimización dinámica: Consumo Intertemporal 1

2 Supuesto del modelo: Restricción presupuestaria intertemporal Los hogares tienen un horizonte infinito, para efectos analíticos se asumen 2 periodos: actual (t 1 ) y futuro (t 2 ) Se asume que los agentes económicos (hogares) tienen consumo presente (C 1 ) y futuro (C 2 ), así como ingreso actual (Y 1 ) y futuro (Y 2 ) Se considera que los hogares puede a) consumir el ingreso actual en el periodo actual y consumir el ingreso futuro en el futuro; b) ahorrar parte del ingreso actual para el consumo futuro; c) ahorrar todo el ingreso actual para consumo futuro. El precio de una unidad de consumo presente es la unidad P a : mientras que el precio presente por unidad de consumo futuro es la cantidad de bienes presentes sacrificados para una unidad adicional de consumo futuro: P f = 1 (1a)

3 Una unidad de consumo presente puede intercambiarse por unidades de consumo futuro. En otras palabras, el consumidor puede prestar o pedir prestado a una tasa de interés de mercado, la cual representa el precio relativo del consumo presente y futuro. Si inflación, lo anterior implica que: La restricción presupuestaria que enfrentan los agentes económicos viene definida por: Y 1 = C 1 + S (1b) C 2 = S + Y 2 (1c) Sustituyendo (1c) en (1b) tenemos: S = C 2 Y 2 Y 1 = C 1 + C 2 Y 2 (1d) 3

4 Entonces, si los hogares gastan su ingreso presente en consumo actual y su ingreso futuro en consumo futuro, tenemos: Y 1 + Y 2 = C 1 + C 2 (1e) Acotaciones: el consumidor contabiliza el valor futuro en valor actual, además de ser un agente racional que maximiza su bienestar durante ambos períodos (tiene expectativas de futuro). Surgen dos posibilidades: Consumo presente máximo, el cual viene dado por: C 1 = Y 1 + Y 2 Valor presente del ingreso futuro (1f) 4

5 Consumo futuro máximo, el cual viene dado por: C 2 = Y 1 + Y 2 Valor futuro del ingreso presente (1g) En virtud de lo anterior, podemos generalizar: Y 1 + Y 2 = C 1 + C 2 (1h) Valor presente del ingreso futuro Valor presente del consumo futuro 5

6 Decisión óptima del consumo intertemporal Ecuación recta presupuestaria C 2 = Y 1 + Y 2 C 1 C 2 En el punto A representa aquel punto donde la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente de la recta presupuestaria intertemporal ; es decir, la canasta óptima ( C 1, C 2 ), de los hogares. Y 1 + Y 2 A 1 El punto A 1 constituye el consumo futuro máximo, mientras que el punto A 2 constituye el consumo presente máximo que un agente puede acceder. Y 2 A U C 1, C 2 A 2 La pendiente de la restricción presupuestaria representa el cociente entre el precio del consumo presente y el precio del consumo futuro. 0 Y 1 Y 1 + Y 2 C 1 El consumo presente tiene un precio mayor que el consumo futuro por qué?. 6

7 Y 1 + Y 2 C 2 Pensemos en una preferencia por el consumo futuro. En este escenario los agentes deciden transferir el ingreso del periodo 1 al periodo 2 en la forma de ahorro, esto es: B 1 C 1 < Y 1 C 2 = Y 1 C 1 + Y 2 Y 2 S>0 A S=0 El consumidor obtiene una remuneración equivalente a la tasa de interés, convirtiendo al agente en prestamista (punto B 1 ). 0 S<0 B 2 Y 1 Y 1 + Y 2 C 1 Por el contrario la preferencia del agente es el consumo presente. Entonces los consumidores deciden transferir el ingreso del periodo 2 al periodo 1 en la forma de deuda, esto es: C 1 > Y 1 C 2 = C 1 Y 1 + Y 2 En esta condición el consumidor obtendrá un ingreso adicional pagando una tasa de interés, convirtiendo al agente en deudor (punto B 2 ). 7

8 Decisión óptima del consumo intertemporal (deducción algebraica) El agente representativo tiene preferencias entre consumo presente y consumo futuro, descrita por una función de utilidad de la forma: U = C 1, C 2 (2a) Restricción presupuestaria intertemporal: Y 1 + Y 2 = C 1 + C 2 (2b) Problema de optimización: max C 1,C 2 U = C 1, C 2 (2c) s. a. Y 1 + Y 2 = C 1 + C 2 (2d) 8

9 Por lo tanto, el lagrangeano queda definido como: L C 1, C 2, Y 1, Y 2, i = U C 1, C 2 λ C 1 + C 2 Y 1 Y 2 (2e) Condiciones de primer orden (CPO): L C 1 = UMg C1 λ = 0 L = UMg C C2 1 2 λ = 0 (2f) (2g) L λ = C 1 C 2 + Y 1 + Y 2 = 0 (2h) 9

10 Tasa marginal de sustitución intertemporal (TMSI), la cual se obtiene a partir de (2f) y (2g): UMg C1 UMg C2 = = P a P f De la igualdad extraemos C 1 C 2, i o C 2 C 1, i, las cuales sustituimos en la restricción presupuestaria para obtener las demandas marshalianas para el consumo presente y futuro, esto es: C 1 Y 1, Y 2, i Consumo intertemporal y las expectativas (2i) El agente representativo tiene preferencias entre consumo presente y consumo futuro, para maximizar, condensadas en una función de utilidad intertemporal de la siguiente forma: U = u C 1 + ψu C 2 C 2 C 1, Y 1, Y 2, i (3a) Donde ψ representa un factor de descuento que determina el peso que el consumidor le asigna a la utilidad futura con relación a la utilidad de presente. 10

11 Consideremos dos conductas: Elección intertemporal Cuando ψ tiende a cero, entonces el consumidor es impaciente, lo que implica que los agentes valoran una unidad de utilidad presente más que una futura. En contraste, un valor cercano a uno de ψ el agente es paciente, lo que implica que el consumidor le reporta mayor utilidad del consumo futuro. Teniendo en cuneta nuestra restricción presupuestaria intertemporal -la cual surge de la posibilidad de los agentes se endeuden o ahorren la cantidad que se desee a la tasa de interés i-, entonces el problema del consumidor se reduce a maximizar la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria intertemporal, de la siguiente forma: max C 1,C 2 U = u C 1 + ψu C 2 (3b) s. a. Y 1 + Y 2 = C 1 + C 2 11

12 Por lo tanto, el lagrangeano queda definido como: L C 1, C 2, Y 1, Y 2, i = u C 1 + ψu C 2 λ C 1 + C 2 Y 1 Y 2 (3c) Condiciones de primer orden (CPO): L C 1 = u C 1 λ = 0 L = ψu C C λ = 0 (3d) (3e) L λ = C 1 C 2 + Y 1 + Y 2 = 0 (3f) 12

13 Resolviendo para (3e) y (3d) tenemos: Alguna anotaciones sobre (3g): u C 1 = ψu C 2 (3g) Esta condición es conocida como la ecuación de Euler, la cual indica que cuando un agente decide sacrificar consumo presente por consumo futuro, lo que pierde es la utilidad marginal del consumo presente (lado izquierdo de la ecuación 3g). Su ganancia es la utilidad marginal del consumo futuro, la cual esta ponderada, ya que lo que dejó de consumir en el presente generó un ahorro que dio como ganancia i unidades adicionales de consumo futuro. En contraste, se el agente planea consumo presente, entonces debe descontar la ganancia futura, donde i es el descuento que el individuo hace del consumo futuro. Por lo tanto, un agente actuará de manera óptima cuando el costo marginal de bajar el consumo presente sea igual al beneficio marginal de incrementar el consumo futuro (elección óptima del consumo). 13

14 Retomando la idea de que el precio relativo entre C 1 y C 1 es ecuación de Euler puede reescribirse como: ψu C 2 u C 1 = i, entonces la (3h) Esta expresión representa la tasa marginal de sustitución intertemporal la cual indica que en el óptimo, las tasas marginales de sustitución de C 1 y C 1 deben igualarse a los precios relativos. La elección óptima debe satisfacer la restricción presupuestaria intertemporal y la ecuación de Euler. De esta forma las demandas óptimas (marshalianas) de consumo presente y futuro son: C 1 Y 1, Y 2, i C 2 Y 1, Y 2, i 14

15 Considere la siguiente información. Un individuo tiene unas preferencias representadas por la función: U C 1, C 2 = C 1 C 2 Se sabe que el ingreso durante el primer periodo es de 28,000 dólares y de 34,300 dólares en el segundo. La tasa de interés esta situada en 12%, el precio del consumo es uno y no hay inflación. a) Explique gráficamente y conceptualmente la restricción presupuestaria del consumidor. b) Obtenga las demandas presente y futura del agente (marshalianas), así como el ahorro resultante. 15

16 Considere la siguiente información. Un individuo tiene unas preferencias representadas por la función: U C 1, C 2 = C 1 2/3 C2 1/3 Se sabe que el ingreso durante el primer periodo es de 28,000 dólares y de 34,300 dólares en el segundo. La tasa de interés esta situada en 12%, mientras que el precio de los bienes de consumo presente es 3 y una inflación equivalente a 20%. a) Explique gráficamente y conceptualmente la restricción presupuestaria del consumidor. b) Obtenga las demandas presente y futura del agente (marshalianas), así como el ahorro resultante. 16

17 17